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機密★本科目考試啟用前
2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期北京市高三年級期中質(zhì)量檢測
數(shù) 學(xué) 試 卷 （2024年11月）
本試卷共6頁，150分，考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的。
（1）已知集合，則
（A） （B） （C） （D）
（2）已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部
（A） （B） （C） （D）
（3）若命題：“，，使得”為假命題，則，的大小關(guān)系為
（A） （B） （C） （D）
（4）已知向量．若與平行，則實數(shù)λ的值為
（A） （B） （C）1 （D）
（5）已知，則
（A） （B） （C） （D）
（6）在等比數(shù)列中，是方程的兩個根，則
（A）7 （B）8 （C）8或 （D）
（7）將函數(shù)圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù) 的圖象，則
（A） （B）在上單調(diào)遞增
（C）在上的最小值為 （D）直線是圖象的一條對稱軸
（8）設(shè)數(shù)列的前項和為，，，若，則正整數(shù)的值為
（A）2024 （B）2023 （C）2022 （D）2021
（9）已知等差數(shù)列的前項和為，則“”是“”的
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
（10）函數(shù)和，及區(qū)間，若存在實數(shù)，使得 對任意恒成立，則稱在區(qū)間上“優(yōu)于”.有以下兩個結(jié)論：
①在區(qū)間上優(yōu)于；
②在區(qū)間上優(yōu)于.
可以判斷：
（A）①②正確 （B）①正確，②錯誤
（C）①錯誤，②正確 （D）① ②均錯誤
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
（11）已知為等差數(shù)列的前項和，，則 ．
（12）已知，，則 ．
（13）已知，則 ．
（14）若=，=，與不共線，則∠AOB平分線上的向量= ．
（15）在數(shù)列中各項均為正數(shù)，且
給出下列四個結(jié)論：
①對任意的，都有 ②數(shù)列不可能為常數(shù)列
③若，則數(shù)列為遞增數(shù)列 ④若，則當(dāng)時，
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題13分）
在△ABC中，，，再從條件① 條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值和△ABC的面積.
條件①： 條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
（17）（本小題13分）
已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件作答，如果選擇多組條件作答，則按第一個解答計分.
（Ⅰ）確定的解析式；
（Ⅱ）若圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，求a的取值范圍．
條件①：的最小值為；
條件②：圖象的一個對稱中心為；
條件③；的圖象經(jīng)過點．
（18）（本小題14分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)時
①求曲線在點處的切線方程；
②求的單調(diào)區(qū)間與極值.
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
（18）（本小題14分）
已知數(shù)列的前n項和為，在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項和為．若對任意，不等式恒成立，求m的最小值．
條件①：且；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
（19）（本小題15分）
已知，，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值以及對應(yīng)的極值點；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程有兩個不等實根，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時，若滿足，求證：．
（20）（本小題15分）
已知數(shù)列是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：.這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：.數(shù)列對于確定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)使得成立，則稱數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”.
（Ⅰ）已知數(shù)列滿足.判斷是否對，總存在確定的正整數(shù)，使得數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，并說明理由.
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，
①若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實數(shù)的值；
②在①的前提下，若數(shù)列滿足，，其前項和為.
證明：當(dāng)且時，成立.
（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

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