資源簡介

(共56張PPT)
3.3 從函數觀點看一元二次方程和
一元二次不等式
3.3.1 從函數觀點看一元二次方程
探究點一 二次函數的零點
探究點二 由二次函數的零點求參數的值
探究點三 由二次函數的零點求參數的取值范圍
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
結合具體實例,能夠借助一元二次函數的圖象,判斷一元二次方程
根的存在性及根的個數,知道函數 的零點就
是方程 的實數根,能夠從函數觀點認識方程.
知識點一 二次函數的零點
一般地，一元二次方程 的根就是二次函數
當函數值取零時_________的值，即二次函
數的圖象與 軸交點的________，也稱為二
次函數 的零點.
自變量
橫坐標
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數的零點是和 .( )
×
[解析] 函數的零點是函數的圖象與
軸交點的橫坐標,而不是與 軸的交點.
（2）函數的零點是 .( )
×
[解析] 函數的零點是函數的圖象與
軸交點的橫坐標,而不是函數 圖象的頂點.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）函數的零點是 和1.( )
×
[解析] 根據二次函數零點的定義可得結論錯誤.
（4）方程的根就是函數 的零點.( )
√
[解析] 根據二次函數零點的定義可得結論正確.
知識點二 一元二次方程的根、二次函數的圖象、二次函數的零
點之間的關系
當時，一元二次方程 的根、二次函數
的圖象、二次函數 的零點之間的
關系：
___________________ __________________ _______________ _______________ ___________ _______
_______
有兩個相異的實數根
有兩個相等的實數根
沒有實數根
_____________________________ ___________________________ __________________________
___________________ _____________ _______________ _________ ________
有兩個零點
有一個零點
無零點
續表
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數 有兩個零點.( )
×
[解析] 方程的兩根為 ，
則函數 只有一個零點.
（2）方程 可能沒有實數根.( )
×
[解析] 因為方程 的
，所以方程
有兩不相等的實數根.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）函數 有兩個零點.( )
√
[解析] 因為方程的 ，
所以方程 有兩個不相等的實數根，所以函數
有兩個零點.
（4）函數的圖象與 軸有兩個交點.( )
×
[解析] 方程的根為，.當 時，
，此時函數的圖象與 軸只有一個交點.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（5）函數 沒有零點.( )
√
[解析] 方程的 ，
所以方程沒有實數根，所以函數 沒
有零點.
探究點一 二次函數的零點
例1 求下列函數的零點：
（1） ；
解：由，解得或 ，
所以函數的零點為1和 .
例1 求下列函數的零點：
（2） ；
解：①當時，，由得 ，所以函數
的零點為 .
②當時，由得 ，解
得或，又 ，
所以當時，，函數有唯一的零點 .
當且時，，函數有兩個零點和 .
綜上所述，當或時，函數的零點為 ；
當且時，函數有兩個零點和 .
（3） ，其圖象如圖所示.
解：由題圖可知，函數有兩個零點 和3.
［素養小結］
（1）判斷二次函數零點的情況，可以轉化
為判斷方程的根的情況.
（2）二次函數的零點就是方程
的根，也就是該函數圖象與軸交點的橫坐標.
探究點二 由二次函數的零點求參數的值
例2（1）若二次函數的兩個零點為1和 ,
則實數 的值為( )
A.2 B.3 C. D.
[解析] 由題意知，關于的方程 的兩根為1
和,故由根與系數的關系得,,可得 或2，
又，所以 .故選D.
√
（2）［2025·江蘇鹽城南陽中學高一期中］已知函數
，若函數只有一個零點，則 的值是_____.
0或
[解析] 若函數只有一個零點,即關于 的方程
只有一個根或有兩個相同的實數根.則當 時,方
程為，解得，滿足題意；
當 時, ,解得 ,此時方程有兩個相同的實數根，
滿足題意.
綜上，的值是0或 .
變式（1）若,是二次函數的兩個零點，則
的值是( )
A.3 B.9 C.21 D.33
[解析] 由題可知，,是方程 的兩個實數根，
所以， ，
故 .故選C.
√
（2）已知二次函數的圖象與 軸的交點為
，，若，則 的值為_______.
或5
[解析] 由題可知， ， 為方程 的兩個根，
故, ，所以
，解得
或 .
［素養小結］
由二次函數的零點求參數的值主要是轉化為一元二次方程的根的判
別式及根與系數的關系，解題的關鍵是正確運用判別式及根與系數
的關系.
探究點三 由二次函數的零點求參數的取值范圍
例3（1）若關于的方程有兩個正根,求實數 的
取值范圍；
解：設方程的兩個正根為,,則
即解得,故實數的取值范圍是 .
（2）若,是關于的方程 的兩個實數
根,且,都大于1,求實數 的取值范圍.
解： 方程 的兩個根都大于1，
,,,解得
且 .
變式 已知函數 .
（1）分別求該函數有兩個零點、一個零點、沒有零點時 的值或取
值范圍；
解：若函數 有兩個零點，則方程
有兩個不相等的實數根，所以
，解得.
若函數 有一個零點,則方程
有兩個相等的實數根，所以，解得 ；
若函數沒有零點，則方程
沒有實數根，所以，解得 .
綜上所述，當原函數有兩個零點時， ；當原函數有一個零點
時，；當原函數沒有零點時， .
變式 已知函數 .
（2）若該函數有一個零點為0，求 的值；
解：由題意知0是方程 的一個根，
則，解得 .
（3）若關于的方程 有兩個根，且一個根大
于2，另一個根小于2，求實數 的取值范圍.
解：由題意可得即
解得.故實數的取值范圍為 .
［素養小結］
由二次函數的零點分布求參數范圍的問題時，一般要結合對應一元
二次方程的根的判別式及根與系數的關系，列出不等式（組）進行
求解，或者結合二次函數圖象，得出開口方向、對稱軸以及圖象與
軸的交點情況,列出不等式（組）進行求解，函數有兩個零點說明函
數圖象與軸有兩個交點.
練習冊
1.［2025·湖南長沙明德中學高一月考］函數 的零點
是( )
A., B.1，2
C., D.,
[解析] 令，解得或 ，
所以的零點是, .故選D.
√
2.函數 的零點的情況是( )
A.有一個零點 B.有兩個零點
C.沒有零點 D. 不確定，所以無法判斷
[解析] 方程 的判別式
, 方程
有兩個不相等的實數根， 函數
有兩個零點.故選B.
√
3.已知二次函數有零點，則 的取值范圍是
( )
A. B. C.且 D.且
[解析] 二次函數有零點，
關于 的一元二次方程 有實數根，
則解得且 .故選C.
√
4.已知二次函數，若 ，則該函數的零點個數
是( )
A.1 B.2 C.0 D.無法確定
[解析] ，， 方程 有
兩個不等實根，故二次函數 有兩個零點．故選B．
√
5.［2025·江蘇常熟中學高一期中］“ ”是“函數
只有一個零點”的( )
A.充要條件 B.必要且不充分條件
C.充分且不必要條件 D.既不充分又不必要條件
[解析] 當時，函數只有一個零點；
當 時,若函數只有一個零點,則 ，
解得.
綜上，若函數只有一個零點，則 或.
所以“”是“函數 只有一個零點”的充分且不必
要條件.故選C.
√
6.若二次函數 有兩個零點1和4，則函數
的零點為( )
A.1或 B.1或4 C.或 D.或
[解析] 由二次函數 有兩個零點1和4，可得1，4為方
程的兩個根，所以解得 所以函數
，
令，解得 或，
則函數的零點為1或 .
√
7.函數在區間 上的零點個數是___.
1
[解析] 對于函數，因為 ,所以該
函數的圖象與軸相切，
又因為該函數圖象的對稱軸為直線 ,
所以函數的圖象在區間上與 軸只有一個交點，
即函數在區間 上只有1個零點.
8.若二次函數的兩個零點都小于0，則實數 的
取值范圍是_ __________.
[解析] 因為二次函數 的兩個零點都小于0，所
以方程 有兩個不相等的負根，
設這兩個負根分別為,，
則即
可得，所以實數的取值范圍是 .
9.（13分）已知關于的一元二次方程 .
（1）若該方程有一個正根，一個負根，求實數 的取值范圍；
解：方法一：由題意知解得，即
的取值范圍為 .
方法二：由題意得，解得，即 的取值
范圍為 .
（2）若該方程有一個根大于2，另一個根小于2，求實數 的取值范圍；
解：由題意知，解得，即 的取值范圍
為 .
9.（13分）已知關于的一元二次方程 .
（3）若該方程有一個根大于2，另一個根不大于0，求實數 的取值
范圍.
解：由題意知可得，即 的取值范圍為
.
10.［2025·北京師大附中高一期中］已知關于 的方程
的兩個實數根為,，且滿足 ，
則常數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得解得 .故選C.
√
11.（多選題）已知二次函數 ，若方程
的一個根大于3，另一個根小于2，則下列結論正確
的是( )
A. B.
C.當時， D.當時，
√
√
√
[解析] 依題意知，函數 的圖象開口向上，
與軸有兩個交點，所以，故 ,故B正確；
因為方程 的一個根大于3，另一個根小于2，且
，所以當時，，當時， ，故C，D正確；
的取值范圍不確定，故A不正確.
故選 .
12.已知函數，并且 , 是方程
的兩根，則實數,, , 的大小關系是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由題知 ， 是函數
的圖象與 軸交點的橫坐
標，且 .設,則, 是
的圖象與 軸交點的橫坐標，
且.
函數 的圖象可以由函數 的
圖象向下平移2個單位長度得到,如圖所示.由圖知， ，
故選C.
13.已知二次函數的兩個零點都在區間 內，
則實數 的取值范圍是______.
[解析] 因為二次函數的兩個零點都在區間 內，
所以解得，故實數 的取值范圍是
.
14.（15分）[ 江蘇南通高一期中］ 已知二次函數
，其中 為實數.
（1）求證：對任意實數 ，該二次函數有兩個零點；
證明：由題可得， ,
故對任意實數 ，該二次函數有兩個不同的零點.
14.（15分）[ 江蘇南通高一期中］ 已知二次函數
，其中 為實數.
（2）設該二次函數在上有兩個不同的零點, ，且
，求此二次函數的解析式.
解：因為該二次函數在上有兩個不同的零點， ，所以
因為，所以 ，可得
或 .
當時，二次函數的解析式為 ，此時二次函數的
兩個零點為和1，不滿足題意，舍去；
當 時，二次函數的解析式為 ,此時二次函數的
兩個零點為2,6，滿足題意.
所以所求二次函數的解析式為 .
15.（多選題）［2025·浙江衢州高一期中］ 定義：如果關于 的一元
二次方程 有兩個不同的實數根，且其中一個
根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“和諧方程”，下列說法正確
的是( )
A.方程 是“和諧方程”
B.若關于的方程是“和諧方程”，則
C.若關于的方程 是“和諧方程”，則函數
的圖象與軸交點的坐標是和
D.若，則關于的方程 是“和諧方程”
√
√
√
[解析] 對于A，由,得 ，則方程的兩
根為,1，又,，所以方程 不是
“和諧方程”，故A錯誤.
對于B，因為關于的方程 是“和諧方程”，所以不妨
設，則所以 ，解得,，
或,，所以 ，故B正確.
對于C，關于的方程 是“和諧方程”，可設該
方程的兩根為,,且,又所以 ， ，
則，即 ，則
，令，解得方程的兩根為, ，即函數
的圖象與軸交點的坐標是和 ,故C正確.
對于D，因為，所以，,，則關于 的
方程可化為 ，則
，解得方程的兩根為, ，又
,所以關于的方程 是“和諧方程”,故D正確.
故選 .
16.（15分）［2025·江蘇徐州三中高一期中］ 對于二次函數
，若存在，使得
成立，則稱為二次函數 的不動點.
（1）求二次函數 的不動點；
解：設的不動點為，則 ,即
,解得或，所以 的不動
點為 和3.
16.（15分）［2025·江蘇徐州三中高一期中］ 對于二次函數
，若存在，使得
成立，則稱為二次函數 的不動點.
（2）若二次函數 有兩個不相等的不動點
，，且，，求 的最小值.
解：依題意得， 有兩個不相等的正實數
根，即方程 有兩個不相等的正實數根，
所以解得 .
所以 ，
因為,所以 ,所以，
當且僅當 ，即時等號成立，所以 的最小值為8.
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 自變量 橫坐標 【診斷分析】(1)× (2)× (3)× (4)√
知識點二 有兩個相異的實數根
有兩個相等的實數根 沒有實數根
有兩個零點 有一個零點 無零點
【診斷分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√
課中探究 例1 （1）1和（2）和（3）和3
例2 （1）D （2）0或 變式 （1）C （2）或5
例3 （1）（2）且
變式 （1）當原函數有兩個零點時，；當原函數有一個零點時，；
當原函數沒有零點時，. （2）
快速核答案（練習冊）
1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.1 8.
9.（1）（2） （3）
10.C 11.BCD 12.C 13.
14.（1）略（2）15.BCD
16.（1）和3 （2）83.3　從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　從函數觀點看一元二次方程
【課前預習】
知識點一
自變量x　橫坐標
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)函數y=x2-5x+6的零點是函數y=x2-5x+6的圖象與x軸交點的橫坐標,而不是與x軸的交點.
(2)函數y=x2-2x+2的零點是函數y=x2-2x+2的圖象與x軸交點的橫坐標,而不是函數y=x2-2x+2圖象的頂點.
(3)根據二次函數零點的定義可得結論錯誤.
(4)根據二次函數零點的定義可得結論正確.
知識點二
有兩個相異的實數根x1,2=
有兩個相等的實數根x1=x2=-
沒有實數根　有兩個零點x1,2=
有一個零點x=-　無零點
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (1)方程x2-2x+1=0的兩根為x1=x2=1,則函數y=x2-2x+1只有一個零點.
(2)因為方程x2-mx-1=0的Δ=(-m)2-4×1×(-1)=m2+4>0,所以方程x2-mx-1=0有兩不相等的實數根.
(3)因為方程3x2-4x+1=0的Δ=(-4)2-4×3×1=4>0,所以方程3x2-4x+1=0有兩個不相等的實數根,所以函數y=3x2-4x+1有兩個零點.
(4)方程x2+bx=0的根為x1=0,x2=-b.當b=0時,x1=x2=0,此時函數y=x2+bx的圖象與x軸只有一個交點.
(5)方程x2-4x+7=0的Δ=(-4)2-4×1×7=-12<0,所以方程x2-4x+7=0沒有實數根,所以函數y=x2-4x+7沒有零點.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)由3x2-2x-1=0,解得x=1或x=-,
所以函數y=3x2-2x-1的零點為1和-.
(2)①當a=0時,y=-x-1,由-x-1=0得x=-1,所以函數的零點為-1.
②當a≠0時,由ax2-x-a-1=0得(ax-a-1)(x+1)=0,解得x=或x=-1,又-(-1)=,
所以當a=-時,=-1,函數有唯一的零點-1.
當a≠-且a≠0時,≠-1,函數有兩個零點-1和.綜上所述,當a=0或a=-時,函數的零點為-1;
當a≠-且a≠0時,函數有兩個零點-1和.
(3)由題圖可知,函數有兩個零點-1和3.
探究點二
例2　(1)D　(2)0或　[解析] (1)由題意知,關于x的方程ax2-6x+a2=0(a<0)的兩根為1和m,故由根與系數的關系得1+m=,m=a,可得m=a=-3或2,又a<0,所以a=m=-3.故選D.
(2)若函數y=ax2-3x+2只有一個零點,即關于x的方程ax2-3x+2=0只有一個根或有兩個相同的實數根.則當a=0時,方程為-3x+2=0,解得x=,滿足題意;當a≠0時,Δ=9-8a=0,解得a=,此時方程有兩個相同的實數根,滿足題意.綜上,a的值是0或.
變式　(1)C　(2)-1或5　[解析] (1)由題可知,m,n是方程x2+3x-6=0的兩個實數根,所以m+n=-3,mn=-6,故m2+n2=(m+n)2-2mn=9+12=21.故選C.
(2)由題可知,α,β為方程x2+(p-2)x-21=0的兩個根,故α+β=2-p,αβ=-21,所以α2+β2=(α+β)2-2αβ=(2-p)2+2×21=51,解得p=-1或p=5.
探究點三
例3　解:(1)設方程x2-2x+m+1=0的兩個正根為x1,x2,則即解得-1(2)∵方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的兩個根都大于1,∴Δ=4k-3≥0,>1,12-(2k+1)×1+k2+1>0,解得k≥且k≠1.
變式　解:(1)若函數y=-3x2+2x-m+1有兩個零點,則方程-3x2+2x-m+1=0有兩個不相等的實數根,所以Δ=4+12(1-m)>0,解得m<.若函數y=-3x2+2x-m+1有一個零點,則方程-3x2+2x-m+1=0有兩個相等的實數根,所以Δ=4+12(1-m)=0,解得m=;若函數y=-3x2+2x-m+1沒有零點,則方程-3x2+2x-m+1=0沒有實數根,所以Δ=4+12(1-m)<0,解得m>.
綜上所述,當原函數有兩個零點時,m<;當原函數有一個零點時,m=;當原函數沒有零點時,m>.
(2)由題意知0是方程-3x2+2x-m+1=0的一個根,則1-m=0,解得m=1.
(3)由題意可得即
解得m<-7.故實數m的取值范圍為(-∞,-7).3.3　從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　從函數觀點看一元二次方程
1.D　[解析] 令x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2,所以y=x2+3x+2的零點是-1,-2.故選D.
2.B　[解析] ∵方程x2-mx+m-2=0的判別式Δ=(-m)2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴方程x2-mx+m-2=0有兩個不相等的實數根,∴函數y=x2-mx+m-2有兩個零點.故選B.
3.C　[解析] ∵二次函數y=(a-1)x2-2x+1有零點,∴關于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有實數根,則解得a≤2且a≠1.故選C.
4.B　[解析] ∵ac<0,∴Δ=b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根,故二次函數y=ax2+bx+c有兩個零點.故選B.
5.C　[解析] 當a=0時,函數y=2x-1只有一個零點;當a≠0時,若函數y=ax2+2x-1只有一個零點,則Δ=4+4a=0,解得a=-1.綜上,若函數y=ax2+2x-1只有一個零點,則a=-1或a=0.所以“a=-1”是“函數y=ax2+2x-1只有一個零點”的充分且不必要條件.故選C.
6.A　[解析] 由二次函數y=x2-ax+b有兩個零點1和4,可得1,4為方程x2-ax+b=0的兩個根,所以解得所以函數y=bx2-ax+1=4x2-5x+1,令4x2-5x+1=0,解得x=1或x=,則函數y=bx2-ax+1的零點為1或.
7.1　[解析] 對于函數y=-x2+8x-16,因為Δ=64-64=0,所以該函數的圖象與x軸相切,又因為該函數圖象的對稱軸為直線x=4,所以函數y=-x2+8x-16的圖象在區間[3,5]上與x軸只有一個交點,即函數y=-x2+8x-16在區間[3,5]上只有1個零點.
8.9.解:(1)方法一:由題意知解得a<4,即a的取值范圍為(-∞,4).
方法二:由題意得02-3×0+a-4<0,解得a<4,即a的取值范圍為(-∞,4).
(2)由題意知22-3×2+a-4<0,解得a<6,即a的取值范圍為(-∞,6).
(3)由題意知可得a≤4,即a的取值范圍為(-∞,4].
10.C　[解析] 由題意得解得111.BCD　[解析] 依題意知,函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象開口向上,與x軸有兩個交點,所以Δ=b2-4ac>0,故4ac-b2<0,故B正確;因為方程ax2+bx+c=0的一個根大于3,另一個根小于2,且a>0,所以當x=2時,y<0,當x=3時,y<0,故C,D正確;-的取值范圍不確定,故A不正確.故選BCD.
12.C　[解析] 由題知α,β是函數y=(x-a)(x-b)-2的圖象與x軸交點的橫坐標,且α<β.設y1=(x-a)(x-b),則a,b是y1=(x-a)(x-b)的圖象與x軸交點的橫坐標,且a13.[8,9)　[解析] 因為二次函數y=x2-6x+m的兩個零點都在區間[2,+∞)內,所以解得8≤m<9,故實數m的取值范圍是[8,9).
14.解:(1)證明:由題可得,Δ=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=16>0,故對任意實數m,該二次函數有兩個不同的零點.
(2)因為該二次函數在(0,+∞)上有兩個不同的零點x1,x2,所以因為+=,所以=,可得m=0或m=5.
當m=0時,二次函數的解析式為y=x2+2x-3,此時二次函數的兩個零點為-3和1,不滿足題意,舍去;當m=5時,二次函數的解析式為y=x2-8x+12,此時二次函數的兩個零點為2,6,滿足題意.所以所求二次函數的解析式為y=x2-8x+12.
15.BCD　[解析] 對于A,由x2+x-2=0,得(x+2)(x-1)=0,則方程的兩根為-2,1,又-2≠2×1,-2×2≠1,所以方程x2+x-2=0不是“和諧方程”,故A錯誤.對于B,因為關于x的方程x2+ax+8=0是“和諧方程”,所以不妨設2x1=x2,則所以=4,解得x1=2,x2=4,或x1=-2,x2=-4,所以a=±6,故B正確.對于C,關于x的方程bx2-3bx+c=0(b≠0)是“和諧方程”,可設該方程的兩根為x3,x4,且2x3=x4,又所以x3=1,x4=2,則x3·x4==2,即c=2b,則y=bx2+3bx+c=bx2+3bx+2b(b≠0),令bx2+3bx+2b=0,解得方程的兩根為-1,-2,即函數y=bx2+3bx+c的圖象與x軸交點的坐標是(-1,0)和(-2,0),故C正確.對于D,因為mn=4,所以n=,m≠0,n≠0,則關于x的方程mx2+3x+n=0可化為mx2+3x+=0,則(mx+)=0,解得方程的兩根為-,-,又-×2=-,所以關于x的方程mx2+3x+n=0是“和諧方程”,故D正確.故選BCD.
16.解:(1)設y=x2-x-3的不動點為x0,則-x0-3=x0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3,所以y=x2-x-3的不動點為-1和3.
(2)依題意得,2x2-(3+a)x+a-1=x有兩個不相等的正實數根,即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有兩個不相等的正實數根,所以解得a>1.
所以+===-2=-2=-2=-2=-2=++3,
因為a>1,所以a-1>0,所以++3≥2+3=8,當且僅當=,
即a=6時等號成立,所以+的最小值為8.3.3　從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　從函數觀點看一元二次方程
【學習目標】
　　結合具體實例,能夠借助一元二次函數的圖象,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數,知道函數y=ax2+bx+c(a≠0)的零點就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根,能夠從函數觀點認識方程.
◆ 知識點一　二次函數的零點
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)當函數值取零時　　　　的值,即二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的　　　　,也稱為二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的零點.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=x2-5x+6的零點是(2,0)和(3,0). (　 )
(2)函數y=x2-2x+2的零點是(1,1). (　 )
(3)函數y=x2-3x-4的零點是-4和1. (　 )
(4)方程x2-2x-5=0的根就是函數y=x2-2x-5的零點. (　 )
◆ 知識點二　一元二次方程的根、二次函數的圖
象、二次函數的零點之間的關系
當a>0時,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函數y=ax2+bx+c的圖象、二次函數y=ax2+bx+c的零點之間的關系:
判別式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0 的根 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　
二次函數y=ax2+ bx+c的圖象
(續表)
判別式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函數y=ax2+ bx+c的零點 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=x2-2x+1有兩個零點. (　 )
(2)方程x2-mx-1=0可能沒有實數根. (　 )
(3)函數y=3x2-4x+1有兩個零點. (　 )
(4)函數y=x2+bx的圖象與x軸有兩個交點. (　 )
(5)函數y=x2-4x+7沒有零點. (　 )
◆ 探究點一　二次函數的零點
例1 求下列函數的零點:
(1)y=3x2-2x-1;
(2)y=ax2-x-a-1(a∈R);
(3)y=ax2+bx+c,其圖象如圖所示.
[素養小結]
(1)判斷二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)零點的情況,可以轉化為判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況.
(2)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的零點就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,也就是該函數圖象與x軸交點的橫坐標.
◆ 探究點二　由二次函數的零點求參數的值
例2 (1)若二次函數y=ax2-6x+a2(a<0)的兩個零點為1和m,則實數m的值為 (　 )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
(2)[2025·江蘇鹽城南陽中學高一期中] 已知函數y=ax2-3x+2,若函數只有一個零點,則a的值是　　　　.
變式 (1)若m,n是二次函數y=x2+3x-6的兩個零點,則m2+n2的值是 (　 )
A.3 B.9
C.21 D.33
(2)已知二次函數y=x2+(p-2)x-21的圖象與x軸的交點為A(α,0),B(β,0),若α2+β2=51,則p的值為　　　　　　.
[素養小結]
由二次函數的零點求參數的值主要是轉化為一元二次方程的根的判別式及根與系數的關系,解題的關鍵是正確運用判別式及根與系數的關系.
◆ 探究點三　由二次函數的零點求參數的取值范圍
例3 (1)若關于x的方程x2-2x+m+1=0有兩個正根,求實數m的取值范圍;
(2)若x1,x2是關于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的兩個實數根,且x1,x2都大于1,求實數k的取值范圍.
變式 已知函數y=-3x2+2x-m+1.
(1)分別求該函數有兩個零點、一個零點、沒有零點時m的值或取值范圍;
(2)若該函數有一個零點為0,求m的值;
(3)若關于x的方程-3x2+2x-m+1=0有兩個根,且一個根大于2,另一個根小于2,求實數m的取值范圍.
[素養小結]
由二次函數的零點分布求參數范圍的問題時,一般要結合對應一元二次方程的根的判別式及根與系數的關系,列出不等式(組)進行求解,或者結合二次函數圖象,得出開口方向、對稱軸以及圖象與x軸的交點情況,列出不等式(組)進行求解,函數有兩個零點說明函數圖象與x軸有兩個交點.3.3　從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　從函數觀點看一元二次方程
1.[2025·湖南長沙明德中學高一月考] 函數y=x2+3x+2的零點是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,0),(2,0) B.1,2
C.(-1,0),(-2,0) D.-1,-2
2.函數y=x2-mx+m-2的零點的情況是 (　 )
A.有一個零點
B.有兩個零點
C.沒有零點
D.m不確定,所以無法判斷
3.已知二次函數y=(a-1)x2-2x+1有零點,則a的取值范圍是 (　 )
A.a≤2
B.a>2
C.a≤2且a≠1
D.a<2且a≠1
4.已知二次函數y=ax2+bx+c,若ac<0,則該函數的零點個數是 (　 )
A.1 B.2
C.0 D.無法確定
5.[2025·江蘇常熟中學高一期中] “a=-1”是“函數y=ax2+2x-1只有一個零點”的 (　 )
A.充要條件
B.必要且不充分條件
C.充分且不必要條件
D.既不充分又不必要條件
6.若二次函數y=x2-ax+b有兩個零點1和4,則函數y=bx2-ax+1的零點為 (　 )
A.1或 B.1或4
C.-1或- D.-1或-4
7.函數y=-x2+8x-16在區間[3,5]上的零點個數是　　　　.
8.若二次函數y=x2+3x+2m-1的兩個零點都小于0,則實數m的取值范圍是　　　　.
9.(13分)已知關于x的一元二次方程x2-3x+a-4=0.
(1)若該方程有一個正根,一個負根,求實數a的取值范圍;
(2)若該方程有一個根大于2,另一個根小于2,求實數a的取值范圍;
(3)若該方程有一個根大于2,另一個根不大于0,求實數a的取值范圍.
10.[2025·北京師大附中高一期中] 已知關于x的方程x2-2ax+1=0的兩個實數根為x1,x2,且滿足0A.(0,1) B.(1,+∞)
C. D.
11.(多選題)已知二次函數y=ax2+bx+c(a>0),若方程ax2+bx+c=0的一個根大于3,另一個根小于2,則下列結論正確的是 (　 )
A.2<-<3
B.4ac-b2<0
C.當x=2時,y<0
D.當x=3時,y<0
12.已知函數y=(x-a)(x-b)-2(aA.a<αB.a<α<βC.αD.α13.已知二次函數y=x2-6x+m的兩個零點都在區間[2,+∞)內,則實數m的取值范圍是　　　　.
14.(15分)[2025·江蘇南通高一期中] 已知二次函數y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m為實數.
(1)求證:對任意實數m,該二次函數有兩個零點;
(2)設該二次函數在(0,+∞)上有兩個不同的零點x1,x2,且+=,求此二次函數的解析式.
15.(多選題)[2025·浙江衢州高一期中] 定義:如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不同的實數根,且其中一個根是另一個根的2倍,則稱這樣的方程為“和諧方程”,下列說法正確的是 (　 )
A.方程x2+x-2=0是“和諧方程”
B.若關于x的方程x2+ax+8=0是“和諧方程”,則a=±6
C.若關于x的方程bx2-3bx+c=0(b≠0)是“和諧方程”,則函數y=bx2+3bx+c的圖象與x軸交點的坐標是(-1,0)和(-2,0)
D.若mn=4,則關于x的方程mx2+3x+n=0是“和諧方程”
16.(15分)[2025·江蘇徐州三中高一期中] 對于二次函數y=mx2+nx+t(m≠0),若存在x0∈R,使得m+nx0+t=x0成立,則稱x0為二次函數y=mx2+nx+t(m≠0)的不動點.
(1)求二次函數y=x2-x-3的不動點;
(2)若二次函數y=2x2-(3+a)x+a-1有兩個不相等的不動點x1,x2,且x1>0,x2>0,求+的最小值.

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