資源簡介

(共57張PPT)
4.2 對數
4.2.1 對數的概念
探究點一 對數的概念
探究點二 指數式與對數式的互化
探究點三 求對數值
探究點四 利用對數性質或對數恒等式求值
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
能夠在具體的數學情境中，得出對數的概念.
知識點一 對數的概念
1.定義:一般地,如果,那么就稱 是以_________
的對數,記作__________,其中，叫作對數的______, 叫作______.
為底
底數
真數
2.通常將以10為底的對數稱為__________.為了方便起見，對數
簡記為_____.
在科學技術中，常常使用以 為底的對數,這種對數稱為__________
是一個無理數.正數的自然對數 一般簡記為
_____.
常用對數
自然對數
3.根據對數的定義,可以得到對數與指數間的關系:當,且 時,
_______.
對數式與指數式是同一種數量關系的兩種不同表達形式.具體對應如
圖所示.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）表示與 的乘積.( )
×
（2）可化為 .( )
×
（3）對數式與 的意義一樣．( )
×
（4）對數運算的實質是求冪指數.( )
√
2.（1）怎樣理解對數式的意義
解：可以從以下三個角度理解對數式的意義.
角度一:對數式可看作一種記號,只有當,,且 時
才有意義.
角度二:對數式也可以看作一種運算,這種運算是在已知
求 的前提下提出的.
角度三: 是一個數,是一種取對數的運算,結果仍是一個數,不可分
開書寫,也不可認為是與 的乘積.
（2）在對數概念中,為什么規定,且 呢
解：①若,則取某些數值時,不存在,因此規定 不能小于0.
②若,當時,則不存在,當時,則 有無數個
值,因此規定 .
③若,當時,則不存在,當時,則 有無數個
值,因此規定 .
知識點二 對數的性質與對數恒等式
1.對數的性質：如果,且 ，那么
（1） ___,語言表述為_________________；
（2） ___,語言表述為______________；
（3）_________沒有對數.
1
底數的對數等于1
0
1的對數等于0
0和負數
2.對數恒等式為__________________________.
3.___，且 .
，且
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）對任意，均有 .( )
×
（2）對任意，均有 .( )
×
（3）對任意，均有 .( )
×
（4）對任意,均有 .( )
√
探究點一 對數的概念
例1（1）使對數有意義的 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 要使對數有意義，只要使真數 即
可，可得，所以的取值范圍為 ，故選C.
√
（2）在對數式中,實數 的取值范圍是
( )
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 由題意,得解得或 ,故選C.
√
（3）（多選題）下列說法中正確的是( )
A.零和負數沒有對數
B.任何一個指數式都可化為對數式
C.以10為底的對數叫作常用對數
D.以 為底的對數叫作自然對數
[解析] 由對數的概念知，零和負數沒有對數，故A正確；
對于指數式,只有 時該指數式才可以化為對數式，
故B錯誤；
把以10為底的對數叫作常用對數,以 為底的對數叫作自然對數,故C,D正確，
故選 .
√
√
√
［素養小結］
對數有意義的兩個條件：①底數大于0且不等于1；②真數必須大于0．
探究點二 指數式與對數式的互化
例2 把下列各式中的對數式寫成指數式,指數式寫成對數式.
（1） ；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） ；
解： ；
例2 把下列各式中的對數式寫成指數式,指數式寫成對數式.
（4） ；
解： ；
（5） ；
解： ；
（6） ；
解： ；
（7） .
解： .
變式（1）已知，則 等于( )
A.4 B. C.256 D.2
[解析] 由題知且，所以 .故選A.
√
（2）（多選題）下列指數式與對數式的互化正確的是( )
A.與 B.與
C.與 D.與
[解析] 當,且時,由 可知,A,B,D都正確;
C中,.故選 .
√
√
√
（3）已知且，,,則 ____.
12
[解析] 由,,得, ,
所以 .
［素養小結］
對數式與指數式的關系：由對數的定義知,對數式與指數式是同一種
數量關系的兩種不同表達形式.其關系如表:
式子 名稱 意義
底數 指數 冪 底數 對數 真數 探究點三 求對數值
例3 求下列各式的值：
（1） ;
解：, .
（2） ;
解：, .
（3） ;
解：設,則,則, ，
,故 .
例3 求下列各式的值：
（4） .
解：, .
變式 已知,且,若，則___, ___.
2
[解析] ,且，，
， .
［素養小結］
求對數式的值的步驟：（1）設;（2）將
寫成指數式;（3）將寫成以為底的指數冪,則,
即.
探究點四 利用對數性質或對數恒等式求值
例4（1）求下列各式的值:
___; ___;
___； ___；
___； ___；
___; ___.
0
1
0
0
0
0
8
[解析] .
② .
③ .
④ .
⑤ .
⑥ .
⑦由對數恒等式且,,得 .
⑧ .
（2）求下列各式中 的值.
①; ;
③ ；
④ ；
⑤ .
解:①因為,所以,又且,所以 .
② .
③因為，所以 ，
所以，解得 .
④因為，所以 ，
所以，解得 .
⑤因為，所以，解得 .
變式（1）有以下四個結論：；②若 ，
則；③若，則 .其中正確的是______（把正確結
論的序號都填上）.
①②
[解析] ，故①正確；
若 ，則，故②正確；
若，則 ，故③錯誤.
故填①②.
（2）已知,求 的值.
解：因為,所以,所以 ,
所以.同理可求得,所以 .
［素養小結］
運用對數恒等式時的注意事項
（1）對于對數恒等式，且，要注意格
式：①它們是同底的；②指數中含有對數形式；③其值為對數的真數．
（2）對于指數中含有對數值的式子進行化簡，應充分考慮對數恒等
式的應用.
18世紀，瑞士數學家歐拉 發現指數與對數的互逆
關系，并在1770年出版的一部著作中，首先使用 來定義
．他指出“對數源于指數”.對數的發明先于指數，這成為數
學史上的珍聞.
（1）對數的概念的實質是指數式化為對數式，關鍵是弄清指數式各
部分的“去向”.
（2）對數的簡單運算可以利用指數式與對數式的關系或利用對數的
性質解決.
1.（1）指數式化為對數式時，將指數式的冪作為真數，指數作為對
數，底數不變，寫出對數式．
（2）對數式化為指數式時，將對數式的真數作為冪，對數作為指數，
底數不變，寫出指數式．
例1 ［2025·山東青島調研］若正數， 滿足
，則 ( )
A.128 B.108 C.2 D.1
[解析] 令 ,
則，，，
因為 ，所以，所以 .故選B.
√
2.（1）求多重對數式的值，解題方法是由內到外，如求
的值，先求的值，再求 的值.
（2）已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“
”后再求解.
例2 計算： .
解： .
3.，且， 的作用在于能把任意一個正
實數轉化成以 為底的指數形式．
例3 求下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
練習冊
1.已知,則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為,所以 ,故選B.
√
2.［2024·福建廈門期末］已知，則 ( )
A.2 B. C.3 D.4
[解析] 因為，所以，且 ，
所以 .故選B.
√
3.已知對數式有意義，則 的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由有意義可知解得 且
，所以的取值范圍為 .故選A.
√
4.［2025·江蘇宿遷高一期中］計算 ( )
A. B.7 C. D.
[解析] .故選B.
√
5.已知滿足，則 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
則，即，所以 .故選B.
√
6.（多選題）下列指數式與對數式的互化正確的是( )
A.與 B.與
C.與 D.與
[解析] 將指數式化成對數式為 ,故A正確;
將指數式化成對數式為,故B錯誤;
將指數式 化成對數式為,故C正確;
將指數式化成對數式為 , 故D正確.
故選 .
√
√
√
7.［2025·四川成都玉林中學月考］計算 ___.
6
[解析] .
8.［2025·上海師大附中高一期中］關于的方程 的解集為
________.
{
[解析] 因為，所以，
所以方程 的解集為{ .
9.（13分）將下列指數式改寫成對數式，對數式改寫成指數式：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
10.（13分）
（1）求下列各式中 的值．
① ；
解:由，得，所以 .
② .
解:因為，所以，所以 .
（2）已知，，求 的值.
解： 因為，所以 ，
又，所以 .
10.（13分）
（3）已知，求 的值.
解： 由，得，則 ，
所以 .
11.若，，則 的值是( )
A.3 B. C. D.
[解析] 因為，所以，
又因為 ,所以，
所以 .故選A.
√
12.（多選題）以下結論正確的是( )
A. B.
C.若,則 D.若,則
[解析] ;
;
若 ,則;
若,則.
故選 .
√
√
13.若,,則 __.
[解析] ,,， ，
.
14.若滿足，則 ______.
或8
[解析] 設，則原方程可化為，
解得 或，
所以或，解得或 .
15.［2025·江蘇揚州中學高一期中］已知,為正實數， ，
，則 __.
[解析] 因為,為正實數， ，所以
，所以 ，故.
因為，所以 .
又，，所以，當且僅當 時，
等號成立.
綜上，，則，可得 ，
則 .
16.（15分）已知，且； ，且
．求證：或 .
證明：設，則， ，
，且，，即 .
當時，；當時，.故或 ．
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1.為底 底數 真數
2.常用對數 自然對數 3.
【診斷分析】 1.（1）× （2）× （3）× （4）√ 2.略
知識點二 1.（1）1 底數的對數等于1 （2）0 1的對數等于0 （3）0和負數
2.，且 3. 【診斷分析】（1）×（2）×（3）×（4）√
課中探究 例1 （1）C （2）C （3）ACD
例2 （1） （2） （3） （4）
（5） （6）m> （7）
變式 （1）A （2）ABD （3）12
例3 （1） （2）（3）（4） 變式 2
例4 （1）0 1 0 0 0 0 8 （2）① ②③ ④ ⑤
變式 （1）①② （2）
快速核答案（練習冊）
1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.ACD 7.6 8.{
9.（1） （2）/m> （3） （4）
10.（1）① ② （2）（3）
11.A 12.AB 13. 14.或8 15.
16.略4.2　對數
4.2.1　對數的概念
【課前預習】
知識點一
1.a為底N　logaN=b　底數　真數
2.常用對數　lg N　自然對數　ln N　3.logaN
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.解:(1)可以從以下三個角度理解對數式的意義.
角度一:對數式logaN可看作一種記號,只有當a>0,a≠1,且N>0時才有意義.
角度二:對數式logaN也可以看作一種運算,這種運算是在已知ab=N求b的前提下提出的.
角度三:logaN是一個數,是一種取對數的運算,結果仍是一個數,不可分開書寫,也不可認為是loga與N的乘積.
(2)①若a<0,則N取某些數值時,logaN不存在,因此規定a不能小于0.
②若a=0,當N≠0時,則logaN不存在,當N=0時,則logaN有無數個值,因此規定a≠0.
③若a=1,當N≠1時,則logaN不存在,當N=1時,則logaN有無數個值,因此規定a≠1.
知識點二
1.(1)1　底數的對數等于1　(2)0　1的對數等于0
(3)0和負數
2.=b(a>0,且a≠1)　3.b
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)C　(3)ACD　[解析] (1)要使對數log2(-2x+3)有意義,只要使真數-2x+3>0即可,可得x<,所以x的取值范圍為,故選C.
(2)由題意,得解得45,故選C.
(3)由對數的概念知,零和負數沒有對數,故A正確;對于指數式ax=N(a>0),只有a≠1時該指數式才可以化為對數式,故B錯誤;把以10為底的對數叫作常用對數,以e為底的對數叫作自然對數,故C,D正確,故選ACD.
探究點二
例2　解:(1)log3=-4;(2)log520=x;(3)log71=b;
(4)log2=-;(5)2b=10;(6)ex=5;(7)104=x.
變式　(1)A　(2)ABD　(3)12　[解析] (1)由題知x2=16(x>0且x≠1),所以x=4.故選A.
(2)當a>0,且a≠1時,由ax=N x=logaN可知,A,B,D都正確;C中,log39=2 9=32.故選ABD.
(3)由loga2=p,loga3=q,得ap=2,aq=3,所以a2p+q=a2p·aq=(ap)2·aq=22×3=12.
探究點三
例3　解:(1)∵25=32,∴log232=5.
(2)∵103=1000,∴lg 1000=3.
(3)設x=log4,則4x=,則22x=2-5,∴2x=-5,
∴x=-,故log4=-.
(4)∵(-1)2=3-2,∴lo(3-2)=2.
變式　　2　[解析] ∵a>0,且a≠1,=,∴a===,loa=lo=2.
探究點四
例4　(1)①0　②1　③0　④0　⑤0　⑥0　⑦8　⑧
[解析] ①log330=log31=0.
②log77=1.
③lg(lg 10)=lg 1=0.
④lg(ln e)=lg 1=0.
⑤ln(lg 10)=ln 1=0.
⑥ln(ln e)=ln 1=0.
⑦由對數恒等式=N(a>0且a≠1,N>0),得0.=8.
⑧+e2ln 4=()-1+(eln 4)2=3-1+42=+16=.
(2)解:①因為logx81=4,所以x4=81=34,又x>0且x≠1,所以x=3.
②x==(==5.
③因為log8[log7(log2x)]=0,所以log7(log2x)=1,
所以log2x=7,解得x=27=128.
④因為log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,
所以log2x=9,解得x=29=512.
⑤因為=27,所以2x+1=27,解得x=13.
變式　(1)①②　[解析] log2(log216)=log24=2,故①正確;若1=log5M,則M=5,故②正確;若e=ln x,則x=ee,故③錯誤.故填①②.
(2)解:因為log2[log3(log4x)]=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.同理可求得y=16,所以x+y=80.4.2　對數
4.2.1　對數的概念
1.B　[解析] 因為3x=2,所以x=log32,故選B.
2.B　[解析] 因為logx8=2,所以x2=8,且x∈(0,1)∪(1,+∞),所以x=2.故選B.
3.A　[解析] 由log(a+1)有意義可知解得-14.B　[解析] =(2-1==7.故選B.
5.B　[解析] 由=43,得23×=43,則8(3x+5)=43,即24x+40=43,所以x=.故選B.
6.ACD　[解析] 將指數式e0=1化成對數式為ln 1=0,故A正確;將指數式=2化成對數式為log42=,故B錯誤;將指數式2=化成對數式為log25=-,故C正確;將指數式31=3化成對數式為log33=1,故D正確.故選ACD.
7.6　[解析] +lg 0.1+ln=8-1-1=6.
8.{log35}　[解析] 因為3x==5,所以x=log35,所以方程3x=的解集為{log35}.
9.解:(1)log216=4.
(2)lo0.45=b.
(3)53=125.
(4)10-1.5=a.
10.解:(1)①由logx27=,得=27,所以x=2=(33=9.
②因為log5(log2x)=0,所以log2x=1,所以x=2.
(2)因為a=log23,所以2a=3,
又2b=5,所以2a-2b=2a÷(2b)2=3÷52=.
(3)由x=log23,得2x=3,則2-x=,
所以==.
11.A　[解析] 因為log4=y,所以4y=22y=,又因為2x=6,所以2x+2y=2x·22y=6×=8=23,所以x+2y=3.故選A.
12.AB　[解析] log5(lg 10)=log5 1=0;log3(ln e)=log3 1=0;若lg x=10,則x=1010;若ln x=e,則x=ee.故選AB.
13.　[解析] ∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3,∴a2m-n=(am)2÷an=22÷3=.
14.或8　[解析] 設t=log2x,則原方程可化為t2+t-12=0,解得t=-4或t=3,所以log2x=-4或log2x=3,解得x=或x=8.
15.　[解析] 因為a,b為正實數,(a-b)2=(ab)3,所以===ab,所以-=ab,故ab+=.因為+≤2,所以ab+=≤4.又ab>0,>0,所以ab+≥2=4,當且僅當ab=2時,等號成立.綜上,4≤ab+≤4,則ab+=4,可得ab=2,則log4(ab)=log42=log4=.
16.證明:設logab=logba=k,則b=ak,a=bk,∴b=(bk)k=.∵b>0,且b≠1,∴k2=1,即k=±1.
當k=1時,a=b;當k=-1時,a=.故a=b或a=.4.2　對數
4.2.1　對數的概念
【學習目標】
　　能夠在具體的數學情境中,得出對數的概念.
◆ 知識點一　對數的概念
1.定義:一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就稱b是以　　　　的對數,記作　　　　,其中,a叫作對數的　　　　,N叫作　　　　.
2.通常將以10為底的對數稱為　　　　　　.為了方便起見,對數log10N簡記為　　　　.
在科學技術中,常常使用以e為底的對數,這種對數稱為　　　　　　.e=2.718 28…是一個無理數.正數N的自然對數logeN一般簡記為　　　　.
3.根據對數的定義,可以得到對數與指數間的關系:當a>0,且a≠1時,ab=N b=　　　　　.
對數式與指數式是同一種數量關系的兩種不同表達形式.具體對應如圖所示.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)logaN表示loga與N的乘積. (　 )
(2)(-2)3=-8可化為log(-2)(-8)=3. (　 )
(3)對數式log32與log23的意義一樣. (　 )
(4)對數運算的實質是求冪指數. (　 )
2.(1)怎樣理解對數式的意義
(2)在對數概念中,為什么規定a>0,且a≠1呢
◆ 知識點二　對數的性質與對數恒等式
1.對數的性質:如果a>0,且a≠1,那么
(1)logaa=　　　　,語言表述為　　　　　　　　　　　　;
(2)loga1=　　　　,語言表述為　　　　　　　　　　　　;
(3)　　　　　沒有對數.
2.對數恒等式為　　　　　　　　　　.
3.logaab=　　　　(a>0,且a≠1).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)對任意a∈R,均有logaa=1. (　 )
(2)對任意a>0,均有loga1=0. (　 )
(3)對任意b∈R,均有=b. (　 )
(4)對任意b∈R,均有log22b=b. (　 )
◆ 探究點一　對數的概念
例1 (1)使對數log2(-2x+3)有意義的x的取值范圍為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)在對數式b=log(a-4)(a2-2a-8)中,實數a的取值范圍是 (　 )
A.a<-2或a>4 B.-2C.45 D.4(3)(多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.零和負數沒有對數
B.任何一個指數式都可化為對數式
C.以10為底的對數叫作常用對數
D.以e為底的對數叫作自然對數
[素養小結]
對數有意義的兩個條件:①底數大于0且不等于1;②真數必須大于0.
◆ 探究點二　指數式與對數式的互化
例2 把下列各式中的對數式寫成指數式,指數式寫成對數式.
(1)3-4=;(2)5x=20;(3)7b=1;
(4)=;(5)b=log210;
(6)x=ln 5;(7)4=lg x.
變式 (1)已知logx16=2,則x等于 (　 )
A.4 B.±4
C.256 D.2
(2)(多選題)下列指數式與對數式的互化正確的是 (　 )
A.100=1與lg 1=0
B.2=與log27=-
C.log39=2與=3
D.log55=1與51=5
(3)已知a>0且a≠1,loga2=p,loga3=q,則a2p+q=　　　　.
[素養小結]
對數式與指數式的關系:由對數的定義知,對數式與指數式是同一種數量關系的兩種不同表達形式.其關系如表:
式子 名稱 意義
a x N
指數式ax=N 底數 指數 冪 a的x次冪等于N
對數式logaN=x 底數 對數 真數 以a為底N的對數等于x
◆ 探究點三　求對數值
例3 求下列各式的值:
(1)log232;(2)lg 1000;
(3)log4;(4)lo(3-2).
變式 已知a>0,且a≠1,若=,則a=　　　　,loa=　　　　.
[素養小結]
求對數式logaN的值的步驟:(1)設logaN=m;(2)將logaN=m寫成指數式am=N;(3)將N寫成以a為底的指數冪N=ab,則m=b,即logaN=b.
◆ 探究點四　利用對數性質或對數恒等式求值
例4 (1)求下列各式的值:
①log330=　　　　;②log77=　　　　;
③lg(lg 10)=　　　　;④lg(ln e)=　　　　;
⑤ln(lg 10)=　　　　;⑥ln(ln e)=　　　　;
⑦0.=　　　;⑧+e2ln 4=　　　.
(2)求下列各式中x的值.
①logx81=4;②=x;
③log8[log7(log2x)]=0;
④log2[log3(log2x)]=1;
⑤=27.
變式 (1)有以下四個結論:①log2(log216)=2;②若1=log5M,則M=5;③若e=ln x,則x=e2.其中正確的是　　　　(把正確結論的序號都填上).
(2)已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值.
[素養小結]
運用對數恒等式時的注意事項
(1)對于對數恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)要注意格式:①它們是同底的;②指數中含有對數形式;③其值為對數的真數.
(2)對于指數中含有對數值的式子進行化簡,應充分考慮對數恒等式的應用.4.2　對數
4.2.1　對數的概念
1.已知3x=2,則x= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.log23 B.log32
C. D.
2.[2024·福建廈門期末] 已知logx8=2,則x= (　 )
A.2 B.2
C.3 D.4
3.已知對數式log(a+1)有意義,則a的取值范圍為 (　 )
A.(-1,0)∪(0,4)
B.(-1,4)
C.(-4,0)∪(0,1)
D.(-4,1)
4.[2025·江蘇宿遷高一期中] 計算= (　 )
A.7-1 B.7
C.27 D.2-7
5.已知x滿足=43,則x的值為 (　 )
A. B.
C. D.
6.(多選題)下列指數式與對數式的互化正確的是 (　 )
A.e0=1與ln 1=0
B.log24=2與=2
C.log25=-與2=
D.31=3與log33=1
7.[2025·四川成都玉林中學月考] 計算+lg 0.1+ln=　　　　.
8.[2025·上海師大附中高一期中] 關于x的方程3x=的解集為　　　　.
9.(13分)將下列指數式改寫成對數式,對數式改寫成指數式:
(1)24=16;(2)=0.45;(3)log5125=3;(4)lg a=-1.5.
10.(13分)(1)求下列各式中x的值.
①logx27=;②log5(log2x)=0.
(2)已知a=log23,2b=5,求2a-2b的值.
(3)已知x=log23,求的值.
11.若2x=6,log4=y,則x+2y的值是 (　 )
A.3 B.
C.log23 D.-3
12.(多選題)以下結論正確的是 (　 )
A.log5(lg 10)=0
B.log3(ln e)=0
C.若lg x=10,則x=10
D.若ln x=e,則x=e2
13.若loga2=m,loga3=n,則a2m-n=　　　　.
14.若x滿足(log2x)2+log2x-12=0,則x=　　　　.
15.[2025·江蘇揚州中學高一期中] 已知a,b為正實數,+≤2,(a-b)2=(ab)3,則log4(ab)=　　　　.
16.(15分)已知logab=logba(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).求證:a=b或a=.

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