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5.3 函數(shù)的單調(diào)性
第2課時(shí) 函數(shù)的最大（小）值
探究點(diǎn)一 利用函數(shù)的圖象求最值
探究點(diǎn)二 利用單調(diào)性求最值
探究點(diǎn)三 最值在實(shí)際中的應(yīng)用
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
備課素材
練習(xí)冊(cè)
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能夠在具體的數(shù)學(xué)問題中，用歸納的方式，抽象概括出函數(shù)最
大值、最小值的概念.
2.能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述函數(shù)的最大值、最小值.
3.能夠根據(jù)給出的具體數(shù)學(xué)問題，利用學(xué)過的概念，求出函數(shù)的
最大值和最小值.
知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)的最大（小）值
設(shè)的定義域?yàn)?.
（1）函數(shù)最大值的定義
如果存在，使得對(duì)于任意的，都有 ，那么
稱為的________，記為
最大值
（2）函數(shù)最小值的定義
如果存在，使得對(duì)于任意的 ，都有_____________，那么
稱為的最小值，記為 .
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）任何函數(shù)都有最大值或最小值.( )
×
（2）函數(shù)的最小值小于等于最大值.( )
√
（3）若恒成立，則函數(shù) 的最大值為1.( )
×
（4）定義在上函數(shù) 一定有最大值.( )
×
[解析] 如定義在上函數(shù) 就沒有最大值.
知識(shí)點(diǎn)二 求函數(shù)最值的常用方法
（1）圖象法:作出 的圖象,觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn),最高（低）
點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大（小）值.
（2）運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域.
（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性.
①若函數(shù)在定義域上是增函數(shù),則_____,
_____.
②若函數(shù)在定義域上是減函數(shù),則_____,
_____.
③若是定義在區(qū)間或 上的圖象連續(xù)不斷的函數(shù),則函
數(shù) 的最大（小）值要根據(jù)具體函數(shù)的單調(diào)性而定.
（4）分段函數(shù)的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中最大
（小）的那個(gè).
【診斷分析】
1.二次函數(shù) 的最值是什么 常用哪些方法
求二次函數(shù)的最值.
解：當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), .
求二次函數(shù)最值的常用方法有公式法、配方法和圖象法.
2.要確定在 上的最值,需要先確定什么
解：需要先判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性，即確定 的正負(fù),從而判
斷何時(shí)取得最大值,何時(shí)取得最小值.
探究點(diǎn)一 利用函數(shù)的圖象求最值
例1（1）函數(shù)在區(qū)間 上的圖象
如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分
別是( )
A. ，2 B.1，2
C.， D.2，
[解析] 由題中函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，有最小值 ；
當(dāng)時(shí)，有最大值 .
√
（2）已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是
( )
A.在區(qū)間內(nèi)，的最小值為
B.在區(qū)間內(nèi)，的最大值為
C.在區(qū)間內(nèi)，的最小值為
D.在區(qū)間內(nèi)，的最大值為
√
[解析] 對(duì)于A，在區(qū)間 內(nèi)，因?yàn)閰^(qū)間
左端點(diǎn)取不到，所以 沒有最小值，A錯(cuò)
誤；
對(duì)于B，在區(qū)間 內(nèi)，因?yàn)閰^(qū)間右端點(diǎn)取不到，
所以沒有最大值，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在區(qū)間 內(nèi)，的最小值為，C正確；
對(duì)于D，在區(qū)間 內(nèi)，因?yàn)閰^(qū)間端點(diǎn)取不到，所以 沒有最大值，
D錯(cuò)誤.故選C.
例2 已知函數(shù)求函數(shù) 的最大值、最
小值.
解：作出 的圖象,如圖所示.
由圖可知,當(dāng)時(shí),取得最大值2;
當(dāng) 時(shí), 取得最小值，最小值為 .
所以的最大值為2,最小值為 .
變式 作出函數(shù) 的圖象,說明函數(shù)的單調(diào)性,并判斷
該函數(shù)是否存在最大值和最小值.
解：當(dāng),即 時(shí),
;
當(dāng),即 時(shí),
.
所以 畫出該函數(shù)的圖
象,如圖.
由圖可知,函數(shù) 在
,上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
觀察函數(shù)圖象,可知該函數(shù)不存在最大值,也不存在最小值.
探究點(diǎn)二 利用單調(diào)性求最值
例3 已知函數(shù)， .
（1）判斷函數(shù) 的單調(diào)性，并利用定義證明；
解：在 上單調(diào)遞增，證明如下：
任取，則 ，
因?yàn)椋裕?，所以
，即，故在 上單調(diào)遞增.
例3 已知函數(shù)， .
（2）求在 上的最值.
解：由（1）知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)， 取得
最小值 ；
當(dāng)時(shí)，取得最大值 .
變式 已知函數(shù) .
（1）判斷函數(shù)在 上的單調(diào)性，并用定義法證明；
解：函數(shù)在 上單調(diào)遞增.證明如下：
，則 .
由可得， ，
所以，即，可得在 上單
調(diào)遞增.
變式 已知函數(shù) .
（2）求函數(shù)在 上的最大值.
解：因?yàn)楹瘮?shù)在 上單調(diào)遞增，
所以在上的最大值為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系
（1）若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上的最
大值為，最小值為.
（2）若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上的最
大值為，最小值為.
拓展 ［2025·河北衡水棗強(qiáng)中學(xué)高一期中］ 已知函數(shù)
，， .
（1）求 的單調(diào)區(qū)間和最小值；
解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是對(duì)稱軸為 且開口向
上的拋物線，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為 ，
由單調(diào)性可知 .
拓展 ［2025·河北衡水棗強(qiáng)中學(xué)高一期中］ 已知函數(shù)
，， .
（2）若對(duì)于任意，總存在，使得
成立，求 的取值范圍.
解：因?yàn)閷?duì)于任意，總存在，使得
成立，所以在上的取值范圍是在 上的取值范圍的
子集.
，
令，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在 上單調(diào)
遞減，所以, ，所以
，所以在 上的取值范圍為.
由題易知, .
當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)在 上的取值范圍不可能是
的子集，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)在 上的取值范圍不可能是
的子集，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸為且 ，此時(shí)
，若要滿足條件只需，解得 ，
所以 .
綜上所述，的取值范圍是 .
探究點(diǎn)三 最值在實(shí)際中的應(yīng)用
例4 某酒店去年每間客房的住宿費(fèi)為800元，整年的入住房間數(shù)為 .酒
店承諾，今年每間客房的住宿費(fèi)可以根據(jù)不同時(shí)期進(jìn)行調(diào)整，價(jià)格在
550元/間至750元/間上下浮動(dòng)，而游客則希望每間客房的住宿費(fèi)用能
下調(diào)到 .經(jīng)過測算，若酒店下調(diào)客房的住宿費(fèi)，則新增入住房間數(shù)
量和客房的實(shí)際住宿費(fèi)與游客的期望價(jià)格的差成反比 比例系數(shù)為
.設(shè)每個(gè)房間的成本費(fèi)用（包括水電費(fèi)、人工費(fèi)等）為300元.
（1）請(qǐng)直接寫出今年價(jià)格下調(diào)后酒店的收益 （單位：元）關(guān)于實(shí)
際住宿費(fèi) （單位：元/間）的函數(shù)解析式；
解：由題意得，今年新增入住房間的數(shù)量為 ，
所以
.
例4 某酒店去年每間客房的住宿費(fèi)為800元，整年的入住房間數(shù)為 .酒
店承諾，今年每間客房的住宿費(fèi)可以根據(jù)不同時(shí)期進(jìn)行調(diào)整，價(jià)格在
550元/間至750元/間上下浮動(dòng)，而游客則希望每間客房的住宿費(fèi)用能
下調(diào)到 .經(jīng)過測算，若酒店下調(diào)客房的住宿費(fèi)，則新增入住房間數(shù)
量和客房的實(shí)際住宿費(fèi)與游客的期望價(jià)格的差成反比 比例系數(shù)為
.設(shè)每個(gè)房間的成本費(fèi)用（包括水電費(fèi)、人工費(fèi)等）為300元.
（2）若酒店仍希望今年的收益比上年至少增長 ，則客房的住宿
費(fèi)最低應(yīng)定為多少元/間？
解：依題意有
整理得解得 .
所以若酒店仍希望今年的收益比上年至少增長 ，則住宿費(fèi)最低
定為600元/間.
例4 某酒店去年每間客房的住宿費(fèi)為800元，整年的入住房間數(shù)為 .酒
店承諾，今年每間客房的住宿費(fèi)可以根據(jù)不同時(shí)期進(jìn)行調(diào)整，價(jià)格在
550元/間至750元/間上下浮動(dòng)，而游客則希望每間客房的住宿費(fèi)用能
下調(diào)到 .經(jīng)過測算，若酒店下調(diào)客房的住宿費(fèi)，則新增入住房間數(shù)
量和客房的實(shí)際住宿費(fèi)與游客的期望價(jià)格的差成反比 比例系數(shù)為
.設(shè)每個(gè)房間的成本費(fèi)用（包括水電費(fèi)、人工費(fèi)等）為300元.
（3）當(dāng)客房的住宿費(fèi)定為多少元/間時(shí)，可以使酒店的收益達(dá)到最大？
解：由（1）知 .
設(shè)，因?yàn)椋?.
所以 ，
令，得 ，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增，故當(dāng)
，即時(shí)， 取得最大值.即當(dāng)客房的住宿費(fèi)定為750元/
間時(shí)，可以使酒店的收益達(dá)到最大.
變式 一般來說,商品進(jìn)入市場,價(jià)格越高,銷量越小.某門店對(duì)其銷售的
某種商品的定價(jià)為元/件,日銷售量為件,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)可近似認(rèn)為 ,
滿足關(guān)系式 .為了追求最大利潤,不會(huì)無
限提高售價(jià),根據(jù)以上信息推測該門店銷售該種商品每天毛收入的最
小值為______元.
7500
[解析] 設(shè)該門店銷售該種商品每天可獲得的毛收入為 元,則
,
易知函數(shù)的圖象是對(duì)稱軸為 ,且開口向下的拋
物線,所以當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為
,故該門店銷售該種商品每天毛收入的最小值為7500元.
［素養(yǎng)小結(jié)］
求解函數(shù)最大（小）值的實(shí)際問題應(yīng)注意的兩點(diǎn)：
（1）解實(shí)際應(yīng)用題要弄清題意，從實(shí)際出發(fā)，引入數(shù)學(xué)符號(hào)，建立
數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題，要
注意自變量的取值范圍；
（2）實(shí)際應(yīng)用問題中，最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)
最值來解決.
1.圖象法
函數(shù)最大值的幾何意義是函數(shù)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo),函數(shù)最小值的幾
何意義是函數(shù)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).
例1 已知函數(shù), ，
設(shè)函數(shù) .
（1）求 的解析式；
解：當(dāng)時(shí)，, ，所以
；
當(dāng)時(shí)，, ，所以
.
所以
例1 已知函數(shù), ，
設(shè)函數(shù)
.
（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，
畫出 的圖象，指出其單調(diào)區(qū)間并求出
其值域.
解： 的圖象如圖所示.
由圖象可知函數(shù) 的減區(qū)間為
，，增區(qū)間為
的最小值為，最大值為4，故函數(shù)
的值域?yàn)?.
2.單調(diào)性法
利用單調(diào)性求函數(shù)的最值的步驟:第一步,利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷
函數(shù)的單調(diào)性；第二步,根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最大值、最小值.
例2 已知，.若對(duì)任意，函數(shù) 在區(qū)間
上的最大值不超過最小值的2倍，求 的取值范圍.
解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，而對(duì)任意 ,
,
所以函數(shù)在 上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為 ,最小值為
.
由題意可得，對(duì)任意, 恒成立，即對(duì)任意
, 恒成立.
設(shè)，任取,,且 ,則
,
因?yàn)?所以, ,
,所以 ，
即在 上單調(diào)遞減.
由題意知當(dāng)時(shí)，，則 ,解得
，故的取值范圍為 .
3.對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，一般有如下幾種類型：
（1）區(qū)間固定，對(duì)稱軸變動(dòng)（含參數(shù)），求最值；
（2）對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)（含參數(shù)），求最值；
（3）區(qū)間固定，最值也固定，對(duì)稱軸變動(dòng)，求參數(shù).
解題策略通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論.
例3 ［2025·安徽懷寧高河中學(xué)高一月考］已知函數(shù)
，不等式的解集為 .
（1）求， 的值；
解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?，3為關(guān)于 的方程
的兩根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，所以， .
例3 ［2025·安徽懷寧高河中學(xué)高一月考］已知函數(shù)
，不等式的解集為 .
（2）在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù) 的圖象的
上方，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
解：由（1）可知，，則當(dāng) 時(shí)，
恒成立，等價(jià)于， .
二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為 ，開口向上，所以
函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)， 有最小值0，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
例3 ［2025·安徽懷寧高河中學(xué)高一月考］已知函數(shù)
，不等式的解集為 .
（3）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求
的解析式.
解：，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為 ，且開口向上.
若，即，則在 上單調(diào)遞減，所以
；
若，則在 上單調(diào)遞增，所以
；
若，即，則在 上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，所以 .
綜上可知
例4 已知函數(shù)，，求函數(shù) 的最小值.
解：， .
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù) 的最小值
為 ；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為 ；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù) 的最小
值為 .
綜上所述，
練習(xí)冊(cè)
1.函數(shù) 的圖象如圖所示，
則函數(shù) 的最大值和最小值分別為
( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 根據(jù)函數(shù)最值的定義，結(jié)合題中函數(shù)圖象可知，當(dāng)
時(shí)，取得最小值；
當(dāng)時(shí)， 取得最大值 .故選C.
2.已知函數(shù)，，則函數(shù) 的最小值為( )
A. B. C.1 D.4
[解析] 因?yàn)樵?上單調(diào)遞增，且函數(shù)值恒大于0，所以
在上單調(diào)遞減，則 .故選B.
√
3.函數(shù)在 上的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 由在上單調(diào)遞增,且在 上單調(diào)遞增,可得
在上單調(diào)遞增,
又,,所以 在上的取值范圍為 .故選C.
√
4.函數(shù)在區(qū)間 上的最大值和最小值分別是( )
A.4,1 B.1, C.4, D.4,0
[解析] 由 可知函數(shù)圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
又,，，所以當(dāng) 時(shí)，
的最大值為，最小值為 .故選D.
√
5.某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品 萬件時(shí)的生產(chǎn)成本（單位：萬元）為
,每件商品的售價(jià)為28元,假設(shè)每月所生產(chǎn)的商品
能全部售完,記當(dāng)月生產(chǎn)商品所獲得的總利潤為 萬元,單件平均利
潤為 元,則下列說法正確的是( )
A.當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)12萬件時(shí),當(dāng)月的總利潤最大,為144萬元
B.當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)12萬件時(shí),當(dāng)月的總利潤最大,為160萬元
C.當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)4萬件時(shí),當(dāng)月的單件平均利潤最大,為24元
D.當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)4萬件時(shí),當(dāng)月的單件平均利潤最大,為16元
√
[解析] 由題意可得
,故當(dāng)
時(shí), 取得最大值128.
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),等號(hào)成立.
故當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)12萬件時(shí),當(dāng)月的總利潤最大,為128萬元;當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)
4萬件時(shí),當(dāng)月的單件平均利潤最大,為16元.故選D.
6.（多選題）已知函數(shù) ，則下列說法正確的是
( )
A.函數(shù)在 上單調(diào)遞增
B.函數(shù)在 上單調(diào)遞增
C.當(dāng)時(shí)，函數(shù) 取得最大值
D.當(dāng)或時(shí)，函數(shù) 取得最小值
√
√
[解析]
作出函數(shù) 的圖象如圖所示.
由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在 上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，B正確；
由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù) 取得最小
值，函數(shù)沒有最大值，故C錯(cuò)誤，D正確.故選 .
7.函數(shù)在 上的最小值為__.
[解析] ，則在 上單調(diào)遞增,
故在區(qū)間上的最小值為 .
8.函數(shù)在區(qū)間 上的最大值為__.
[解析] 由，解得，所以 的定義域
為，
令 ，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，
的增區(qū)間是，減區(qū)間是，故 在區(qū)間上的最大值
為 .
9.（13分）已知函數(shù) .
（1）證明：函數(shù)在 上單調(diào)遞減；
證明：設(shè)，是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 ，
則 .
因?yàn)椋裕?，
所以，即 ，
所以函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞減.
9.（13分）已知函數(shù) .
（2）求函數(shù)在 上的最大值和最小值.
解：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)
在區(qū)間 的左、右端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值，即最大值為
，最小值為 .
10.（13分）給定函數(shù)，， ，
用表示，中的較小者，記為， ，
則 的最大值為( )
A. B.2 C.4 D.6
√
[解析] 由，得，解得或 ，
由，得，解得 ，
，，所以
作出的圖象如圖所示，所以的最大值為 .故選C.
11.［2025·江蘇十校聯(lián)盟高一月考］設(shè) 若
是的最小值，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 當(dāng)時(shí)，,所以在 上單調(diào)遞減，
且；
當(dāng)時(shí)， ，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)
遞減，在上單調(diào)遞增，且 .
要使是的最小值，需，即，解得 ，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 .故選B.
√
12.（多選題）已知函數(shù)， ，若
對(duì)任意，都存在實(shí)數(shù)，使得 ，則
實(shí)數(shù) 的值可以是( )
A. B.0 C.2 D.4
√
√
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象是開口向上的拋物線，且關(guān)
于直線對(duì)稱，所以的最小值為 ，無最大值，可
得的值域?yàn)?
因?yàn)?為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的
取值范圍為 ，即.
因?yàn)閷?duì)于任意，都存在實(shí)數(shù) ，使得，
所以，解得.故選 .
13. 江蘇徐州高一期中］ 定義:,表示, 中的較小者.
若函數(shù),在區(qū)間 上的取值范圍
為,則 的最大值為___.
2
[解析] 作出函數(shù), 的圖
象如圖中的實(shí)線所示.
令,可得 或,即點(diǎn),
,令 ,可得,即點(diǎn),
令，可得或 ，即點(diǎn)，.
由圖可知,因?yàn)楹瘮?shù), 在區(qū)間上的
取值范圍是,所以， 或，，
故當(dāng)時(shí), 取到最大值2.
14.（15分）［2025·江蘇無錫江陰一中高一期中］ 新能源開發(fā)能夠
有效地解決我國能源短缺和傳統(tǒng)能源使用帶來的環(huán)境污染問題，國
家新能源政策的出臺(tái)，給新能源產(chǎn)業(yè)帶來了春天.江蘇某新能源企業(yè)，
年固定成本為500萬，每生產(chǎn)臺(tái)設(shè)備，另需投入成本 萬元，
若年產(chǎn)量不足100臺(tái)，則 ，若年產(chǎn)量不少于100臺(tái)，則
，每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為150萬元，通過市場分
析知，該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完.
（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 （臺(tái)）的關(guān)系式；
解：依題意，若年產(chǎn)量不少于100臺(tái)，另需投入成本
，年固定成本為500萬，總收入為 萬
元，則利潤
；
若年產(chǎn)量不足100臺(tái)，另需投入成本 ，年固定成本為
500萬，總收入為 萬元，
則利潤 .
故
14.（15分）［2025·江蘇無錫江陰一中高一期中］ 新能源開發(fā)能夠
有效地解決我國能源短缺和傳統(tǒng)能源使用帶來的環(huán)境污染問題，國
家新能源政策的出臺(tái)，給新能源產(chǎn)業(yè)帶來了春天.江蘇某新能源企業(yè)，
年固定成本為500萬，每生產(chǎn)臺(tái)設(shè)備，另需投入成本 萬元，
若年產(chǎn)量不足100臺(tái)，則 ，若年產(chǎn)量不少于100臺(tái)，則
，每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為150萬元，通過市場分
析知，該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完.
（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大？
解：當(dāng)， 時(shí)，
，此時(shí)，在 處取得最大值，最大值為3550；
當(dāng)， 時(shí)，
，而
，
所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值，最大值為3760.
綜上可知，當(dāng)年產(chǎn)量為110臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，最大為3760
萬元.
15.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且
.若關(guān)于的不等式在 上
有解，則 的取值范圍為__________.
[解析] 令，則 .
令，則，則 .
由在上有解，得 ，即
在上有解，所以存在 ，
，即，.
因?yàn)楹瘮?shù) 在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，
取得最小值，則 .
16.（15分）［2025·南京五校聯(lián)盟高一期中］ 已知函數(shù)
，函數(shù)滿足 .
（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù),都有成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
解：函數(shù)滿足，設(shè) ,則
，則 ，即
.
若對(duì)任意實(shí)數(shù),都有 成立，
則,即 恒
成立，可得，解得，則 的
取值范圍是 .
16.（15分）［2025·南京五校聯(lián)盟高一期中］ 已知函數(shù)
，函數(shù)滿足 .
（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
解：若存在，使得 成立，
則存在，使得 成立，
設(shè),則當(dāng)時(shí)， .函數(shù)
的圖象的對(duì)稱軸方程為 .
①當(dāng)，即 時(shí)，
，解得 ，則
；
②當(dāng)，即 時(shí)，
，，則，所以 ；
③當(dāng)，即 時(shí)，
，解得 ，則
.
綜上所述，的取值范圍是 .
16.（15分）［2025·南京五校聯(lián)盟高一期中］ 已知函數(shù)
，函數(shù)滿足 .
（3）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù) 的取值集合.
解：若對(duì)任意，都有 成立，
即或?qū)θ我?恒成立.
由題知的圖象是開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸方程為,
的圖象是一條直線， 且.
若，則當(dāng)時(shí)， 恒成立，但不恒成立，
不合題意；
若，則 ，則需，可得 ，
故實(shí)數(shù)的取值集合是 .
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一 （1）最大值 （2） 【診斷分析】（1）× （2）√ （3）× （4）×
知識(shí)點(diǎn)二 【診斷分析】 1. 當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.求二次函數(shù)最值的常用方法有公式法、配方法和圖象法.
2. 需要先確定的正負(fù)
課中探究 探究點(diǎn)一 例1 （1）C （2）C 例2. 的最大值為2,最小值為
變式 圖略,函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 該函數(shù)不存在最大值,也不存在
最小值.
探究點(diǎn)二 例3 （1）m>在上單調(diào)遞增，證明略（2）最大值為
變式 （1）函數(shù)在上單調(diào)遞增.證明略（2） 最大值為
拓展 （1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為， （2） >探究點(diǎn)三 例4 （1）（2）600元/間（3）750元/間
變式 7500
練習(xí)冊(cè)
基礎(chǔ)鞏固 1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.BD 7. 8.
9.（1）證明略（2）最大值為，最小值為
綜合提升 10.C 11.B 12.CD 13.2
14.（1）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為110臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，最大為3760萬元.
思維探索
15. 16.（1）（2）>（3）第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
(1)最大值　(2)f(x)≥f(x0)
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (4)如定義在(1,3]上函數(shù)f(x)=-x就沒有最大值.
知識(shí)點(diǎn)二
(3)①f(b)　f(a)　②f(a)　f(b)
診斷分析
1.解:當(dāng)a>0時(shí),f(x)min=;當(dāng)a<0時(shí),f(x)max=.求二次函數(shù)最值的常用方法有公式法、配方法和圖象法.
2.解:需要先判斷該函數(shù)在[-1,3]上的單調(diào)性,即確定a的正負(fù),從而判斷何時(shí)取得最大值,何時(shí)取得最小值.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)由題中函數(shù)的圖象知,當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有最小值-2;當(dāng)x=5時(shí),f(x)有最大值f(5).
(2)對(duì)于A,在區(qū)間(x4,x6]內(nèi),因?yàn)閰^(qū)間左端點(diǎn)取不到,所以f(x)沒有最小值,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,在區(qū)間[x1,x8)內(nèi),因?yàn)閰^(qū)間右端點(diǎn)取不到,所以f(x)沒有最大值,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,在區(qū)間(x4,x8)內(nèi),f(x)的最小值為f(x7),C正確;對(duì)于D,在區(qū)間(x4,x5)內(nèi),因?yàn)閰^(qū)間端點(diǎn)取不到,所以f(x)沒有最大值,D錯(cuò)誤.故選C.
探究點(diǎn)二
例2　解:作出f(x)的圖象,如圖所示.
由圖可知,當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最大值2;當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f=-=-.
所以f(x)的最大值為2,最小值為-.
變式　解:當(dāng)x-2≥0,即x≥2時(shí),y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=-;
當(dāng)x-2<0,即x<2時(shí),y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-+.
所以y=畫出該函數(shù)的圖象,如圖.由圖可知,函數(shù)y=|x-2|(x+1)在,[2,+∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.觀察函數(shù)圖象,可知該函數(shù)不存在最大值,也不存在最小值.
探究點(diǎn)二
例3　解:(1)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,證明如下:
任取00,x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)由(1)知f(x)在[3,8]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=3時(shí),f(x)取得最小值f(3)==;
當(dāng)x=8時(shí),f(x)取得最大值f(8)==.
變式　解:(1)函數(shù)f(x)在[-3,-1]上單調(diào)遞增.證明如下:設(shè)-3≤x1由-3≤x11,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[-3,-1]上單調(diào)遞增,
所以f(x)在[-3,-1]上的最大值為f(-1)=-2.
拓展　解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-mx+m的圖象是對(duì)稱軸為x=且開口向上的拋物線,所以f(x)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,由單調(diào)性可知f(x)min=f=-m+m=-+m.
(2)因?yàn)閷?duì)于任意x0∈[0,1],總存在x1∈[0,1],使得f(x0)=g(x1)成立,所以f(x)在[0,1]上的取值范圍是g(x)在[0,1]上的取值范圍的子集.
g(x)=-2=-2=x+1+-4,
令x+1=t∈[1,2],由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知y=t+在[1,2]上單調(diào)遞減,所以ymax=1+=5,ymin=2+=4,
所以g(x)=x+1+-4∈[0,1],所以g(x)在[0,1]上的取值范圍為[0,1].由題易知 f(0)=m,f(1)=1.
當(dāng)m<0時(shí),顯然f(0)<0,此時(shí)f(x)在[0,1]上的取值范圍不可能是[0,1]的子集,不符合題意;
當(dāng)m>1時(shí),顯然f(0)>1,此時(shí)f(x)在[0,1]上的取值范圍不可能是[0,1]的子集,不符合題意;
當(dāng)0≤m≤1時(shí),f(x)圖象的對(duì)稱軸為x=且∈,此時(shí)f(1)≥f(m),若要滿足條件只需-+m≥0,解得0≤m≤4,所以m∈[0,1].
綜上所述,m的取值范圍是[0,1].
探究點(diǎn)三
例4　解:(1)由題意得,今年新增入住房間的數(shù)量為,
所以y=(x-300)=(x-300)a(550≤x≤750).
(2)依題意有
整理得解得600≤x≤750.
所以若酒店仍希望今年的收益比上年至少增長20%,則住宿費(fèi)最低定為600元/間.
(3)由(1)知y=(x-300)a=a.
設(shè)t=x-400,因?yàn)?50≤x≤750,所以150≤t≤350.
所以y=a=a,
令t=,得t=100<150,
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t∈[150,350]時(shí),函數(shù)y單調(diào)遞增,故當(dāng)t=350,即x=750時(shí),y取得最大值.即當(dāng)客房的住宿費(fèi)定為750元/間時(shí),可以使酒店的收益達(dá)到最大.
變式　7500　[解析] 設(shè)該門店銷售該種商品每天可獲得的毛收入為y元,則y=pq=p(200-p)=-p2+200p(80≤p≤150),易知函數(shù)y=-p2+200p的圖象是對(duì)稱軸為p=100,且開口向下的拋物線,所以當(dāng)p=150時(shí),y取得最小值,最小值為(200-150)×150=7500,故該門店銷售該種商品每天毛收入的最小值為7500元.第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值
1.C　[解析] 根據(jù)函數(shù)最值的定義,結(jié)合題中函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=-時(shí),y=f(x)取得最小值f;當(dāng)x=時(shí),y=f(x)取得最大值f.故選C.
2.B　[解析] 因?yàn)閥=x+1在[0,3]上單調(diào)遞增,且函數(shù)值恒大于0,所以f(x)=在[0,3]上單調(diào)遞減,則f(x)min=f(3)=.故選B.
3.C　[解析] 由y=x在[1,4]上單調(diào)遞增,且y=-在[1,4]上單調(diào)遞增,可得f(x)=x-+1在[1,4]上單調(diào)遞增,又f(1)=0,f(4)=,所以f(x)在[1,4]上的取值范圍為.故選C.
4.D　[解析] 由f(x)=|x-3|=可知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,且在(-∞,3)上單調(diào)遞減,在(3,+∞)上單調(diào)遞增,又f(-1)=4,f(4)=1,f(3)=0,所以當(dāng)x∈[-1,4]時(shí),f(x)=|x-3|的最大值為f(-1)=4,最小值為f(3)=0.故選D.
5.D　[解析] 由題意可得w(x)=28x-C(x)=-x2+24x-16=-(x-12)2+128,故當(dāng)x=12時(shí),w(x)取得最大值128.==24-≤24-2=16,當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí),等號(hào)成立.故當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)12萬件時(shí),當(dāng)月的總利潤最大,為128萬元;當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)4萬件時(shí),當(dāng)月的單件平均利潤最大,為16元.故選D.
6.BD　[解析] f(x)=x2-4|x|+1=作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.由圖象可知,函數(shù)y=f(x)在(-∞,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,0]上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤,B正確;由圖象可知,當(dāng)x=-2或x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)取得最小值,函數(shù)y=f(x)沒有最大值,故C錯(cuò)誤,D正確.故選BD.
7.　[解析] f(x)===2-,則f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增,故f(x)在區(qū)間[2,4]上的最小值為f(2)=.
8.　[解析] 由-x2+5x+6≥0,解得-1≤x≤6,所以f(x)的定義域?yàn)閇-1,6],令u(x)=-x2+5x+6=-+,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)的增區(qū)間是,減區(qū)間是,故f(x)在區(qū)間[1,5]上的最大值為f=.
9.解:(1)證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x2>x1,
則f(x1)-f(x2)=-=.
因?yàn)閤2>x1>,所以x2-x1>0,且(2x1-1)·(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,函數(shù)f(x)在[1,5]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,5]的左、右端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值,即最大值為f(1)=3,最小值為f(5)=.
10.C　[解析] 由f(x)≥g(x),得-2x+6≥-x2+5x,解得x≤1或x≥6,由f(x)作出M(x)的圖象如圖所示,所以M(x)的最大值為M(1)=4.故選C.
11.B　[解析] 當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=-x+2a,所以f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,且f(0)=2a;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=2.要使f(0)是f(x)的最小值,需f(0)≤f(1),即2a≤2,解得a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].故選B.
12.CD　[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2x的圖象是開口向上的拋物線,且關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以f(x)的最小值為f(1)=-1,無最大值,可得f(x)的值域?yàn)閇-1,+∞).因?yàn)間(x)=ax+2(a>0)為增函數(shù),所以當(dāng)x∈[-2,+∞)時(shí),g(x)的取值范圍為[g(-2),+∞),即[2-2a,+∞).因?yàn)閷?duì)于任意x1∈R,都存在實(shí)數(shù)x2∈[-2,+∞),使得f(x1)>g(x2),所以2-2a<-1,解得a>.故選CD.
13.2　[解析] 作出函數(shù)y=min{1-|x-2|,(x-1)2-1}的圖象如圖中的實(shí)線所示.令1-|x-2|=-1,可得x=0或x=4,即點(diǎn)A(0,-1),E(4,-1),令(x-1)2-1=-1,可得x=1,即點(diǎn)B(1,-1),令(x-1)2-1=0,可得x=0或x=2,即點(diǎn)O(0,0),C(2,0).由圖可知,因?yàn)楹瘮?shù)y=min{1-|x-2|,(x-1)2-1}在區(qū)間[m,n]上的取值范圍是[-1,0],所以n=2,0≤m≤1或m=3,n=4,故當(dāng)[m,n]=[0,2]時(shí),n-m取到最大值2.
14.解:(1)依題意,若年產(chǎn)量不少于100臺(tái),另需投入成本t=152x+-4 700,年固定成本為500萬,總收入為150x萬元,則利潤y=150x--500=-2x-+4200;
若年產(chǎn)量不足100臺(tái),另需投入成本t=x2+60x,年固定成本為500萬,總收入為150x萬元,則利潤y=150x--500=-x2+90x-500.
故y=
(2)當(dāng)0所以當(dāng)x=110時(shí),y取得最大值,最大值為3760.
綜上可知,當(dāng)年產(chǎn)量為110臺(tái)時(shí),該企業(yè)所獲利潤最大,最大為3760萬元.
15.　[解析] 令x=y=-,則f(-1)=f·f-=0.令y=-1,則f(x-1)=f(x)·f(-1)+x=x,則f(x)=x+1.由f(x2+ax)≥2在[1,2]上有解,得x2+ax+1≥2,即x2+ax-1≥0在[1,2]上有解,所以存在x∈[1,2],a≥=-x,即a≥,x∈[1,2].因?yàn)楹瘮?shù)y=-x在[1,2]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時(shí),y=-x(x∈[1,2])取得最小值-,則a≥-.
16.解:(1)函數(shù)g(x)滿足g(2x+1)=(2a-4)x+a-3,設(shè)2x+1=t,則x=,則g(t)=(2a-4)·+a-3=(a-2)t-1,即g(x)=(a-2)x-1.
若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)+g(x)>a成立,
則x2-2ax-1+(a-2)x-1>a,即x2-(a+2)x-a-2>0恒成立,可得Δ=(a+2)2+4(a+2)<0,解得-6(2)若存在x∈[1,3],使得f(x)-g(x)≤a成立,
則存在x∈[1,3],使得x2+(2-3a)x-a≤0成立,
設(shè)h(x)=x2+(2-3a)x-a,則當(dāng)x∈[1,3]時(shí),h(x)min≤0.函數(shù)h(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=.
①當(dāng)≤1,即a≤時(shí),h(x)min=h(1)=1+2-3a-a=3-4a≤0,解得a≥,則≤a≤;
②當(dāng)1<<3,即③當(dāng)≥3,即a≥時(shí),h(x)min=h(3)=9+6-9a-a=15-10a≤0,解得a≥,則a≥.
綜上所述,a的取值范圍是.
(3)若對(duì)任意x>0,都有f(x)g(x)≥0成立,
即或?qū)θ我鈞>0恒成立.
由題知f(x)的圖象是開口向上的拋物線,且對(duì)稱軸方程為x=a,g(x)的圖象是一條直線,
且f(0)=g(0)=-1.若a≤2,則當(dāng)x>0時(shí),g(x)<0恒成立,但f(x)≤0不恒成立,不合題意;若a>2,則g=0,則需f=0,可得a=,
故實(shí)數(shù)a的取值集合是.第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.能夠在具體的數(shù)學(xué)問題中,用歸納的方式,抽象概括出函數(shù)最大值、最小值的概念.
　　2.能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述函數(shù)的最大值、最小值.
　　3.能夠根據(jù)給出的具體數(shù)學(xué)問題,利用學(xué)過的概念,求出函數(shù)的最大值和最小值.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)的最大(小)值
設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳.
(1)函數(shù)最大值的定義
如果存在x0∈A,使得對(duì)于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么稱f(x0)為y=f(x)的 　　　　,記為ymax=f(x0).
(2)函數(shù)最小值的定義
如果存在x0∈A,使得對(duì)于任意的x∈A,都有　　　　　　　,那么稱f(x0)為y=f(x)的最小值,記為ymin=f(x0).
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值. (　 )
(2)函數(shù)的最小值小于等于最大值. (　 )
(3)若f(x)<1恒成立,則函數(shù)f(x)的最大值為1. (　 )
(4)定義在(1,3]上函數(shù)f(x)一定有最大值.(　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　求函數(shù)最值的常用方法
(1)圖象法:作出y=f(x)的圖象,觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn),最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(小)值.
(2)運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域.
(3)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性.
①若函數(shù)y=f(x)在定義域[a,b]上是增函數(shù),則ymax=　　　　,ymin=　　　　.
②若函數(shù)y=f(x)在定義域[a,b]上是減函數(shù),則ymax=　　　　,ymin=　　　　.
③若y=f(x)是定義在區(qū)間(a,b)或R上的圖象連續(xù)不斷的函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的最大(小)值要根據(jù)具體函數(shù)的單調(diào)性而定.
(4)分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個(gè).
【診斷分析】 1.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值是什么 常用哪些方法求二次函數(shù)的最值.
2.要確定f(x)=ax+2(a≠0)在[-1,3]上的最值,需要先確定什么
◆ 探究點(diǎn)一　利用函數(shù)的圖象求最值
例1 (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最小值、最大值分別是 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-2,2 B.1,2
C.-2,f(5) D.2,f(5)
(2)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則下列說法中正確的是 (　 )
A.在區(qū)間(x4,x6]內(nèi),f(x)的最小值為f(x4)
B.在區(qū)間[x1,x8)內(nèi),f(x)的最大值為f(x8)
C.在區(qū)間(x4,x8)內(nèi),f(x)的最小值為f(x7)
D.在區(qū)間(x4,x5)內(nèi),f(x)的最大值為f(x5)
例2 已知函數(shù)f(x)=求函數(shù)f(x)的最大值、最小值.
變式 作出函數(shù)y=|x-2|(x+1)的圖象,說明函數(shù)的單調(diào)性,并判斷該函數(shù)是否存在最大值和最小值.
◆ 探究點(diǎn)二　利用單調(diào)性求最值
例3 已知函數(shù)f(x)=,x∈(0,+∞).
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并利用定義證明;
(2)求f(x)在[3,8]上的最值.
變式 已知函數(shù)f(x)=.
(1)判斷函數(shù)f(x)在[-3,-1]上的單調(diào)性,并用定義法證明;
(2)求函數(shù)f(x)在[-3,-1]上的最大值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系
(1)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,則f(x)在[a,b]上的最大值為f(a),最小值為f(b).
(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則f(x)在[a,b]上的最大值為f(b),最小值為f(a).
拓展 [2025·河北衡水棗強(qiáng)中學(xué)高一期中] 已知函數(shù)f(x)=x2-mx+m,g(x)=-2,m∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(2)若對(duì)于任意x0∈[0,1],總存在x1∈[0,1],使得f(x0)=g(x1)成立,求m的取值范圍.
◆ 探究點(diǎn)三　最值在實(shí)際中的應(yīng)用
例4 某酒店去年每間客房的住宿費(fèi)為800元,整年的入住房間數(shù)為a.酒店承諾,今年每間客房的住宿費(fèi)可以根據(jù)不同時(shí)期進(jìn)行調(diào)整,價(jià)格在550元/間至750元/間上下浮動(dòng),而游客則希望每間客房的住宿費(fèi)用能下調(diào)到50%.經(jīng)過測算,若酒店下調(diào)客房的住宿費(fèi),則新增入住房間數(shù)量和客房的實(shí)際住宿費(fèi)與游客的期望價(jià)格的差成反比(比例系數(shù)為200a).設(shè)每個(gè)房間的成本費(fèi)用(包括水電費(fèi)、人工費(fèi)等)為300元.
(1)請(qǐng)直接寫出今年價(jià)格下調(diào)后酒店的收益y(單位:元)關(guān)于實(shí)際住宿費(fèi)x(單位:元/間)的函數(shù)解析式;
(2)若酒店仍希望今年的收益比上年至少增長20%,則客房的住宿費(fèi)最低應(yīng)定為多少元/間
(3)當(dāng)客房的住宿費(fèi)定為多少元/間時(shí),可以使酒店的收益達(dá)到最大
變式 一般來說,商品進(jìn)入市場,價(jià)格越高,銷量越小.某門店對(duì)其銷售的某種商品的定價(jià)為p元/件,日銷售量為q件,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)可近似認(rèn)為p,q滿足關(guān)系式q=200-p(80≤p≤150).為了追求最大利潤,不會(huì)無限提高售價(jià),根據(jù)以上信息推測該門店銷售該種商品每天毛收入的最小值為　　　　元.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求解函數(shù)最大(小)值的實(shí)際問題應(yīng)注意的兩點(diǎn):
(1)解實(shí)際應(yīng)用題要弄清題意,從實(shí)際出發(fā),引入數(shù)學(xué)符號(hào),建立數(shù)學(xué)模型,列出函數(shù)關(guān)系式,分析函數(shù)的性質(zhì),從而解決問題,要注意自變量的取值范圍;
(2)實(shí)際應(yīng)用問題中,最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來解決.第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值
1.函數(shù)y=f(x)(-2≤x≤2)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的最大值和最小值分別為 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.f(2),f(-2)
B.f,f(-1)
C.f,f
D.f,f(0)
2.已知函數(shù)f(x)=,x∈[0,3],則函數(shù)f(x)的最小值為 (　 )
A.-1 B. C.1 D.4
3.函數(shù)f(x)=x-+1在[1,4]上的取值范圍為 (　 )
A. B.[0,1]
C. D.
4.函數(shù)f(x)=|x-3|在區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值分別是 (　 )
A.4,1 B.1,-4
C.4,-4 D.4,0
5.某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本(單位:萬元)為C(x)=x2+4x+16,每件商品的售價(jià)為28元,假設(shè)每月所生產(chǎn)的商品能全部售完,記當(dāng)月生產(chǎn)商品所獲得的總利潤為w(x)萬元,單件平均利潤為元,則下列說法正確的是 (　 )
A.當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)12萬件時(shí),當(dāng)月的總利潤最大,為144萬元
B.當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)12萬件時(shí),當(dāng)月的總利潤最大,為160萬元
C.當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)4萬件時(shí),當(dāng)月的單件平均利潤最大,為24元
D.當(dāng)一個(gè)月生產(chǎn)4萬件時(shí),當(dāng)月的單件平均利潤最大,為16元
6.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x2-4|x|+1,則下列說法正確的是 (　 )
A.函數(shù)y=f(x)在(-∞,-2]上單調(diào)遞增
B.函數(shù)y=f(x)在[-2,0]上單調(diào)遞增
C.當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y=f(x)取得最大值
D.當(dāng)x=-2或x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)取得最小值
7.函數(shù)f(x)=在[2,4]上的最小值為　　　　.
8.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,5]上的最大值為　　　　.
9.(13分)已知函數(shù)f(x)=.
(1)證明:函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減;
(2)求函數(shù)f(x)在[1,5]上的最大值和最小值.
10.(13分)給定函數(shù)f(x)=-2x+6,g(x)=-x2+5x,x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的較小者,記為M(x)=min{f(x),g(x)},則M(x)的最大值為 (　 )
A.-6 B.2
C.4 D.6
11.[2025·江蘇十校聯(lián)盟高一月考] 設(shè)f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
12.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若對(duì)任意x1∈R,都存在實(shí)數(shù)x2∈[-2,+∞),使得f(x1)>g(x2),則實(shí)數(shù)a的值可以是 (　 )
A.-1 B.0
C.2 D.4
13.[2025·江蘇徐州高一期中] 定義:min{a,b}表示a,b中的較小者.若函數(shù)y=min{1-|x-2|,(x-1)2-1}在區(qū)間[m,n]上的取值范圍為[-1,0],則n-m的最大值為　　　　.
14.(15分)[2025·江蘇無錫江陰一中高一期中] 新能源開發(fā)能夠有效地解決我國能源短缺和傳統(tǒng)能源使用帶來的環(huán)境污染問題,國家新能源政策的出臺(tái),給新能源產(chǎn)業(yè)帶來了春天.江蘇某新能源企業(yè),年固定成本為500萬,每生產(chǎn)x(x∈N*)臺(tái)設(shè)備,另需投入成本t萬元,若年產(chǎn)量不足100臺(tái),則t=x2+60x,若年產(chǎn)量不少于100臺(tái),則t=152x+-4700,每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為150萬元,通過市場分析知,該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完.
(1)寫出年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺(tái))的關(guān)系式;
(2)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí),該企業(yè)所獲利潤最大
15.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f=,且f(x+y)=f(x)f(y)-xy.若關(guān)于x的不等式f(x2+ax)≥2在[1,2]上有解,則a的取值范圍為　　　　.
16.(15分)[2025·南京五校聯(lián)盟高一期中] 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax-1,函數(shù)g(x)滿足g(2x+1)=(2a-4)x+a-3.
(1)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)+g(x)>a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在x∈[1,3],使得f(x)-g(x)≤a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若對(duì)任意x>0,都有f(x)g(x)≥0成立,求實(shí)數(shù)a的取值集合.

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