資源簡介

(共72張PPT)
3.3 從函數觀點看一元二次方程和
一元二次不等式
3.3.2 從函數觀點看一元二次不等式
第1課時 三個二次關系、一元二次
不等式的解法
探究點一 解一元二次不等式
探究點二 解含參數的一元二次不等式
探究點三 三個“二次”的關系
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.結合具體實例，能夠借助二次函數的圖象求解一元二次不等式，并
能用集合表示解集，能夠從函數觀點認識不等式.
2.能夠借助二次函數的圖象解釋二次函數與相應方程、不等式之間的
關系，感悟函數的重要性及數學知識之間的關聯性.
知識點一 一元二次不等式的定義
只含有______未知數,并且未知數最高次數是___的整式不等式叫作一
元二次不等式.
一個
2
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）是關于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 當 時,該不等式不是一元二次不等式.
（2）不等式是關于 的一元二次不等式.
( )
√
[解析] 因為，所以 的最高次數是2,所以
是關于 的一元二次不等式.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）不等式 是一元二次不等式.( )
√
[解析] 因為的最高次數是2，所以 是一元二次不等式.
（4）不等式是關于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 因為當時，該不等式為 ，
所以 不一定是一元二次不等式.
知識點二 二次函數、一元二次方程和一元二次不等式的關系
沒有實數
根
_______________________ ______________________ ______________________
_____________ __________ _____________ _____________ ___
________ ___ ___
續表
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數的圖象與 軸有交點.( )
×
[解析] 由,知方程 沒有實
數根，即函數的圖象與 軸沒有交點.
（2）方程 有兩個不相等的實根.( )
×
[解析] 由,知方程
沒有實數根.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）方程 恒有兩個不相等的實數根.( )
×
[解析] 當時，方程 的兩根都是1.
（4）若一元二次方程的兩根為， ，
則一元二次不等式的解集為 .( )
×
[解析] 當時，其解集為，當 時，其解集
為或 .
探究點一 解一元二次不等式
例1 解下列不等式：
（1） ；
解：因為，所以方程
有兩個不等實根， .
又二次函數 的圖象開口向上，
所以原不等式的解集為 .
例1 解下列不等式：
（2） ；
解：原不等式可化為 ，
因為，
所以方程 有兩個不相等的實數根，，
又二次函數 的圖象開口向上，
所以原不等式的解集為 .
例1 解下列不等式：
（3） ;
解：由，得方程 無實根，
又函數 的圖象開口向上，所以原不等式的解集為
.
（4） .
解：原不等式可化為， ，
所以方程無實根，又二次函數 的
圖象開口向上，所以原不等式的解集為 .
變式（1）［2025·江蘇蘇州中學高一期中］不等式
的解集為( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 由，得 ，易知方程
的兩根分別為,9，
又二次函數 的圖象開口向上，
所以不等式 的解集為 .故選A.
√
（2）解不等式： .
解：原不等式等價于不等式組 不等式①可化為
，解得或 .
不等式②可化為，解得 .
故原不等式的解集為或 .
［素養小結］
解一元二次不等式的方法
（1）若不等式對應的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉化為幾
個代數式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號方
向得到不等式的解集.
（2）若不等式對應的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何
值，完全平方式始終大于或等于零，則不等式的解集易得.
（3）若上述兩種方法均不能解決，則應采用求一元二次不等式的解
集的通法，即判別式法.
探究點二 解含參數的一元二次不等式
例2（1）解關于的不等式 ；
解：原不等式等價于 ,
方程的兩根為, .
當時，原不等式的解集是或 ；
當時，原不等式的解集是 ；
當時，原不等式的解集是或 .
（2）解關于的不等式 .
解：①當時，原不等式即為，解得 .
②當時，原不等式化為，解得或 .
③當時，原不等式化為 .
若，即，不等式無解；若，即 ，解不等式
得；若，即，解不等式得 .
綜上可知，當時，不等式的解集為；
當 時，不等式的解集為 ；
當時，不等式的解集為 ；
當時，不等式的解集為 ；
當時，不等式的解集為 .
變式 解關于的不等式 .
解：關于的不等式 可化為
，當，即時， 或
；當，即時，或 ；
當，即時， .
所以當時，原不等式的解集為或；當
時，原不等式的解集為或；當 時，原不等
式的解集為 .
［素養小結］
含參一元二次不等式的解法：
探究點三 三個“二次”的關系
例3 ［2025·上海師大附中高一期中］已知關于 的不等式
的解集為，求關于 的不等式
的解集.
解：因為不等式的解集為 ，
所以和是關于的方程的兩根，且 ，所
以即
所以可化為，
又 ，所以，解得 ，
所以原不等式的解集為 .
變式 若不等式的解集是 ，求不等
式 的解集．
解：由的解集是，知 ，且2，
為方程的兩個根，所以 ，
，所以，.
所以, ,所以不等式可化為
，即.
又因為 ,所以不等式可化為,解得 ，
故所求不等式的解集為 .
［素養小結］
三個“二次”之間的關系
（1）三個“二次”中，二次函數是主體，討論二次函數主要是將問題
轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究.
（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函
數相聯系，通過二次函數的圖象及性質來解決問題.
拓展 ［2025·浙江金華一中高一月考］
（1）若關于的不等式的解集為 ，
求 的值.
解：因為關于的不等式的解集為 ，
所以和2是方程 的兩個根，
所以解得所以 .
拓展 ［2025·浙江金華一中高一月考］
（2）設關于的方程有兩個實數根, .
①若,均大于0，試求 的取值范圍；
解： 若,均大于0，則滿足 解得
故，即的取值范圍為 .
拓展 ［2025·浙江金華一中高一月考］
（2）設關于的方程有兩個實數根, .
②若，求實數 的值.
解：由①知因為 ，所以
，即 ，所
以，即，解得或 .
由①知，即或，所以，即實數的值是 .
1.對一元二次不等式概念的理解
一元二次不等式概念中的關鍵詞:一元,即只包含一個未知數,其他元
素均為常數;
二次,即未知數的最高次數必須為2,且最高次項的系數不能為0.
2.關于一元二次不等式的解法
（1）在解一元二次不等式時,需求所對應的一元二次方程的根,可借
用求根公式法或十字相乘法,再結合對應的二次函數的圖象寫出解集.
（2）解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
①化標準：通過對不等式的變形,使不等式右側為0,使二次項系數為正.
②判別式：對不等式左側因式分解,若不易分解,則計算對應方程的判
別式.
③求實根：求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有
無實根.
④畫草圖：根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖.
⑤寫解集：根據圖象寫出不等式的解集.
3.二次函數與一元二次方程、不等式的關系
一元二次方程與一元二次不等式都是二次函數的特例.當二次函數
的函數值 時,得一元二次方程
;當二次函數 的函
數值或時,得一元二次不等式 或
;而是與 的“分水嶺”,它們之
間形成不可分割的內在關系.
1.解一元二次不等式常利用數形結合,設相應的二次函數的圖象開口
向上,并與 軸相交,則有口訣:大于取兩邊;小于取中間.
例1（1）［2025·安徽黃山田家炳實驗中學高一期中］不等式
的解集為( )
A.或 B.或
C.或 D.
[解析] 由，可得 ，
又，
所以 的解集為空集，故選D.
√
（2）不等式 的解集為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，可得 ，
即，解得或 ，
所以不等式的解集為 .故選B.
√
2.解含參數的一元二次不等式時要注意對參數分類討論.討論一般分為
三個層次：第一層次是二次項系數為零和不為零;第二層次是有沒有實
數根的討論,即判別式,, ;第三層次是根的大小的討論.
例2 ［2025·福建福州高級中學高一月考］設
.
（1）當時，求關于的不等式 的解集；
解：當時，由，得，解得 ，
所以不等式的解集為 .
例2 ［2025·福建福州高級中學高一月考］設
.
（2）當時，求關于的不等式 的解集；
解：當時，由 ，
整理得 ，
即，令，解得 或
，
令，解得 .
當，即時，原不等式的解集為 ；
當時，原不等式的解集為 ；
當，即時，原不等式的解集為 .
例2 ［2025·福建福州高級中學高一月考］設
.
（3）若關于的不等式在上有解，求實數 的取值范圍.
解：依題意，關于的不等式在 上有解，
即在 上有解，
因為 ，
所以在區間 上能成立，
當時，（當且僅當 時，取等號），所
以 的最小值為2.
所以，所以的取值范圍是 .
例3 ［2025· 貴州遵義一中高一月考］已知函數
.
（1）若,，且是關于 的方程
的一個根，求 的最大值；
解：因為是關于的方程 的一個根，
所以，整理得 ，
因為,，所以（當且僅當 時，取等
號），即，故 ，
故的最大值為 .
例3 ［2025· 貴州遵義一中高一月考］已知函數
.
（2）若，，，求 的取值范圍；
解：因為，所以 ，
當時，不等式為 ，恒成立，符合題意；
當時，若， ，則
故故 .
綜上所述，的取值范圍為 .
例3 ［2025· 貴州遵義一中高一月考］已知函數
.
（3）若，不等式恰有4個整數解，求 的取值范圍.
解：因為，所以 ，
要使不等式恰有4個整數解，則 ，
則方程的兩根為, ，
因為不等式恰有4個整數解，且 ，
所以，解得，故的取值范圍為 .
練習冊
1.［2024·福建廈門高一期中］不等式 的解集為
( )
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 解可得或 ，
所以不等式的解集為或 .故選C.
√
2.設集合，集合 ，則
( )
A. B.
C. D.
[解析] ， ，
，故選A.
√
3.若，則不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 不等式可化為 ，
因為，所以，
故的解集是 .
√
4.若不等式的解集為，則 等
于( )
A. B.8 C. D.1
[解析] 由題知，和是方程 的兩根.
.
√
5.下列不等式的解集為 的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 對于A，可化為 ,二次函數
的圖象開口向上，故A中不等式的解集不為 ；
對于B，二次函數 的圖象開口向上，
，故B中不等式的解集不為 ；
對于C，二次函數的圖象開口向上，
，故C中不等式的解集為；
對于D，不等式 可化為，
二次函數 的圖象開口向上,故D中不等式的解集不為 .
故選C.
6.［2025·江蘇揚州紅橋高級中學高一期中］已知二次函數
的零點為和1，則關于 的不等式
的解集為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因為二次函數的零點為和1，所以 和1
是方程 的實數根，
由根與系數的關系知解得
所以不等式 可化為,解得或 ，
所以所求不等式的解集為 .故選A.
7.不等式 的解集為_____________.
[解析] 由不等式，得 ，
解得，故所求解集為 .
8.［2025·陜西西安高一期中］當 時，不等式
的解集為_______________.
[解析] 函數 的圖象開口向下，
函數的兩個零點為和，
又 ，所以原不等式的解集為 .
9.（13分）［2025·江蘇淮安金湖中學高一期末］
（1）已知集合, ，請用列舉法表示集合
，并寫出集合 的所有真子集；
解：由,得，解得 ，
又，所以 ，則集合的真子集為 ,, .
9.（13分）［2025·江蘇淮安金湖中學高一期末］
（2）求關于的不等式組 的解集.
解：由,得 ，
則，解得或 .
由,得，解得 .
所以不等式組的解集為 .
10.（13分）［2025·江蘇鹽城景山中學高一月考］ 已知一元二次不
等式 .
（1）若該不等式的解集為 ，求不等式
的解集；
解：由題意得，2，3是方程的兩根，則
所以所以不等式可化為 ，
解得 ，所以不等式的解集為 .
10.（13分）［2025·江蘇鹽城景山中學高一月考］ 已知一元二次不
等式 .
（2）當時，求不等式 的解集.
解：當時，原不等式可化為 ，
即 .
當時,不等式的解集為 ；
當時,不等式 的解集為 ；
當時,不等式 的解集為 .
綜上，當時，原不等式的解集為 ；
當時，原不等式的解集為 ；
當時，原不等式的解集為 .
11.［2025·江西鷹潭一中高一期中］對于實數，規定 表示不大于
的最大整數，如， ，那么不等式
成立的一個充分且不必要條件是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，解得
，因此或或，
又因為 表示不大于的最大整數，所以 .
根據選項，只有是 的一個充分且不必要條件.故選B.
12.［2024·江蘇南京田家炳高級中學高一月考］若關于 的不等式
的解集中恰有2個整數，則實數 的取值范圍是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，可得.
若 ，則不等式為，解集為空集；
若 ，則不等式的解集為 ，此時要使不等式解集中
恰有2個整數，則；
若，則不等式的解集為 ，此時要使不等式解集中
恰有2個整數，則.
綜上， 的取值范圍是 .故選A.
13.（多選題）［2025·湖南長沙雅禮中學高一期中］ 已知二次函數
,,為常數,且 的部分圖象如圖所示,則
( )
A.
B.
C.
D.不等式 的解集為
√
√
√
[解析] 由題圖可知,該二次函數的圖象開口向上,故,該二次函數的圖象與軸的交點為, , 故,則, .
對于A， ,故A正確.
對于B， ,故B錯誤;
對于C， ,故C正確;
對于D，不等式可化為, 即
,即,其解集為 ,故D正確.
故選 .
14.［2025·江蘇鹽城高一期中］若“”是“ ”的充
分條件，則 的最小值為___.
2
[解析] 由，解得，
因為“ ”是“”的充分條件，
所以，所以，所以 的最小值為2.
15.［2025·江蘇泰州二中高一月考］已知關于 的不等式
，下列結論正確的是( )
A.當時，不等式的解集為
B.當時，不等式的解集為
的形式
C.當時，不等式的解集為
D.若不等式的解集為 ，那么
√
√
√
[解析] 由 ，得，當 時，
，從而不等式的解集為 ，
故A正確.
在同一平面直角坐標系中作出函數的
圖象及直線和 ，如圖所示，由圖可知，當時，
不等式 的 解集為
的形式，故B錯誤.
由圖可知，當 時，不等式
的解集為 ，C正確；
若不等式 的解集恰好為，
則，即 ，因此當，時函數值都是 ，當時
函數值是，得 ，解得或.
當 時，由，解得或 .
當時，不滿足，舍去；
當 時，滿足，所以 ，此時.
當 時，由，
解得或 ，不滿足，舍去,故D正確.
故選 .
16.（15分）［2025·湖南長沙師大附中高一期中］ 已知函數
, .
（1）求集合 ；
解：，由 ，得
.由,解得 或
. 當時，恒成立，故 ；
當時，，故或 ；
當時，，故或 .
綜上所述，當時，；當時， 或
；當時，或 .
16.（15分）［2025·湖南長沙師大附中高一期中］ 已知函數
, .
（2）設,，若中恰好有2個元素，求實數 的
取值范圍.
解：當時，，則 ，不符合要求；
當時，或，則 ,
，由中恰好有2個元素，得，則 ，解
得 .
當時，或，則 ,
，由中恰好有2個元素，得,，則 ，
解得 .
綜上所述，實數的取值范圍是或 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 一個 2 【診斷分析】(1)× （2）√ （3）√ （4）×
知識點二
【診斷分析】 （1）× （2）× （3）× （4）×
課中探究 例1 (1)（2） （3） （4）
變式 （1）A （2）或
例2 （1）當時，原不等式的解集是或；
當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是或.
（2）當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為 ；
當時，不等式的解集為.
變式 所以當時，原不等式的解集為或；當時，原不等
式的解集為或；當時，原不等式的解集為.
例3 變式 拓展 （1）（2）① ②
快速核答案（練習冊）
1.C 2.A 3.A 4.C 5.C 6.A 7. 8.
9.（1） ,,（2）
10.（1）（2）當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
11.B 12.A 13.ABD 14.2 15.ACD
16.（1）當時，；當時，或；當
時，或.
（2）或3.3.2　從函數觀點看一元二次不等式
第1課時　三個二次關系、一元二次不等式的解法
【課前預習】
知識點一
一個　2
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　[解析] (1)當a=0時,該不等式不是一元二次不等式.
(2)因為m2+1≠0,所以x的最高次數是2,所以(m2+1)x2-2x+1<0是關于x的一元二次不等式.
(3)因為x的最高次數是2,所以x2+5≤0是一元二次不等式.
(4)因為當m=0時,該不等式為2>0,所以m2x2-3mx+2>0不一定是一元二次不等式.
知識點二
(-∞,x1)∪(x2,+∞)　∪　R
(x1,x2)　 　
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)由(-2)2-4×1×2=-4<0,知方程x2-2x+2=0沒有實數根,即函數y=x2-2x+2的圖象與x軸沒有交點.
(2)由Δ=(-4)2-4×2×5=-24<0,知方程2x2-4x+5=0沒有實數根.
(3)當m=1時,方程x2-(m+1)x+m=0的兩根都是1.
(4)當a>0時,其解集為{x|x1x2}.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)因為Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有兩個不等實根x1=-3,x2=-.
又二次函數y=2x2+7x+3的圖象開口向上,
所以原不等式的解集為.
(2)原不等式可化為2x2-x-3≥0,因為Δ=(-1)2-4×2×(-3)=25>0,所以方程2x2-x-3=0有兩個不相等的實數根x1=-1,x2=,又二次函數y=2x2-x-3的圖象開口向上,所以原不等式的解集為(-∞,-1]∪.
(3)由Δ=(-3)2-4×4=-7<0,得方程x2-3x+4=0無實根,又函數y=x2-3x+4的圖象開口向上,所以原不等式的解集為(-∞,+∞).
(4)原不等式可化為x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程x2-6x+10=0無實根,又二次函數y=x2-6x+10的圖象開口向上,所以原不等式的解集為 .
變式　(1)A　[解析] 由-x2+6x+27>0,得x2-6x-27<0,易知方程x2-6x-27=0的兩根分別為-3,9,又二次函數y=x2-6x-27的圖象開口向上,所以不等式-x2+6x+27>0的解集為{x|-3(2)解:原不等式等價于不等式組不等式①可化為x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.
不等式②可化為x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集為{x|-2≤x<1或2探究點二
例2　解:(1)原不等式等價于(x-3a)(x+a)≥0,
方程(x-3a)(x+a)=0的兩根為x1=3a,x2=-a.
當a<0時,原不等式的解集是{x|x≤3a或x≥-a};
當a=0時,原不等式的解集是R;
當a>0時,原不等式的解集是{x|x≤-a或x≥3a}.
(2)①當a=0時,原不等式即為-x+1<0,解得x>1.
②當a<0時,原不等式化為(x-1)>0,解得x<或x>1.
③當a>0時,原不等式化為(x-1)<0(*).
若a=1,即=1,不等式(*)無解;若a>1,即<1,解不等式(*)得1,解不等式(*)得11};
當0當a=1時,不等式的解集為 ;
當a>1時,不等式的解集為.
變式　解:關于x的不等式x2+x-a(a-1)>0可化為(x+a)(x+1-a)>0,當-a>a-1,即a<時,x-a;當a-1>-a,即a>時,x<-a或x>a-1;
當a-1=-a,即a=時,x≠-.
所以當a<時,原不等式的解集為{x|x-a};當a>時,原不等式的解集為{x|x<-a或x>a-1};當a=時,原不等式的解集為.
探究點三
例3　解:因為不等式ax2-bx+c<0的解集為(-∞,-4)∪(-3,+∞),所以-3和-4是關于x的方程ax2-bx+c=0的兩根,且a<0,所以即
所以cx2+bx+a>0可化為12ax2-7ax+a>0,又a<0,
所以12x2-7x+1<0,解得變式　解:由ax2+bx+c≥0的解集是,知a<0,且2,-為方程ax2+bx+c=0的兩個根,所以2×=,2+=-,所以=-,=-.所以b=-a,c=-a,所以不等式cx2+bx+a<0可化為x2+x+a<0,即2ax2+5ax-3a>0.又因為a<0,所以不等式可化為2x2+5x-3<0,解得-3拓展　解:(1)因為關于x的不等式x2-2ax+b<0的解集為{x|-1所以解得所以a+b=-2=-.
(2)①若x1,x2均大于0,則滿足解得故a≥1,即a的取值范圍為[1,+∞).
②由①知因為+=6x1x2-3,所以(x1+x2)2-2x1x2=6x1x2-3,即(x1+x2)2-8x1x2+3=0,所以4a2-8a+3=0,即(2a-1)(2a-3)=0,解得a=或a=.由①知Δ≥0,即a≥1或a≤0,所以a=,即實數a的值是.3.3.2　從函數觀點看一元二次不等式
第1課時　三個二次關系、一元二次不等式的解法
1.C　[解析] 解(x-1)(x+3)=0可得x=-3或x=1,所以不等式(x-1)(x+3)>0的解集為{x|x>1或x<-3}.故選C.
2.A　[解析] ∵A={x|-13.A　[解析] 不等式(a-x)>0可化為(x-a)<0,因為00的解集是.
4.C　[解析] 由題知a<0,-2和-是方程ax2+bx-2=0的兩根.∴∴∴a+b=-13.
5.C　[解析] 對于A,-x2+x+1≥0可化為x2-x-1≤0,二次函數y=x2-x-1的圖象開口向上,故A中不等式的解集不為R;對于B,二次函數y=x2-2x+的圖象開口向上,Δ1=(-2)2-4×>0,故B中不等式的解集不為R;對于C,二次函數y=x2+6x+10的圖象開口向上,Δ2=62-4×10<0,故C中不等式的解集為R;對于D,不等式2x2-3x+4<1可化為2x2-3x+3<0,二次函數y=2x2-3x+3的圖象開口向上,故D中不等式的解集不為R.故選C.
6.A　[解析] 因為二次函數y=-x2+bx+c的零點為-2和1,所以-2和1是方程-x2+bx+c=0的實數根,由根與系數的關系知解得所以不等式x2+bx-c>0可化為x2-x-2>0,解得x<-1或x>2,所以所求不等式的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞).故選A.
7.　[解析] 由不等式-3x2+5x-2>0,得(3x-2)(x-1)<0,解得8.{x|a9.解:(1)由x2-5x+4<0,得(x-1)(x-4)<0,解得1則集合A的真子集為 ,{2},{3}.
(2)由9x-9-2x2≤0,得2x2-9x+9≥0,則(x-3)(2x-3)≥0,解得x≤或x≥3.
由x2-5x+4<0,得(x-1)(x-4)<0,解得1所以不等式組的解集為∪[3,4).
10.解:(1)由題意得,2,3是方程x2-ax+b=0的兩根,則所以所以不等式ax2-bx+1<0可化為5x2-6x+1<0,解得所以不等式ax2-bx+1<0的解集為.
(2)當b=a-1時,原不等式可化為x2-ax+a-1>0,即(x-1)[x-(a-1)]>0.
當a=2時,不等式x2-ax+a-1>0的解集為(-∞,1)∪(1,+∞);當a>2時,不等式x2-ax+a-1>0的解集為(-∞,1)∪(a-1,+∞);
當a<2時,不等式x2-ax+a-1>0的解集為(-∞,a-1)∪(1,+∞).
綜上,當a=2時,原不等式的解集為(-∞,1)∪(1,+∞);
當a>2時,原不等式的解集為(-∞,1)∪(a-1,+∞);
當a<2時,原不等式的解集為(-∞,a-1)∪(1,+∞).
11.B　[解析] 由4[x]2-16[x]+7<0,得(2[x]-1)(2[x]-7)<0,解得<[x]<,因此[x]=1或[x]=2或[x]=3,又因為[x]表示不大于x的最大整數,所以1≤x<4.根
據選項,只有x∈[2,3]是x∈[1,4)的一個充分且不必要條件.故選B.
12.A　[解析] 由x2-(a+1)x+a<0,可得(x-1)(x-a)<0.若a=1,則不等式為(x-1)2<0,解集為空集;若a>1,則不等式的解集為{x|113.ABD　[解析] 由題圖可知,該二次函數的圖象開口向上,故a>0,該二次函數的圖象與x軸的交點為(-1,0),(2,0),故y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=ax2-ax-2a,則b=-a,c=-2a.對于A,abc=a·(-a)·(-2a)=2a3>0,故A正確.對于B,a+b=a-a=0,故B錯誤;對于C,a+b+c=a-a-2a=-2a<0,故C正確;對于D,不等式cx2-bx+a>0可化為-2ax2+ax+a>0,即2x2-x-1<0,即(2x+1)(x-1)<0,其解集為,故D正確.故選ABD.
14.2　[解析] 由x2-3x+2<0,解得115.ACD　[解析] 由x2-3x+4≤b,得3x2-12x+16-4b≤0,當b<1時,Δ=48(b-1)<0,從而不等式a≤x2-3x+4≤b的解集為 ,故A正確.在同一平面直角坐標系中作出函數y=x2-3x+4=(x-2)2+1的圖象及直線y=a和y=b,如圖所示,由圖可知,當116.解:(1)y=x2-bx+b-1=(x-1)[x-(b-1)],由y≥0,得(x-1)[x-(b-1)]≥0.由(x-1)[x-(b-1)]=0,解得x1=1或x2=b-1.
當b=2時,(x-1)2≥0恒成立,故M=R;
當b>2時,1當b<2時,b-1<1,故M={x|x≤b-1或x≥1}.
綜上所述,當b=2時,M=R;當b>2時,M={x|x≤1或x≥b-1};當b<2時,M={x|x≤b-1或x≥1}.
(2)當b=2時,M=R,則N= ,不符合要求;
當b>2時,M={x|x≤1或x≥b-1},則N={x|1當b<2時,M={x|x≤b-1或x≥1},則N={x|b-1綜上所述,實數b的取值范圍是-1≤b<0或4第1課時　三個二次關系、一元二次不等式的解法
【學習目標】
　　1.結合具體實例,能夠借助二次函數的圖象求解一元二次不等式,并能用集合表示解集,能夠從函數觀點認識不等式.
　　2.能夠借助二次函數的圖象解釋二次函數與相應方程、不等式之間的關系,感悟函數的重要性及數學知識之間的關聯性.
◆ 知識點一　一元二次不等式的定義
只含有　　　　未知數,并且未知數最高次數是　　　　的整式不等式叫作一元二次不等式.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)ax2+bx+c>0是關于x的一元二次不等式. (　 )
(2)不等式(m2+1)x2-2x+1<0是關于x的一元二次不等式. (　 )
(3)不等式x2+5≤0是一元二次不等式. (　 )
(4)不等式m2x2-3mx+2>0是關于x的一元二次不等式. (　 )
◆ 知識點二　二次函數、一元二次方程和一元二次不等式的關系
判別式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有兩個相異的實數根x1,x2 (x1二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象
(續表)
判別式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=x2-2x+2的圖象與x軸有交點. (　 )
(2)方程2x2-4x+5=0有兩個不相等的實根. (　 )
(3)方程x2-(m+1)x+m=0恒有兩個不相等的實數根. (　 )
(4)若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2(x1◆ 探究點一　解一元二次不等式
例1 解下列不等式:　　　　　 　　　　　 　　　　　
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-2x2+x≤-3;
(3)x2-3x+4>0;
(4)-x2+3x-5>0.
變式 (1)[2025·江蘇蘇州中學高一期中] 不等式-x2+6x+27>0的解集為 (　 )
A.{x|-3B.{x|-9C.{x|x<-3或x>9}
D.{x|x<-9或x>3}
(2)解不等式:-2[素養小結]
解一元二次不等式的方法
(1)若不等式對應的一元二次方程能夠因式分解,即能夠轉化為幾個代數式的乘積形式,則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集.
(2)若不等式對應的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值,完全平方式始終大于或等于零,則不等式的解集易得.
(3)若上述兩種方法均不能解決,則應采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法.
◆ 探究點二　解含參數的一元二次不等式
例2 (1)解關于x的不等式x2-2ax-3a2≥0;
(2)解關于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
變式 解關于x的不等式x2+x-a(a-1)>0(a∈R).
[素養小結]
含參一元二次不等式的解法:
◆ 探究點三　三個“二次”的關系
例3 [2025·上海師大附中高一期中] 已知關于x的不等式ax2-bx+c<0的解集為(-∞,-4)∪(-3,+∞),求關于x的不等式cx2+bx+a>0的解集.
變式 若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
[素養小結]
三個“二次”之間的關系
(1)三個“二次”中,二次函數是主體,討論二次函數主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究.
(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數相聯系,通過二次函數的圖象及性質來解決問題.
拓展 [2025·浙江金華一中高一月考] (1)若關于x的不等式x2-2ax+b<0的解集為{x|-1(2)設關于x的方程x2-2ax+a=0有兩個實數根x1,x2.
①若x1,x2均大于0,試求a的取值范圍;
②若+=6x1x2-3,求實數a的值.3.3.2　從函數觀點看一元二次不等式
第1課時　三個二次關系、一元二次不等式的解法
1.[2024·福建廈門高一期中] 不等式(x-1)(x+3)>0的解集為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.{x|x>6或x<-3}
B.{x|-3C.{x|x>1或x<-3}
D.{x|-62.設集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1A.{x|-1B.{x|-1C.{x|1D.{x|23.若00的解集是 (　 )
A.
B.
C.
D.
4.若不等式ax2+bx-2>0的解集為,則a+b等于 (　 )
A.-18 B.8
C.-13 D.1
5.下列不等式的解集為R的是 (　 )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+>0
C.x2+6x+10>0
D.2x2-3x+4<1
6.[2025·江蘇揚州紅橋高級中學高一期中] 已知二次函數y=-x2+bx+c的零點為-2和1,則關于x的不等式x2+bx-c>0的解集為 (　 )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
7.不等式-3x2+5x-2>0的解集為　　　　　　.
8.[2025·陜西西安高一期中] 當a<-1時,不等式(a-x)(x+1)>0的解集為　　　　.
9.(13分)[2025·江蘇淮安金湖中學高一期末] (1)已知集合A={x|x2-5x+4<0,x∈N},請用列舉法表示集合A,并寫出集合A的所有真子集;
(2)求關于x的不等式組的解集.
10.(13分)[2025·江蘇鹽城景山中學高一月考] 已知一元二次不等式x2-ax+b>0.
(1)若該不等式的解集為(-∞,2)∪(3,+∞),求不等式ax2-bx+1<0的解集;
(2)當b=a-1時,求不等式x2-ax+b>0的解集.
11.[2025·江西鷹潭一中高一期中] 對于實數x,規定[x]表示不大于x的最大整數,如[π]=3,[-2.1]=-3,那么不等式4[x]2-16[x]+7<0成立的一個充分且不必要條件是 (　 )
A.x∈ B.x∈[2,3]
C.x∈[1,4) D.x∈[0,4]
12.[2024·江蘇南京田家炳高級中學高一月考] 若關于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2個整數,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.[-2,-1)∪(3,4]
B.[-2,-1]∪[3,4]
C.(-1,0)∪(2,3)
D.[-1,0]∪[2,3]
13.(多選題)[2025·湖南長沙雅禮中學高一期中] 已知二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0)的部分圖象如圖所示,則 (　 )
A.abc>0
B.a+b>0
C.a+b+c<0
D.不等式cx2-bx+a>0的解集為
14.[2025·江蘇鹽城高一期中] 若“x2-3x+2<0”是“x15.[2025·江蘇泰州二中高一月考] 已知關于x的不等式a≤x2-3x+4≤b,下列結論正確的是 (　 )
A.當aB.當1C.當aD.若不等式a≤x2-3x+4≤b的解集為{x|a≤x≤b},那么b-a=4
16.(15分)[2025·湖南長沙師大附中高一期中] 已知函數y=x2-bx+b-1,b∈R.
(1)求集合M={x|y≥0};
(2)設N={x|x∈ RM,x∈Z},若N中恰好有2個元素,求實數b的取值范圍.

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