資源簡介

(共41張PPT)
4.1 指數
4.1.1 根式
探究點一 次方根的概念
探究點二 根式的化簡與求值
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能夠在具體的數學情境中,了解 次方根及根式的含義.
2.理解并掌握 次方根的性質.
3.利用 次方根的性質解決有關問題，并培養學生數學運算的核
心素養.
知識點一 次方根的概念
一般地，如果,那么稱為 的_________.
（1）當為奇數時,正數的次方根是__________,負數的 次方根是
__________.
（2）當_________時,正數的 次方根有兩個,它們互為相反數.
（3）需要注意的是，0的 次方根等于0.
次方根
一個正數
一個負數
為偶數
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）任意實數的奇次方根只有1個． ( )
√
（2）正數的偶次方根有兩個，且互為相反數．( )
√
（3）的5次方根為 .( )
×
（4） .( )
×
知識點二 根式的概念及其性質
1.根式的定義:式子____叫作根式,其中叫作根指數, 叫作被開方數.
2.根式的性質：對于，，當為奇數時,___;當 為
偶數時, _ _______________.
【診斷分析】
我們已經知道,若,則,那么等于什么 呢
呢
解：;； .
探究點一 次方根的概念
例1（1）（多選題）若 ，則下列說法中正確的
是( )
A.當為奇數時，的次方根為
B.當為奇數時，的次方根為
C.當為偶數時，的次方根為
D.當為偶數時，的次方根為
[解析] 當為奇數時，的次方根只有；
當 為偶數時，因為，所以的次方根有2個，為．
故選 .
√
√
（2）（多選題）若, ,則下列四個式子中有意義的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為,所以為正偶數,則,所以 有意
義,A正確;
取,則,此時 無意義,B錯誤;
因為的根指數為奇數,所以有意義,C正確;
對任意 , 恒成立，則有意義,D正確.
故選 .
√
√
√
（3） 的3次方根是__.
[解析] 因為，所以的3次方根是 .
變式（1）計算下列各式的值:____； ___.
-3
[解析] .
.
（2） _______.
[解析] 因為 ,
所以 .
（3）化簡： 且為偶數_ ____________；
若，則 _______.
[解析] ①因為為偶數，所以當 時， ，
；當 時， ，
.綜上，
②因為，所以 ，所以
.
［素養小結］
（1）方根的個數：正數的偶次方根有兩個，且互為相反數，負數沒
有偶次方根；0的偶次方根只有一個，為0；任意實數的奇次方根只
有一個.
（2）符號：根式的符號由根指數的奇偶性及被開方數的符號
共同確定.
①當為偶數，且時，為非負實數；
②當為奇數時，的符號與的符號一致.
（3）對于根式，若存在，,
，則.
探究點二 根式的化簡與求值
例2（1）式子 的值為( )
A. B. C. D.1
[解析] .故選A.
√
（2）化簡： _____.
[解析] .
（3）化簡: .
解： .
變式 化簡下列各式:
（1） ；
解：原式
.
（2）（其中 ）;
解： .
因為，所以, .
所以原式 .
變式 化簡下列各式:
（3） .
解：因為，所以 ，所以原式
.
［素養小結］
根式化簡與求值的思路及注意點
思路：用根式的性質將根式化簡,首先要分清根式為奇次根式還是偶
次根式，其次選用相應公式化簡.
注意點：①解題時要注意公式的適用范圍,特別是在化簡含有字母的
根式時要注意字母的取值范圍；
②正確區分與；
③運算時注意變形與整體代換，以及平方差、立方差、完全平方式
的運用，必要時要進行分類討論.
理解與的含義：當為大于1的奇數時，對任意 都
有意義，它表示在實數范圍內唯一的一個 次方根，
.當為大于1的偶數時，只有當 時才有
意義，當時無意義，表示在實數范圍內的一個 次
方根，另一個是，；對任意 都有意義，
.
練習冊
1.［2025·江蘇徐州二中高一期中］ ( )
A.2 B. C. D.
[解析] ，故選B.
√
2.［2025·江蘇南通通州中學高一期中］已知，則實數
( )
A. B. C. D.
[解析] ，是3的4次方根，又4是偶數， 的4次方根有兩
個，且這兩個數互為相反數，則 ，故選D.
√
3.［2025·江蘇徐州三中高一期中］已知 ，則
( )
A. B.1 C. D.
[解析] ， ，
，故選B.
√
4.若有意義，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意知所以 .故選C.
√
5.已知是的小數部分，則 的值為( )
A.2 B.4 C. D.
[解析] 因為，所以 ，
所以 .故選A.
√
6.把代數式中的 移到根號內，那么這個代數式可
化為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題知， ，
.故選A.
√
7.［2025·上海延安中學高一期中］當 時，化簡：
___.
[解析] 由可得 .
8.化簡： _______.
[解析] 原式 .
9.（13分）寫出使下列各式成立的 的取值范圍.
（1） ；
解： 根指數是3，有意義即可，， .
（2） .
解： ，
.
10.（13分）設，求 的值．
解：， ，
當時，原式 ，
當時，原式 ．
11.給出下列式子其中，，，
， .其中一定有意義的是( )
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
[解析] 顯然，故①有意義；
顯然 ，故②無意義；
③顯然有意義；
當時，，此時 無意義，故④不一定有意義．
故選B.
√
12.（多選題）給出下列等式：
; ;
; .
其中成立的有( )
A.① B.② C.③ D.④
[解析] ，則①不成立；
, ,則②成立;
,則③成立；
,則④成立.
故選 .
√
√
√
13.（多選題）下列說法正確的是( )
A.
B.
C.
D.若，則
[解析] ，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
， ，則
.故D正確.
故選 .
√
√
14.若代數式 有意義，則
___.
1
[解析] 由題意可知，
.
15.已知2,5,是某三角形三邊的長，則 ___.
4
[解析] 因為2，5，是某三角形三邊的長，所以 ，
即 ，所以
.
16.（15分）對于根式 ，如果存在
，,，則 .利用這個結
論化簡下列各式：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
16.（15分）對于根式 ，如果存在
，,，則 .利用這個結
論化簡下列各式：
（3） .
解： .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 次方根 一個正數 一個負數 為偶數
【診斷分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）×
知識點二 1. 2.
【診斷分析】 ;；.
課中探究 例1 （1）BD （2）ACD （3）
變式 （1） -3 （2）
（3）
例2 （1）A （2） （3）
變式 （1）（3）
快速核答案（練習冊）
1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7. 8.
9.（1） （2） 10.
11.B 12.BCD 13.CD 14.1 15.4
16.（1） （2） （3）第4章　指數與對數
4.1　指數
4.1.1　根式
【課前預習】
知識點一
n次方根　(1)一個正數　一個負數　(2)n為偶數
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
知識點二
1.　2.a　|a|=
診斷分析
解:()2=3;==3;==3.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)BD　(2)ACD　(3)　[解析] (1)當n為奇數時,a的n次方根只有x;當n為偶數時,因為(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2個,為±x.故選BD.
(2)因為n∈N*,所以4n為正偶數,則(-5)4n>0,所以有意義,A正確;取n=1,則(-5)3<0,此時無意義,B錯誤;因為的根指數為奇數,所以有意義,C正確;對任意a∈R,a2+1>0恒成立,則有意義,D正確.故選ACD.
(3)因為=,所以的3次方根是.
變式　(1)①　②-3　(2)-1
(3)①　②3-2a　[解析] (1)①==.
②=-3.
(2)因為3-2=2-2+1=()2-2+1=(-1)2,所以++=++=-1+1-+-1=-1.
(3)①因為n為偶數,所以當x<π時,x-π<0,=|x-π|=π-x;當x≥π時,x-π≥0,=x-π.綜上,=
②因為10,所以+=1-a+|2-a|=1-a+2-a=3-2a.
探究點二
例2　(1)A　(2)2　[解析] (1)+=|π-4|+3-π=4-π+3-π=7-2π.故選A.
(2)+=1++-1=2.
(3)解:=|a-b|=a-b.
變式　解:(1)原式=-8+|-2|-(2-)=-8+(2-)-(2-)=-8.
(2)-=|m-n|-|m+n|.
因為m所以原式=n-m+m+n=2n.
(3)因為a<1,所以a-1<0,所以原式=·=-(a+1)3·(a-1)3=-(a2-1)3.第4章　指數與對數
4.1　指數
4.1.1　根式
1.B　[解析] ==-2,故選B.
2.D　[解析] ∵x4=3,∴x是3的4次方根,又4是偶數,∴3的4次方根有兩個,且這兩個數互為相反數,則x=±,故選D.
3.B　[解析] ∵a<1,∴a-1<0,∴+=|a-1|+a=1-a+a=1,故選B.
4.C　[解析] 由題意知所以2≤x≤3.故選C.
5.A　[解析] 因為3<<4,所以a=-3,所以a(a+6)=(-3)×(-3+6)=11-9=2.故選A.
6.A　[解析] 由題知1-a>0,∴a-1<0,∴(a-1)·=-(1-a)·=-×=-=-.故選A.
7.x　[解析] 由x<0可得3++|x|=3x+(-x)+(-x)=x.
8.+1　[解析] 原式=+--|1-|=+--(-1)=|+|+|2-|-|2-|-(-1)=++2-+-2+1-=+1.
9.解:(1)∵根指數是3,∴有意義即可,∴x-3≠0,∴x≠3.
(2)∵==(5-x),∴∴-5≤x≤5.
10.解:-=-=|x-1|-|x+2|,∵-2∴當-2當1≤x<2時,原式=x-1-(x+2)=-3.
11.B　[解析] 顯然(-4)2n>0,故①有意義;顯然(-4)2n+1<0,故②無意義;③顯然有意義;當a<0時,a5<0,此時無意義,故④不一定有意義.故選B.
12.BCD　[解析] =·a≠2a,則①不成立;||=,==,則②成立;=×=-3,則③成立;④==,則④成立.故選BCD.
13.CD　[解析] =-3,故A錯誤;=3,故B錯誤;=|x+y|,故C正確;∵x<3,∴3-x>0,則+()5=3-x+x-=3-.故D正確.故選CD.
14.1　[解析] 由題意可知∴1≤x≤2,∴x-2≤0.∴+=+=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1.
15.4　[解析] 因為2,5,m是某三角形三邊的長,所以5-216.解:(1)==-.
(2)===+2.
(3)====.第4章　指數與對數
4.1　指數
4.1.1　根式
【學習目標】
　　1.能夠在具體的數學情境中,了解n次方根及根式的含義.
　　2.理解并掌握n次方根的性質.
　　3.利用n次方根的性質解決有關問題,并培養學生數學運算的核心素養.
◆ 知識點一　n次方根的概念
一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么稱x為a的　　　　　　.
(1)當n為奇數時,正數的n次方根是　　　　,負數的n次方根是　　　　.
(2)當　　　　　　時,正數的n次方根有兩個,它們互為相反數.
(3)需要注意的是,0的n次方根等于0.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)任意實數的奇次方根只有1個. (　 )
(2)正數的偶次方根有兩個,且互為相反數. (　 )
(3)-32的5次方根為±2. (　 )
(4)=π-4. (　 )
◆ 知識點二　根式的概念及其性質
1.根式的定義:式子　　　　叫作根式,其中n叫作根指數,a叫作被開方數.
2.根式的性質:對于n∈N*,n>1,當n為奇數時,=　　　　;當n為偶數時,=　　　　　　　　.
【診斷分析】
我們已經知道,若x2=3,則x=±,那么()2等于什么 呢 呢
◆ 探究點一　n次方根的概念
例1 (1)(多選題)若xn=a(x≠0,n>1),則下列說法中正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.當n為奇數時,x的n次方根為a
B.當n為奇數時,a的n次方根為x
C.當n為偶數時,x的n次方根為±a
D.當n為偶數時,a的n次方根為±x
(2)(多選題)若n∈N*,a∈R,則下列四個式子中有意義的是 (　 )
A. B.
C. D.
(3)的3次方根是　　　　.
變式 (1)計算下列各式的值:①=　　　　;②=　　　　.
(2)++=　　　　.
(3)化簡: ①(n∈N*且n為偶數)=　　　　　　　;②若1[素養小結]
(1)方根的個數:正數的偶次方根有兩個,且互為相反數,負數沒有偶次方根;0的偶次方根只有一個,為0;任意實數的奇次方根只有一個.
(2)符號:根式的符號由根指數n的奇偶性及被開方數a的符號共同確定.
①當n為偶數,且a≥0時,為非負實數;
②當n為奇數時,的符號與a的符號一致.
(3)對于根式(a>0,b>0),若存在x>y>0,xy=b,x+y=a,則=±.
◆ 探究點二　根式的化簡與求值
例2 (1)式子+的值為 (　 )
A.7-2π B.2π-7
C.-1 D.1
(2)化簡:+=　　　　.
(3)化簡:(a>b).
變式 化簡下列各式:
(1)+-;
(2)-(其中m(3)·(a<1).
[素養小結]
根式化簡與求值的思路及注意點
思路:用根式的性質將根式化簡,首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式,其次選用相應公式化簡.
注意點:①解題時要注意公式的適用范圍,特別是在化簡含有字母的根式時要注意字母的取值范圍;
②正確區分()n與;
③運算時注意變形與整體代換,以及平方差、立方差、完全平方式的運用,必要時要進行分類討論.第4章　指數與對數
4.1　指數
4.1.1　根式
1.[2025·江蘇徐州二中高一期中] = (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.-2
C.±2 D.-32
2.[2025·江蘇南通通州中學高一期中] 已知x4=3,則實數x= (　 )
A. B.-
C.34 D.±
3.[2025·江蘇徐州三中高一期中] 已知a<1,則+= (　 )
A.-1 B.1
C.2a-1 D.1-2a
4.若·有意義,則x的取值范圍是 (　 )
A.[2,+∞) B.(-∞,3]
C.[2,3] D.R
5.已知a是的小數部分,則a(a+6)的值為 (　 )
A.2 B.4
C.-2 D.4-
6.把代數式(a-1)·中的a-1移到根號內,那么這個代數式可化為 (　 )
A.- B.
C. D.-
7.[2025·上海延安中學高一期中] 當x<0時,化簡:3++|x|=　　　　.
8.化簡:+--=　　　　.
9.(13分)寫出使下列各式成立的x的取值范圍.
(1)=;
(2)=(5-x).
10.(13分)設-211.給出下列式子(其中n∈N,a∈R):①,②,③,④.其中一定有意義的是 (　 )
A.①② B.①③
C.①②③④ D.①③④
12.(多選題)給出下列等式:
①=2a;②||=;
③-3=;④=.
其中成立的有 (　 )
A.① B.②
C.③ D.④
13.(多選題)下列說法正確的是 (　 )
A.=3
B.=±3
C.=|x+y|
D.若x<3,則+()5=3-
14.若代數式+有意義,則+=　　　　.
15.已知2,5,m是某三角形三邊的長,則+=　　　　.
16.(15分)對于根式(a>0,b>0),如果存在x>y>0,xy=b,x+y=a,則=±.利用這個結論化簡下列各式:
(1);
(2);
(3).

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