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(共72張PPT)
3.3 從函數(shù)觀點看一元二次方程和
一元二次不等式
3.3.2 從函數(shù)觀點看一元二次不等式
第2課時 一元二次不等式的簡單應(yīng)用
探究點一 分式不等式的解法
探究點二 不等式恒成立問題
探究點三 一元二次不等式的應(yīng)用
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
備課素材
練習(xí)冊
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標】
結(jié)合具體實例，能從熟悉的現(xiàn)實情境中抽象出一元二次不等式
模型，初步體會一元二次不等式的現(xiàn)實意義.
知識點一 可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的簡單分式不等式
簡單分式不等式可轉(zhuǎn)化為同解的一元二次不等式（組），或者變形
轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組．
____________________；
____________________；
_ ____________________；
_ _____________________.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若，則有且 .( )
×
（2）若，則 .( )
√
（3）若，則 .( )
×
（4）若，則 .( )
×
知識點二 不等式恒成立問題
一元二次不等式恒成立的情況：
恒成立 _ _______；
恒成立 _ _______.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）“一元二次不等式的解集為 ”的充要條件是
“一元二次方程的 ”.( )
×
[解析] 若一元二次不等式的解集為,則 所以
“一元二次不等式的解集為”的充要條件是“ ,
一元二次方程的 ”.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，則 的取值范圍
為 .( )
×
[解析] 由題意得 ，
解得，所以實數(shù)的取值范圍是 .
知識點三 用一元二次不等式解決實際問題的步驟
1.審題：理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；
2.建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，
把實際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；
3.求模：解這個一元二次不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
4.還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的解.
探究點一 分式不等式的解法
例1（1）不等式 的解集是_______________.
[解析] 由得，等價于 ，
解得，所以不等式的解集是 .
（2）不等式 的解集是________________.
[解析] 由得，即，即 ，
等價于且，解得或 .
所以不等式的解集是 .
變式（1） 的解集是__________________.
或
[解析] 不等式可化為，即 ，
則原不等式等價于且，
解得或 .
故的解集是或 .
（2）若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于 的不
等式 的解集為__________________.
或
[解析] 由題意得為方程的根，
，即
的解集為， ，
等價于，解得 或，
不等式的解集為或 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）對于比較簡單的分式不等式,可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一
元一次不等式組求解,但要注意分母不為零.
（2）對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式,先移項再通分
（不要去分母）,使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零,然后再用上述方法求解.
探究點二 不等式恒成立問題
例2（1）若關(guān)于的不等式 的解集不為
空集,則實數(shù) 的取值范圍為( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] ①當,即時,若 ,則原不等式為
,解得,則不等式的解集為 ,不是空集;
若,則原不等式為 ,無解,不符合題意.
√
②當,即時,若 的解集
是空集,則有
解得,則當不等式 的解集不
為空集時,有或且.
綜上,實數(shù)的取值范圍為 或 .故選C.
（2）若對于，不等式恒成立，求實數(shù) 的
取值范圍.
解：當時，不等式為 ，恒成立.
當時，則即 .
綜上，，故的取值范圍是 .
變式（1）［2025·江蘇南通海門中學(xué)高一期中］已知對任意的
，恒成立，則實數(shù) 的取值
范圍為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由可知，由對任意的 ，
恒成立，可得對任意的 ，
恒成立，
又 ， 當且僅當，即時等號成立，
所以，即實數(shù) 的取值范圍為 .故選D.
（2）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則 的取值
范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 關(guān)于的不等式即為 ,由
，得，
因為不等式 在內(nèi)有解，所以必有，
即 ，解得，
則的取值范圍為 .故選C.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰
的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
探究點三 一元二次不等式的應(yīng)用
例3 ［2025·江蘇南京六合高級中學(xué)高一月考］某工廠生產(chǎn)商品 ，
每件售價80元，每年產(chǎn)銷80萬件.工廠為了研發(fā)新產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)
查，決定將商品的年產(chǎn)銷量減少萬件，同時將商品 的銷售金
額的作為新產(chǎn)品的研發(fā)費（即每銷售100元提出 元）.若新產(chǎn)品
的研發(fā)費不少于96萬元，求實數(shù) 的取值范圍.（假設(shè)：工廠永不停
產(chǎn)，新產(chǎn)品永在研發(fā)）
解：由題意得，改變后商品的年產(chǎn)銷量為 件，
又商品 每件售價80元，
所以需滿足，
即 ，所以，所以，
解得 ，則實數(shù)的取值范圍為 .
變式 某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，
可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增
加1輛，租出的車每輛每月需要維護費300元，未租出的車每輛每月
需要維護費100元，又該租賃公司每個月的固定管理費為14 200元.
（1）當每輛車的月租金為3600元時，能租出多少輛？
解：當每輛車的月租金為3600元時，未租出的車輛數(shù)為
,所以此時租出了 （輛）.
變式 某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，
可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增
加1輛，租出的車每輛每月需要維護費300元，未租出的車每輛每月
需要維護費100元，又該租賃公司每個月的固定管理費為14 200元.
（2）當每輛車的月租金為多少元時，該租賃公司的月收益最大？最
大月收益是多少？（注：公司每月收益 汽車每月租金-車輛月維護
費-公司每月固定管理費）
解：設(shè)每輛車的月租金為元，則租賃公司的月收益為
元，則 ，
，當且僅當時，最大， ,
故當每輛車的月租金為4100元時，該租賃公司的月收益最大，最大
月收益是28萬元.
［素養(yǎng)小結(jié)］
解不等式應(yīng)用題,一般可按四步進行:①審題,找出關(guān)鍵量和不等關(guān)系;
②引進數(shù)學(xué)符號,用不等式表示不等關(guān)系（或表示成函數(shù)關(guān)系）;③解
不等式（或求函數(shù)最值）;④回到實際問題.
1.解不等式的過程實際上就是不斷轉(zhuǎn)化的過程,是同解不等式的逐步
代換,最后轉(zhuǎn)化到可解的常見不等式上來.
2.解決不等式恒成立問題實際是等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,同時要結(jié)合二
次函數(shù)的圖象求解.
（1）三個“二次”之間的關(guān)系不但是解一元二次不等式的理論依據(jù),還
可以確定參數(shù)的值或范圍.
（2）與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題,要注意數(shù)形結(jié)合、三個
“二次”的關(guān)系,特別是二次函數(shù)的六個基本圖象的運用.
3.解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇
其中起關(guān)鍵作用的未知量為，用 來表示其他未知量，根據(jù)題意，
列出不等關(guān)系再求解.
1.分式不等式的解法
（1）分式不等式或 的求解可應(yīng)用同解原理,轉(zhuǎn)化為
整式不等式求解.
（2）簡單的分式不等式在求解時多化為或 的形式,
在變形的過程中,要注意等價性,如 或
但不等價于 ,要注意這一點.
例1 ［2025·福建三明永安九中高一期中］不等式 的解集是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由得解得
所以原不等式的解集為 .故選B.
√
2.不等式恒成立與能成立問題
含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立,常有兩種處理方法:一是
利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理;二是分離出參數(shù)再去求函數(shù)的
最值.
含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間上能成立，常用的處理方法有：
若在給定區(qū)間上存在實數(shù)，使 成立，則只需在給定區(qū)間上
；
若在給定區(qū)間上存在實數(shù)，使 成立，則只需在給定區(qū)間上
.
例2（1）［2025·重慶一中高一月考］若正實數(shù),滿足 ，
且不等式恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是
( )
A. B.或
C. D.或
√
[解析] 因為 ，所以
，
當且僅當，即,時取等號，故 的最小值為6.
因為不等式恒成立，所以 ，即
，解得 .故選C.
（2）［2025·河北保定高一期中］已知， ，
，則實數(shù) 的取值范圍是___________
____.
或
[解析] 因為，， ，
所以只需 ,其中,，
當 時，，關(guān)于 的函數(shù)
，當且僅當
時，等號成立，所以，解得或 ，所
以實數(shù)的取值范圍是或 .
例3 ［2025·江蘇南通高一期中］如圖，某小區(qū)有
一個直角梯形形狀的休閑廣場 ，其中
， ，百米，
百米.規(guī)劃修建兩條直道， 將廣場分割為3個
（1）試確定道路修建方案，使得 ;
區(qū)域：Ⅰ，Ⅱ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），面積分別記為， ；
Ⅲ為休閑區(qū)域，面積記為.其中，區(qū)域Ⅲ是以 為底的梯形，點
，分別在， 上.（道路寬度忽略不計）
3.一元二次不等式的應(yīng)用題
解：如圖，延長，，使之交于點 ，
因為，所以 ，又
， ，
所以，則為 的中點，所以
.
由區(qū)域Ⅲ是以為底的梯形，可得 ，
于是，則 .
設(shè)，，所以 ，故
，
由圖可知，所以 ，
所以 ，
.
因為，所以 ，即
，又，所以 ，
所以當?shù)缆访讜r， .
例3 ［2025·江蘇南通高一期中］如圖，某小區(qū)有
一個直角梯形形狀的休閑廣場 ，其中
， ，百米，
百米.規(guī)劃修建兩條直道， 將廣場分割為3個
（2）記休閑區(qū)域面積與綠化區(qū)域面積的比值為“效能比”，求此規(guī)劃
下該廣場“效能比”的最大值.
區(qū)域：Ⅰ，Ⅱ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），面積分別記為， ；
Ⅲ為休閑區(qū)域，面積記為.其中，區(qū)域Ⅲ是以 為底的梯形，點
，分別在， 上.（道路寬度忽略不計）
設(shè) ，則二次函數(shù)
的圖象開口向上，
當時，函數(shù)取得最小值，即 ，
所以 ，
所以此規(guī)劃下該廣場“效能比”的最大值為3.
解：因為 ，
所以該廣場“效能比”為
.
練習(xí)冊
1.不等式 的解集是( )
A.或 B.或
C. D.
[解析] 不等式等價于解得 ，
所以不等式的解集是 .故選C.
√
2.已知集合,集合 ,則
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為集合 ,
集合或,
所以 , 故選A.
√
3.［2024·山東泰安一中高一期中］關(guān)于的不等式 的解集為
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由,得,即 ,
解得,所以不等式的解集為 .故選D.
√
4.若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù) 的取值
范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為關(guān)于的不等式的解集為 ，
所以，解得 .故選A.
√
5.若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù) 的取值范圍是
( )
A. B. C. D.
[解析] 若關(guān)于的不等式 有解，
則，解得 .故選C.
√
6.［2025·廣東肇慶廣信中學(xué)高一月考］某網(wǎng)店銷售一批新款削筆器，
每個削筆器的最低售價為15元.若按最低售價銷售，每天能賣出30個，
一個削筆器的售價每提高1元，日銷售量將減少2個.為了使這批削筆
器每天獲得400元以上的銷售收入，則每個削筆器的售價
（單位：元）的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設(shè)每個削筆器的售價為 元，
由題意得，即
方程的兩個實數(shù)根為,，
不等式的解集為，
又 ， .故選B.
7.已知關(guān)于的不等式，若此不等式的解集為 ，
則實數(shù) 的取值范圍是______.
[解析] 當時，不等式可化為，解集為 ，符合題意；
當時，需滿足解得 .
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是 .
8.限速 的盤山公路上兩車相撞.經(jīng)測量，甲車的剎車距離略大
于，乙車的剎車距離略小于 .經(jīng)查詢，甲、乙車的剎車距離
，單位：與行駛速度，單位： 分別滿足
和 ，則____車應(yīng)負主要
責(zé)任.（填“甲”或“乙”）
甲
[解析] 由題意得，可得
所以.
由題意得， 即所以.
因為行駛路段限速 ，所以甲車超速了，所以甲車應(yīng)負主要責(zé)任.
9.（13分）解下列不等式:
（1） ;
解：因為,所以 ,
所以,即 ,
該不等式等價于且,解得或 ,
所以原不等式的解集為 .
9.（13分）解下列不等式:
（2） .
解：不等式可化為 ，
即，于是或解得 或
，
所以原不等式的解集為 .
10.（13分）[ 河南南陽高一期中］ 有一家企業(yè)生產(chǎn)制造智能
機器人，每月的成本 （單位：萬元）由兩部分構(gòu)成：①固定成本為
1000萬元；②材料成本為萬元， 為每月生產(chǎn)機器人的個數(shù).
（1）該企業(yè)每月的產(chǎn)量為多少時，平均每個機器人的成本最低，最
低為多少萬元？
解：設(shè)平均每個機器人的成本為 萬元，根據(jù)題意得
，當且僅當
，即 時取等號.
所以該企業(yè)每月的產(chǎn)量為100個時，平均每個機器人的成本最低，最
低為30萬元.
10.（13分）[ 河南南陽高一期中］ 有一家企業(yè)生產(chǎn)制造智能
機器人，每月的成本 （單位：萬元）由兩部分構(gòu)成：①固定成本為
1000萬元；②材料成本為萬元， 為每月生產(chǎn)機器人的個數(shù).
（2）若每個機器人的售價為 萬元，假設(shè)生產(chǎn)出來的機器人
都能夠售出，則該企業(yè)應(yīng)如何制訂生產(chǎn)計劃，才能確保每月的利潤
不低于400萬元？附：利潤 售價×銷量-成本.
解：設(shè)每月的利潤為 萬元，則
，由題知
，整理得 ，可得
.
所以該企業(yè)應(yīng)每月生產(chǎn)不小于70個機器人，才能確保每月的利潤不
低于400萬元.
11.已知命題“,”是假命題,則實數(shù) 的取
值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為“， ”是假命題,
所以“, ”是真命題,
所以,解得 .故選D.
√
12.［2025·江蘇蘇州實驗中學(xué)高一月考］已知, ，且
，若恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為，，且 ，所以
，當且僅當
，即時，等號成立.
又 恒成立，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是 . 故選C.
13.（多選題）［2025·江蘇蘇州木瀆高級中學(xué)高一月考］ 已知不等
式 ，則下列說法正確的是( )
A.若，則不等式的解集為
B.若不等式對任意的恒成立，則整數(shù)的取值集合為 ，
，
C.若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
D.若恰有一個整數(shù)使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是
√
√
√
[解析] 對于A，當時， 可化為
，解得 ，故A錯誤.
對于B,不等式對任意的恒成立,則當時,不等式為 ，
顯然恒成立，符合題意；
當時,需滿足, ,解得.
綜上可得.
又,所以 的取值集合為，，，故B正確.
對于C， 可轉(zhuǎn)化為，因為不等式對
恒成立，所以，，
可得 ，故C正確.
對于D，令，因為當時， ，
所以符合題意，又恰有一個整數(shù)使得不等式成立，所以 ，
且解得，故D正確.
故選 .
14.若關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù) 的取
值范圍是________.
[解析] 由不等式以及，可得 ，依
題意可知，.
令， ，則，
令，由 ，可得，
令， ，
則函數(shù)的圖象開口向下，且圖象所在拋物線的對稱軸為直線 ，
又，所以當時，取得最大值1，可得,即實數(shù)
的取值范圍是 .
15.［2025·江蘇泰州高一期末］若關(guān)于 的不等式
的解集為，且，則 的取值范
圍為_________， 的最小值是___.
[解析] 令，則函數(shù) 的圖象開口向上.由關(guān)于
的不等式的解集為，且 ，可
得 解得,故的取值范圍為.
由題意知, 是方程的兩根,則，
.
因為是方程 的根,所以，可得，因為 ，所以
，即，即，即 ，
，且，所以，且.則 ，
令，則 ，
，利用基本不等式，可得
，當且僅當，即 時等號成立，所
以，即的最小值是 .
16.（15分）［2025·河南實驗中學(xué)高一月考］ 已知二次函數(shù)
的圖象經(jīng)過點，，是否存在常數(shù) ，
，，使得不等式對一切實數(shù) 都成立？若存在，
求出實數(shù)，， 的值；若不存在，請說明理由.
解： 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點， ，
解得 則 .
假設(shè)存在常數(shù),,,使得不等式對一切實數(shù) 都成立,
則對一切實數(shù) 都成立，
化簡得 恒成立，則
解得，可得. 存在常數(shù)，，，
使得不等式對一切實數(shù) 都成立.
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識點一

【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
知識點二 【診斷分析】 （1）× （2）×
課中探究 例1 （1） （2）
變式 （1）或 （2）或
例2 （1）C （2） 變式 （1）D （2）C 例3
變式 （1）最大月收益是28萬元.
快速核答案（練習(xí)冊）
1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7. 8.甲
9.（1）（2）
10.(1)該企業(yè)每月的產(chǎn)量為100個時，平均每個機器人的成本最低,最低為30萬元.
(2)該企業(yè)應(yīng)每月生產(chǎn)不小于70個機器人,才能確保每月的利潤不低于400萬元.
11.D 12.C 13.BCD 14.
15. 16. ，，第2課時　一元二次不等式的簡單應(yīng)用
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
(ax+b)(cx+d)>0　(ax+b)(cx+d)<0
　
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
知識點二
　　
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R,則所以“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R”的充要條件是“a>0,一元二次方程ax2+bx+c=0的Δ<0”.
(2)由題意得Δ=a2-4××(-7)≤0,解得-≤a≤,所以實數(shù)a的取值范圍是[-,].
【課中探究】
探究點一
例1　(1)　(2)
[解析] (1)由>0得<0,等價于(x-3)(2x+5)<0,解得-0的解集是.
(2)由≤3得-3≤0,即≤0,即≥0,等價于(x-2)(2x-7)≥0且x-2≠0,解得x<2或x≥.所以不等式≤3的解集是.
變式　(1){x|x<5或x≥11}　(2){x|x<-1或x>2}
[解析] (1)不等式≥-2可化為+2≥0,即≥0,則原不等式等價于(x-11)(x-5)≥0且x-5≠0,解得x<5或x≥11.故≥-2的解集是{x|x<5或x≥11}.
(2)由題意得x=1為方程ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b.∵ax-b>0的解集為{x|x>1},∴a>0,∴=>0等價于(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1,∴不等式的解集為{x|x<-1或x>2}.
探究點二
例2　(1)C　[解析] ①當a2-4=0,即a=±2時,若a=2,則原不等式為4x-1≥0,解得x≥,則不等式的解集為,不是空集;若a=-2,則原不等式為-1≥0,無解,不符合題意.②當a2-4≠0,即a≠±2時,若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,則有
解得-2(2)解:當m=0時,不等式為-1<0,恒成立.
當m≠0時,則即-4綜上,-4變式　(1)D　(2)C　[解析] (1)由x>-1可知x+1>0,由對任意的x∈(-1,+∞),x2+(1-k)x+1-k≥0恒成立,可得對任意的x∈(-1,+∞),k≤恒成立,又==x+1+-1≥2-1=1(x>-1),當且僅當x+1=,即x=0時等號成立,所以k≤1,即實數(shù)k的取值范圍為(-∞,1].故選D.
(2)關(guān)于x的不等式x2-4x+4a≥a2即為x2-4x≥a2-4a,由x∈[1,6],得(x2-4x)max=12,因為不等式x2-4x+4a≥a2在[1,6]內(nèi)有解,所以必有a2-4a≤12,即a2-4a-12≤0,解得-2≤a≤6,則a的取值范圍為-2≤a≤6.故選C.
探究點三
例3　解:由題意得,改變后商品A的年產(chǎn)銷量為(800 000-100 000p)件,又商品A每件售價80元,所以需滿足(800 000-100 000p)·80·p%≥960 000,即≥96,
所以(8-p)8p≥96,所以p2-8p+12≤0,解得2≤p≤6,則實數(shù)p的取值范圍為[2,6].
變式　解:(1)當每輛車的月租金為3600元時,未租出的車輛數(shù)為=12,所以此時租出了100-12=88(輛).
(2)設(shè)每輛車的月租金為x(x≥3000)元,則租賃公司的月收益為y元,則y=(x-300)-×100-14 200=-x2+164x-56 200=-(x-4100)2+28×104,3000≤x≤8000,當且僅當x=4100時,y最大,ymax=28×104,故當每輛車的月租金為4100元時,該租賃公司的月收益最大,最大月收益是28萬元.第2課時　一元二次不等式的簡單應(yīng)用
1.C　[解析] 不等式≤0等價于解得1≤x<3,所以不等式的解集是{x|1≤x<3}.故選C.
2.A　[解析] 因為集合A={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-21},所以A∩B={x|-23.D　[解析] 由<2,得-2=<0,即(x-1)(x-2)<0,解得14.A　[解析] 因為關(guān)于x的不等式x2-4x-a-1≥0的解集為R,所以Δ=(-4)2-4(-a-1)≤0,解得a≤-5.故選A.
5.C　[解析] 若關(guān)于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解,則Δ=16+4(2+a)≥0,解得a≥-6.故選C.
6.B　[解析] 設(shè)每個削筆器的售價為x(x≥15)元,由題意得[30-(x-15)×2]·x>400,即x2-30x+200<0.∵方程x2-30x+200=0的兩個實數(shù)根為x1=10,x2=20,∴不等式x2-30x+200<0的解集為{x|107.[0,4)　[解析] 當m=0時,不等式可化為1≤0,解集為 ,符合題意;當m≠0時,需滿足解得08.甲　[解析] 由題意得,可得所以v1>45.由題意得,
即所以09.解:(1)因為≤1,所以-1≤0,
所以≤0,即≥0,
該不等式等價于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,
所以原不等式的解集為.
(2)不等式≤x-2可化為-(x-2)≤0,
即≤0,于是或解得0≤x<2或x≥4,
所以原不等式的解集為[0,2)∪[4,+∞).
10.解:(1)設(shè)平均每個機器人的成本為y萬元,根據(jù)題意得y==++10≥2+10=30,當且僅當=,即x=100時取等號.
所以該企業(yè)每月的產(chǎn)量為100個時,平均每個機器人的成本最低,最低為30萬元.
(2)設(shè)每月的利潤為W萬元,則W=x-1000-10x-=+13x-1000,由題知+13x-1000≥400,整理得x2+130x-14000≥0,可得x≥70.
所以該企業(yè)應(yīng)每月生產(chǎn)不小于70個機器人,才能確保每月的利潤不低于400萬元.
11.D　[解析] 因為“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,所以“ x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命題,所以Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得012.C　[解析] 因為x>0,y>0,且+=1,所以x+y=(x+y)=2++≥2+2=4,當且僅當=,即x=y=2時,等號成立.又x+y>m2+3m恒成立,所以m2+3m<4,解得-413.BCD　[解析] 對于A,當k=1時,2kx2+kx-<0可化為2x2+x-<0,解得-0,且解得k≥,故D正確.故選BCD.
14.(-∞,1]　[解析] 由不等式ax2-2x+1≤0以及x∈(0,2],可得a≤,依題意可知a≤,x∈(0,2].令y=,x∈(0,2],則y==-+1,令t=,由x∈(0,2],可得t=∈,令g=-(t-1)2+1,t∈,則函數(shù)g的圖象開口向下,且圖象所在拋物線的對稱軸為直線t=1,又t∈,所以當t=1時,g取得最大值1,可得a≤1,即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].
15.(2,+∞)　　[解析] 令y=x2-2mx+3m-2,則函數(shù)y的圖象開口向上.由關(guān)于x的不等式x2-2mx+3m-2<0的解集為(x1,x2),且x1>1,可得
解得m>2,故m的取值范圍為(2,+∞).由題意知x1,x2是方程x2-2mx+3m-2=0的兩根,則x1+x2=2m,x1x2=3m-2.因為x1是方程x2-2mx+3m-2=0的根,所以-2mx1+3m-2=0,可得m=,因為m>2,所以>2,即-2>0,即>0,即>0,因為(x1-2)2≥0,且x1>1,所以x1>,且x1≠2.則4x1+x2=4x1+=4x1+=4x1+=4x1+,令t=2x1-3(t>0,t≠1),則x1=,4x1+x2=4×+=2(t+3)+=2t+6+=2t+++6=2t++,利用基本不等式,可得2t+≥2=2,當且僅當2t=,即t=時等號成立,所以4x1+x2=2t++≥2+=,即4x1+x2的最小值是.
16.解:∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(1,1),∴解得
則y=ax2+bx+c=ax2+x+-a.
假設(shè)存在常數(shù)a,b,c,使得不等式x≤y≤(x2+1)對一切實數(shù)x都成立,則x≤ax2+x+-a≤(x2+1)對一切實數(shù)x都成立,化簡得恒成立,
則解得a=,可得c=-=.∴存在常數(shù)a=,b=,c=,使得不等式x≤y≤(x2+1)對一切實數(shù)x都成立.第2課時　一元二次不等式的簡單應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標】
　　結(jié)合具體實例,能從熟悉的現(xiàn)實情境中抽象出一元二次不等式模型,初步體會一元二次不等式的現(xiàn)實意義.
◆ 知識點一　可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的簡單分式不等式
簡單分式不等式可轉(zhuǎn)化為同解的一元二次不等式(組),或者變形轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組.
>0 　　　　　　;
<0 　　　　　　;
≥0 　　　　　　;
≤0 　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若>0,則有x>0且x-1>0. (　 )
(2)若<0,則(x-1)(2x+3)<0. (　 )
(3)若>1,則2x+1>1-x. (　 )
(4)若≤1,則x≥1. (　 )
◆ 知識點二　不等式恒成立問題
一元二次不等式恒成立的情況:
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 　　　　　　;
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立 　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R”的充要條件是“一元二次方程ax2+bx+c=0的Δ<0”. (　 )
(2)若關(guān)于x的不等式-x2+ax-7≤0恒成立,則a的取值范圍為(-∞,-]∪[,+∞). (　 )
◆ 知識點三　用一元二次不等式解決實際問題的步驟
1.審題:理解題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系;
2.建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,把實際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題;
3.求模:解這個一元二次不等式,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;
4.還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的解.
◆ 探究點一　分式不等式的解法
例1 (1)不等式>0的解集是　　　　　　.
(2)不等式≤3的解集是　　　　　　.
變式 (1)≥-2的解集是　　　　　　.
(2)若關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集為{x|x>1},則關(guān)于x的不等式>0的解集為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)對于比較簡單的分式不等式,可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解,但要注意分母不為零.
(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式,先移項再通分(不要去分母),使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零,然后再用上述方法求解.
◆ 探究點二　不等式恒成立問題　　　　　 　　　　　 　　　　　
例2 (1)若關(guān)于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不為空集,則實數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A.-2B.2≤a≤
C.a<-2或a≥
D.a≤-2或a≥
(2)若對于x∈R,不等式mx2-mx-1<0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
變式 (1)[2025·江蘇南通海門中學(xué)高一期中] 已知對任意的x∈(-1,+∞),x2+(1-k)x+1-k≥0恒成立,則實數(shù)k的取值范圍為 (　 )
A.(-∞,-1] B.(-∞,0]
C.(-3,1] D.(-∞,1]
(2)若關(guān)于x的不等式x2-4x+4a≥a2在[1,6]內(nèi)有解,則a的取值范圍為 (　 )
A.-2≤a≤3 B.2≤a≤3
C.-2≤a≤6 D.3≤a≤6
[素養(yǎng)小結(jié)]
解決恒成立問題一定要搞清誰是主元,誰是參數(shù),一般地,知道誰的范圍,誰就是主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).
◆ 探究點三　一元二次不等式的應(yīng)用
例3 [2025·江蘇南京六合高級中學(xué)高一月考] 某工廠生產(chǎn)商品A,每件售價80元,每年產(chǎn)銷80萬件.工廠為了研發(fā)新產(chǎn)品,經(jīng)過市場調(diào)查,決定將商品A的年產(chǎn)銷量減少10p萬件,同時將商品A的銷售金額的p%作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(即每銷售100元提出p元).若新產(chǎn)品的研發(fā)費不少于96萬元,求實數(shù)p的取值范圍.(假設(shè):工廠永不停產(chǎn),新產(chǎn)品永在研發(fā))
變式 某租賃公司擁有汽車100輛,當每輛車的月租金為3000元時,可全部租出,當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加1輛,租出的車每輛每月需要維護費300元,未租出的車每輛每月需要維護費100元,又該租賃公司每個月的固定管理費為14 200元.
(1)當每輛車的月租金為3600元時,能租出多少輛
(2)當每輛車的月租金為多少元時,該租賃公司的月收益最大 最大月收益是多少 (注:公司每月收益=汽車每月租金-車輛月維護費-公司每月固定管理費)
[素養(yǎng)小結(jié)]
解不等式應(yīng)用題,一般可按四步進行:①審題,找出關(guān)鍵量和不等關(guān)系;②引進數(shù)學(xué)符號,用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系);③解不等式(或求函數(shù)最值);④回到實際問題.第2課時　一元二次不等式的簡單應(yīng)用
1.不等式≤0的解集是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.{x|x<1或x≥3}
B.{x|x≤1或x>3}
C.{x|1≤x<3}
D.{x|1≤x≤3}
2.已知集合A={x|(x-1)(x+2)<0},集合B=,則A∩B= (　 )
A.{x|-2B.{x|1C.{x|0D.R
3.[2024·山東泰安一中高一期中] 關(guān)于x的不等式<2的解集為 (　 )
A.{x|x<2} B.{x|x>2}
C.{x|04.若關(guān)于x的不等式x2-4x-a-1≥0的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A.a≤-5 B.a≤-2
C.a>-5 D.a≥-5
5.若關(guān)于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解,則實數(shù)a的取值范圍是 (　 )
A.a≥-2 B.a≤-2
C.a≥-6 D.a≤-6
6.[2025·廣東肇慶廣信中學(xué)高一月考] 某網(wǎng)店銷售一批新款削筆器,每個削筆器的最低售價為15元.若按最低售價銷售,每天能賣出30個,一個削筆器的售價每提高1元,日銷售量將減少2個.為了使這批削筆器每天獲得400元以上的銷售收入,則每個削筆器的售價x(單位:元)的取值范圍是 (　 )
A.(10,20) B.[15,20)
C.(16,20) D.[15,25)
7.已知關(guān)于x的不等式mx2-mx+1≤0,若此不等式的解集為 ,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.
8.限速40 km/h的盤山公路上兩車相撞.經(jīng)測量,甲車的剎車距離略大于9 m,乙車的剎車距離略小于10 m.經(jīng)查詢,甲、乙車的剎車距離s1,s2(單位:m)與行駛速度v1,v2(單位:km/h)分別滿足s1=0.01-0.25v1和s2=0.005+0.05v2,則　　　車應(yīng)負主要責(zé)任.(填“甲”或“乙”)
9.(13分)解下列不等式:
(1)≤1;
(2)≤x-2.
10.(13分)[2025·河南南陽高一期中] 有一家企業(yè)生產(chǎn)制造智能機器人,每月的成本t(單位:萬元)由兩部分構(gòu)成:①固定成本為1000萬元;②材料成本為萬元,x為每月生產(chǎn)機器人的個數(shù).
(1)該企業(yè)每月的產(chǎn)量為多少時,平均每個機器人的成本最低,最低為多少萬元
(2)若每個機器人的售價為萬元,假設(shè)生產(chǎn)出來的機器人都能夠售出,則該企業(yè)應(yīng)如何制訂生產(chǎn)計劃,才能確保每月的利潤不低于400萬元 附:利潤=售價×銷量-成本.
11.已知命題“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A.a<0 B.0≤a≤4
C.a≥4 D.012.[2025·江蘇蘇州實驗中學(xué)高一月考] 已知x>0,y>0,且+=1,若x+y>m2+3m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是 (　 )
A.-4C.-413.(多選題)[2025·江蘇蘇州木瀆高級中學(xué)高一月考] 已知不等式2kx2+kx-<0,則下列說法正確的是 (　 )
A.若k=1,則不等式的解集為
B.若不等式對任意的x∈R恒成立,則整數(shù)k的取值集合為{-2,-1,0}
C.若不等式對0≤k≤1恒成立,則實數(shù)x的取值范圍是-D.若恰有一個整數(shù)x使得不等式成立,則實數(shù)k的取值范圍是k≥
14.若關(guān)于x的不等式ax2-2x+1≤0在(0,2]上有解,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.
15.[2025·江蘇泰州高一期末] 若關(guān)于x的不等式x2-2mx+3m-2<0的解集為(x1,x2),且x1>1,則m的取值范圍為　　　　,4x1+x2的最小值是　　　　.
16.(15分)[2025·河南實驗中學(xué)高一月考] 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(1,1),是否存在常數(shù)a,b,c,使得不等式x≤y≤(x2+1)對一切實數(shù)x都成立 若存在,求出實數(shù)a,b,c的值;若不存在,請說明理由.

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