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(共76張PPT)
5.3 函數的單調性
第1課時 單調性的概念與證明
探究點一 由函數圖象確定單調區間
探究點二 函數單調性的證明
探究點三 單調性與單調區間
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能夠在具體的數學問題中，用歸納的方式，抽象概括出函數單
調性的概念.
2.能夠用數學符號語言表述函數的單調性.
3.能夠根據給出的具體數學問題，利用學過的概念，判斷函數的
單調性.
知識點一 增函數與減函數的定義
增函數 減函數
定義 增函數 減函數
定義
續表
增函數 減函數
圖象 描述 ______________________________________________ 自左向右看圖象是_______ _ ______________________________________________________
自左向右看圖象是________
上升的
下降的
續表
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若定義在上的函數，有，則函數在
上為增函數.( )
×
[解析] 不符合增函數的定義， 成立，不能說明對任意
兩個自變量的值,都有 成立.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（2）函數 是減函數.( )
×
[解析] 函數 是增函數.
（3）函數 是增函數.( )
√
[解析] 對任意,，且 ，都有
成立，所以 ，故
是增函數.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（4）函數 在定義域上是增函數.( )
×
[解析] 取,，則.
因此 在定義域上不是增函數.
知識點二 單調性與單調區間
如果函數在區間 上單調遞增或單調遞減,那么稱函數
在區間 上具有________.增區間和減區間統稱為單調區間.
單調性
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數在 上單調遞增，則函數的增區間是
.( )
×
[解析] 函數也可能有其他的增區間.
（2）函數的減區間是 .( )
×
[解析] 有多個減區間一般不能用并集符號連在一起.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）如果一個函數在定義域內的某幾個子區間上都單調遞增，那么
這個函數在定義域上是增函數.( )
×
[解析] 在區間, 上都單調遞增,但在定義域
上不是增函數.
（4）函數 的單調區間是定義域的子集.( )
[解析] 根據函數單調性的定義可知，函數 的單調區間都是定義
域的子集.
√
知識點三 常見函數的單調性
1.一次函數，當時，函數 的增區間是
；當時，函數的減區間是 .
2.反比例函數，當，函數 的減區間是
和；當，函數的增區間是 和
.
3.二次函數，當，函數 的減區
間是，增區間是；當，函數 的增區間
是，減區間是 .
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數在 上單調遞增.( )
×
[解析] 因為，所以函數在區間 上單調遞減.
（2）函數的減區間是 .( )
×
[解析] 因為，所以函數的減區間是和 .
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）函數的增區間是 .( )
×
[解析] 函數，則 的增區間是
.
（4）函數在區間 上單調遞增.( )
√
[解析] 因為，所以函數在區間 上單調遞增.
探究點一 由函數圖象確定單調區間
例1（1）函數 的圖象如圖所示,則其增區
間是( )
A.， B.
C.， D.
√
[解析] 根據函數單調性的定義及題中函數圖象知 的增區間為
， .
（2）［2025·廣東高州中學高一期中］函數 的減區
間為________________.
，
[解析]
由此畫出函數 的圖象，如圖所示，
由圖可知，函數 的減區間為
， .
變式 畫出下列函數的圖象并寫出函數的單調區間.
（1） ；
解： 的圖象如圖所示.
由圖可知，的減區間為，增區間為 .
變式 畫出下列函數的圖象并寫出函數的單調區間.
（2） .
解：令 .
先作出的圖象，保留其在軸及 軸上方的部分，
把它在軸下方的圖象翻到 軸上方，就得到
的圖象，如圖所示.
由圖象易得，函數的增區間是 ，
減區間是 .
［素養小結］
由圖象確定函數單調區間的方法及注意事項
（1）圖象從左向右上升，則函數在對應區間上單調遞增；圖象從左
向右下降，則函數在對應區間上單調遞減.
（2）單調區間必須是函數定義域的子集，單調區間之間不能用“ ”，
而應用“，”將它們隔開或用“和”字連接.
探究點二 函數單調性的證明
例2 證明：函數在 上是增函數.
證明：設,為區間上的任意兩個值，且 ，則
，
，，且 ，則
，則，即 ，所以函數
在 上是增函數.
變式 討論函數在 上的單調性.
解：,設,,且 ,則
.
因為 ,所以 ,
又,,所以 .
當時,,則,即 ,所以
在 上單調遞增;
當時,,則 ,
即,所以在 上單調遞減.
［素養小結］
判斷函數在區間上的單調性的一般步驟:
①設元:設,,且.
②作差:將函數值,作差.
③變形:將上述差式變形（用因式分解、配方等方法）.
④判號:對上述變形結果的正負加以判定.
⑤定論:根據定義得出的單調性.
拓展 ［2025·江西上饒一中高一期中］ 已知定義在 上的函數
滿足對任意的，， 恒成立.當
時，，且 .
（1）求 的值；
解：對任意的，， 恒成立，取
，則，即 ，
因為，所以 .
拓展 ［2025·江西上饒一中高一期中］ 已知定義在 上的函數
滿足對任意的，， 恒成立.當
時，，且 .
（2）判斷 的單調性并證明.
解：函數在 上單調遞增.證明如下：
設，則，因為當時， ，所以
，
于是 ，
所以函數在 上單調遞增.
探究點三 單調性與單調區間
例3（1）［2025·江蘇如東一中、宿遷一高、徐州中學月考］函數
的減區間是( )
A. B. C. D.
[解析] 要使函數有意義，必須，解得 .
令，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為 ，
所以函數在上單調遞減，在 上單調遞增，
又在上單調遞增，所以函數 在
上單調遞減，在 上單調遞增，所以函數
的減區間是 .故選A.
√
（2）［2025·北京十四中高一期中］設函數 在區間
上單調遞增，則實數 的取值范圍是__________.
[解析] 易知函數圖象的對稱軸為 ，
因為該函數在區間上單調遞增，所以，解得，
故實數 的取值范圍是 .
（3）已知是定義在 上的減函數，且滿足
，求 的取值范圍.
解：由題意知解得.
因為 是減函數，且，所以，
解得 .
由①②得，所以的取值范圍是 .
變式（1）［2025·廣東實驗中學高一期中］若二次函數
在區間上單調遞增，則實數 的取值
范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 二次函數 的圖象是開口向上，對稱
軸為的拋物線，
因為在區間 上單調遞增，所以，解得 ，故選A.
√
（2）已知函數在 上單調遞增，
則實數 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為當時，，所以函數在
上的圖象開口向下，所在拋物線的對稱軸為 ，
又當時，，且函數在 上單調遞增，所以
解得 .故選D.
［素養小結］
（1）對于一次函數、二次函數、反比例函數的單調性問題中所涉及
的參數問題,要根據這些函數的圖象、性質進行討論.
（2）解決與抽象函數有關的變量的取值范圍問題,關鍵是利用單調性
“脫去”函數符號“”,從而轉化為熟悉的不等式.具體做法是:①若函數
在區間上單調遞增,對任意,,恒成立,則
有;②若函數在區間上單調遞減,對任意,,
恒成立,則有.但需要注意的是,不要忘記函數的定義域.
1.對函數單調性的理解
（1）單調性是與“區間”緊密相關的概念,一個函數在定義域內的不同
區間上可以有不同的單調性.
（2）單調性是函數在某一區間上的“整體”性質,因此定義中的,
有以下幾個特征:一是任意性,即任意取, ,“任意”二字絕不能丟掉,
證明單調性時更不可隨意以兩個特殊值替換;二是有大小,通常規定
;三是屬于同一個單調區間.
（3）單調性能使自變量取值的不等關系和函數值的不等關系正逆互
推,即由單調遞增（減）且 .
（4）并不是所有函數都具有單調性.若一個函數在定義域上既有增區
間又有減區間,則此函數在定義域上不具有單調性.
2.單調性的判斷方法
（1）定義法:利用定義嚴格判斷.
（2）圖象法:作出函數的圖象,用數形結合的思想確定函數的單調區間.
（3）用兩個函數和（差）的單調性的規律判斷:“增增增”“減 減
減”“增-減增”“減-增 減”.
1.圖象法
單調性反映在，圖象上,圖象在區間 上的部分從左到右是上升
（下降）的,說明函數在 上單調遞增（減）.
例1 ［2025·湖南邵東一中高一月考］函數 的減
區間為______.
[解析]
即畫出函數 的圖象，
如圖所示，
由圖可知,當時，函數在上單調遞增，在 上單調遞減；
當時，函數在 上單調遞增.
綜上函數的減區間為 .
2.定義法
可利用函數單調性的定義,建立關于參數的不等式（組）或方程
（組）,同時注意利用數形結合的思想,運用逆向思維思考問題.
解：當時，函數在上單調遞增；當 時，函數
在 上單調遞減.
證明如下：設 ,
則
,
例2 已知函數,判斷函數在 上的單調性，
并用單調性的定義加以證明.
, ,
,, ,
當時，，即 ，
故函數在 上單調遞增.
同理可證當時，函數在 上單調遞減.
3.脫“ ”法
根據函數的單調性解決某些不等式問題.
例3 ［2025·深圳南山外國語學校高一期中］函數 的定義域為
，對任意，，都有 ，且當
時，， .
（1）求， ；
解：令，則 ，所以；
令,，則 ，
又，所以 .
例3 ［2025·深圳南山外國語學校高一期中］函數 的定義域為
，對任意，，都有 ，且當
時，， .
（2）判斷并證明 的單調性；
解：為增函數.證明如下：
任取,，且 ，則，
因為 ，所以，則，所以，
即 ，所以在 上是增函數.
例3 ［2025·深圳南山外國語學校高一期中］函數 的定義域為
，對任意，，都有 ，且當
時，， .
（3）解不等式 .
解：由 ，可得
，
也就是 ，即，
因為在 上是增函數，
所以則可得或 ，
故所求不等式的解集為或 .
練習冊
1.［2024·福建學業水平考試］已知函數
， 的圖象如圖，則函數增區間
為( )
A. B. C. D.
[解析] 若函數單調遞增，則對應圖象為上升趨勢，由題圖可知
的增區間為 .故選B.
√
2.下列函數中在 上單調遞增的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A,在 上單調遞減,故A錯誤;
對于B, 在上單調遞增,所以也在 上單調遞增,故B正確;
對于C,在上單調遞減,在 上單調遞增,故C錯誤;
對于D,在 上單調遞減,故D錯誤.故選B.
√
3.[ 江蘇馬壩高中高一調研］函數 的增區間是
( )
A. B. C. D.
[解析] 當時， ，此時函數單調遞增；
當時， ，此時函數單調遞減，故函數的增
區間為 ，故選C.
√
4.已知函數，則函數 ( )
A.在上單調遞增 B.在 上單調遞減
C.在上單調遞增 D.在 上單調遞減
[解析] ，所以函數 的圖象
可由反比例函數 的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個
單位長度得到.
因為在和 上單調遞減，所以在
和 上單調遞減.故選D.
√
5.［2025·江蘇宿遷中學高一期中］若函數 在
區間上單調遞減，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得 ，
則函數的減區間為 ，
又函數在區間上單調遞減，所以
，解得 .
√
6.［2025·內蒙古赤峰二中高一月考］若函數
是上的增函數，則實數 的取值范
圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意可得
解得，所以實數的取值范圍是 .故選D.
√
7.函數 的增區間是_______________.
和
[解析] 作出 的圖象如圖所示，
由圖象可知，的增區間是和 .
8.［2025·北京交大附中高一月考］定義在上的函數 ，對任意
，，有，則,, 的大小關
系為__________________.
[解析] 定義在上的函數，對任意， ，有
，則函數在上單調遞減，
， .
9.（13分）已知函數，且 .
（1）求實數的值并作出函數 的圖象；
解：由函數，且，得 ，
所以，函數
函數 的圖象如圖所示.
9.（13分）已知函數，且 .
（2）由圖指出 的增區間.
解：觀察函數的圖象，得的增區間為， .
10.（13分）已知函數 .
（1）若，判斷函數在 上的單調性，并利用單調性
的定義證明你的結論；
解:當時，在 上單調遞減.
證明如下：任取,，且 ，
則 ，
由，得,, ，
所以，即 ，所以函數
在 上單調遞減.
10.（13分）已知函數 .
（2）若函數在區間上單調遞減，寫出 的取值范圍并證明.
解:若函數在區間上單調遞減，則 .
證明如下：任取,，且 ，
則
，
由，得,, ,
由得，所以 ，即
，
所以函數在 上單調遞減.
11.［2025·江蘇南京協同體七校期中］已知函數
在上單調遞增，則實數 的取值范圍是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 已知函數
當時， 單調遞增，此時；
當且時， 在上單調遞增，此時
.
所以要使函數在上單調遞增，則
且 ，可得 .故選C.
12.[ 華師大一附中高一月考］設函數
若，則實數 的取值
范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 作出函數 的圖象，
如圖所示，
可知函數 在
上單調遞增，故由 可得
，即，解得
或，即實數的取值范圍是 .故選A.
13.（多選題）［2025·江蘇蘇州高一期中］ 設函數
，則( )
A.直線是曲線 的對稱軸
B.若函數在上單調遞減，則
C.對任意，，不等式 恒成立
D.當時，
√
√
√
[解析] 根據題意，函數
其圖象如圖所
示.
對于A，，，則直線 不
是曲線 的對稱軸，A錯誤；
對于B，由圖可知，的減區間為，所以若函數在 上
單調遞減，則 ，B正確；
對于C，當時， ,
,則對任意， ，不等式
恒成立，C正確；
對于D，當 時， ，其圖象關于
直線對稱，則有，當 時，
，當 時，， ，
綜合可得，當時，，D正確.故選 .
14.已知函數（為常數）.若在區間 上單調
遞增,則 的取值范圍是________.
[解析] 依題意,函數
顯然函數在上單調遞減，在 上單調遞增,
因為在區間上單調遞增，所以，則 ,
所以的取值范圍是 .
15.已知函數的定義域為，對任意， ，總
有，且， ，則實數
的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由題意得，對任意，，總有 ，
在上單調遞增.
由 得，則
解得或 .故選B.
16.（15分）[ 江西南昌三中高一期中］ 已知定義在 上的函
數滿足，且當時， .
（1）求 的值；
解：令，得 .
（2）求證:在 上是增函數；
證明：在上任取，則，所以 .
又 ，
所以函數在 上是增函數.
16.（15分）[ 江西南昌三中高一期中］ 已知定義在 上的函
數滿足，且當時， .
（3）若，解關于的不等式 .
解：由，得 ，
.
由，得 ，即
.
因為函數在 上是增函數，所以，解得或
.故原不等式的解集為或 .
快速核答案(導學案）
課前預習 知識點一 上升的 下降的
【診斷分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）×
知識點二 單調性 【診斷分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
知識點三 【診斷分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
課中探究 探究點一 例1 （1）C （2）， 變式 （1）圖略
的減區間為，增區間為
（2）圖略，的增區間是，減區間是
探究點二 例2 證明略
變式 當時,<在上單調遞增;當時,<在上單調遞減
拓展 （1） （2）函數在上單調遞增.證明略
探究點三 例3 （1）A （2） （3） 變式 （1）A （2）D
練習冊
基礎鞏固
1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.和 8.
9.（1），圖略（2）的增區間為，
10.（1）在上單調遞減.證明略（2）.證明略
綜合提升
11.C 12.A 13.BCD 14.
思維探索
15.B
16.（1） （2）證明略（3）或5.3　函數的單調性
第1課時　單調性的概念與證明
【課前預習】
知識點一
f(x1)f(x2)　上升的　下降的
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)不符合增函數的定義,f(-1)(2)函數f(x)=x是增函數.
(3)對任意x1,x2∈R,且x1(4)取x1=-2,x2=1,則f(x1)>f(x2).因此f(x)=x2在定義域上不是增函數.
知識點二
單調性
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)函數也可能有其他的增區間.
(2)有多個減區間一般不能用并集符號連在一起.
(3)y=-在區間(-∞,0),(0,+∞)上都單調遞增,但在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函數.
(4)根據函數單調性的定義可知,函數f(x)的單調區間都是定義域的子集.
知識點三
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)因為-2<0,所以函數f(x)在區間[1,+∞)上單調遞減.
(2)因為2>0,所以函數f(x)的減區間是(-∞,0)和(0,+∞).
(3)函數f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,則f(x)的增區間是(-1,+∞).
(4)因為1>0,所以函數f(x)在區間[0,8]上單調遞增.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2),　[解析] (1)根據函數單調性的定義及題中函數圖象知f(x)的增區間為[-1,0],[1,2].
(2)y=x2-3|x|+1=
由此畫出函數y=x2-3|x|+1的圖象,如圖所示,由圖可知,函數y=x2-3|x|+1的減區間為,.
變式　解:(1)f(x)=3|x|=f(x)的圖象如圖所示.
由圖可知,f(x)的減區間為(-∞,0],增區間為(0,+∞).
(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.
先作出g(x)的圖象,保留其在x軸及x軸上方的部分,把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方,就得到f(x)=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.由圖象易得,函數f(x)的增區間是[-3,-1],[1,+∞),減區間是(-∞,-3],[-1,1].
探究點二
例2　證明:設x1,x2為區間(-1,1)上的任意兩個值,且x1∵-10,則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)變式　解:f(x)==a+,設x1,x2∈(-2,+∞),且x10,
又x1,x2∈(-2,+∞),所以(x1+2)(x2+2)>0.
當a>時,1-2a<0,則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)當a<時,1-2a>0,則f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上單調遞減.
拓展　解:(1)對任意的x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,取x=y=3,則f(3×3)=f(3)+f(3),即f(9)=2f(3),因為f(9)=8,所以f(3)=4.
(2)函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.證明如下:
設x1>x2>0,則>1,因為當x>1時,f(x)>0,所以f>0,于是f(x1)=f=f(x2)+f>f(x2),所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
探究點三
例3　(1)A　(2)[-2,+∞)　[解析] (1)要使函數f(x)有意義,必須-x2-2x≥0,解得-2≤x≤0.令u=-x2-2x,其圖象為開口向下的拋物線,對稱軸為x=-1,所以函數u=-x2-2x在[-1,0]上單調遞減,在[-2,-1]上單調遞增,又y=在[0,+∞)上單調遞增,所以函數f(x)=在[-1,0]上單調遞減,在[-2,-1]上單調遞增,所以函數f(x)=的減區間是[-1,0].故選A.
(2)易知函數y=x2+2ax圖象的對稱軸為x=-a,因為該函數在區間(2,+∞)上單調遞增,所以-a≤2,解得a≥-2,故實數a的取值范圍是[-2,+∞).
(3)解:由題意知解得0f(1-4a),所以a-1<1-4a,解得a<②.由①②得0變式　(1)A　(2)D　[解析] (1)二次函數f(x)=x2-2(a-1)x+1的圖象是開口向上,對稱軸為x==a-1的拋物線,因為f(x)在區間(1,3)上單調遞增,所以a-1≤1,解得a≤2,故選A.
(2)因為當x≤1時,f(x)=-x2-ax-9,所以函數在(-∞,1]上的圖象開口向下,所在拋物線的對稱軸為x=-,又當x>1時,f(x)=,且函數f(x)在R上單調遞增,所以解得-5≤a≤-2.故選D.5.3　函數的單調性
第1課時　單調性的概念與證明
1.B　[解析] 若函數單調遞增,則對應圖象為上升趨勢,由題圖可知y=f(x)的增區間為[0,1].故選B.
2.B　[解析] 對于A,y=-x在[0,+∞)上單調遞減,故A錯誤;對于B,y=x+1在R上單調遞增,所以也在[0,+∞)上單調遞增,故B正確;對于C,y=x2-2x在(-∞,1)上單調遞減,在[1,+∞)上單調遞增,故C錯誤;對于D,y=在(0,+∞)上單調遞減,故D錯誤.故選B.
3.C　[解析] 當x≥-1時,y=|x+1|=x+1,此時函數單調遞增;當x<-1時,y=|x+1|=-x-1,此時函數單調遞減,故函數的增區間為(-1,+∞),故選C.
4.D　[解析] f(x)===1+(x≠1),所以函數f(x)的圖象可由反比例函數y=的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度得到.因為y=在(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞減,所以f(x)=在(-∞,1)和(1,+∞)上單調遞減.故選D.
5.C　[解析] 由題意得y=x2+(2a-1)x+1=+1-,則函數y=x2+(2a-1)x+1的減區間為,又函數y=x2+(2a-1)x+1在區間(-∞,2)上單調遞減,所以-≥2,解得a≤-.
6.D　[解析] 由題意可得
解得2≤a≤3,所以實數a的取值范圍是[2,3].故選D.
7.和(3,+∞)　[解析] 作出f(x)的圖象如圖所示,由圖象可知,f(x)的增區間是和(3,+∞).
8.f(3)9.解:(1)由函數f(x)=x|x-m|(x∈R),且f(4)=0,得4|4-m|=0,
所以m=4,函數f(x)=x|x-4|=
函數f(x)的圖象如圖所示.
(2)觀察函數f(x)的圖象,得f(x)的增區間為(-∞,2),(4,+∞).
10.解:(1)當a=4時,f(x)=在(2,+∞)上單調遞減.
證明如下:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=-=
=,
由x2>x1>2,得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,
所以f(x1)-f(x2)=>0,即f(x1)>f(x2),所以函數f(x)在(2,+∞)上單調遞減.
(2)若函數f(x)在區間(2,+∞)上單調遞減,則a>-2.證明如下:任取x3,x4∈(2,+∞),且x3則f(x3)-f(x4)=-=
=,
由x4>x3>2,得x4-x3>0,x4-2>0,x3-2>0,
由a>-2得a+2>0,所以f(x3)-f(x4)=>0,即f(x3)>f(x4),
所以函數f(x)在(2,+∞)上單調遞減.
11.C　[解析] 已知函數f(x)=當x≤a時,f(x)=2x+4單調遞增,此時f(x)≤2a+4;當x>a且a≥0時,f(x)=x2+1在(a,+∞)上單調遞增,此時f(x)>a2+1.所以要使函數f(x)=在R上單調遞增,則a2+1≥2a+4且a≥0,可得a≥3.故選C.
12.A　[解析] 作出函數f(x)=的圖象,如圖所示,可知函數f(x)=在R上單調遞增,故由f(a2-3)>f(a-1)可得a2-3>a-1,即a2-a-2>0,解得a<-1或a>2,即實數a的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞).故選A.
13.BCD　[解析] 根據題意,函數f(x)=(x-2)|x|=其圖象如圖所示.對于A,f(-1)=-3,f(3)=3,則直線x=1不是曲線y=f(x)的對稱軸,A錯誤;對于B,由圖可知,f(x)的減區間為(0,1),所以若函數f(x)在(0,m)上單調遞減,則00>f(x),綜合可得,當-114.(-∞,1]　[解析] 依題意,函數f(x)=
顯然函數f(x)在(-∞,a]上單調遞減,在[a,+∞)上單調遞增,因為f(x)在區間[1,+∞)上單調遞增,所以[1,+∞) [a,+∞),則a≤1,所以a的取值范圍是(-∞,1].
15.B　[解析] 由題意得,對任意x1,x2∈(0,+∞),總有>0,∴y=在(0,+∞)上單調遞增.由f(a2+2a)>2a2+4a得>2=,則解得a<-3或a>1.故選B.
16.解:(1)令x=y=0,得f(0)=-2.
(2)證明:在R上任取x1>x2,則x1-x2>0,所以f(x1-x2)>-2.又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+2>f(x2),所以函數f(x)在R上是增函數.
(3)由f(1)=2,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6,f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2=10.
由f(x2+x)+f(1-2x)>8,得f(x2-x+1)-2>8,即f(x2-x+1)>f(3).因為函數f(x)在R上是增函數,所以x2-x+1>3,解得x<-1或x>2.
故原不等式的解集為{x|x<-1或x>2}.5.3　函數的單調性
第1課時　單調性的概念與證明
【學習目標】
　　1.能夠在具體的數學問題中,用歸納的方式,抽象概括出函數單調性的概念.
　　2.能夠用數學符號語言表述函數的單調性.
　　3.能夠根據給出的具體數學問題,利用學過的概念,判斷函數的單調性.
◆ 知識點一　增函數與減函數的定義
增函數 減函數
定義 設函數y=f(x)的定義域為A,區間I A.如果對于區間I內的任意兩個值x1,x2
當x1圖象 描述 自左向右看圖象是　　　 自左向右看圖象是　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若定義在R上的函數f(x),有f(-1)(2)函數f(x)=x是減函數. (　 )
(3)函數f(x)=2x-3是增函數. (　 )
(4)函數f(x)=x2在定義域上是增函數. (　 )
◆ 知識點二　單調性與單調區間
如果函數y=f(x)在區間I上單調遞增或單調遞減,那么稱函數y=f(x)在區間I上具有　　　　.增區間和減區間統稱為單調區間.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=f(x)在[1,+∞)上單調遞增,則函數的增區間是[1,+∞). (　 )
(2)函數y=的減區間是(-∞,0)∪(0,+∞). (　 )
(3)如果一個函數在定義域內的某幾個子區間上都單調遞增,那么這個函數在定義域上是增函數. (　 )
(4)函數f(x)的單調區間是定義域的子集. (　 )
◆ 知識點三　常見函數的單調性
1.一次函數f(x)=kx+b(k≠0),當k>0時,函數f(x)的增區間是(-∞,+∞);當k<0時,函數f(x)的減區間是(-∞,+∞).
2.反比例函數f(x)=(k≠0),當k>0,函數f(x)的減區間是(-∞,0)和(0,+∞);當k<0,函數f(x)的增區間是(-∞,0)和(0,+∞).
3.二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),當a>0,函數f(x)的減區間是,增區間是;當a<0,函數f(x)的增區間是,減區間是.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數f(x)=-2x+1在[1,+∞)上單調遞增. (　 )
(2)函數f(x)=的減區間是(-∞,0). (　 )
(3)函數f(x)=x2+2x的增區間是(-2,+∞). (　 )
(4)函數f(x)=x-3在區間[0,8]上單調遞增. (　 )
◆ 探究點一　由函數圖象確定單調區間
例1 (1)函數y=f(x)的圖象如圖所示,則其增區間是 (　 )
A.[-2,-1],[0,1]
B.[0,2]
C.[-1,0],[1,2]
D.[-1,0]∪[1,2]
(2)[2025·廣東高州中學高一期中] 函數y=x2-3|x|+1的減區間為　　　　　　　　.
變式 畫出下列函數的圖象并寫出函數的單調區間.
(1)f(x)=3|x|;
(2)f(x)=|x2+2x-3|.
[素養小結]
由圖象確定函數單調區間的方法及注意事項
(1)圖象從左向右上升,則函數在對應區間上單調遞增;圖象從左向右下降,則函數在對應區間上單調遞減.
(2)單調區間必須是函數定義域的子集,單調區間之間不能用“∪”,而應用“,”將它們隔開或用“和”字連接.
◆ 探究點二　函數單調性的證明
例2 證明:函數f(x)=在(-1,1)上是增函數.
變式 討論函數f(x)=在(-2,+∞)上的單調性.
[素養小結]
判斷函數f(x)在區間D上的單調性的一般步驟:
①設元:設x1,x2∈D,且x1②作差:將函數值f(x1),f(x2)作差.
③變形:將上述差式變形(用因式分解、配方等方法).
④判號:對上述變形結果的正負加以判定.
⑤定論:根據定義得出f(x)的單調性.
拓展 [2025·江西上饒一中高一期中] 已知定義在(0,+∞)上的函數f(x)滿足對任意的x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.當x>1時,f(x)>0,且f(9)=8.
(1)求f(3)的值;
(2)判斷f(x)的單調性并證明.
◆ 探究點三　單調性與單調區間
例3 (1)[2025·江蘇如東一中、宿遷一高、徐州中學月考] 函數f(x)=的減區間是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[2,+∞) D.(-∞,2]
(2)[2025·北京十四中高一期中] 設函數y=x2+2ax在區間(2,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍是　　　　.
(3)已知y=f(x)是定義在(-1,1)上的減函數,且滿足f(a-1)>f(1-4a),求a的取值范圍.
變式 (1)[2025·廣東實驗中學高一期中] 若二次函數f(x)=x2-2(a-1)x+1在區間(1,3)上單調遞增,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,2] B.[2,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
(2)已知函數f(x)=在(-∞,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍為 (　 )
A.[-5,0) B.(-∞,-2)
C.(-∞,0) D.[-5,-2]
[素養小結]
(1)對于一次函數、二次函數、反比例函數的單調性問題中所涉及的參數問題,要根據這些函數的圖象、性質進行討論.
(2)解決與抽象函數有關的變量的取值范圍問題,關鍵是利用單調性“脫去”函數符號“f”,從而轉化為熟悉的不等式.具體做法是:①若函數y=f(x)在區間D上單調遞增,對任意x1,x2∈D,f(x1)x2.但需要注意的是,不要忘記函數的定義域.5.3　函數的單調性
第1課時　單調性的概念與證明
1.[2024·福建學業水平考試] 已知函數y=f(x),x∈[-1,2]的圖象如圖,則函數增區間為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[-1,2] D.[1,2]
2.下列函數中在[0,+∞)上單調遞增的是 (　 )
A.y=-x B.y=x+1
C.y=x2-2x D.y=
3.[2025·江蘇馬壩高中高一調研] 函數y=|x+1|的增區間是 (　 )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
4.已知函數f(x)=,則函數f(x) (　 )
A.在(-2,+∞)上單調遞增
B.在(-2,+∞)上單調遞減
C.在(1,+∞)上單調遞增
D.在(1,+∞)上單調遞減
5.[2025·江蘇宿遷中學高一期中] 若函數y=x2+(2a-1)x+1在區間(-∞,2)上單調遞減,則實數a的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2025·內蒙古赤峰二中高一月考] 若函數f(x)=是R上的增函數,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(1,3) B.(1,3]
C.(2,3] D.[2,3]
7.函數f(x)=|x2-3x|的增區間是　　　　　　.
8.[2025·北京交大附中高一月考] 定義在R上的函數f(x),對任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,則f(1),f(2),f(3)的大小關系為　　　　　　　.
9.(13分)已知函數f(x)=x·|x-m|,且f(4)=0.
(1)求實數m的值并作出函數f(x)的圖象;
(2)由圖指出f(x)的增區間.
10.(13分)已知函數f(x)=.
(1)若a=4,判斷函數f(x)在(2,+∞)上的單調性,并利用單調性的定義證明你的結論;
(2)若函數f(x)在區間(2,+∞)上單調遞減,寫出a的取值范圍并證明.
11.[2025·江蘇南京協同體七校期中] 已知函數f(x)=在R上單調遞增,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-1,3]
B.(-∞,3]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
12.[2025·華師大一附中高一月考] 設函數f(x)=若f(a2-3)>f(a-1),則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
13.(多選題)[2025·江蘇蘇州高一期中] 設函數f(x)=(x-2)|x|,則 (　 )
A.直線x=1是曲線y=f(x)的對稱軸
B.若函數f(x)在(0,m)上單調遞減,則0C.對任意x1,x2∈(0,+∞),不等式f≤恒成立
D.當-114.已知函數f(x)=|x-a|(a為常數).若f(x)在區間[1,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是　　　　.
15.已知函數f(x)的定義域為(0,+∞),對任意x1,x2∈(0,+∞),總有<0,且f(3)=6,f(a2+2a)>2a2+4a,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-2)∪(0,+∞)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-3,1)
D.(-3,-2)∪(0,1)
16.(15分)[2025·江西南昌三中高一期中] 已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2,且當x>0時,f(x)>-2.
(1)求f(0)的值;
(2)求證:f(x)在R上是增函數;
(3)若f(1)=2,解關于x的不等式f(x2+x)+f(1-2x)>8.

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