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5.1 函數(shù)的概念和圖象
第1課時 函數(shù)的概念
探究點一 函數(shù)概念的理解
探究點二 函數(shù)的定義域
探究點三 求函數(shù)值與簡單函數(shù)的值域
探究點四 同一個函數(shù)的判定
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
備課素材
練習(xí)冊
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.會用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù).
2.理解函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素.
3.會求簡單函數(shù)的定義域與值域.
知識點一 函數(shù)的有關(guān)概念
函數(shù)的 概念
函數(shù)的 記法 ________________
非空實數(shù)
每一個
唯一
，
定義域
值域
每一個
所有
續(xù)表
知識點二 同一個函數(shù)
1.函數(shù)的三要素:________、__________和______.
2.如果兩個函數(shù)的______________,____________,那么這兩個函數(shù)就
是同一個函數(shù).
定義域
對應(yīng)關(guān)系
值域
對應(yīng)關(guān)系相同
定義域相同
【診斷分析】
定義域和值域分別相同的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)嗎
解：不一定.
因為定義域和值域不能確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.
如 與,這兩個函數(shù)的定義域和值域均為實數(shù)集 ,但
這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù),原因是對應(yīng)關(guān)系不同.
知識點三 常見函數(shù)的值域
1.一次函數(shù) 的值域為___.
2.二次函數(shù) .
當(dāng)_______時,值域為______________;
當(dāng)_______時,值域為______________.
3.反比例函數(shù) 的值域為_________________.
探究點一 函數(shù)概念的理解
例1（1）如圖所示，不能表示是 的函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由函數(shù)的定義知，每一個的取值，都有且僅有一個 值與之
對應(yīng).
由選項B，C和D可知，每一個的取值，都有且僅有一個 值與之對應(yīng)，
所以選項B，C和D能表示是的函數(shù).
由選項A知，存在 ，使得一個的取值，有兩個值與之對應(yīng)，所以
選項A不能表示是 的函數(shù)，故選A.
（2）下列關(guān)于，的關(guān)系式中，能表示是 的函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A，，當(dāng)時，得，即 ，不
滿足函數(shù)定義，故A錯誤；
對于B，，當(dāng) 時，得，即 ，不滿足函數(shù)
定義，故B錯誤；
對于C，即 ，滿足函數(shù)的定義，故C正確；
對于D，，當(dāng)時，得，即 ，不滿足函數(shù)
定義，故D錯誤.故選C.
√
探究點二 函數(shù)的定義域
例2 求下列函數(shù)的定義域:
（1） ；
解：要使函數(shù)有意義，自變量的取值必須滿足 解得
，且 ，所以這個函數(shù)的定義域為
.
例2 求下列函數(shù)的定義域:
（2） .
解：要使函數(shù)有意義，自變量 的取值必須滿足
解得則 ，故函數(shù)
的定義域為 .
變式（1）［2025·天津第二耀華中學(xué)高一期中］函數(shù)
的定義域為( )
A. B.
C. D.
[解析] 函數(shù)有意義，則需滿足 解
得且，所以的定義域為 .故選C.
√
（2）［2025·江蘇無錫一中高一期中］函數(shù)
的定義域為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得解得，故 的定義域為
.故選C.
√
（3）［2025·江蘇揚州大學(xué)附中高一期中］函數(shù) 的
定義域為( )
A.或 B.或
C. D.
[解析] 由函數(shù)可得，解得 或
，所以函數(shù)的定義域為或 .故選B.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
求函數(shù)的定義域應(yīng)關(guān)注四點.
（1）要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的條
件一般有：①分式的分母不為0；②偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)；
要求.
（2）不對解析式化簡變形，以免定義域變化.
（3）當(dāng)一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式
構(gòu)成時，定義域是使得各個式子都有意義的公共部分的集合.
（4）定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示.
拓展（1）已知函數(shù)的定義域為，則 的定
義域為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意可知
解得，所以所求定義域為 .故選D.
√
（2）［2025·重慶巴蜀中學(xué)高一期中］若函數(shù) 的定義域為
，則函數(shù) 的定義域為( )
A. B. C. D.
[解析] 的定義域為,, ，
的定義域為.
由可得 解得,的定義域為
.故選B.
√
探究點三 求函數(shù)值與簡單函數(shù)的值域
例3 已知， .
（1）求, 的值；
解：， ；
， .
（2）求, 的值；
解：由（1）知 ，
，
.
例3 已知， .
（3）求函數(shù)， 的值域.
解：要使函數(shù)有意義，則自變量必須滿足 ，解得
函數(shù)的定義域為，
又當(dāng) 時，， 函數(shù)的值域為
函數(shù)，
函數(shù) 的值域為 .
例4 求下列函數(shù)的值域：
（1） ；
解：對于，由，解得 ，所以函
數(shù)的定義域為.
易知當(dāng)時，函數(shù) 取得最大值4，當(dāng)時，函數(shù)
取得最小值0，故函數(shù)的值域為 ．
（2） ；
解：令，所以 ，所以
，所以函數(shù)的值域是 .
例4 求下列函數(shù)的值域：
（3） ；
解： ，
因為，所以 ，即函數(shù)
的值域為 .
例4 求下列函數(shù)的值域：
（4） .
解：由，得.
當(dāng) 時，方程無解，不符合題意；
當(dāng) 時，要使方程有解，只需，
即 ，可得或.
故函數(shù)的值域為 .
變式（1）函數(shù) 的值域是( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)，，則 ，所以
，所以當(dāng)時，
取得最大值為，即函數(shù)的值域為 .故選D.
√
（2）已知函數(shù) ，則該函數(shù)的值域是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，則 解得
，所以函數(shù)的定義域為，則 .
因為，所以，所以 ，則
，所以，顯然，所以 ，
即該函數(shù)的值域為 .故選D.
√
（3）［2025·福建福州二中高一月考］函數(shù)， 的
值域為______.
[解析] 由題意得，
因為 ，所以，所以，所以
，即 的值域為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求函數(shù)值域，應(yīng)根據(jù)各個式子的不同結(jié)構(gòu)特點，選擇不同的方法：
（1）觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；
（2）配方法：此方法是求二次函數(shù)值域的基本方法，即通過配方轉(zhuǎn)
化為能直接看出其值域的形式；
（3）分離常數(shù)法：此方法主要針對有理分式，可將有理分式轉(zhuǎn)化為
類似反比例函數(shù)的形式，進(jìn)而求值域；
（4）換元法：對于一些解析式含無理數(shù)的函數(shù)（如
），可通過換元把解析式轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的形式，
然后利用此類函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域.
探究點四 同一個函數(shù)的判定
例5 ［2025·廣東東莞翰林實驗學(xué)校高一期中］下列各組函數(shù)是同一
函數(shù)的是( )
A.與
B.與
C.與
D.與
√
[解析] 對于A，函數(shù)的定義為 ，函數(shù)
的定義域為 ，兩個函數(shù)的定義
域不同，所以不是同一函數(shù)，故A錯誤；
對于B，函數(shù)的定義域為，函數(shù)
的定義域為 ，兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同
一函數(shù)，故B錯誤；
對于C，函數(shù)與 ，兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)
系都相同，所以兩個函數(shù)是同一函數(shù)，故C正確；
對于D，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為 ，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選C.
變式 判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一函數(shù)，并說明理由.
（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長的和為 ，其中一條
直角邊的長為，面積為，則表示與 關(guān)系的函數(shù)
和二次函數(shù) .
解：兩個函數(shù)不是同一函數(shù).
理由：兩函數(shù)的解析式相同，但是前者的定義域為，后者的定義
域為 ，所以兩者不是同一函數(shù).
變式 判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一函數(shù)，并說明理由.
（2）和圓面積關(guān)于圓半徑 的函數(shù).
解：兩個函數(shù)是同一函數(shù).
理由：，圓面積 關(guān)于圓半徑的函數(shù)為
，兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，所以兩者是同一函數(shù).
1.理解函數(shù)的概念應(yīng)關(guān)注五點
（1）“,是非空的實數(shù)集”,一方面強調(diào)了,只能是實數(shù)集,即, 中
的元素只能是實數(shù);另一方面指出了定義域、值域都不能是空集,也就
是說定義域為空集的函數(shù)是不存在的.
（2）理解函數(shù)的概念時要注意,函數(shù)的定義域是非空數(shù)集 ,但函數(shù)的
值域不一定是非空數(shù)集,而是集合 的子集.
（3）函數(shù)定義中強調(diào)“三性”:任意性、存在性、唯一性.即對于非空
數(shù)集中的任意一個（任意性）元素 ,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在
非空數(shù)集中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 與之對應(yīng).這
“三性”只要有一個不滿足,便不能構(gòu)成函數(shù).
（4）僅僅是函數(shù)符號,不是表示“等于與的乘積”, 也
不一定就有解析式.
（5）除外,有時還用,,, 等符號來表示函數(shù).
2.同一個函數(shù)
兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的三要素完全相同時才是同一個函數(shù).根據(jù)它們
之間的關(guān)系,判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù),主要看它們的定義域和對
應(yīng)關(guān)系是否相同,只要定義域相同、對應(yīng)關(guān)系相同,則值域就一定相同.
1.整體法
根據(jù)函數(shù)解析式或?qū)嶋H問題求出函數(shù)的自變量的取值范圍.
例1 設(shè)函數(shù)的定義域為 ，要使函數(shù)
有定義，則 的取值范圍為___________.
[解析] 由題知函數(shù) 的定義域為
且.
當(dāng)時，應(yīng)滿足 ，所以；
當(dāng)時，應(yīng)滿足，所以 .
故的取值范圍是 .
例2 已知三次函數(shù) ,且
,,,則
( )
A.2024 B.2028 C.2032 D.2036
[解析] 設(shè),則 ,所
以 ,所以
,所以 .故
選D.
√
2.求函數(shù)值域的方法
（1）代入法
根據(jù)函數(shù)的定義域結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系求出函數(shù)的值域.
例3 求函數(shù), 的值域.
解:當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng) 時,
.
所以函數(shù),的值域為 .
（2）整體換元法
根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的值域.
例4 求函數(shù) 的值域.
解:函數(shù)的定義域為 ，
，當(dāng)且僅
當(dāng) 時取等號，
所以函數(shù)的值域為 .
（3）反解法
此種方法適用于求分式型函數(shù)的值域.反解法的基本步驟：①反解，
將含的式子用表示；②借助于含的式子的有界性得出關(guān)于關(guān)于
的不等式；③解關(guān)于 的不等式即得原函數(shù)的值域.
例5 求函數(shù) 的值域.
解：方法一：， 函數(shù)的定義域為 ，
，，即 ，
，即原函數(shù)的值域為 .
方法二：由，得，進(jìn)而可得 ，
又，，解得.即原函數(shù)的值域為 .
3.函數(shù)建模法
在日常生活、生產(chǎn)中,函數(shù)就在我們身邊,它的應(yīng)用是非常廣泛的,解題
時,應(yīng)弄清題意,將實際問題中內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)
問題,進(jìn)而建立函數(shù)模型,最后通過對數(shù)學(xué)問題的求解來解決實際問題.
練習(xí)冊
1.［2025·山東濰坊高一期中］已知集合,1, ，
，若，，則下列對應(yīng)關(guān)系為從到 的函
數(shù)的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由函數(shù)的定義可知，要使對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成從到 的函數(shù)，須
滿足：對集合中的任意一個數(shù)，通過對應(yīng)關(guān)系在集合 中都有唯一
的數(shù)與之對應(yīng).
對于A選項，當(dāng)時， ，故不能構(gòu)成函數(shù)；
對于B選項，當(dāng)時， ，故不能構(gòu)成函數(shù)；
對于C選項，當(dāng)時，，故不能構(gòu)成函數(shù)；
對于D選項，集合 中的任意一個數(shù)，通過對應(yīng)關(guān)系在集合 中都有
唯一的數(shù)與之對應(yīng)，故能構(gòu)成函數(shù).故選D.
2.［2025·江蘇宿遷期末］函數(shù) 的定義域為( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為函數(shù)，所以解得 且
，故函數(shù)的定義域為且 .故選D.
√
3. 江蘇常熟期中］已知函數(shù)的定義域為 ，則
函數(shù) 的定義域為( )
A. B. C. D.
[解析] 在函數(shù)中，令 ，解得
，所以函數(shù)的定義域為 .故選D.
√
4.已知函數(shù),若,則 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 由,得,解得 .故選A.
√
5.［2025·江蘇南京期中］下列四組函數(shù)中，與 表示同一個
函數(shù)的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 對于A，， ，兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不
同，不是同一函數(shù)；
對于B， 的定義域為的定義域為 ，
兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；
對于C，的定義域為， 的定義域為 ，
兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；
對于D，的定義域為，的定義域為 ，兩
函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù).故選D.
6.（多選題）集合，與對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則 是從集合
到集合 的函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
[解析] 選項A，集合中任何一個數(shù)在集合 中都有唯一一個數(shù)與之
對應(yīng)，故是函數(shù)；
選項B，集合中存在數(shù)3在集合 中沒有對應(yīng)的數(shù)，故不是函數(shù)；
選項C，集合中任何一個數(shù)在集合 中都有唯一一個與之對應(yīng)，故是
函數(shù)；
選項D，集合中存在數(shù)5在集合 中有2個數(shù)與之對應(yīng)，故不是函數(shù).
故選 .
√
√
7.已知函數(shù),則 ___.
2
[解析] 由題意知,,故 .
8.［2025·河北石家莊正定中學(xué)高一期中］函數(shù) 的值域是
_____________________.
[解析] 函數(shù)的定義域為 ，且
，
由 ，得
，則函數(shù) 的值域是 .
9.（13分）已知函數(shù) .
（1）求函數(shù) 的定義域；
解：由得且，所以函數(shù)的定義域為 且
.
（2）求及 的值；
解：因為，所以 ,
.
9.（13分）已知函數(shù) .
（3）求函數(shù) 的定義域.
解：方法一：由（1）知，的定義域為且 ，所以
且，解得且，故函數(shù) 的定義
域為且 .
方法二：由題知，，故解得
且 ，
故函數(shù)的定義域為且 .
10.（13分）求下列函數(shù)的值域：
（1） ；
解：令，得 ，
故，所以所求函數(shù)的值域為 .
（2） ；
解：,由于 ，故
，故函數(shù)的值域為 .
10.（13分）求下列函數(shù)的值域：
（3） .
解：要使有意義，只需，即 ，故函數(shù)的定義
域為.
設(shè)，則 ，
設(shè)，
又，所以 ，所以原函數(shù)的值域為 .
11.已知函數(shù)的定義域為，且對任意 ，
恒成立，則 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 分別令和，得
解得 ，故選B.
√
12.已知函數(shù)的定義域是,則 的
定義域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 函數(shù)的定義域是 ,
,即函數(shù)的定義域是 .
令,得,的定義域是 .
故選C.
√
13.（多選題）［2025·江蘇常州高一期中］下列函數(shù)中，值域是
的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 對于A，，由于 ，
故 ，故A正確；
對于B,，當(dāng)且僅當(dāng) ，
即時，取等號，即值域為 ，故B正確；
對于C, 的定義域為，令 ，
則，，當(dāng) 時，
，所以所求函數(shù)值域為 ，故C正確；
對于D，因為，所以函數(shù)值域為，故D錯誤.
故選 .
14.已知函數(shù)的定義域是，則 的取值范圍是______.
[解析] 由函數(shù)的定義域是，可知
在上恒成立.
當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng) 時，，解得.
綜上，的取值范圍是 .
15.[ 山東菏澤高一期中］高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)
學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽.函數(shù) 稱為高斯函數(shù)，
其中，表示不超過的最大整數(shù)，例如： ，
.已知函數(shù)，則函數(shù) 的值域是
_________.
,0,
[解析] 令，易知，則有 .
當(dāng)時，有；
當(dāng) 時，有
，解得，又，所以
或 .
綜上可得，則，故
的值域是,0, .
16.（15分）［2025·江蘇宿遷高一期中］ 若函數(shù) 的定義域為
，值域為，則稱為的“ 倍區(qū)間”，特別地，當(dāng)
時，稱為 的“特別區(qū)間”.
（1）若為函數(shù)的“特別區(qū)間”，求實數(shù) 的值；
解：因為為函數(shù)的“特別區(qū)間”，所以函數(shù) 的定義域和
值域都是，
因為 ，當(dāng)時，
，所以，所以 .
16.（15分）［2025·江蘇宿遷高一期中］ 若函數(shù) 的定義域為
，值域為，則稱為的“ 倍區(qū)間”，特別地，當(dāng)
時，稱為 的“特別區(qū)間”.
（2）證明：函數(shù) 存在“3倍區(qū)間”；
證明：假設(shè)函數(shù)存在“3倍區(qū)間”，則 的值
域為，
當(dāng)時，易得在區(qū)間 上函數(shù)值隨自變量
的增大而增大，則所以,為方程 的
兩根，解得或 ，
故的定義域為，值域為 ，
所以函數(shù) 存在“3倍區(qū)間”，得證.
16.（15分）［2025·江蘇宿遷高一期中］ 若函數(shù) 的定義域為
，值域為，則稱為的“ 倍區(qū)間”，特別地，當(dāng)
時，稱為 的“特別區(qū)間”.
（3）設(shè)為實數(shù)，函數(shù) 存在“特別區(qū)間”，求實數(shù)
的取值范圍.
解：設(shè)函數(shù)存在“特別區(qū)間” ，
因為的函數(shù)值隨自變量 的增大而減小，所以由
“特別區(qū)間”的定義可知
所以 ，
即 ，
因為，所以 ，
易得 ，所以
，
，
令，代入化簡得 ，
令，代入化簡得 ，
即關(guān)于的方程在區(qū)間 上有兩個不相等的實數(shù)根，
故解得 ，
即實數(shù)的取值范圍為 .
快速核答案(導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識點一 非空實數(shù) 每一個 唯一 ， 每一個 所有
知識點二 1.定義域 對應(yīng)關(guān)系 值域 2.對應(yīng)關(guān)系相同 定義域相同
【診斷分析】 不一定.理由略
知識點三 1. 2. 3.
課中探究 探究點一 例1 （1）A （2）C
探究點二 例2 （1） （2）
變式 （1）C （2）C （3）B 拓展 （1）D （2）B
探究點三 例3 （1），（2），
（3）函數(shù)的值域為，函數(shù)的值域為
例4 （1） （2） （3）（4）
變式 （1）D （2）D （3）
探究點四 例5 C 變式 （1）兩個函數(shù)不是同一函數(shù).理由略（2）兩個函數(shù)是同一函數(shù).理由略
練習(xí)冊
基礎(chǔ)鞏固
1.D 2.D 3.D 4.A 5.D 6.AC 7.2 8.
9.（1）且 （2）,
（3）且
10.（1） （2） （3）
綜合提升
11.B 12.C 13.ABC 14.
思維探索
15.,0, 16.（1）（2）證明略（3）第5章　函數(shù)概念與性質(zhì)
5.1　函數(shù)的概念和圖象
第1課時　函數(shù)的概念
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
非空實數(shù)　每一個　唯一　y=f(x),x∈A　每一個x
所有
知識點二
1.定義域　對應(yīng)關(guān)系　值域　2.對應(yīng)關(guān)系相同　定義域相同
診斷分析
解:不一定.因為定義域和值域不能確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.如y=x+1與y=x-1,這兩個函數(shù)的定義域和值域均為實數(shù)集R,但這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù),原因是對應(yīng)關(guān)系不同.
知識點三
1.R　2.a>0　　a<0　
3.(-∞,0)∪(0,+∞)
【課中探究】
探究點一
例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)由函數(shù)的定義知,每一個x的取值,都有且僅有一個y值與之對應(yīng).由選項B,C和D可知,每一個x的取值,都有且僅有一個y值與之對應(yīng),所以選項B,C和D能表示y是x的函數(shù).由選項A知,存在x,使得一個x的取值,有兩個y值與之對應(yīng),所以選項A不能表示y是x的函數(shù),故選A.
(2)對于A,x+|y|=1,當(dāng)x=0時,得|y|=1,即y=±1,不滿足函數(shù)定義,故A錯誤;對于B,x2+y2=1,當(dāng)x=0時,得y2=1,即y=±1,不滿足函數(shù)定義,故B錯誤;對于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,滿足函數(shù)的定義,故C正確;對于D,2x+y2=1,當(dāng)x=0時,得y2=1,即y=±1,不滿足函數(shù)定義,故D錯誤.故選C.
探究點二
例2　解:(1)要使函數(shù)f(x)有意義,自變量x的取值必須滿足解得-1(2)要使函數(shù)f(x)有意義,自變量x的取值必須滿足解得則x∈[-1,1)∪,故函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1)∪.
變式　(1)C　(2)C　(3)B　[解析] (1)函數(shù)f(x)=+有意義,則需滿足解得x≥且x≠3,所以f(x)的定義域為∪(3,+∞).故選C.
(2)由題意得解得-2≤x<4,故f(x)的定義域為[-2,4).故選C.
(3)由函數(shù)f(x)=可得x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>2或x<1}.故選B.
拓展　(1)D　(2)B　[解析] (1)由題意可知
解得1(2)∵f(2x-1)的定義域為[1,5],∴1≤x≤5,∴1≤2x-1≤9,∴f(x)的定義域為[1,9].由可得解得0≤x<2,∴g(x)的定義域為[0,2).故選B.
探究點三
例3　解:(1)∵f(x)=,∴f(5)==1;
∵g(x)=2x2-3x+1,∴g(5)=2×52-3×5+1=36.
(2)由(1)知f(5)=1,g(5)=36.∴g[f(5)]=g(1)=2×12-3×1+1=0,f[g(5)]=f(36)==.
(3)要使函數(shù)f(x)有意義,則自變量x必須滿足x-4>0,解得x>4.∴函數(shù)f(x)的定義域為(4,+∞),又當(dāng)x∈(4,+∞)時,f(x)=>0,∴函數(shù)f(x)的值域為(0,+∞).∵函數(shù)g(x)=2x2-3x+1=2-≥-,∴函數(shù)g(x)的值域為.
例4　解: (1)對于y=,由16-x2≥0,解得-4≤x≤4,所以函數(shù)的定義域為[-4,4].易知當(dāng)x=0時,函數(shù)y=取得最大值4,當(dāng)x=±4時,函數(shù)y=取得最小值0,故函數(shù)y=的值域為[0,4].
(2)令t=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,所以t≤9,所以y=∈[0,3],所以函數(shù)f(x)的值域是[0,3].
(3)f(x)=x-=-,
因為≥0,所以-≥-,即函數(shù)f(x)=x-的值域為.
(4)由y=,得(y-3)x2+(y-3)x-(y+1)=0.當(dāng)y=3時,方程無解,不符合題意;當(dāng)y≠3時,要使方程有解,只需Δ=(y-3)2+4(y-3)(y+1)≥0,即5y2-14y-3≥0,可得y≤-或y>3.故函數(shù)y=的值域為 ∪(3,+∞).
變式　(1)D　(2)D　(3)　[解析] (1)設(shè)t=,t≥0,則x=,所以y=+t=-t2+t+=-+,所以當(dāng)t=時,y取得最大值為,即函數(shù)的值域為.故選D.
(2)令y=f(x)=+,則解得-2≤x≤2,所以函數(shù)的定義域為[-2,2],則y2=4+2.因為-2≤x≤2,所以0≤x2≤4,所以0≤4-x2≤4,則0≤≤2,所以4≤y2≤8,顯然y>0,所以2≤y≤2,即該函數(shù)的值域為[2,2].故選D.
(3)由題意得f(x)===2-,因為x∈[1,2],所以x+1∈[2,3],所以∈,所以2-∈,即f(x)的值域為.
探究點四
例5　C　[解析] 對于A,函數(shù)y=的定義為(-∞,1)∪(1,+∞),函數(shù)y=的定義域為(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),兩個函數(shù)的定義域不同,所以不是同一函數(shù),故A錯誤;對于B,函數(shù)y=|x+1|+|x|的定義域為R,函數(shù)y=的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),兩個函數(shù)的定義域不同,所以不是同一函數(shù),故B錯誤;對于C,函數(shù)y=|x|與y==|x|,兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同,所以兩個函數(shù)是同一函數(shù),故C正確;對于D,函數(shù)y=|x|的定義域為R,函數(shù)y=()2的定義域為[0,+∞),兩個函數(shù)的定義域不同,所以不是同一函數(shù),故D錯誤.故選C.
變式　解:(1)兩個函數(shù)不是同一函數(shù).理由:兩函數(shù)的解析式相同,但是前者的定義域為(0,20),后者的定義域為R,所以兩者不是同一函數(shù).
(2)兩個函數(shù)是同一函數(shù).理由:f(x)=πx2(x>0),圓面積S關(guān)于圓半徑r的函數(shù)為S=πr2(r>0),兩函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)關(guān)系相同,所以兩者是同一函數(shù).第5章　函數(shù)概念與性質(zhì)
5.1　函數(shù)的概念和圖象
第1課時　函數(shù)的概念
1.D　[解析] 由函數(shù)的定義可知,要使對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成從A到B的函數(shù),須滿足:對集合A中的任意一個數(shù),通過對應(yīng)關(guān)系在集合B中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng).對于A選項,當(dāng)x=2時,y=3 B,故不能構(gòu)成函數(shù);對于B選項,當(dāng)x=1時,y=-2 B,故不能構(gòu)成函數(shù);對于C選項,當(dāng)x=2時,y=5 B,故不能構(gòu)成函數(shù);對于D選項,集合A中的任意一個數(shù),通過對應(yīng)關(guān)系在集合B中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng),故能構(gòu)成函數(shù).故選D.
2.D　[解析] 因為函數(shù)y=+,所以解得x≥-4且x≠1,故函數(shù)的定義域為{x|x≥-4且x≠1}.故選D.
3.D　[解析] 在函數(shù)y=f(2x+1)中,令-2≤2x+1≤1,解得-≤x≤0,所以函數(shù)y=f(2x+1)的定義域為.故選D.
4.A　[解析] 由f(a)=2,得=2,解得a=.故選A.
5.D　[解析] 對于A,f(x)==|x|,g(x)=x,兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同,不是同一函數(shù);對于B,f(x)=()2=x的定義域為[0,+∞),g(x)=|x|的定義域為R,兩函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù);對于C,f(x)=的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定義域為R,兩函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù);對于D,f(x)=()3=x的定義域為R,g(x)=x的定義域為R,兩函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同,是同一函數(shù).故選D.
6.AC　[解析] 選項A,集合A中任何一個數(shù)在集合B中都有唯一一個數(shù)與之對應(yīng),故是函數(shù);選項B,集合A中存在數(shù)3在集合B中沒有對應(yīng)的數(shù),故不是函數(shù);選項C,集合A中任何一個數(shù)在集合B中都有唯一一個與之對應(yīng),故是函數(shù);選項D,集合A中存在數(shù)5在集合B中有2個數(shù)與之對應(yīng),故不是函數(shù).故選AC.
7.2　[解析] 由題意知,f(16)==4,故f[f(16)]=f(4)==2.
8.∪　[解析] 函數(shù)y=的定義域為(-∞,2)∪(2,+∞),且y==·=--,由∈(-∞,0)∪(0,+∞),得y=--∈∪,則函數(shù)y=的值域是∪.
9.解:(1)由得x≥0且x≠1,所以函數(shù)的定義域為{x|x≥0且x≠1}.
(2)因為f(x)=+,所以f(2)=+=1+,f(6)=+=+.
(3)方法一:由(1)知,f(x)的定義域為{x|x≥0且x≠1},所以x+1≥0且x+1≠1,解得x≥-1且x≠0,故函數(shù)f(x+1)的定義域為{x|x≥-1且x≠0}.
方法二:由題知,f(x+1)=+,故解得x≥-1且x≠0,
故函數(shù)f(x+1)的定義域為{x|x≥-1且x≠0}.
10.解:(1)令t=x2-4x+6,得t=(x-2)2+2,
故t∈[2,+∞),所以所求函數(shù)的值域為[,+∞).
(2)f(x)===2+,由于≠0,故f(x)=2+≠2,故函數(shù)的值域為(-∞,2)∪(2,+∞).
(3)要使有意義,只需x+1≥0,即x≥-1,故函數(shù)的定義域為{x|x≥-1}.設(shè)t=,則x=t2-1(t≥0),設(shè)f(t)=t2-1-t=-,又t≥0,所以f(t)≥-,所以原函數(shù)的值域為.
11.B　[解析] 分別令x=3和x=-3,得
解得f(3)=-,故選B.
12.C　[解析] ∵函數(shù)y=f(x+1)的定義域是{x|-2≤x≤3},∴-1≤x+1≤4,即函數(shù)y=f(x)的定義域是{x|-1≤x≤4}.令-1≤x2≤4,得-2≤x≤2,∴y=f(x2)的定義域是{x|-2≤x≤2}.故選C.
13.ABC　[解析] 對于A,y=,由于x2-4x+4=(x-2)2≥0,故y≥0,故A正確;對于B,y=x2+-2≥2-2=2-2=0,當(dāng)且僅當(dāng)x2=,即x=±1時,取等號,即值域為[0,+∞),故B正確;對于C,y=x++3的定義域為{x|x≥-3},令t=,則t≥0,y=x++3=t2+t=-,當(dāng)t=0時,ymin=0,所以所求函數(shù)值域為[0,+∞),故C正確;對于D,因為y=>0,所以函數(shù)值域為(0,+∞),故D錯誤.故選ABC.
14.[0,4)　[解析] 由函數(shù)f(x)=的定義域是R,可知ax2-ax+1≠0在R上恒成立.當(dāng)a=0時,1≠0,符合題意;當(dāng)a≠0時,Δ=(-a)2-4a<0,解得015.{-1,0,1}　[解析] 令u=,易知x∈R,則有ux2+(3u-1)x+4u=0.當(dāng)u=0時,有x=0;當(dāng)u≠0時,有Δ=(3u-1)2-16u2=-7u2-6u+1=-(7u-1)(u+1)≥0,解得-1≤u≤,又u≠0,所以-1≤u<0或016.解:(1)因為[1,a]為函數(shù)f(x)的“特別區(qū)間”,所以函數(shù)f(x)的定義域和值域都是[1,a],因為f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,當(dāng)x∈[1,a]時,f(x)∈[1,a2-2a+2],
所以a2-2a+2=a(a>1),所以a=2.
(2)證明:假設(shè)函數(shù)g(x)=-x2+2x存在“3倍區(qū)間”[a,b],則g(x)的值域為[3a,3b],當(dāng)a則所以a,b為方程3x=-x2+2x的兩根,解得x=-1或x=0,
故g(x)的定義域為[-1,0],值域為[-3,0],
所以函數(shù)g(x)=-x2+2x存在“3倍區(qū)間”,得證.
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=m-存在“特別區(qū)間”[a,b],
因為h(x)=m-的函數(shù)值隨自變量x的增大而減小,所以由“特別區(qū)間”的定義可知
所以a-b=-,
即(a-b)(+)=(a+1)-(b+1)=a-b,
因為a易得0≤<≤1,所以a=m-=m-(1-),b=m-=m-(1-),
令t=,代入化簡得t2-t-m=0,
令s=,代入化簡得s2-s-m=0,
即關(guān)于x的方程x2-x-m=0在區(qū)間[0,1]上有兩個不相等的實數(shù)根,故解得-即實數(shù)m的取值范圍為.第5章　函數(shù)概念與性質(zhì)
5.1　函數(shù)的概念和圖象
第1課時　函數(shù)的概念
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.會用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù).
　　2.理解函數(shù)的概念,了解構(gòu)成函數(shù)的要素.
　　3.會求簡單函數(shù)的定義域與值域.
◆ 知識點一　函數(shù)的有關(guān)概念
函數(shù)的概念 給定兩個　　　　　　集合A和B,如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中的　　　　實數(shù)x,在集合B中都有　　　　的實數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)
函數(shù)的記法 　　　　　　　
定義域 x叫作自變量,集合A叫作函數(shù)的定義域
值域 若A是函數(shù)y=f(x)的定義域,則對于A中的　　　　　　(輸入值),都有一個y(輸出值)與之對應(yīng),我們將　　　　　輸出值y組成的集合{y|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的值域
◆ 知識點二　同一個函數(shù)
1.函數(shù)的三要素:　　　　、　　　　　和　　　　.
2.如果兩個函數(shù)的　　　　　,　　　　　　,那么這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù).
【診斷分析】 定義域和值域分別相同的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)嗎
◆ 知識點三　常見函數(shù)的值域
1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的值域為　　　.
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0).
當(dāng)　　　　時,值域為　　　　　　　　;
當(dāng)　　　　時,值域為　　　　　　　　.
3.反比例函數(shù)y=(k≠0)的值域為　　　　　　　　　.
◆ 探究點一　函數(shù)概念的理解
例1 (1)如圖所示,不能表示y是x的函數(shù)的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A B C D
(2)下列關(guān)于x,y的關(guān)系式中,能表示y是x的函數(shù)的是 (　 )
A.x+|y|=1
B.x2+y2=1
C.2x2+y=1
D.2x+y2=1
◆ 探究點二　函數(shù)的定義域
例2 求下列函數(shù)的定義域:
(1)f(x)=(x-1)0+;
(2)f(x)=+.
變式 (1)[2025·天津第二耀華中學(xué)高一期中] 函數(shù)f(x)=+的定義域為 (　 )
A.
B.(-∞,3)∪(3,+∞)
C.∪(3,+∞)
D.∪(3,+∞)
(2)[2025·江蘇無錫一中高一期中] 函數(shù)f(x)=+的定義域為 (　 )
A.(-2,4] B.(-4,-2]
C.[-2,4) D.[-4,-2]
(3)[2025·江蘇揚州大學(xué)附中高一期中] 函數(shù)f(x)=的定義域為 (　 )
A.{x|x≥2或x≤1}
B.{x|x>2或x<1}
C.{x|1≤x≤2}
D.{x|1[素養(yǎng)小結(jié)]
求函數(shù)的定義域應(yīng)關(guān)注四點.
(1)要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么,函數(shù)有意義的條件一般有:①分式的分母不為0;②偶次根式的被開方數(shù)非負(fù);③y=x0要求x≠0.
(2)不對解析式化簡變形,以免定義域變化.
(3)當(dāng)一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時,定義域是使得各個式子都有意義的公共部分的集合.
(4)定義域是一個集合,要用集合或區(qū)間表示.
拓展 (1)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[-1,5],則y=的定義域為 (　 )
A.[-1,2) B.[1,2)
C.(1,11] D.(1,2]
(2)[2025·重慶巴蜀中學(xué)高一期中] 若函數(shù)f(2x-1)的定義域為[1,5],則函數(shù)g(x)=的定義域為 (　 )
A.(0,2] B.[0,2)
C.(0,2) D.[0,2]
◆ 探究點三　求函數(shù)值與簡單函數(shù)的值域
例3 已知f(x)=,g(x)=2x2-3x+1.
(1)求f(5),g(5)的值;
(2)求g[f(5)],f[g(5)]的值;
(3)求函數(shù)f(x),g(x)的值域.
例4 求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=x-;
(4)y=.
變式 (1)函數(shù)y=2x+的值域是 (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知函數(shù)f(x)=+,則該函數(shù)的值域是 (　 )
A.[1,2] B.[1,2]
C.[4,8] D.[2,2]
(3)[2025·福建福州二中高一月考] 函數(shù)f(x)=,x∈[1,2]的值域為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求函數(shù)值域,應(yīng)根據(jù)各個式子的不同結(jié)構(gòu)特點,選擇不同的方法:
(1)觀察法:對于一些比較簡單的函數(shù),其值域可通過觀察得到;
(2)配方法:此方法是求二次函數(shù)值域的基本方法,即通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的形式;
(3)分離常數(shù)法:此方法主要針對有理分式,可將有理分式轉(zhuǎn)化為類似反比例函數(shù)的形式,進(jìn)而求值域;
(4)換元法:對于一些解析式含無理數(shù)的函數(shù)(如y=ax±b±),可通過換元把解析式轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的形式,然后利用此類函數(shù)求值域的方法,間接地求解原函數(shù)的值域.
◆ 探究點四　同一個函數(shù)的判定
例5 [2025·廣東東莞翰林實驗學(xué)校高一期中] 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是 (　 )
A.y=與y=
B.y=|x+1|+|x|與y=
C.y=|x|與y=
D.y=|x|與y=()2
變式 判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一函數(shù),并說明理由.
(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長的和為20 cm,其中一條直角邊的長為x cm,面積為y cm2,則表示y與x關(guān)系的函數(shù)y=x(20-x)和二次函數(shù)y=-x2+10x.
(2)f(x)=πx2(x>0)和圓面積S關(guān)于圓半徑r的函數(shù).第5章　函數(shù)概念與性質(zhì)
5.1　函數(shù)的概念和圖象
第1課時　函數(shù)的概念
1.[2025·山東濰坊高一期中] 已知集合A={-1,1,2},B=,若x∈A,y∈B,則下列對應(yīng)關(guān)系為從A到B的函數(shù)的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=x+1 B.y=-
C.y=x2+1 D.y=2x
2.[2025·江蘇宿遷期末] 函數(shù)y=+的定義域為 (　 )
A.(-∞,1)∪(1,4)
B.(-∞,-1)∪(-1,4)
C.[-4,-1)∪(-1,+∞)
D.[-4,1)∪(1,+∞)
3.[2025·江蘇常熟期中] 已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[-2,1],則函數(shù)y=f(2x+1)的定義域為 (　 )
A.R B.[-2,1]
C.[-3,3] D.
4.已知函數(shù)f(x)=,若f(a)=2,則a的值為 (　 )
A. B. C. D.-
5.[2025·江蘇南京期中] 下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一個函數(shù)的是 (　 )
A.f(x)=,g(x)=x
B.f(x)=()2,g(x)=|x|
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=()3,g(x)=x
6.(多選題)集合A,B與對應(yīng)關(guān)系f如圖所示,則f:A→B是從集合A到集合B的函數(shù)的是(　 )
A B C D
7.已知函數(shù)f(x)=,則f[f(16)]=　　　　.
8.[2025·河北石家莊正定中學(xué)高一期中] 函數(shù)y=的值域是　　　　.
9.(13分)已知函數(shù)f(x)=+.
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求f(2)及f(6)的值;
(3)求函數(shù)f(x+1)的定義域.
10.(13分)求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;(2)f(x)=;
(3)y=x-.
11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意x∈R,f(x)+xf(-x)=x2恒成立,則f(3)= (　 )
A.- B.-
C.- D.2
12.已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域是{x|-2≤x≤3},則y=f(x2)的定義域是 (　 )
A.{x|-1≤x≤4} B.{x|0≤x≤16}
C.{x|-2≤x≤2} D.{x|1≤x≤4}
13.(多選題)[2025·江蘇常州高一期中] 下列函數(shù)中,值域是[0,+∞)的是 (　 )
A.y=
B.y=x2+-2
C.y=x++3
D.y=
14.已知函數(shù)f(x)=的定義域是R,則a的取值范圍是　　　　.
15.[2025·山東菏澤高一期中] 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽.函數(shù)y=[x]稱為高斯函數(shù),其中x∈R,[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函數(shù)f(x)=+,則函數(shù)y=[f(x)]的值域是　　　　　　.
16.(15分)[2025·江蘇宿遷高一期中] 若函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],值域為[ka,kb],則稱[a,b]為f(x)的“k倍區(qū)間”,特別地,當(dāng)k=1時,稱[a,b]為f(x)的“特別區(qū)間”.
(1)若[1,a]為函數(shù)f(x)=x2-2x+2的“特別區(qū)間”,求實數(shù)a的值;
(2)證明:函數(shù)g(x)=-x2+2x存在“3倍區(qū)間”;
(3)設(shè)m為實數(shù),函數(shù)h(x)=m-存在“特別區(qū)間”,求實數(shù)m的取值范圍.

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