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滾動習題(三)
1.A　[解析] ∵P-Q=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2≥0,∴P≥Q.故選A.
2.C　[解析] 根據基本不等式可得,當x>0時,x-1+≥2-1=3,當且僅當x=,即x=2時取等號,故x-1+的最小值為3.故選C.
3.D　[解析] 由≤0,得解得x≥3或x<1,所以A={x|x≥3或x<1},因為B={x|x2≤4x,x∈N}={x|0≤x≤4,x∈N}={0,1,2,3,4},所以A∩B={0,3,4}.故選D.
4.B　[解析] 由二次函數y=x2+x+m有零點,得方程x2+x+m=0在R上有實數根,則滿足Δ=1-4m≥0,解得m≤,則二次函數y=x2+x+m有零點的充要條件為m≤.故選B.
5.D　[解析] 因為關于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集為[-2,3],所以a<0且-2,3是關于x的方程ax2+bx+c=0的兩個根,所以所以b=-a,c=-6a,a<0,則≥0可轉化為≥0,即≤0,可得-16.B　[解析] 方法一:∵x>0,y>0,x+2y+2xy=8,∴y=>0,∴0方法二:由x+2y+2xy=8得(x+1)(2y+1)=9,則x+2y=x+1+2y+1-2≥2-2=4,當且僅當x+1=2y+1=3,即x=2,y=1時等號成立.
7.ABD　[解析] 對于A選項,因為c-d>0,又a>b>0,所以-ac>-bd,則acb>0,所以ab>0,則不等式a>b的兩邊同時除以ab可得<,因為c<0,所以由不等式的基本性質可得>,B正確;對于C選項,因為1a2,所以由不等式的基本性質可得b-a>0,由不等式的基本性質可得a28.ABD　[解析] 由關于x的不等式(a+3m)x2-(2b-3m)x-1<0(a>0,b>0)的解集為,可得a+3m>0,且關于x的方程(a+3m)x2-(2b-3m)x-1=0的兩根為-1和,所以解得a+3m=2,2b-3m=-1,所以a+2b=1,所以A正確;因為a>0,b>0,所以1=a+2b≥2,當且僅當a=,b=時取等號,可得ab≤,所以ab的最大值為,所以B正確;+=(a+2b)=5++≥5+2=5+4=9,當且僅當=,即a=b=時取等號,所以+的最小值為9,所以C錯誤;2(a2+4b2)=a2+(2b)2+a2+(2b)2≥a2+(2b)2+2a·(2b)=(a+2b)2=1,當且僅當a=,b=時取等號,則a2+4b2≥,所以a2+4b2的最小值為,所以D正確.故選ABD.
9.[3,8]　[解析] 因為1≤x≤2,所以≤≤1,又因為6≤y≤8,所以×6≤≤1×8,即3≤≤8,所以的取值范圍是[3,8].
10.低于　[解析] 由題意可得降價后的售價為a(1-p%)元,提價后的售價為a(1-p%)(1+p%)元,因為011.{a|10對任意的x∈R恒成立.當Δ=0時,得a=1或a=4.當a=1時,y=x2+2x+1,取x=-1,則y=0,不符合題意;當a=4時,y=x2-4x+4,對任意的x<1或x>5有y>0恒成立,符合題意.當Δ>0 時,需滿足即得412.解:(1)證明:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).
∵abc=1,∴a,b,c均不為0,∴a2+b2+c2>0,
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.
(2)由a+b+c=0,abc=1,a≥b≥c,可知a>0,b<0,c<0.∴a=-b-c,a=,∴a3=a2·a==≥=4,當且僅當b=c時,取等號,∴a≥.故a的最小值為.
13.解:(1)由題意知ab=12,所以b=,因為b≥3,a≥3,所以b=≥3,得a≤4,所以3≤a≤4,所以S(a)=(36-2a)(24-b)=(36-2a)=-48+888,3≤a≤4.
(2)由(1)知,S(a)=-48+888≤-48×2+888=600,
當且僅當=a,即a=3時取等號,所以當a=3,b=4時,草坪的面積S(a)取得最大值,最大值為600平方米.
14.解:(1)因為關于x的不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集為{x|2≤x≤3},且a>0,
所以關于x的不等式ax2+bx+c≤3的解集為{x|2≤x≤3},且關于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集為R.
所以2和3是關于x的方程ax2+bx+c=3的兩個實數根,
所以解得b=-5a,c=6a+3,
所以6b+5c=6×(-5a)+5×(6a+3)=15.
因為b=-5a,c=6a+3,所以關于x的不等式ax2+bx+c≥2可化為ax2-5ax+6a+1≥0,
又該不等式的解集為R,所以解得0(2)由(1)知b=-5a,c=6a+3,則關于x的不等式ax2+(b-3)x-c≤0等價于ax2-(5a+3)x-(6a+3)≤0,
即[ax-(6a+3)](x+1)≤0,解得-1≤x≤6+.
因為關于x的不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且僅有9個整數解,
所以7≤6+<8,解得綜上,a的取值范圍是.
(3)若a>0,則由(1)可知,ax2+(b-1)x+5<0可化為ax2-(5a+1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0.
當05,則所求不等式的解集為;
當a=時,不等式為(x-5)2<0,所求不等式的解集為 ;
當若a<0,則關于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集為{x|2≤x≤3},且ax2+bx+c≤3的解集為R.
所以2和3是關于x的方程ax2+bx+c=2的兩個實數根,
所以解得b=-5a,c=6a+2.
所以不等式ax2+bx+c≤3可化為ax2-5ax+6a-1≤0,且該不等式的解集為R,
所以解得-4≤a<0.
所以不等式ax2+(b-1)x+5<0,可化為ax2-(5a+1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0,解得x<或x>5,所以不等式的解集為∪(5,+∞).綜上,當-4≤a<0時,不等式的解集為∪(5,+∞);當0(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.設P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,則有 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.P≥Q B.P>Q
C.P2.[2025·江蘇常熟高一期中] 已知x>0,則x-1+的最小值為 (　 )
A.4 B.5
C.3 D.2
3.[2025·江蘇徐州月考] 已知集合A=,B=,則A∩B= (　 )
A.[0,1]∪[3,4]
B.[0,1)∪[3,4]
C.{2,3}
D.{0,3,4}
4.[2025·江蘇南通高一月考] 二次函數y=x2+x+m有零點的充要條件的是 (　 )
A.m≥ B.m≤
C.m> D.m<
5.[2025·廣州一中高一月考] 已知關于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集為[-2,3],則≥0的解集為 (　 )
A.
B.[-3,2]
C.(-∞,-1)∪
D.
6.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8, 則x+2y的最小值是 (　 )
A.3 B.4
C. D.
二、多項選擇題(本大題共2小題,每小題6分,共12分)
7.[2025·江蘇無錫期中] 下列說法中正確的有 (　 )
A.若a>b>0,cB.若a>b>0,c<0,則>
C.若1D.若a<0,ab>a2,則b2>a2
8.[2024·石家莊二中高一期中] 已知關于x的不等式(a+3m)x2-(2b-3m)x-1<0(a>0,b>0)的解集為,則下列結論正確的是 (　 )
A.a+2b=1
B.ab的最大值為
C.+的最小值為8
D.a2+4b2的最小值為
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)
9.設實數x,y滿足1≤x≤2,6≤y≤8,則的取值范圍是　　　　.
10.已知某商品的原價為a元,由于市場原因,先降價p%(011.已知對于任意的x<1或x>5,都有x2-2(a-2)x+a>0,則實數a的取值范圍是　　　　.
四、解答題(本大題共3小題,共43分)
12.(13分)[2025·浙江學軍中學高一期中] 設a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)證明:ab+bc+ca<0;
(2)若a≥b≥c,求a的最小值.
注:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
13.(15分)[2024·江蘇連云港高級中學高一期中] 如圖所示,某學校的教學樓前有一塊矩形空地ABCD,其長為36米,寬為24米,現要在此空地上種植一塊矩形草坪,三邊留有人行道,上、下邊人行道的寬度為a米,左邊人行道的寬度為b米,且a,b均不小于3,要求“轉角處(圖中矩形AEFG)”的面積為12平方米.
(1)試用a表示草坪的面積S(a),并指出a的取值范圍;
(2)a,b取何值時才能使草坪的面積最大 并求出草坪面積的最大值.
14.(15分)已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集為{x|2≤x≤3}.
(1)若a>0,求6b+5c的值及a的取值范圍;
(2)若a>0,且關于x的不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且僅有9個整數解,求a的取值范圍;
(3)若a≠0,解關于x的不等式ax2+(b-1)x+5<0.

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