資源簡介

(共79張PPT)
5.2 函數的表示方法
探究點一 函數的表示方法
探究點二 函數解析式的求法
探究點三 分段函數
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能夠在實際情境中，根據不同的需要，選擇恰當的方法（如圖象法、
列表法、解析法）表示函數.
2.能夠根據給出的實際問題，寫出分段函數的表達式，并能簡單應用.
知識點一 函數的三種表示方法
1.函數的三種表示方法
表示法 定 義
解析法 用______來表示兩個變量之間函數關系的方法
列表法 用______來表示兩個變量之間函數關系的方法
圖象法 用______表示兩個變量之間函數關系的方法
等式
列表
圖象
2.三種表示方法的優缺點比較
優 點 缺 點
解析法 一是簡明、全面地概括了變量 間的關系；二是可以通過用解 析式求出任意一個自變量所對 應的函數值 不夠形象、直觀，而且并
不是所有的函數都可以用
解析法表示
列表法 不通過計算就可以直接看出與 自變量的值相對應的函數值 它只能表示自變量取較少
的有限值時的對應關系
圖象法 直觀形象地表示出函數的變化 情況，有利于通過圖形研究函 數的某些性質 只能近似地求出自變量所
對應的函數值，有時誤差
較大
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數 的圖象是一條線段.( )
×
[解析] 函數 的圖象是4個離散的點.
（2）函數 的圖象是拋物線.( )
×
[解析] 函數 的圖象是拋物線的一部分.
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）函數 可以用列表法表示.( )
×
[解析] 函數 的定義域是區間，自變量的取值
不能一一列舉出來，不能用列表法表示.
（4）函數 可以用列表法與圖象法
表示.( )
√
[解析] 函數 的定義域只包含4個實
數，因此可以用列表法與圖象法表示.
2.任何一個函數都可以用解析法、列表法、圖象法三種形式表示嗎
解：不一定.
例如,函數的對應關系是:當 為有理數時,函數值等于1,當 為無理數時,
函數值等于0.此函數就無法用圖象法表示.
知識點二 分段函數
在定義域內不同部分上，有不同的____________，像這樣的函數，
通常叫作分段函數.
解析表達式
【診斷分析】
分段函數在定義域的不同部分上對應關系不同,那么分段函數是由幾
個不同的函數構成的嗎
解：不是.分段函數的定義域只有一個,只不過在定義域的不同部分上
對應關系不同,所以分段函數是一個函數.
探究點一 函數的表示方法
例1 某問答游戲的規則是：共答5道選擇題，基礎分為50分，每答錯
一道題扣10分，答對不扣分．試分別用列表法、圖象法、解析法表
示一個參與者的得分與答錯題目道數 之間的函
數關系 ．
解：用列表法可將函數 表示為
0 1 2 3 4 5
50 40 30 20 10 0
用圖象法可將函數 表示為
用解析法可將函數表示為
， ，1，2，3，4， ．
變式 ［2025·北京通州高一期中］若函數, 用列表法表示如下：
1 2 3
3 2 1
1 3 2
則滿足的 值為( )
A.1 B.3 C.1或2 D.2或3
[解析] 根據表格可知，,,；
,,；
,， .
所以滿足條件的 是2或3.故選D.
√
探究點二 函數解析式的求法
例2（1）已知二次函數滿足且 .
求 的解析式.
解：設二次函數 ，
則，即，則
解得所以，
則 ，解得.
所以 .
（2）已知,求, .
解：，設 ，
所以,，則, .
, .
變式（1）已知函數 是一次函數，且滿足
，求 的解析式及定義域.
解：依題意，可設函數 ，則
，
由 ，
可得 ，
所以解得故函數的解析式為 ，
函數定義域為 .
（2）已知函數滿足，求函數 的解析
式及定義域.
解：由 ，
令，則,，
將改為 ，即得函數解析式為，函數定義域為 .
［素養小結］
求函數解析式的幾種常用方法
（1）待定系數法:當已知函數類型時,常用待定系數法.
（2）代入法:已知的解析式,求函數的解析式時,
可直接用替換中的.
（3）換元法:已知的解析式,求的解析式,可用換
元法,即令,反解出,然后代入中,求出,即可得
.
（4）構造方程組法:當同一個對應關系中的兩個自變量之間有互為
相反數或者互為倒數關系時,通常構造方程組求解.
拓展（1）已知，求 的解析式.
解：①， ，
用替換，得②， ，
由，得， ，
所以, .
（2）已知函數滿足，求函數 的解
析式.
解：①， ，用代替，
得②， ，
由得， ，
即， .
令，，則 .
則， .
所以， .
探究點三 分段函數
角度1 分段函數求值
例3 ［2025·江蘇蘇州實驗學校高一期中］已知函數
（1）求， ；
解：因為所以 ，
，
則 .
例3 ［2025·江蘇蘇州實驗學校高一期中］已知函數
（2）若，求 的值；
解：當時，，所以 ；
當時，，所以 ；
當時，，可得 .
綜上所述，的值為或1或 .
例3 ［2025·江蘇蘇州實驗學校高一期中］已知函數
（3）作出函數 的圖象.
解：函數 的圖象如圖所示.
變式 ［2025·河北保定高一期中］已知函數
若，則 ( )
A.2或或 B.2或 C.2或 D.
[解析] 若，則，解得或 （舍去）；
若，則，解得（舍去）.綜上， .故選D.
√
［素養小結］
（1）求分段函數的函數值的方法：
先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區間，然后代入該段的解
析式求值.當出現的形式時，應從內到外依次求值.
（2）求某條件下自變量的值的方法：
先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變
量的值，最后檢驗求得的自變量的值是否在對應區間上，舍去增根.
角度2 分段函數在實際問題中的應用
例4 ［2025·江蘇靖江中學高一月考］為減少空氣污染，某市鼓勵居
民用電（以減少燃氣或燃煤），采用分段計費計算電費，當每月用
電量不超過100度時，按每度0.57元計算，當每月用電量超過100度時，
其中的100度仍按原標準收費，超過的部分按每度0.5元計算.
（1）設月用電量為度時，應交電費元，寫出與 的函數解析式；
解：當時，；
當 時，
.
所以所求函數解析式為
例4 ［2025·江蘇靖江中學高一月考］為減少空氣污染，某市鼓勵居
民用電（以減少燃氣或燃煤），采用分段計費計算電費，當每月用
電量不超過100度時，按每度0.57元計算，當每月用電量超過100度時，
其中的100度仍按原標準收費，超過的部分按每度0.5元計算.
（2）小明家第一季度的電費情況如表所示：
月份 一月 二月 三月
交費金額 76元 63元 45.6元
則小明家第一季度共用電多少度？
解：由題意得，當時，；當
時， .
由題表可知小明家只有三月份的用電量小于100度，其他兩個月均超過
100度.
一月份的用電量 滿足，得（度）.
二月份的用電量 滿足，得（度）.
三月份的用電量 滿足，得 （度）.
所以第一季度用電量之和為 （度），即小明家
第一季度共用電330度.
變式 某城市出租車計費標準：乘客上車后，行駛 內收費都是10
元，超過,每行駛加收2元，超過，每行駛 加收3
元.假設途中一路順利，沒有停車等候.
（1）求乘客的付費金額（單位：元）與行駛路程（單位： ）
之間的函數關系式.
解：由題可知，所求函數關系式為
變式 某城市出租車計費標準：乘客上車后，行駛 內收費都是10
元，超過,每行駛加收2元，超過，每行駛 加收3
元.假設途中一路順利，沒有停車等候.
（2）若乘客需要行駛，當出租車行駛了 時，乘客中途
換乘一輛出租車和繼續乘坐這輛出租車行駛完余下的 路程，哪
一種方式更便宜？
解：當繼續乘坐這輛出租車時，付費金額（元）；
當換乘一輛出租車時，付費金額 （元）.
因此，換乘一輛出租車更便宜．
拓展 如圖，在梯形中， ， ，
，現有一動點從點出發沿 移動到
點，設點的路程為，，與點 的移動路線，三者圍成
的封閉圖形的面積為 .
（1）試寫出與 之間的函數解析式；
解：由 ， ， ，可得
， .
當點與點重合時， ;
當點在線段（不包括點）上運動時，圍成的封閉圖形為 ,
此時，其中 ；
當點在線段（不包括點 ）上運動時，圍成的封閉圖形為四邊形
,此時，其中 ；
當點在線段（不包括點 ）上運動時，圍成的封閉圖形為四邊形
,此時，其中 .
綜上，與之間的函數解析式為
拓展 如圖，在梯形中， ， ，
，現有一動點從點出發沿 移動到
點，設點的路程為，，與點 的移動路線，三者圍成
的封閉圖形的面積為 .
（2）在給定的坐標系中畫出函數圖象.
解：由 可得函數圖象如圖所示.
關于分段函數
（1）分段函數是一個函數，而不是幾個函數.
（2）研究分段函數的性質時，應根據“先分后合”的原則，尤其是在
作分段函數的圖象時，可將各段的圖象分別畫出來，從而得到整個
函數的圖象.
（3）分段函數的定義域是各段定義域的并集，其值域是各段值域的
并集，寫定義域時，區間端點應不重不漏.
（4）求分段函數的函數值時，自變量的取值屬于哪一段，就用哪一
段的解析式求解.
1.待定系數法
已知函數解析式的類型求其解析式時,通常利用待定系數法求解.
例1（1）函數是一次函數，且，求 的
解析式；
解：設 ，則
，
所以，則解得或
所以或 .
（2）［2025·北京中央民族大學附屬中學高一期中］已知二次函數
滿足，且.求函數 的解析式.
解：設，因為，所以 ,
則 ，
又因為 ，所以
，
所以，所以解得 則
.
2.函數與方程法
在已知函數關系中含有可以對稱代換的式子時,常用解方程（組）法
求其解析式.
例2 已知函數滿足，求函數 的表達式.
解：在中，用替換 ，得
.
于是有消去 ，得
.
3.分段函數
例3（1）函數 的定義域為_________________，值域
為_______________.
[解析] 函數的定義域為.
當時， ，當時，，所以函數的值域為
.
（2）函數 的圖象如圖所示，則函數的解析式為
_ ______________________
[解析] 當時,設 ,
由題圖得解得 故
;
當 時,設,由題圖得 解
得故;
當 時, .
綜上所述,
例4 ［2025·湖北宜昌高一期中］設函數
若 ，
則實數 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 當時，由，可得 ，則
，解得，則；
當 時，由，可得，解得，則 .
綜上所述，由，解得.
當時，由 ，可得，則
，解得 ，則；
當時，由，可得 ，顯然成立，則；
當時，由，可得 ，則
，解得或，則.
綜上所述， 的取值范圍為 .故選C.
例5 某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產 千件，需另
投入的成本（單位：萬元）為 .當年產量不足80千件時，
；當年產量不小于80千件時，
.每件產品的售價為0.05萬元.通過市場分析，
該廠生產的產品能夠全部售完.試寫出年利潤 （單位：萬元）關
于年產量 （單位：千件）的函數解析式.
解：因為每件產品的售價為0.05萬元，所以 千件產品的銷售額為
（萬元）.
由題意可得，當 時，
；
當 時，
.
所以
練習冊
1.已知函數由下表給出,則 等于( )
1 2 3 4
4 4 2 1
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] , .
√
2.［2025·江蘇淮陰中學高一月考］已知函數 ，
則函數 的解析式為( )
A. B.
C. D.
[解析] 令，則，且 ，由
，可得
，故 .故選A.
√
3.［2025·河南新鄉高一期中］已知一次函數 滿足
，則 ( )
A.4 B.2 C.1 D.0
[解析] 設，則由 ，得
，即 ，則
得則，所以 .故選B.
√
4.［2025·重慶巴蜀中學高一期中］已知函數 則
( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 因為所以 ，
.故選A.
√
5.某工廠生產零件件，當 時，每生產1件的成本為100元，超
過10件時，每生產1件的成本為150元，當 時，生產成本為
( )
A.1000元 B.1750元 C.1500元 D.1300元
[解析] 設生產零件件的成本為元，當,時， ，
當,時， ，
因此當時， .所以當
時，生產成本為1750元.故選B.
√
6.［2025·江西樟樹中學高一月考］已知函數
若，則 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
√
[解析] 因為所以當時， ；當
時，；當 時，
.
令，則由 ，得.
由上述分析可得且，解得 ，即，
所以且，解得 .故選D.
7.某航空公司規定，乘客所攜帶行李的運費
（元）與其重量 之間的關系由如圖的
一次函數圖象確定，那么乘客可免費攜帶行
李的最大重量為____ .
19
[解析] 設關于的一次函數解析式為 ，代入
與，得解得 即
，
若要免費，則，得 ，即乘客可免費攜帶行李的最大重量
為 .
8.［2025·江蘇南京九中高一月考］已知函數 ，若
，則 ___.
1
[解析] 令，，則， ，
故，得 .
9.（13分）［2025·湖北仙桃田家炳實驗高中高一期中］
（1）已知是一次函數，且，求 的解析式；
解：設 ，則
,
解得或
或 .
（2）已知函數，求 的解析式；
解：令，則, ，
，即 .
9.（13分）［2025·湖北仙桃田家炳實驗高中高一期中］
（3）已知定義在上的函數滿足 ，求
的解析式.
解：因為定義在上的函數滿足 ，所以
，
由，得，所以 .
10.（13分）已知函數
（1）求， ；
解：根據可知 ，
, .
（2）若，求實數 的值；
解：若，則，解得；
若 ，則，解得或 （舍去）.
綜上，或 .
10.（13分）已知函數
（3）作出函數在區間 內的圖象.
解：函數在區間 內的圖象如圖所示.
11.定義域為的函數的值域為，則函數 的
值域為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為函數的圖象是由函數 的圖象向右
或向左平移 個單位長度得到的，所以函數
的值域與函數 的值域相同.故選B.
√
12.已知函數若，則 的
值為( )
A. B.0或1 C.1 D.
[解析] 當時，由可得 ，不合題意；
當時，由可得；
當 時，由可得或,故.
當 時，；
當 時， .故選B.
√
13.（多選題）已知函數 則 ( )
A.
B.的值域為
C.的解集為
D.若，則 或1
√
√
[解析] 對于A，，A錯誤.
對于B，當 時，；當 時，
的值域為 ，B正確.
對于C，當時，由，得；當
時，由，得 的解集為
，C正確.
對于D，當 時，由，解得（舍）；
當 時，由，解得（舍）或.
若 ，則，D錯誤.故選 .
14.已知，函數若 ，則
___；若的值域是，則實數 的取值范圍是______.
[解析] 當時， 所以.
函數的定義域為 ，
值域為，顯然，且，當時，在
上的取值范圍是，與題設矛盾，因此 ，
函數在上隨著的增大而減少，在上的取值范圍是 ，
于是，則，從而.
當 時，，當且僅當 時取等號，
又，因此，解得 ，于是
，所以實數的取值范圍是 .
15.［2025·江蘇徐州三中高一月考］已知函數
，則不等式 的解集為
________.
[解析] 令，則，即 ，則
，，
結合的圖象可知隨 的增大而增大，所以
，解得 ，所以不等式的
解集為 .
16.（15分）［2025·重慶魯能巴蜀中學高一期中］ 注意力集中程度
的研究，有助于大眾提高自身辦事效率.針對不同年齡階段、一天的
不同時段、不同性別、不同地區的人群，科學界有很多種不同的算
法模型.有一種算法模型用注意力集中指數衡量注意力集中程度，注
意力集中指數的值越大，集中程度越高，越有利于學習.數據顯示在
上午第三節40分鐘的課中，高中學生的注意力集中指數受上課累計
時長的影響.開始上課時學生的注意力集中指數逐步升高，隨后學生
的注意力集中指數開始降低.經過實驗分析，得出學生的注意力集中
指數與時間（分鐘）的關系為：當時，是 的一次函數，
其中1分鐘時注意力集中指數為70，5分鐘時注意力集中指數為78；
當時，是 的二次函數，其中20分鐘時注意力集中指數
達到最大值，最大值為100.
（1）求關于 的解析式；
解：當時，設 ，
依題意得解得,，所以 .
當時， .
當時，設 ，
將代入上式得,解得 ，所以
.
綜上所述，
16.（15分）［2025·重慶魯能巴蜀中學高一期中］ 注意力集中程度
的研究，有助于大眾提高自身辦事效率.針對不同年齡階段、一天的
不同時段、不同性別、不同地區的人群，科學界有很多種不同的算
法模型.有一種算法模型用注意力集中指數衡量注意力集中程度，注
意力集中指數的值越大，集中程度越高，越有利于學習.數據顯示在
上午第三節40分鐘的課中，高中學生的注意力集中指數受上課累計
時長的影響.開始上課時學生的注意力集中指數逐步升高，隨后學生
的注意力集中指數開始降低.經過實驗分析，得出學生的注意力集中
指數與時間（分鐘）的關系為：當時，是 的一次函數，
其中1分鐘時注意力集中指數為70，5分鐘時注意力集中指數為78；
當時，是 的二次函數，其中20分鐘時注意力集中指數
達到最大值，最大值為100.
（2）如果學生的注意力集中指數不低于80，稱為“理想聽課狀態”，
那么在一節40分鐘的課中，學生處于“理想聽課狀態”所持續的時間
有多長？（精確到1分鐘.參考數據： ）
解：由解得 ，
由得
即所以 .
綜上所述， ，在一節40分鐘的課中，學生處于“理想聽課
狀態”所持續的時間共 （分鐘）.
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1.等式 列表 圖象 【診斷分析】1.（1）× （2）× （3）× （4）√ 2. 不一定
知識點二 解析表達式 【診斷分析】 不是
課中探究 探究點一 例1 略 變式 D
探究點二 例2 （1）（2）,，,
變式 （1），函數定義域為（2），函數定義域為
拓展 （1）,（2），
探究點三 角度1 例3 （1），（2）的值為或1或（3）圖略 . . 變式 D
角度2 例4 （1） （2）330度
變式 （1） （2）換乘一輛出租車更便宜
拓展 （1）（2）圖略
練習冊
基礎鞏固
1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.19 8.1
9.（1）或（2） （3）
10.（1）， （2） m>或（3）圖略.
綜合提升
11.B 12.B 13.BC 14.
思維探索
15. 16.（1）m>（2）分鐘5.2　函數的表示方法
【課前預習】
知識點一
1.等式　列表　圖象
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)函數f(x)=3x-2(x∈{1,2,3,4})的圖象是4個離散的點.
(2)函數f(x)=x2-2(x∈[-2,3])的圖象是拋物線的一部分.
(3)函數f(x)=x+1(x∈[0,3])的定義域是區間,自變量的取值不能一一列舉出來,不能用列表法表示.
(4)函數f(x)=2x2+1(x∈{-2,-1,0,1})的定義域只包含4個實數,因此可以用列表法與圖象法表示.
2.解:不一定.例如,函數的對應關系是:當x為有理數時,函數值等于1,當x為無理數時,函數值等于0.此函數就無法用圖象法表示.
知識點二
解析表達式
診斷分析
解:不是.分段函數的定義域只有一個,只不過在定義域的不同部分上對應關系不同,所以分段函數是一個函數.
【課中探究】
探究點一
例1　解:用列表法可將函數y=f(x)表示為
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
用圖象法可將函數y=f(x)表示為
用解析法可將函數y=f(x)表示為y=50-10x,x∈{0,1,2,3,4,5}.
變式　D　[解析] 根據表格可知,f(1)=3,g(1)=1,f(1)>g(1);f(2)=2,g(2)=3,f(2)探究點二
例2　解:(1)設二次函數g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
則g(x+2)-g(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4x,即4ax+4a+2b=4x,則
解得所以g(x)=x2-2x+c,則g(1)=1-2+c=-4,解得c=-3.所以g(x)=x2-2x-3.
(2)f(-1)=x-2=(-1)2-1,設t=-1≥-1,所以f(t)=t2-1,t≥-1,則f(x)=x2-1,x≥-1.
f(x+2)=(x+2)2-1=x2+4x+3,x≥-3.
變式　解:(1)依題意,可設函數f(x)=kx+b(k≠0),則f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b,由3f(x+1)-f(x)=2x+9,
可得3(kx+k+b)-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9,
所以解得故函數f(x)的解析式為f(x)=x+3,函數定義域為R.
(2)由g(+2)=x+2=()2+2=()2+4+4-2-4=(+2)2-2(+2),
令t=+2≥2,則g(t)=t2-2t,t≥2,將t改為x,即得函數解析式為g(x)=x2-2x,函數定義域為[2,+∞).
拓展　解:(1)g(x)-3g=x+2①,x≠0,
用替換x,得g-3g(x)=+2②,x≠0,
由①+3×②,得-8g(x)=x++8,x≠0,
所以g(x)=---1,x≠0.
(2)f(2-x)+2f=x①,x≠0,
用-代替x,得f+2f(2-x)=-②,x≠0,
由①-②×2得-3f(2-x)=x+,x≠0,
即f(2-x)=-,x≠0.
令t=2-x,t≠2,則x=2-t.
則f(t)=-=,t≠2.
所以f(x)=,x≠2.
探究點三
例3　解:(1)因為f(x)=所以f(0)=0,f(2)=×22-3×2=-4,
則f[f(2)]=f(-4)==-.
(2)當m<0時,f(m)==-1,所以m=-2;
當0≤m<2時,f(m)=-m=-1,所以m=1;
當m≥2時,f(m)=m2-3m=-1,可得m=3+.
綜上所述,m的值為-2或1或3+.
(3)函數f(x)的圖象如圖所示.
變式　D　[解析] 若a≤0,則2a2+1=9,解得a=-2或a=2(舍去);若a>0,則-3a+6=9,解得a=-1(舍去).綜上,a=-2.故選D.
例4　解:(1)當0≤x≤100時,y=0.57x;當x>100時,y=0.5×(x-100)+0.57×100=0.5x-50+57=0.5x+7.
所以所求函數解析式為y=
(2)由題意得,當0≤x≤100時,y=0.57x∈[0,57];當x>100時,y=0.5x+7>57.由題表可知小明家只有三月份的用電量小于100度,其他兩個月均超過100度.一月份的用電量x滿足0.5x+7=76,得x=138(度).二月份的用電量x滿足0.5x+7=63,得x=112(度).三月份的用電量x滿足0.57x=45.6,得x=80(度).所以第一季度用電量之和為138+112+80=330(度),即小明家第一季度共用電330度.
變式　解:(1)由題可知,所求函數關系式為y=
(2)當繼續乘坐這輛出租車時,付費金額y=34+5×3=49(元);當換乘一輛出租車時,付費金額y=34+10+2×(5-3)=48(元).因此,換乘一輛出租車更便宜.
拓展　解:(1)由∠B=∠C=90°,∠D=45°,AB=BC=2 cm,可得CD=2+2=4(cm),AD=2 cm.
當點Q與點B重合時,y=0;
當點Q在線段BC(不包括點B)上運動時,圍成的封閉圖形為△ABQ,此時y=S△ABQ=×2x=x,其中0當點Q在線段CD(不包括點C)上運動時,圍成的封閉圖形為四邊形ABCQ,此時 y=S四邊形ABCQ=×2=x,其中2綜上,y與x之間的函數解析式為y=
(2)由y=可得函數圖象如圖所示.5.2　函數的表示方法
1.D　[解析] ∵f(3)=2,∴f[f(3)]=f(2)=4.
2.A　[解析] 令t=x-2,則x=t+2,且t∈R,由f(x-2)=x2-4x+5,可得f(t)=(t+2)2-4(t+2)+5=t2+1,故f(x)=x2+1.故選A.
3.B　[解析] 設f(x)=kx+b(k≠0),則由f(x+1)=2f(x)-x,得k(x+1)+b=2(kx+b)-x,即kx+k+b=(2k-1)x+2b,則得則f(x)=x+1,所以f(1)=2.故選B.
4.A　[解析] 因為f(x)=所以f(-2)=(-2)2=4,f[f(-2)]=f(4)=.故選A.
5.B　[解析] 設生產零件x件的成本為y元,當x≤10,x∈N*時,y=100x,當x>10,x∈N*時,y=10×100+150(x-10)=150x-500,因此y=當x=15時,y=1750.所以當x=15時,生產成本為1750元.故選B.
6.D　[解析] 因為f(x)=所以當x<1時,f(x)=0;當1≤x<2時,f(x)=x+1∈[2,3);當x≥2時,f(x)=-x2+5∈(-∞,1].令t=f(a),則由f[f(a)]=1,得f(t)=1.由上述分析可得t≥2且-t2+5=1,解得t=2,即f(a)=2,所以1≤a<2且a+1=2,解得a=1.故選D.
7.19　[解析] 設y關于x的一次函數解析式為y=ax+b(a≠0),代入(30,330)與(40,630),得解得即y=30x-570,若要免費,則y≤0,得x≤19,即乘客可免費攜帶行李的最大重量為19 kg.
8.1　[解析] 令=t,t≥0,則x=t2+1,f(t)=t2+3(t≥0),故f(a)=a2+3=4(a≥0),得a=1.
9.解:(1)設f(x)=kx+b(k≠0),則f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4,
∴解得或
∴f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)令x+1=t,則x=t-1,t∈R,∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3.
(3)因為定義在R上的函數f(x)滿足2f(x)-f(-x)=x+1①,所以2f(-x)-f(x)=-x+1②,
由①×2+②,得3f(x)=x+3,所以f(x)=+1.
10.解:(1)根據f(x)=可知f(-2)=-2×2+1=-3,f=2×+1=,f=f=-3=-.
(2)若a≤1,則f(a)=2a+1=2,解得a=;若a>1,則f(a)=a2-3=2,解得a=或a=-(舍去).
綜上,a=或a=.
(3)函數y=f(x)在區間[-2,2)內的圖象如圖所示.
11.B　[解析] 因為函數y=f(x-a)的圖象是由函數y=f(x)的圖象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度得到的,所以函數y=f(x-a)的值域與函數y=f(x)的值域相同.故選B.
12.B　[解析] 當a<0時,由2a+2=2可得a=0,不合題意;當0≤a≤4時,由=2可得a=4;當a>4時,由a2-8a+14=2可得a=2或a=6,故a=6.當a=4時,f(5-a)=f(1)==1;當a=6時,f(5-a)=f(-1)=2×(-1)+2=0.故選B.
13.BC　[解析] 對于A,f(0)=02=0,A錯誤.對于B,當x≤-1時,f(x)=x+2≤-1+2=1;當-114.1　　[解析] 當c=0時,f(x)=
所以f(1)=1.函數f(x)=的定義域為[-2,3],值域為,顯然0 (c,3],且c≠0,當c=0時,f(x)在(c,3]上的取值范圍是,與題設矛盾,因此015.　[解析] 令x-1=t,則f(t)=+t,即f(x)=+x,則f(0)=0,f(8)=10,結合f(x)的圖象可知f(x)=+x隨x的增大而增大,所以0<2x+1<8,解得-16.解:(1)當0≤x≤8時,設y=kx+t,
依題意得解得k=2,t=68,所以y=2x+68.
當x=8時,y=16+68=84.
當8≤x≤40時,設y=a(x-20)2+100(a<0),
將(8,84)代入上式得84=a×122+100,解得a=-,所以y=-(x-20)2+100.
綜上所述,y=
(2)由解得6≤x≤8,
由得
即所以8綜上所述,6≤x≤33,在一節40分鐘的課中,學生處于“理想聽課狀態”所持續的時間共33-6=27(分鐘).5.2　函數的表示方法
【學習目標】
　　1.能夠在實際情境中,根據不同的需要,選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
　　2.能夠根據給出的實際問題,寫出分段函數的表達式,并能簡單應用.
◆ 知識點一　函數的三種表示方法
1.函數的三種表示方法
表示法 定　義
解析法 用　　　　來表示兩個變量之間函數關系的方法
列表法 用　　　　來表示兩個變量之間函數關系的方法
圖象法 用　　　　表示兩個變量之間函數關系的方法
2.三種表示方法的優缺點比較
優　點 缺　點
解析法 一是簡明、全面地概括了變量間的關系;二是可以通過用解析式求出任意一個自變量所對應的函數值 不夠形象、直觀,而且并不是所有的函數都可以用解析法表示
列表法 不通過計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值 它只能表示自變量取較少的有限值時的對應關系
圖象法 直觀形象地表示出函數的變化情況,有利于通過圖形研究函數的某些性質 只能近似地求出自變量所對應的函數值,有時誤差較大
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數f(x)=3x-2(x∈{1,2,3,4})的圖象是一條線段. (　 )
(2)函數f(x)=x2-2(x∈[-2,3])的圖象是拋物線. (　 )
(3)函數f(x)=x+1(x∈[0,3])可以用列表法表示. (　 )
(4)函數f(x)=2x2+1(x∈{-2,-1,0,1})可以用列表法與圖象法表示. (　 )
2.任何一個函數都可以用解析法、列表法、圖象法三種形式表示嗎
◆ 知識點二　分段函數
在定義域內不同部分上,有不同的　　　　　　　　　　,像這樣的函數,通常叫作分段函數.
【診斷分析】 分段函數在定義域的不同部分上對應關系不同,那么分段函數是由幾個不同的函數構成的嗎
◆ 探究點一　函數的表示方法
例1 某問答游戲的規則是:共答5道選擇題,基礎分為50分,每答錯一道題扣10分,答對不扣分.試分別用列表法、圖象法、解析法表示一個參與者的得分y與答錯題目道數x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數關系y=f(x).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 [2025·北京通州高一期中] 若函數f(x),g(x)用列表法表示如下:
x 1 2 3
f(x) 3 2 1
g(x) 1 3 2
則滿足f(x)A.1 B.3
C.1或2 D.2或3
◆ 探究點二　函數解析式的求法
例2 (1)已知二次函數g(x)滿足g(x+2)-g(x)=4x且g(1)=-4.求g(x)的解析式.
(2)已知f(-1)=x-2,求f(x),f(x+2).
變式 (1)已知函數f(x)是一次函數,且滿足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式及定義域.
(2)已知函數g(x)滿足g(+2)=x+2,求函數g(x)的解析式及定義域.
[素養小結]
求函數解析式的幾種常用方法
(1)待定系數法:當已知函數類型時,常用待定系數法.
(2)代入法:已知y=f(x)的解析式,求函數y=f[g(x)]的解析式時,可直接用g(x)替換y=f(x)中的x.
(3)換元法:已知y=f[g(x)]的解析式,求y=f(x)的解析式,可用換元法,即令g(x)=t,反解出x,然后代入y=f[g(x)]中,求出f(t),即可得f(x).
(4)構造方程組法:當同一個對應關系中的兩個自變量之間有互為相反數或者互為倒數關系時,通常構造方程組求解.
拓展 (1)已知g(x)-3g=x+2,求g(x)的解析式.
(2)已知函數f(x)滿足f(2-x)+2f=x,求函數f(x)的解析式.
◆ 探究點三　分段函數
角度1　分段函數求值
例3 [2025·江蘇蘇州實驗學校高一期中] 已知函數f(x)=
(1)求f(0),f[f(2)];
(2)若f(m)=-1,求m的值;
(3)作出函數f(x)的圖象.
變式 [2025·河北保定高一期中] 已知函數f(x)=若f(a)=9,則a=(　 )
A.2或-2或-1 B.2或-1
C.2或-2 D.-2
[素養小結]
(1)求分段函數的函數值的方法:
先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區間,然后代入該段的解析式求值.當出現f[f(a)]的形式時,應從內到外依次求值.
(2)求某條件下自變量的值的方法:
先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上,然后求出相應自變量的值,最后檢驗求得的自變量的值是否在對應區間上,舍去增根.
角度2　分段函數在實際問題中的應用
例4 [2025·江蘇靖江中學高一月考] 為減少空氣污染,某市鼓勵居民用電(以減少燃氣或燃煤),采用分段計費計算電費,當每月用電量不超過100度時,按每度0.57元計算,當每月用電量超過100度時,其中的100度仍按原標準收費,超過的部分按每度0.5元計算.
(1)設月用電量為x度時,應交電費y元,寫出y與x的函數解析式;
(2)小明家第一季度的電費情況如表所示:
月份 一月 二月 三月
交費金額 76元 63元 45.6元
則小明家第一季度共用電多少度
變式 某城市出租車計費標準:乘客上車后,行駛3 km內收費都是10元,超過3 km,每行駛1 km加收2元,超過15 km,每行駛1 km加收3元.假設途中一路順利,沒有停車等候.
(1)求乘客的付費金額y(單位:元)與行駛路程x(單位:km)之間的函數關系式.
(2)若乘客需要行駛20 km,當出租車行駛了15 km時,乘客中途換乘一輛出租車和繼續乘坐這輛出租車行駛完余下的5 km路程,哪一種方式更便宜
拓展 如圖,在梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,∠D=45°,AB=BC=2 cm,現有一動點Q從B點出發沿B→C→D→A移動到A點,設Q點的路程為x cm,AQ,AB與點Q的移動路線,三者圍成的封閉圖形的面積為y cm2.
(1)試寫出y與x之間的函數解析式;
(2)在給定的坐標系中畫出函數圖象.5.2　函數的表示方法
1.已知函數f(x)由下表給出,則f[f(3)]等于 (　 )
x 1 2 3 4
f(x) 4 4 2 1
A.1 B.2
C.3 D.4
2.[2025·江蘇淮陰中學高一月考] 已知函數f(x-2)=x2-4x+5,則函數f(x)的解析式為 (　 )
A.f(x)=x2+1
B.f(x)=x2+2
C.f(x)=x2-2x
D.f(x)=x2-2
3.[2025·河南新鄉高一期中] 已知一次函數y=f(x)滿足f(x+1)=2f(x)-x,則f(1)= (　 )
A.4 B.2
C.1 D.0
4.[2025·重慶巴蜀中學高一期中] 已知函數f(x)=則f[f(-2)]= (　 )
A. B.
C.2 D.4
5.某工廠生產零件x件,當x≤10時,每生產1件的成本為100元,超過10件時,每生產1件的成本為150元,當x=15時,生產成本為 (　 )
A.1000元 B.1750元
C.1500元 D.1300元
6.[2025·江西樟樹中學高一月考] 已知函數f(x)=若f[f(a)]=1,則a= (　 )
A.4 B.3
C.2 D.1
7.某航空公司規定,乘客所攜帶行李的運費y(元)與其重量x(kg)之間的關系由如圖的一次函數圖象確定,那么乘客可免費攜帶行李的最大重量為　　　　kg.
8.[2025·江蘇南京九中高一月考] 已知函數f()=x+2,若f(a)=4,則a=　　　　.
9.(13分)[2025·湖北仙桃田家炳實驗高中高一期中] (1)已知f(x)是一次函數,且f[f(x)]=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知函數f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式;
(3)已知定義在R上的函數f(x)滿足2f(x)-f(-x)=x+1,求f(x)的解析式.
10.(13分)已知函數f(x)=
(1)求f(-2),f;
(2)若f(a)=2,求實數a的值;
(3)作出函數y=f(x)在區間[-2,2)內的圖象.
11.定義域為R的函數y=f(x)的值域為[a,b],則函數y=f(x-a)的值域為 (　 )
A.[0,b-a] B.[a,b]
C.[2a,a+b] D.[-a,b-a]
12.已知函數f(x)=若f(a)=2,則f(5-a)的值為 (　 )
A.-1 B.0或1
C.1 D.
13.(多選題)已知函數f(x)=則 (　 )
A.f(0)=2
B.f(x)的值域為(-∞,4)
C.f(x)<1的解集為(-∞,-1)∪(-1,1)
D.若f(x)=3,則x=或1
14.已知-215.[2025·江蘇徐州三中高一月考] 已知函數f(x-1)=+x-1,則不等式016.(15分)[2025·重慶魯能巴蜀中學高一期中] 注意力集中程度的研究,有助于大眾提高自身辦事效率.針對不同年齡階段、一天的不同時段、不同性別、不同地區的人群,科學界有很多種不同的算法模型.有一種算法模型用注意力集中指數衡量注意力集中程度,注意力集中指數的值越大,集中程度越高,越有利于學習.數據顯示在上午第三節40分鐘的課中,高中學生的注意力集中指數受上課累計時長的影響.開始上課時學生的注意力集中指數逐步升高,隨后學生的注意力集中指數開始降低.經過實驗分析,得出學生的注意力集中指數y與時間x(分鐘)的關系為:當0≤x≤8時,y是x的一次函數,其中1分鐘時注意力集中指數為70,5分鐘時注意力集中指數為78;當8≤x≤40時,y是x的二次函數,其中20分鐘時注意力集中指數達到最大值,最大值為100.
(1)求y關于x的解析式;
(2)如果學生的注意力集中指數不低于80,稱為“理想聽課狀態”,那么在一節40分鐘的課中,學生處于“理想聽課狀態”所持續的時間有多長 (精確到1分鐘.參考數據:≈2.236)

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