資源簡(jiǎn)介

(共56張PPT)
4.1 指數(shù)
4.1.2 指數(shù)冪的拓展
探究點(diǎn)一 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化
探究點(diǎn)二 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算
探究點(diǎn)三 整體代換法求值
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
備課素材
練習(xí)冊(cè)
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能夠在具體的數(shù)學(xué)情境中，了解有理數(shù)指數(shù)冪 ,且
；,為整數(shù)，且和實(shí)數(shù)指數(shù)冪，且 ；
的含義.
2.對(duì)給出的具體數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算.
知識(shí)點(diǎn)一 有理數(shù)指數(shù)冪
1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
一般地，我們規(guī)定______ .
2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
（1）_ ___ ;
（2）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為_(kāi)__;
（3）0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪__________（0的0次冪無(wú)意義）.
0
沒(méi)有意義
3.______,_____,_____,其中,,, .
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
×
（3）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示 為 .( )
×
（4） .( )
√
（5） .( )
√
2.（1）我們知道，那么 成立嗎？
解：成立. ,
，所以
成立.
（2）任何有意義的根式都能化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式嗎
解：能.引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后,任何有意義的根式都能夠化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
的形式,即，,，且 .
知識(shí)點(diǎn)二 無(wú)理數(shù)指數(shù)冪
1.無(wú)理數(shù)指數(shù)冪：且是一個(gè)無(wú)理數(shù) 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).
2.有理數(shù)指數(shù)冪和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)指數(shù)冪,其運(yùn)算性質(zhì)與整
數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)完全一致,即, ,
,其中,,, .
探究點(diǎn)一 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化
例1（1）（多選題）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 對(duì)于A，，所以A正確；
對(duì)于B， ，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C， ，所以C正確；
對(duì)于D，，所以D錯(cuò)誤．
故選 .
√
√
（2）［2025·上海師大第二附中高一期中］代數(shù)式 化成
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為_(kāi)____.
[解析] .
（3）［2025·江蘇海門(mén)中學(xué)高一月考］已知，將 化為有
理數(shù)指數(shù)冪形式，則 __.
[解析] .
變式（1）［2025·江蘇常州北郊高級(jí)中學(xué)高一期中］設(shè) ，則
的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 .故選D.
√
（2）（多選題）［2024·江西新余高一期中］ 下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)
冪的互化中正確的有( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 對(duì)于選項(xiàng)A， ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B， ，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C， ，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化問(wèn)題的關(guān)鍵是熟記根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的
關(guān)系式和，其中，，且
．
探究點(diǎn)二 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算
例2（1）已知，化簡(jiǎn)： .
解：因?yàn)?，所?.
（2）化簡(jiǎn)與計(jì)算下列各式（式中字母都為正數(shù)）:
① ；
解：原式 .
（2）化簡(jiǎn)與計(jì)算下列各式（式中字母都為正數(shù)）:
② ；
解：原式 .
③ ；
解： 原式
.
（2）化簡(jiǎn)與計(jì)算下列各式（式中字母都為正數(shù)）:
④ .
解： 原式 .
變式 化簡(jiǎn)與求值.
（1） ;
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
變式 化簡(jiǎn)與求值.
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
指數(shù)冪運(yùn)算的基本原則與常用方法
（1）基本原則:式子中既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式時(shí),一般把根式統(tǒng)一
化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)．
（2）常用方法:①有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的，無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算；②
化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪;③化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;④化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；⑤
底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù).
探究點(diǎn)三 整體代換法求值
例3（1）［2025·江蘇南京六校高一期中］已知 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 由得 ，即
，則 ，
所以 ，故
.故選C.
√
（2）［2025·蘇州高一檢測(cè)］若，則 ____.
[解析] 因?yàn)?，所以?，即
，兩邊平方整理得，即 .
因?yàn)椋?，則
.
（3）已知,,且,求 的值.
解： .
因?yàn)椋?，所以
，
又 ，所以，所以 .
變式（1）［2025·天津河西區(qū)期中］已知， ，則
( )
A.25 B.5 C. D.
[解析] 由可得，所以 ，故選C.
√
（2）（多選題）［2025·重慶巴蜀中學(xué)高一期中］ 已知 ，
則 的值可能為( )
A.2 B. C. D.
[解析] 因?yàn)?，
所以，所以或.故選 .
√
√
（3）［2025·湖北荊州中學(xué)高一期中］已知 ，計(jì)算
__.
[解析] 將兩邊平方得，則 ，
所以 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)鍵點(diǎn)
（1）整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算中常用的技巧，觀察分析條件與
結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恒等式是關(guān)鍵之一.
（2）利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算問(wèn)題的另一個(gè)關(guān)鍵是掌握
好完全平方公式及其變形公式：，
，.
拓展 設(shè),則 ( )
A.7 B. C.5 D.45
[解析] 由,得 .
√
1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的乘積，而是根式的另一種寫(xiě)法，分?jǐn)?shù)
指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，在把偶數(shù)次根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，
要注意使底數(shù)大于0.同時(shí)，負(fù)數(shù)開(kāi)奇數(shù)次方根是有意義的，所以當(dāng)奇
數(shù)次根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，先要把負(fù)號(hào)移到根號(hào)外面去，然后再
按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪的區(qū)別與聯(lián)系
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,,,且和整數(shù)指數(shù)冪 都是有理數(shù)
指數(shù)冪，都可以利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，這是相同
的部分．整數(shù)指數(shù)冪表示的是相同因式的連乘積，而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
不可以理解為個(gè) 相乘．
3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪
引入了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，指數(shù)概念就實(shí)現(xiàn)了由整數(shù)指數(shù)冪向有理數(shù)指
數(shù)冪的擴(kuò)充．當(dāng)，是一個(gè)無(wú)理數(shù)時(shí)，規(guī)定 表示一個(gè)確定的
實(shí)數(shù)，而且有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪也適用，這
樣，指數(shù)概念就擴(kuò)充到了整個(gè)實(shí)數(shù)范圍．
1.指數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值
（1）一般地,進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí),化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)、化根式為分?jǐn)?shù)
指數(shù)冪、化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算,便于進(jìn)行乘除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算,可
以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.
（2）對(duì)“條件求值”問(wèn)題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系,然后采取“整
體代換”或“求值后代換”兩種方法求值.
2.“湊公式”法
在本節(jié)的試題中,有些式子直接計(jì)算比較麻煩,此時(shí)我們要善于觀察所
求式子的結(jié)構(gòu)特征,“湊”出乘法公式或因式分解公式的形式,充分利用
這些公式進(jìn)行冪的綜合運(yùn)算.
例1
（1）［2025·三晉聯(lián)盟山西名校高一期中］若， ，則
( )
A.12 B.24 C. D.
√
[解析] .故選B.
（2）已知，求 .
解：, ，
.
, ，
.
例2 化簡(jiǎn) 的結(jié)果是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 原式
.
練習(xí)冊(cè)
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] .故選C.
√
2. 等于( )
A. B. C. D.
[解析]
.
√
3.［2025·河北滄州四校聯(lián)考高一期中］若，則 的分?jǐn)?shù)指
數(shù)冪形式為 ( )
A. B. C. D.
[解析] .故選D.
√
4.［2025·天津一中高一期中］下列計(jì)算正確的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 對(duì)于A， ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C， ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D， ，故D錯(cuò)誤.
故選B.
√
5.計(jì)算 的結(jié)果為( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 .故選D.
√
6.化簡(jiǎn) 的結(jié)果為( )
A.1 B. C. D.
[解析] .故選C.
√
7.，化簡(jiǎn): ___.
1
[解析] .
8.若，則___； __.
[解析] 因?yàn)?，
所以 .
所以 .
9.（13分）計(jì)算下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2），其中， .
解： .
10.已知且，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
，故選C.
√
11.（多選題）［2025·福建廈門(mén)英才學(xué)校高一期中］ 已知 ，則
下列各式中正確的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B， ，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C， ，故C正確；
對(duì)于D， ,故D正確.
故選 .
12.（多選題）［2025·陜西榆林八校高一期中］ 已知正數(shù)， 滿足
，則( )
A. B. C. D.
[解析] 對(duì)于A，因?yàn)椋?，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立，所以，即 ，則A正確；
對(duì)于B，，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，所以 ，則B正確；
√
√
√
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立,所以,所以 ,則C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
所以，則D正確.
故選 .
13.已知，，，則 的值是__.
[解析] 因?yàn)椋?，，?br/>所以 ，，所以 .
14.（15分）
（1）［2025·江蘇東海高級(jí)中學(xué)月考］①若已知， ，
求 的值；
②已知，求 的值.
解：①由， ，可得 .
②因?yàn)?，所?br/>.
14.（15分）
（2）已知,是方程的兩個(gè)根,求 的值.
解：由根與系數(shù)的關(guān)系得, ,
所以 .
15.已知，且，則 的值為_(kāi)_.
[解析] 因?yàn)?，且，所?.
16.（15分）對(duì)于正整數(shù)，，和非零實(shí)數(shù)，， ，
， 有 ，，求，， 的值．
解： ，且， 為非零實(shí)數(shù)， .
同理，可得， .
，即 .
又，，， 為正整數(shù)，
，，， .
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一 1. 2.(1) (2)0 (3)沒(méi)有意義 3.
【診斷分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）√ 2.略
課中探究 例1 （1）AC （2） （3） 變式 （1）D （2）BC
例2 （1） （2）① ② ③ ④
變式 （1） （2）
快速核答案（練習(xí)冊(cè)）
1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.1 8. 9.（1） （2）
10.C 11.CD 12.ABD 13.
14.（1）① ② （2）22
15. 16. ，，4.1.2　指數(shù)冪的拓展
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.　2.(1)　(2)0　(3)沒(méi)有意義
3.as+t　ast　atbt
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.解:(1)成立.×=×=×=8×4=32, ====25=32,所以6×6=6成立.
(2)能.引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后,任何有意義的根式都能夠化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,即=(a>0,m,n∈N*,且n>1).
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)AC　(2)　(3)　[解析] (1)對(duì)于A,-=-,所以A正確;對(duì)于B,=,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,=(xy>0),所以C正確;對(duì)于D,=,所以D錯(cuò)誤.故選AC.
(2)==.
(3)===.
變式　(1)D　(2)BC　[解析] (1)原式==(=.故選D.
(2)對(duì)于選項(xiàng)A,=(x>0),故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,=(=(a>0),故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,==(x>0,y>0),故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,[=(=(x>0),故D錯(cuò)誤.故選BC.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)因?yàn)閍>0,所以===a.
(2)①原式=+-(+1=+-2+1=.
②原式=8×=-6b=-6b.
③原式=(-2)·(a3b-2)÷(4)=-=-.
④原式=++-3+=+100+-3+=100.
變式　解:(1)原式=1-+×=-+25×=12.
(2)原式=+(×)6+(-1)0+(22=+()6×()6+1+23=2+23×32+1+8=2+72+9=83.
(3)原式=÷÷=÷÷=÷(÷(a-2=÷÷=÷===.
(4)原式==·=ab-1=.
探究點(diǎn)三
例3　(1)C　(2)　[解析] (1)由-=得(-)2=a-2+a-1=5,即a+a-1=7,則+====3,所以a-a-1=(+)(-)=3,故a2-a-2=(a+a-1)(a-a-1)=21.故選C.
(2)因?yàn)閤2-3x+1=0,所以x≠0,x+=3,即x+x-1=3,兩邊平方整理得x2+=7,即x2+x-2=7.因?yàn)?+)2=x+x-1+2=3+2=5,所以+=,則==.
(3)解:==.
因?yàn)閤+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,又x變式　(1)C　(2)BC　(3)　[解析] (1)由8b=3可得23b=3,所以4a-3b===,故選C.
(2)因?yàn)閍+=a+a-1=(-)2+2=4,所以(-)2=2,所以-=或-=-.故選BC.
(3)將-=1兩邊平方得a+a-1-2=1,則a+a-1=3,所以===.
拓展　B　[解析] 由+=3,得=()2+()-2=+===.4.1.2　指數(shù)冪的拓展
1.C　[解析] ====.故選C.
2.A　[解析] ·=·(-a) =-(-a) ·(-a) =-(-a) =-.
3.D　[解析] =()-1=[(]-1=.故選D.
4.B　[解析] 對(duì)于A,(-a)2·(-a)3=a2·(-a3)=-a5,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,=a(a≥0),故B正確;對(duì)于C,=a5b-5,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,==,故D錯(cuò)誤.故選B.
5.D　[解析] 原式===27-2n=.故選D.
6.C　[解析] (a2-2+a-2)÷(a2-a-2)=(a-a-1)2÷[(a+a-1)(a-a-1)]===.故選C.
7.1　[解析] ====1.
8.7　　[解析] 因?yàn)?=3,所以a+a-1=(+)2-2=32-2=7.所以====.
9.解:(1)+--=(33+(42--=9+-4-=3.
(2)4÷=4×··=-6a.
10.C　[解析] ∵a2x=3,∴a-2x=,∴(ax+a-x)2=a2x+2+a-2x=3+2+=,故選C.
11.CD　[解析] 對(duì)于A,=a2,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,2-2==,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,(·)÷=(·)÷==a,故C正確;對(duì)于D,=(-1=(-1=,故D正確.故選CD.
12.ABD　[解析] 對(duì)于A,因?yàn)閍2+b2=2,a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,所以2≥2ab,即ab≤1,則A正確;對(duì)于B,(a+b)2=a2+b2+2ab=2+2ab≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,所以a+b≤2,則B正確;對(duì)于C,(+)2=a+b+2≤2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,所以+≤2,所以·=≤16,則C錯(cuò)誤;對(duì)于D,+≥2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,所以+≥2=2≥2=4,則D正確.故選ABD.
13.　[解析] 因?yàn)閍>0,b>0,4a=b2=16,16=42,所以a=2,b=4,所以2a-b=22-4=.
14.解:(1)①由10m=2,10n=3,可得1====.
②因?yàn)?=1,所以=
=a-1+a-1=(-)2+1=12+1=2.
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得+=5,=3,
所以====m++n=(+)2-=52-3=22.
15.　[解析] 因?yàn)閙2x=2,且m>0,所以===m2x-1+m-2x=m2x-1+=2-1+=.
16.解:∵ax=70ω,且x,ω為非零實(shí)數(shù),∴=7.
同理,可得=7,=7.
∴··=7·7·7,即(abc=7.
又++=,a,b,c為正整數(shù),∴abc=70=2×5×7.∵a≤b≤c,∴a=2,b=5,c=7.4.1.2　指數(shù)冪的拓展
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.能夠在具體的數(shù)學(xué)情境中,了解有理數(shù)指數(shù)冪(a>0,且a≠1;m,n為整數(shù),且n>0)和實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax(a>0,且a≠1;x∈R)的含義.
　　2.對(duì)給出的具體數(shù)學(xué)問(wèn)題,能夠運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　有理數(shù)指數(shù)冪
1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
一般地,我們規(guī)定=　　　　(a>0,m,n∈N*,n>1).
2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)=　　　　(a>0,m,n∈N*,n>1);
(2)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為　　　　;
(3)0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪　　　　(0的0次冪無(wú)意義).
3.asat=　　　　,(as)t=　　　　,(ab)t=　　　　,其中s,t∈Q,a>0,b>0.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)=. (　 )
(2)=(a>0). (　 )
(3)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示 (a>b)為(a-b. (　 )
(4)(-a4b2)·(-ab2)3=a7b8. (　 )
(5)(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3. (　 )
2.(1)我們知道32×33=32+3,那么×=成立嗎
(2)任何有意義的根式都能化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式嗎
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　無(wú)理數(shù)指數(shù)冪
1.無(wú)理數(shù)指數(shù)冪:ax(a>0且x是一個(gè)無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).
2.有理數(shù)指數(shù)冪和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)指數(shù)冪,其運(yùn)算性質(zhì)與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)完全一致,即asat=as+t,(as)t=as t,(ab)t=atbt,其中s,t∈R,a>0,b>0.
◆ 探究點(diǎn)一　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化
例1 (1)(多選題)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中,正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-=-(x>0)
B.=-(x>0)
C.=(xy>0)
D.=
(2)[2025·上海師大第二附中高一期中] 代數(shù)式(a>0)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為　　　　.
(3)[2025·江蘇海門(mén)中學(xué)高一月考] 已知a>0,將化為有理數(shù)指數(shù)冪ak形式,則k=　　　　.
變式 (1)[2025·江蘇常州北郊高級(jí)中學(xué)高一期中] 設(shè)a>0,則的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)(多選題)[2024·江西新余高一期中] 下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中正確的有 (　 )
A.=-(x>0)
B.=(a>0)
C.=(x>0,y>0)
D.[=-(x>0)
[素養(yǎng)小結(jié)]
解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化問(wèn)題的關(guān)鍵是熟記根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系式=和==,其中a>0,m,n∈N*且n>1.
◆ 探究點(diǎn)二　實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算
例2 (1)已知a>0,化簡(jiǎn):.
(2)化簡(jiǎn)與計(jì)算下列各式(式中字母都為正數(shù)):
①+-(+;
②;
③(-2)·(-)6÷(-2)2;
④+(0.1)-2+-3π0+.
變式 化簡(jiǎn)與求值.
(1)(3-π)0++(0.008×;
(2)(0.125+(×)6+(-1)0+[(-2)2;
(3)÷÷(a>0);
(4)(a>0,b>0).
[素養(yǎng)小結(jié)]
指數(shù)冪運(yùn)算的基本原則與常用方法
(1)基本原則:式子中既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式時(shí),一般把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn).
(2)常用方法:①有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的,無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算;②化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪;③化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;④化小數(shù)為分?jǐn)?shù);⑤底數(shù)是帶分?jǐn)?shù),先要化成假分?jǐn)?shù).
◆ 探究點(diǎn)三　整體代換法求值
例3 (1)[2025·江蘇南京六校高一期中] 已知-=,則a2-a-2= (　 )
A.3 B.±3
C.21 D.±21
(2)[2025·蘇州高一檢測(cè)] 若x2-3x+1=0,則=　　　　.
(3)已知x+y=12,xy=9,且x變式 (1)[2025·天津河西區(qū)期中] 已知2a=5,8b=3,則4a-3b= (　 )
A.25 B.5
C. D.
(2)(多選題)[2025·重慶巴蜀中學(xué)高一期中] 已知a+=4,則-的值可能為 (　 )
A.2 B.
C.- D.-2
(3)[2025·湖北荊州中學(xué)高一期中] 已知-=1,計(jì)算=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算中常用的技巧,觀察分析條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),靈活運(yùn)用恒等式是關(guān)鍵之一.
(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算問(wèn)題的另一個(gè)關(guān)鍵是掌握好完全平方公式及其變形公式:x2+x-2=(x±x-1)2 2,x+x-1=(±)2 2,+=(±)2 2.
拓展 設(shè)+=3(a>0),則= (　 )
A.7 B. C.5 D.454.1.2　指數(shù)冪的拓展
1.= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.·(a<0)等于 (　 )
A.- B.±
C. D.
3.[2025·河北滄州四校聯(lián)考高一期中] 若a>0,則的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為　　 (　 )
A. B. C. D.
4.[2025·天津一中高一期中] 下列計(jì)算正確的是 (　 )
A.(-a)2·(-a)3=a5
B.=a(a≥0)
C.=a5(a,b>0)
D.=(-2
5.計(jì)算(n∈N*)(a>0)的結(jié)果為 (　 )
A. B.22n+5
C.2n2-2n+6 D.
6.化簡(jiǎn)(a2-2+a-2)÷(a2-a-2)(a>1)的結(jié)果為 (　 )
A.1 B.-1
C. D.
7.m>0,化簡(jiǎn):=　　　　.
8.若+=3,則a+a-1=　　　　;=　　　　.
9.(13分)計(jì)算下列各式的值:
(1)+--;
(2)4÷,其中a,b>0.
10.已知a>0且a2x=3,則(ax+a-x)2= (　 )
A. B.
C. D.
11.(多選題)[2025·福建廈門(mén)英才學(xué)校高一期中] 已知a>0,則下列各式中正確的是 (　 )
A.=|a|
B.2-2=-4
C.(·)÷=a
D.=
12.(多選題)[2025·陜西榆林八校高一期中] 已知正數(shù)a,b滿足a2+b2=2,則 (　 )
A.ab≤1 B.a+b≤2
C.·≤4 D.+≥4
13.已知a>0,b>0,4a=b2=16,則2a-b的值是　　　　.
14.(15分)(1)[2025·江蘇東海高級(jí)中學(xué)月考] ①若已知10m=2,10n=3,求1的值;
②已知-=1,求的值.
(2)已知,是方程x2-5x+3=0的兩個(gè)根,求的值.
15.已知m2x=2,且m>0,則的值為　　　　.
16.(15分)對(duì)于正整數(shù)a,b,c(a≤b≤c)和非零實(shí)數(shù)x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω,=++,求a,b,c的值.

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