資源簡介

(共45張PPT)
4.2 對數
4.2.2 對數的運算性質
第1課時 對數的運算性質
探究點一 利用對數的運算性質化簡求值
探究點二 對數運算性質的綜合運用
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能夠利用指數式與對數式的關系證明對數的運算性質.
2.能夠利用對數的運算性質進行對數運算.
知識點 對數的運算性質
（1） _______________；
（2） _______________;
（3） ________.
其中,且,,, .
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）兩個正數的積、商的對數可以分別化為它們對數的和、
差．( )
√
（2）兩個正數的和的對數等于它們的對數的和.( )
×
（3） .( )
×
（4） .( )
×
2.（1）若,運算法則 還成立嗎
解：不一定成立.例如對于 ,
,這是因為 和
沒有意義.
（2）對數的運算性質是否可以逆用
解：對數的運算性質只要各字母滿足條件即可逆用.
探究點一 利用對數的運算性質化簡求值
例1 計算下列各式:
（1） ;
解：原式 .
（2） ；
解：原式 ．
例1 計算下列各式:
（3） .
解：原式 .
變式 計算下列各式:
（1） ;
解：
.
變式 計算下列各式:
（2） ;
解： .
（3） .
解：原式 .
［素養小結］
利用對數的運算性質化簡、求值的常見策略
（1）“收”：將同底的兩個對數的和（差）合并為積（商）的對數，
即公式的逆用.
（2）“拆”：將積（商）的對數拆成同底的兩個對數的和（差），即
公式的正用.
（3）“湊”：將同底數的對數湊成特殊值，如利用進行
計算或化簡.
拓展 已知，且，求實數 的值.
解：因為 ，
所以 .
探究點二 對數運算性質的綜合運用
例2（1）［2025·江蘇泰州中學高一期中］已知, ,
，則 的值為
( )
（附：若（其中且，， ），
則 ）
A. B.1 C. 或0 D.1或0
√
[解析] 因為，
，
，所以 ，
化簡得，即 ，解得
或.
又 ,
所以當時，;
當 時， .故選C.
（2）設，，則 _______.
[解析] 因為 ，
,兩式相減可得
，解得 ，則
.
變式（1）［2025·江蘇無錫錫山高級中學高一期末］已知正實數,
滿足，則 的值是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由 ，得
，
設,則， ，
，
又因為，所以 ,即,
所以 .故選A.
√
（2）用,,且，，， 表
示下列各式.
① ；
解： .
② ；
解： .
（2）用,,且，，， 表
示下列各式.
③ .
解： .
［素養小結］
當對數問題用對數自身的知識難以解決時，通常將對數化為指數來
解決；反之亦然.通過對數式與指數式的互化，能轉化問題，進而解
決問題.
運算法則的注意點:（1）在對數的運算法則中,各個字母都有一定的
取值范圍,,,且 ,只有當式子中所有的對數符
號都有意義時,等式才成立.如是存在的,但
與 均不存在,故不能寫成
（2）有時逆向運用運算性質,可達到簡化的目的，如
.
練習冊
1.［2025·江蘇宿遷中學高一月考］計算：
( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] .故選B.
√
2.若，則 的值為( )
A. B.3 C. D.
[解析] .故選A.
√
3.化簡 可得( )
A. B. C. D.3
[解析] .故選D.
√
4.若,，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] ,, , ，
，故選D.
√
5. ( )
A.1 B. C.2 D.
[解析]
.故選B.
√
6.已知，是方程的兩根，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，是方程 的兩根，
，， ，故選D.
√
7.方程 的解為______.
[解析] ， ，
解得 .
8.已知，那么的計算結果可以用 表示為
______.
[解析]
.
9.（13分）用，， 表示下列各式：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
10.（13分）計算下列各式的值：
（1） ；
解：原式
（2） .
解：原式 .
10.（13分）計算下列各式的值：
（3） .
解：原式 .
11.若，，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
12.［2025·江蘇泰興高一期中］
( )
A.4 B.2 C. D.
[解析] 因為 ，
，所以 .故選C.
√
13.（多選題）若 ，則下列各式中，一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 對于A，當， 時，等式右邊無意義，A不一定成立；
對于B，當， 時，等式右邊無意義，B不一定成立；
對于C，，， ，C一定成立；
對于D，，，D一定成立.
故選 .
√
√
14.若方程 的兩根分別是
， ，則 的值是___.
[解析] 令，則由已知得 ， 是方程
的兩根，
則,則，解得 .
15.［2025·江蘇南京如皋十校高一期中］已知， ，
用含，的式子表示 ___________.
[解析] 因為 ，
，所以 ，
，所以 .
16.（15分）［2025·江蘇徐州三中高一期中］ 我們知道，任何一個
正實數都可以表示成.當 時，
記的整數部分的位數為，例如 ；當
時，記 的非有效數字的個數（即左邊第一個不是0的數字之前
0的個數）為，例如 .
（1）求，，并寫出 的表達
式（不必寫出過程）；
解：， ，
由題意，當時，的整數部分的位數為 ，
當時，的非有效數字的位數為 ，
所以
16.（15分）［2025·江蘇徐州三中高一期中］ 我們知道，任何一個
正實數都可以表示成.當 時，
記的整數部分的位數為，例如 ；當
時，記 的非有效數字的個數（即左邊第一個不是0的數字之前
0的個數）為，例如 .
（2）若，且取，求, 以及
；
解：由 兩邊取常用對數，可得
，所以
.故， ，
.
16.（15分）［2025·江蘇徐州三中高一期中］ 我們知道，任何一個
正實數都可以表示成.當 時，
記的整數部分的位數為，例如 ；當
時，記 的非有效數字的個數（即左邊第一個不是0的數字之前
0的個數）為，例如 .
（3）已知，猜想與 的大小關系，并證明你的結論.
解：猜想： .證明如下：
當時，為正整數且不可能是10的整數倍，所以存在 ，
使得，此時 ，
又 ，
所以，所以 .
快速核答案（導學案）
課前預習（1） （2） （3）
【診斷分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）× 2.略
課中探究 例1 （1） （2） （3） 變式 （1）3（2） （3）7
拓展 0
例2 （1）C （2） 變式 （1）A
（2）① ② ③
快速核答案（練習冊）
1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.D 7. 8.
9.（1） （2） （3）
10.（1） （3）
11.C 12.C 13.CD 14.
15. 16.（1），，

（2），，. （3）猜想：4.2.2　對數的運算性質
第1課時　對數的運算性質
【課前預習】
知識點
(1)logaM+logaN　(2)logaM-logaN　(3)nlogaM
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.解:(1)不一定成立.例如對于(-2)×(-3)>0,loga[(-2)×(-3)]≠loga(-2)+loga(-3),這是因為loga(-2)和loga(-3)沒有意義.
(2)對數的運算性質只要各字母滿足條件即可逆用.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)原式=log333+lg(25×4)+2+2=×3+2+2+2=.
(2)原式=lg-lg 4+lg 7=lg=.
(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
變式　解:(1)lg 100+(lg 2)2+lg 5·lg 20=lg 102+(lg 2)2+lg 5·(lg 2+1)=2+(lg 2)2+lg 5·lg 2+lg 5=2+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=2+lg 2·lg 10+lg 5=2+lg 2+lg 5=2+1=3.
(2)2log32+log3-log36-ln=log3-ln e=log3-=log33-2-=-2-=-.
(3)原式=4+log5=4+log553=4+3=7.
拓展　解:因為10x=lg(10m)+lg =lg=lg 10=1,所以x=0.
探究點二
例2　(1)C　(2)　[解析] (1)因為2log2(3m)+log2n=log2(9m2)+log2n=log2(9m2n),2log2(2m2+n)=log2(2m2+n)2,2log2(3m)+log2n=2log2(2m2+n),所以9m2n=(2m2+n)2,化簡得4m4-5m2n+n2=0,即(4m2-n)(m2-n)=0,解得4m2=n或m2=n.又log2m-log2n=log2m-log2=log2,所以當4m2=n時,log2m-log2n=log2=-1;當m2=n時,log2m-log2n=log21=0.故選C.
(2)因為a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 15=lg 3+lg 5=lg 3+1-lg 2,兩式相減可得a-b=2lg 2-1,解得lg 2=,則lg 120=lg(15×8)=lg 15+3lg 2=b+3·=.
變式　(1)A　[解析] 由2+log2a=1+log3b=log6(12a+12b),得log2(4a)=log3(3b)=log6(12a+12b),設log2(4a)=log3(3b)=log6(12a+12b)=k,則4a=2k,3b=3k,12a+12b=6k,又因為2k·3k=6k,所以4a×3b=12a+12b,即ab=a+b,所以=1.故選A.
(2)解:①loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay.
②loga(x)=logax+loga=logax+logay.
③loga=loga=[logax-loga(yz2)]=(logax-logay-2logaz)=logax-logay-logaz.4.2.2　對數的運算性質
第1課時　對數的運算性質
1.B　[解析] log20.5+lg 2+lg 5=log22-1+lg 10=-1+1=0.故選B.
2.A　[解析] log62=log6=log66-log63=1-m.故選A.
3.D　[解析] ===3.故選D.
4.D　[解析] ∵10m=,10n=6,∴m=lg ,n=lg 6,∴n-2m=lg 6-2lg =lg 6-lg 2=lg =lg 3,故選D.
5.B　[解析] lo(+)=
lo=-lo(-)=-1.故選B.
6.D　[解析] ∵lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的兩根,∴lg a+lg b=,lg a·lg b=-,∴=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=-4×=,故選D.
7.x=1　[解析] ∵lg x+lg=lg(1+9x)=1,∴1+9x=10,解得x=1.
8.a-2　[解析] log38-2log36=3log32-2×(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2.
9.解:(1)ln =ln x+ln y-ln z.
(2)ln(x2y4z3)=ln x2+ln y4+ln z3=2ln x+4ln y+3ln z.
(3)ln(×)=ln +ln =ln x+ln y+ln z.
10.解:(1)原式=(lg 5+lg 20)+(log36-log32)=lg 100+log33=2+1=3.
(2)原式=(lg 5)2+lg 2+lg 2·lg 5-2=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2-2=lg 5+lg 2-2=-1.
(3)原式==
=-.
11.C　[解析] ===.
12.C　[解析] 因為==1+,==-1,所以log4(-)=log4[(1+)-(-1)]=log42=log4=.故選C.
13.CD　[解析] 對于A,當a<0,b<0時,等式右邊無意義,A不一定成立;對于B,當a<0,b<0時,等式右邊無意義,B不一定成立;對于C,∵ab>0,∴>0,∴lg=lg,C一定成立;對于D,∵ab>0,∴lg=lg(ab=lg(ab),D一定成立.故選CD.
14.　[解析] 令t=lg x,則由已知得lg α,lg β是方程t2+(lg 5+lg 7)t+lg 5·lg 7=0的兩根,則lg α+lg β=-(lg 5+lg 7),則lg(αβ)=lg ,解得αβ=.
15.2a+b-1　[解析] 因為lg 6=lg(2×3)=lg 2+lg 3=a,lg 15=lg=lg 30-lg 2=lg(3×10)-lg 2=(lg 3+lg 10)-lg 2=(lg 3+1)-lg 2=b,所以lg 2=,lg 3=a-=,所以lg 54=lg(2×27)=lg 2+lg 27=lg 2+3lg 3=+3×=2a+b-1.
16.解:(1)f(1.02×102)=3,f(1.02×10-1)=1,
由題意,當n≥0時,a×10n的整數部分的位數為n+1,
當n<0時,a×10n的非有效數字的位數為-n,所以f(a×10n)=
(2)由x=2100兩邊取常用對數,可得lg x=100lg 2=100×0.301=30+0.1,所以x=1030+0.1=100.1×1030.故a=100.1,n=30,f(a×1030)=31.
(3)猜想:f(2k)=f(2-k).證明如下:
當k∈N*時,2k為正整數且不可能是10的整數倍,所以存在m∈N,使得10m<2k<10m+1,此時f(2k)=m+1,又10-(m+1)<2-k<10-m,
所以f(2-k)=m+1,所以f(2k)=f(2-k).4.2.2　對數的運算性質
第1課時　對數的運算性質
【學習目標】
　　1.能夠利用指數式與對數式的關系證明對數的運算性質.
　　2.能夠利用對數的運算性質進行對數運算.
◆ 知識點　對數的運算性質
(1)loga(M·N)=　　　　　　　;
(2)loga=　　　　　　　;
(3)logaMn=　　　　　　.
其中a>0,且a≠1,M>0,N>0,n∈R.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個正數的積、商的對數可以分別化為它們對數的和、差. (　 )
(2)兩個正數的和的對數等于它們的對數的和. (　 )
(3)loga(xy)=logax·logay. (　 )
(4)log5x4=4log5x. (　 )
2.(1)若MN>0,運算法則loga(M·N)=logaM+logaN還成立嗎
(2)對數的運算性質是否可以逆用
◆ 探究點一　利用對數的運算性質化簡求值
例1 計算下列各式:
(1)log3+lg 25+lg 4++ln e2;
(2)lg-lg+lg;
(3)log535-2log5+log57-log51.8.
變式 計算下列各式:
(1)lg 100+(lg 2)2+lg 5·lg 20;
(2)2log32+log3-log36-ln;
(3)log216+log535-log514-log5.
[素養小結]
利用對數的運算性質化簡、求值的常見策略
(1)“收”:將同底的兩個對數的和(差)合并為積(商)的對數,即公式的逆用.
(2)“拆”:將積(商)的對數拆成同底的兩個對數的和(差),即公式的正用.
(3)“湊”:將同底數的對數湊成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1進行計算或化簡.
拓展 已知m>0,且10x=lg(10m)+lg ,求實數x的值.
◆ 探究點二　對數運算性質的綜合運用
例2 (1)[2025·江蘇泰州中學高一期中] 已知m>0,n>0,2log2(3m)+log2n=2log2(2m2+n),則log2m-log2n的值為 (　 )
(附:若logaM=logaN(其中a>0且a≠1,M>0,N>0),則M=N)
A.-1 B.1
C.-1或0 D.1或0
(2)設a=lg 6,b=lg 15,則lg 120=　　　　.
變式 (1)[2025·江蘇無錫錫山高級中學高一期末] 已知正實數a,b滿足2+log2a=1+log3b=log6(12a+12b),則的值是 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)用logax,logay,logaz(a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0)表示下列各式.
①loga(xy2);②loga(x);③loga.
[素養小結]
當對數問題用對數自身的知識難以解決時,通常將對數化為指數來解決;反之亦然.通過對數式與指數式的互化,能轉化問題,進而解決問題.4.2.2　對數的運算性質
第1課時　對數的運算性質
1.[2025·江蘇宿遷中學高一月考] 計算:log20.5+lg 2+lg 5= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.若log63=m,則log62的值為 (　 )
A.1-m B.3
C.m+1 D.log6(1+m)
3.化簡可得 (　 )
A.log54 B.3log52
C.log36 D.3
4.若10m=,10n=6,則n-2m= (　 )
A.-lg 2 B.lg 2
C.-lg 3 D.lg 3
5.lo(+)= (　 )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
6.已知lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的兩根,則= (　 )
A. B.
C. D.
7.方程lg x+lg=1的解為　　　　.
8.已知a=log32,那么log38-2log36的計算結果可以用a表示為　　　　.
9.(13分)用ln x,ln y,ln z表示下列各式:
(1)ln ;(2)ln(x2y4z3);(3)ln(×).
10.(13分)計算下列各式的值:
(1)lg 5+log36+lg 20-log32;
(2)(lg 5)2+lg 2·(1+lg 5)-eln 2.
(3).
11.若lg 2=m,lg 3=n,則= (　 )
A. B.
C. D.
12.[2025·江蘇泰興高一期中] log4(-)= (　 )
A.4 B.2
C. D.
13.(多選題)若ab>0,則下列各式中,一定成立的是 (　 )
A.lg(ab)=lg a+lg b
B.lg =lg a-lg b
C.lg=lg
D.lg=lg(ab)
14.若方程(lg x)2+(lg 5+lg 7)lg x+lg 5·lg 7=0的兩根分別是α,β,則αβ的值是　　　　.
15.[2025·江蘇南京如皋十校高一期中] 已知lg 6=a,lg 15=b,用含a,b的式子表示lg 54=　　　　.
16.(15分)[2025·江蘇徐州三中高一期中] 我們知道,任何一個正實數x都可以表示成x=a×10n(1≤a<10,n∈Z).當n≥0時,記x的整數部分的位數為f(a×10n),例如f(1.02×10)=2;當n<0時,記x的非有效數字的個數(即左邊第一個不是0的數字之前0的個數)為f(a×10n),例如f(1.02×10-2)=2.
(1)求f(1.02×102),f(1.02×10-1),并寫出f(a×10n)的表達式(不必寫出過程);
(2)若x=2100=a×10n,且取lg 2=0.301,求n,a以及f(a×10n);
(3)已知k∈N*,猜想f(2k)與f(2-k)的大小關系,并證明你的結論.

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