資源簡介

(共71張PPT)
5.4 函數(shù)的奇偶性
第1課時 奇偶性的概念
探究點一 函數(shù)奇偶性的判斷
探究點二 奇偶函數(shù)的圖象及應(yīng)用
探究點三 根據(jù)函數(shù)奇偶性求值
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能夠根據(jù)具體的數(shù)學問題，用歸納和類比的方式，抽象概括出
函數(shù)的奇偶性的概念，并能夠用數(shù)學符號語言表達.
2.能夠根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念，判斷函數(shù)的奇偶性，并能夠用數(shù)
學語言表達.
知識點 函數(shù)奇偶性的概念
偶函數(shù) 奇函數(shù)
定義
偶函數(shù) 奇函數(shù)
定義域 關(guān)于______對稱 圖象特 征 關(guān)于_____對稱 如： ______________________________________ 關(guān)于______對稱
如：
___________________________________
原點
軸
原點
續(xù)表
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數(shù)， 是偶函數(shù).( )
×
[解析] 函數(shù)的定義域不滿足關(guān)于原點對稱，因此不具備奇偶性.
（2）函數(shù) 是奇函數(shù).( )
×
[解析] 函數(shù)的定義域為且 ，不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)
不是奇函數(shù).
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）函數(shù) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).( )
√
[解析] 函數(shù)的定義域為，, ,所以函
數(shù) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
（4）函數(shù), 是奇函數(shù).( )
×
[解析] 當時， .
探究點一 函數(shù)奇偶性的判斷
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1） ；
解：要使函數(shù)有意義，必須，解得,或 .
所以函數(shù)的定義域為 ，關(guān)于原點對稱.
對于任意的，都有 ，
且，所以 是偶函數(shù).
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（2）， ；
解：因為函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，即存在 ，
而，所以函數(shù)， 既不是奇函數(shù)
也不是偶函數(shù).
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（3） ；
解：函數(shù)的定義域為 ，
因為對于任意的，都有 ，且
，所以函數(shù) 是奇函數(shù).
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（4）
解：函數(shù)的定義域為 ，對于任意的
，都有，
當 時，，；
當 時， ，
綜上可知，函數(shù) 是奇函數(shù).
變式 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
（1） ；
解：由得 ，即可得
，
又 ，所以函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱.
對于任意的 ，都有，且
，可得 是奇函數(shù).
變式 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
（2）
解：函數(shù)的定義域為 ，關(guān)于原點對稱.
對于任意的,都有 .
當時， ，且
；
當時， ，且
.
綜上所述，當時，.所以 是
奇函數(shù).
［素養(yǎng)小結(jié)］
判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：
（1）定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，
所以首先考慮定義域；
（2）判斷與是否具有等量關(guān)系.
在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式
（奇函數(shù)）或（偶函數(shù)）是否成立.
拓展 ［2025·江蘇徐州質(zhì)檢］ 設(shè)函數(shù) ，則下列函數(shù)
為奇函數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為 ，所以
，所以函數(shù)
的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于點
對稱，則 是奇函數(shù).故選C.
√
探究點二 奇偶函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例2 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且當 時,
.現(xiàn)已畫出函數(shù)在 軸右側(cè)的圖象,如圖所示.
（1）請補充完整函數(shù) 的圖象;
解：補充完整函數(shù) 的圖象,如圖所示.
例2 已知函數(shù)是定義在 上的偶函數(shù),且當
時,.現(xiàn)已畫出函數(shù)在 軸
右側(cè)的圖象,如圖所示.
（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù) 的增區(qū)間;
解：由圖可知,函數(shù)的增區(qū)間為 , .
例2 已知函數(shù)是定義在 上的偶函數(shù),且當時,
.現(xiàn)已畫出函數(shù)在 軸右側(cè)的圖象,
如圖所示.
（3）當為何值時,方程 有兩個不同的實
數(shù)根、三個不同的實數(shù)根、四個不同的實數(shù)根
解：由圖可知,當或時,方程
有兩個不同的實數(shù)根;
當時,方程有三個不同的實數(shù)根;
當 時,方程 有四個不同的實數(shù)根.
變式 定義在上的奇函數(shù)在 上的圖
象如圖所示.
（1）補全 的圖象;
解：因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,所以補全
函數(shù) 的圖象如圖所示.
變式 定義在上的奇函數(shù)在 上的圖
象如圖所示.
（2）解不等式 .
解：當時,由得 ,
;
當時,由得,
所以 .
綜上,不等式的解集為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題
（1）依據(jù):奇函數(shù) 圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù) 圖象關(guān)于軸對稱.
（2）求解:根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決求值、比較大小
及解不等式等問題.
探究點三 根據(jù)函數(shù)奇偶性求值
例3（1）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù) ___.
0
[解析] 由題意，得對任意， ，即
，則，所以，解得 .
（2）［2025·廣東陽江高一期末］已知
，且，則 ___.
7
[解析] 由 ，得
，則有,所以 ，
，所以 .
變式（1）［2025·江蘇鹽城期中］若奇函數(shù)和偶函數(shù) 滿足
，則 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由題意得 ，則
解得因此 .故選C.
√
（2）若函數(shù) 是偶函數(shù)，且其定義域為
，則___， ___.
0
[解析] 因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以 ，解得
.
所以函數(shù) 為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點，
易得 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)應(yīng)關(guān)注兩點：
（1）函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法，也是在
已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì)，要注意函數(shù)奇偶性定義的
正用和逆用；
（2）利用常見函數(shù)如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)具有奇偶性
的條件也可求得參數(shù).
1.判斷函數(shù)奇偶性的步驟
①先求定義域,看是否關(guān)于原點對稱.
②在定義域關(guān)于原點對稱的條件下再判斷與 的關(guān)系.若
,則函數(shù)為偶函數(shù);若,則函數(shù) 為奇
函數(shù).
2.函數(shù)奇偶性的運算性質(zhì)
設(shè),的定義域分別是, ,在它們的公共定義域上,一般具有
下列結(jié)論:
偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
偶函數(shù) 奇函數(shù) 不能確定 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 偶函數(shù) 不能確定 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
注意:中,的值域是 的定義域的子集.
判斷函數(shù)的奇偶性除了定義法之外,還可以利用函數(shù)圖象來判斷，遇
到分段函數(shù)，還需要分類討論判斷.
例1（1）［2024·浙江臺州八校聯(lián)盟高一期中］下列函數(shù)中，在其定
義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 對于A，函數(shù)是奇函數(shù)，但是在
和 上單調(diào)遞減，在定義域上不具有單調(diào)性，故A錯
誤；
對于B，函數(shù) 是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；
對于C，函數(shù) 是偶函數(shù)，故C錯誤；
對于D，函數(shù) 的圖象如圖所示，所以
在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，
故D正確.故選D.
（2）（多選題）［2025·深圳外國語學校高一月考］ 已知函數(shù)
，構(gòu)造函數(shù) ，則下列關(guān)于函數(shù)
的說法正確的是( )
A.是偶函數(shù) B. 是偶函數(shù)
C.是奇函數(shù) D. 是奇函數(shù)
√
√
√
[解析] 由題意可得，顯然定義域為 ，
且，故 是奇函數(shù).
對于A，由于， ，
故，從而 不是偶
函數(shù)，A錯誤；
對于B，顯然 ，故 是偶函
數(shù)，B正確；
對于C，由于，故
是奇函數(shù)，C正確；
對于D，由于 ，故是奇函
數(shù)，D正確.故選 .
例2（1）（多選題）［2024·浙江A9聯(lián)盟高一期中］ 設(shè)和
分別是定義在 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則下列函數(shù)中必為奇函數(shù)的是
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 對于A，設(shè) ，則
，所以 為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，故A錯誤；
對于B，設(shè) ,則，故
為奇函數(shù)，故B正確；
對于C，設(shè) ,則
，故 為偶函數(shù)，故C錯誤；
對于D，設(shè) ,則
，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選 .
（2）（多選題）［2025·廣西桂林五中高一月考］ 已知函數(shù) 的
定義域為， ，則( )
A. B. C.是偶函數(shù) D. 是奇函數(shù)
[解析] 令，可得 ，A正確；
令，可得,所以 ，B正確；
令，可得 ,
又，所以,易知函數(shù)的定義域為，令 ，
可得，所以 是偶函數(shù)，C
正確；
不一定恒為0，所以不是奇函數(shù)，D錯誤.故選 .
√
√
√
（3）［2024·青島二中高一期中］設(shè)函數(shù) 是增函數(shù)，且對于任
意,，都有，則 是____函數(shù).
（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”）
奇
[解析] 對于任意,，都有 ，令
，則；
令 ，則，則，
故函數(shù) 是奇函數(shù).
練習冊
1.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A，函數(shù) ，定義域不關(guān)于原點對稱，為非
奇非偶函數(shù)，不符合題意；
對于B，函數(shù) 為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
對于C，函數(shù) 為偶函數(shù)，符合題意；
對于D， 為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選C.
√
2.下列說法中錯誤的是( )
A.奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱
B.圖象關(guān)于 軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)
C.奇函數(shù)一定滿足
D.偶函數(shù)的圖象不一定與 軸相交
√
[解析] 根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)知A，B中說法正確；
對于C，如，，易得函數(shù) 是奇函數(shù)，
它的圖象不過原點，故C中說法錯誤；
對于D，如 ，，易得函數(shù)是偶函數(shù)，
它的圖象不與 軸相交，故D中說法正確．故選C.
3.函數(shù) 的圖象關(guān)于( )
A.軸對稱 B.直線 對稱
C.直線 對稱 D.坐標原點對稱
[解析] 函數(shù)的定義域為 ,因為
,所以函數(shù) 是奇函數(shù),則函
數(shù) 的圖象關(guān)于坐標原點對稱.故選D.
√
4.如圖為奇函數(shù) 的部分圖象,則
的值為( )
A. B.2 C.1 D.0
[解析] 由題圖知,,
又 為奇函數(shù),所以 .
故選A.
√
5.已知，且，則 等于
( )
A. B. C. D.10
[解析] 令，， 為奇函
數(shù).
又， ，
， ，
.
√
6.已知函數(shù)是定義在 上的
偶函數(shù)，則 ( )
A.1 B.0 C. D.
[解析] 由題意得，解得 ，
因為為偶函數(shù)，所以 ，
即 ，所以
，解得，
所以, ，所以 .故選D.
√
7.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當時， ，則
____.
[解析] 為奇函數(shù)，且當時， ，
.
8.［2025·上海七寶中學高一月考］已知函數(shù) 是
偶函數(shù)，則實數(shù) ___.
3
[解析] 因為為偶函數(shù)，所以 ，
即，解得 ，經(jīng)驗證符合題意.
9.（13分）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）， ；
解：函數(shù)的定義域為 ，不關(guān)于原點對稱，故此函
數(shù)為非奇非偶函數(shù).
（2） .
解：，，且 ，
， .
設(shè)函數(shù)的定義域為， 對于任意的，都有 ，且
， 為奇函數(shù).
10.［2025·廣東清遠南陽中學高一期中］函數(shù) 的圖象大致
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函數(shù)的定義域為，且對任意 ，都有
，則函數(shù) 是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點
對稱，排除B；
當時， ，當且僅當 時取等
號，排除C，D，A符合題意.故選A.
11.（多選題）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且 是奇函
數(shù)， 是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.為奇函數(shù) B. 為偶函數(shù)
C.為偶函數(shù) D. 為偶函數(shù)
[解析] 是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， 為偶函數(shù)，
為偶函數(shù)，為奇函數(shù)， 為偶
函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù).故選 .
√
√
√
12.（多選題）函數(shù) ，則下列函數(shù)
中其圖象關(guān)于 軸對稱的有( )
A. B. C. D.
[解析] 已知，令 ，則
，得 ，整理得
，即 ，則
，故函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對稱，A
正確;
√
√
的圖象是將 的圖象向右平移1個單位長度得到的，故
的圖象不關(guān)于 軸對稱，B錯誤；
因為，故
的圖象不關(guān)于軸對稱，C錯誤;
因為 ，所以，則的
圖象關(guān)于 軸對稱，D正確.故選 .
13.［2025·江蘇泰州中學高一期中］已知奇函數(shù)的定義域為 ，
若為偶函數(shù)，且，則 的值為____.
[解析] 為上的奇函數(shù)，，
為偶函數(shù)，，
，，
，，
則 .
14.（15分）［2025·江蘇鎮(zhèn)江高一期中］ 在“①奇函數(shù)，
②偶函數(shù)”中任選一個，填在下面的橫線上，補充完整問
題，并作答.（如果兩個都選，則按選的第一個計分）
已知函數(shù)為定義在上的______，當時， .
選①
（1）求函數(shù) 的表達式；
解：當時，，則 ，
由是奇函數(shù)，得 ，
所以當時，.故
14.（15分）［2025·江蘇鎮(zhèn)江高一期中］ 在“①奇函數(shù)，
②偶函數(shù)”中任選一個，填在下面的橫線上，補充完整問
題，并作答.（如果兩個都選，則按選的第一個計分）
已知函數(shù)為定義在上的______，當時， .
（2）作出函數(shù) 的圖象；
解：當時， ，則可得下表：
0 1 3 4 5
0
作出在 上的圖象如圖所示.
由為奇函數(shù)，得 的圖象如圖所示.
選①
（3）求函數(shù) 的值域.
解：由（2）可知的值域為 .
14.（15分）［2025·江蘇鎮(zhèn)江高一期中］ 在“①奇函數(shù)，
②偶函數(shù)”中任選一個，填在下面的橫線上，補充完整問
題，并作答.（如果兩個都選，則按選的第一個計分）
已知函數(shù)為定義在上的______，當時， .
選①
14.（15分）［2025·江蘇鎮(zhèn)江高一期中］ 在“①奇函數(shù)，
②偶函數(shù)”中任選一個，填在下面的橫線上，補充完整問
題，并作答.（如果兩個都選，則按選的第一個計分）
已知函數(shù)為定義在上的______，當時， .
（1）求函數(shù) 的表達式；
解：當時， ，
則，由是偶函數(shù)，得 ，
所以當時，.故
選②
14.（15分）［2025·江蘇鎮(zhèn)江高一期中］ 在“①奇函數(shù)，
②偶函數(shù)”中任選一個，填在下面的橫線上，補充完整問
題，并作答.（如果兩個都選，則按選的第一個計分）
已知函數(shù)為定義在上的______，當時， .
選②
（2）作出函數(shù) 的圖象；
解： 當時， ，則可得下表：
0 1 3 4 5
0
作出在 上的圖象如圖所示.
由為偶函數(shù)，得 的圖象如圖所示.
（3）求函數(shù) 的值域.
解：由（2）可知的值域為 .
14.（15分）［2025·江蘇鎮(zhèn)江高一期中］ 在“①奇函數(shù)，
②偶函數(shù)”中任選一個，填在下面的橫線上，補充完整問
題，并作答.（如果兩個都選，則按選的第一個計分）
已知函數(shù)為定義在上的______，當時， .
選②
15.［2025·江蘇鹽城高一期末］已知函數(shù) 在其定義域內(nèi)
為偶函數(shù)，且 ，則
( )
A.0 B. C.2025 D.
√
[解析] 因為函數(shù) 在其定義域內(nèi)為偶函數(shù)，所以
，即，化簡得 ，
則，所以，
又，所以，解得 ，則.
因為 ，所以
.故選B.
16.（15分）［2025·溫州中學高一期中］ 定義在 上的函數(shù)
滿足：對任意的,，都有 ，且
當時， .
（1）求證： 是奇函數(shù).
證明：令，得，即 ，
令，可得，即，所以 在
上為奇函數(shù).
16.（15分）［2025·溫州中學高一期中］ 定義在 上的函數(shù)
滿足：對任意的,，都有 ，且
當時， .
（2）判斷 的正負，并說明理由.
解： ，理由如下：
因為在 上為奇函數(shù)，
所以 ，
因為當時，，所以 ，
所以 .
快速核答案
課前預(yù)習 知識點 原點 軸 原點
【診斷分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）×
課中探究 探究點一 例1 （1）是偶函數(shù)（2）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
（3） 函數(shù)是奇函數(shù)（4） 函數(shù)是奇函數(shù)
變式 （1）是奇函數(shù) （2）是奇函數(shù) 拓展 C
探究點二 例2 （1）圖略（2）函數(shù)的增區(qū)間為, （3）當
或時,方程有兩個不同的實數(shù)根;當時,方程有三個不
同的實數(shù)根;當時,方程有四個不同的實數(shù)根
變式 （1）圖略（2）不等式的解集為
探究點三 例3 （1）0 （2）7 變式 （1）C （2） 0
練習冊
基礎(chǔ)鞏固 1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.D 7. 8.3
9.（1）函數(shù)為非奇非偶函數(shù) （2）為奇函數(shù)
綜合提升 10.A 11.ABD 12.AD 13.
14.選①. （1）（2）圖略（3）
選②.（1）（2）圖略（3）
思維探索 15.B
16.（1）證明略（2），理由略
5.4　函數(shù)的奇偶性
第1課時　奇偶性的概念
【課前預(yù)習】
知識點
f(-x)=f(x)　f(-x)=-f(x)　原點　y軸　原點
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)函數(shù)的定義域不滿足關(guān)于原點對稱,因此不具備奇偶性.
(2)函數(shù)的定義域為{x|x∈R且x≠1},不關(guān)于原點對稱,故函數(shù)f(x)不是奇函數(shù).
(3)函數(shù)的定義域為{-2,2},f(-x)=f(x)=-f(x)=0,所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(4)當x=1時,-x=-1 (-1,1].
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)要使函數(shù)f(x)有意義,必須x2-4>0,解得x<-2,或x>2.
所以函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-2)∪(2,+∞),關(guān)于原點對稱.對于任意的x∈(-∞,-2)∪(2,+∞),都有-x∈(-∞,-2)∪(2,+∞),且f(-x)=(-x)2-=x2-=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).
(2)因為函數(shù)g(x)的定義域不關(guān)于原點對稱,即存在-4∈[-4,4),而4 [-4,4),所以函數(shù)g(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(3)函數(shù)h(x)=|x-2|-|x+2|的定義域為R,
因為對于任意的x∈R,都有-x∈R,且h(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-(|x-2|-|x+2|)=-h(x),所以函數(shù)h(x)=|x-2|-|x+2|是奇函數(shù).
(4)函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),對于任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),當x>0時,-x<0,k(-x)=-(-x)2-1=-=-k(x);當x<0時,-x>0,k(-x)=(-x)2+1=x2+1=-=-k(x).
綜上可知,函數(shù)k(x)=是奇函數(shù).
變式　解:(1)由1-x2≥0得-1≤x≤1,即可得f(x)===,又x≠0,所以函數(shù)的定義域為[-1,0)∪(0,1],關(guān)于原點對稱.對于任意的x∈[-1,0)∪(0,1],都有-x∈[-1,0)∪(0,1],且f(-x)==-=-f(x),可得f(x)是奇函數(shù).
(2)函數(shù)g(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱.對于任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
當x>0時,-x<0,且g(-x)=(3+x)(-x+5)=-(3+x)(x-5)=-g(x);
當x<0時,-x>0,且g(-x)=(3-x)(-x-5)=-(3-x)(x+5)=-g(x).
綜上所述,當x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時,g(-x)=-g(x).所以g(x)是奇函數(shù).
拓展　C　[解析] 因為f(x)===+1,所以f(x-1)+f(-x-1)=+1++1=2,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(-1,1)對稱,所以y=f(x-1)-1的圖象關(guān)于點(0,0)對稱,則y=f(x-1)-1是奇函數(shù).故選C.
探究點二
例2　解:(1)補充完整函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.
(2)由圖可知,函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-1,0),(1,+∞).
(3)由圖可知,當a=-1或a>0時,方程f(x)=a有兩個不同的實數(shù)根;當a=0時,方程f(x)=a有三個不同的實數(shù)根;當-1變式　解:(1)因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,所以補全函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.
(2)當x>0時,由xf(x)>0得f(x)>0,所以00得f(x)<0,所以-2綜上,不等式xf(x)>0的解集為(-2,0)∪(0,2).
探究點三
例3　(1)0　(2)7　[解析] (1)由題意,得對任意x∈R,f(-x)=-f(x),即=-,則-x+a=-x-a,所以a=-a,解得a=0.
(2)由f(x)=ax5-bx3+cx++1,得f(-x)=a·(-x)5-b·(-x)3+c·(-x)++1=-+1,則有f(-x)+f(x)=2,所以f(3)+f(-3)=2,又f(-3)=-5,所以f(3)=2-f(-3)=2-(-5)=7.
變式　(1)C　(2)　0　[解析] (1)由題意得f(-x)+g(-x)=(-x)3+(-x)2+2,則
解得因此f(1)+g(0)=1+2=3.故選C.
(2)因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以a-1=-2a,解得a=.所以函數(shù)f(x)=x2+bx+b+1為二次函數(shù),結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點,易得b=0.5.4　函數(shù)的奇偶性
第1課時　奇偶性的概念
1.C　[解析] 對于A,函數(shù)y=x4(x>0),定義域不關(guān)于原點對稱,為非奇非偶函數(shù),不符合題意;對于B,函數(shù)y=|x+2|為非奇非偶函數(shù),不符合題意;對于C,函數(shù)y=為偶函數(shù),符合題意;對于D,y=2x-1為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選C.
2.C　[解析] 根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)知A,B中說法正確;對于C,如f(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函數(shù)f(x)是奇函數(shù),它的圖象不過原點,故C中說法錯誤;對于D,如g(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函數(shù)g(x)是偶函數(shù),它的圖象不與y軸相交,故D中說法正確.故選C.
3.D　[解析] 函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),因為f(-x)=-2x+=-=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)=2x-的圖象關(guān)于坐標原點對稱.故選D.
4.A　[解析] 由題圖知f(1)=,f(2)=,又f(x)為奇函數(shù),所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.故選A.
5.A　[解析] 令g(x)=x5+ax3+bx,∵g(-x)=-g(x),∴g(x)為奇函數(shù).又f(x)=g(x)-8,∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,∴g(2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
6.D　[解析] 由題意得2a-1+a=0,解得a=,因為f(x)=ax2+(b+1)x+2a+b為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即a(-x)2-(b+1)x+2a+b=ax2+(b+1)x+2a+b,所以b+1=0,解得b=-1,所以f(x)=x2-,a+b=-,所以f(a+b)=f=-.故選D.
7.-2　[解析] ∵f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x2+,∴f(-1)=-f(1)=-=-2.
8.3　[解析] 因為f(x)=為偶函數(shù),所以f(1)=f(-1),即3+4=a+4,解得a=3,經(jīng)驗證符合題意.
9.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-1,0)∪(0,1],不關(guān)于原點對稱,故此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
(2)∵1-x2≥0,|x+2|-2≠0,∴-1≤x≤1且x≠0,
∴x+2>0,∴g(x)==.
設(shè)函數(shù)g(x)的定義域為A,∵對于任意的x∈A,都有-x∈A,且g(-x)==-=-g(x),∴g(x)為奇函數(shù).
10.A　[解析] 函數(shù)f(x)=的定義域為R,且對任意x∈R,都有f(-x)==-f(x),則函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,排除B;當x>0時,f(x)==≤=1,當且僅當x=1時取等號,排除C,D,A符合題意.故選A.
11.ABD　[解析] ∵f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),∴y=|f(x)|為偶函數(shù),y=|g(x)|為偶函數(shù),y=f(x)g(x)為奇函數(shù),∴y=|f(x)|g(x)為偶函數(shù),y=f(x)|g(x)|為奇函數(shù),y=|f(x)g(x)|為偶函數(shù).故選ABD.
12.AD　[解析] 已知f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,令t=x+1,則x=t-1,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)-3|t|+3,整理得f(t)=t2-3|t|+2,即f(x)=x2-3|x|+2,則f(-x)=x2-3|x|+2=f(x),故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,A正確;f(x-1)的圖象是將f(x)的圖象向右平移1個單位長度得到的,故f(x-1)的圖象不關(guān)于y軸對稱,B錯誤;因為f(|x+1|)=|x+1|2-3|x+1|+2≠f(|-x+1|),故f(|x+1|)的圖象不關(guān)于y軸對稱,C錯誤;因為f(x)=x2-3|x|+2,所以f(|x|)=|x|2-3|x|+2,則f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對稱,D正確.故選AD.
13.-1　[解析] ∵f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,∵f(x+2)為偶函數(shù),∴f(-x+2)=f(x+2),∴f(-3+2)=f(3+2),f(-2+2)=f(2+2),∴f(5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,則f(4)+f(5)=-1.
14.解:選①.(1)當x<0時,-x>0,則f(-x)=,
由f(x)是奇函數(shù),得f(-x)=-f(x),
所以當x<0時,f(x)=.故f(x)=
(2)當x≥0時,f(x)===2-<2,則可得下表:
x 0 1 3 4 5
f(x) 0
作出f(x)在[0,+∞)上的圖象如圖所示.
由f(x)為奇函數(shù),得f(x)的圖象如圖所示.
(3)由(2)可知f(x)的值域為(-2,2).
選②.(1)當x<0時,-x>0,
則f(-x)=,由f(x)是偶函數(shù),得f(-x)=f(x),
所以當x<0時,f(x)=.故f(x)=
(2)當x≥0時,f(x)===2-<2,則可得下表:
x 0 1 3 4 5
f(x) 0
作出f(x)在[0,+∞)上的圖象如圖所示.
由f(x)為偶函數(shù),得f(x)的圖象如圖所示.
(3)由(2)可知f(x)的值域為[0,2).
15.B　[解析] 因為函數(shù)f(x)=在其定義域內(nèi)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即=,化簡得=,則b=0,所以f(x)=,又f(1)=,所以=,解得a=1,則f(x)=.因為f(x)+f=+=+=1,所以f+f+…+f+f(1)+f(2)+…+f(2025)=++…++f(1)=1×2024+=.故選B.
16.解:(1)證明:令x=y=0,得f(0)-f(0)=f(0),即f(0)=0,令y=0,可得f(0)-f(x)=f(-x),即-f(x)=f(-x),所以f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù).
(2)f+f>0,理由如下:
因為f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù),
所以f+f=f-f=f=f=-f,
因為當x∈(-1,0)時,f(x)<0,所以f<0,
所以f+f=-f>0.5.4　函數(shù)的奇偶性
第1課時　奇偶性的概念
【學習目標】
　　1.能夠根據(jù)具體的數(shù)學問題,用歸納和類比的方式,抽象概括出函數(shù)的奇偶性的概念,并能夠用數(shù)學符號語言表達.
　　2.能夠根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念,判斷函數(shù)的奇偶性,并能夠用數(shù)學語言表達.
◆ 知識點　函數(shù)奇偶性的概念
偶函數(shù) 奇函數(shù)
定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,如果對于任意的x∈A,都有-x∈A,并且　　　　　　　　　,那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,如果對于任意的x∈A,都有-x∈A,并且　　　　　　　　,那么稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)
定義域 關(guān)于　　　　對稱
圖象 特征 關(guān)于　　　　對稱 如: 關(guān)于　　　　對稱 如:
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=x2,x∈(0,+∞)是偶函數(shù). (　 )
(2)函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). (　 )
(3)函數(shù)f(x)=+既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (　 )
(4)函數(shù)f(x)=x,x∈(-1,1]是奇函數(shù). (　 )
◆ 探究點一　函數(shù)奇偶性的判斷
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=x2-;
(2)g(x)=x3+3x,x∈[-4,4);
(3)h(x)=|x-2|-|x+2|;
(4)k(x)=
變式 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)g(x)=
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件:
(1)定義域關(guān)于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域;
(2)判斷f(x)與±f(-x)是否具有等量關(guān)系.
在判斷奇偶性的運算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.
拓展 [2025·江蘇徐州質(zhì)檢] 設(shè)函數(shù)f(x)=,則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 (　 )
A.y=f(x+1)+1 B.y=f(x+1)-1
C.y=f(x-1)-1 D.y=f(x-1)+1
◆ 探究點二　奇偶函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例2 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≥0時,f(x)=x2-2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸右側(cè)的圖象,如圖所示.
(1)請補充完整函數(shù)f(x)的圖象;
(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的增區(qū)間;
(3)當a為何值時,方程f(x)=a有兩個不同的實數(shù)根、三個不同的實數(shù)根、四個不同的實數(shù)根
變式 定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的圖象如圖所示.
(1)補全f(x)的圖象;
(2)解不等式xf(x)>0.
[素養(yǎng)小結(jié)]
巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題
(1)依據(jù):奇函數(shù) 圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù) 圖象關(guān)于y軸對稱.
(2)求解:根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決求值、比較大小及解不等式等問題.
◆ 探究點三　根據(jù)函數(shù)奇偶性求值
例3 (1)已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則實數(shù)a=　　　　.
(2)[2025·廣東陽江高一期末] 已知f(x)=ax5-bx3+cx++1,且f(-3)=-5,則f(3)=　　　　.
變式 (1)[2025·江蘇鹽城期中] 若奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=x3+x2+2,則f(1)+g(0)= (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),且其定義域為[a-1,2a],則a=　　　　,b=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)應(yīng)關(guān)注兩點:
(1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法,也是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì),要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用;
(2)利用常見函數(shù)如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)具有奇偶性的條件也可求得參數(shù).5.4　函數(shù)的奇偶性
第1課時　奇偶性的概念
1.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=x4(x>0) B.y=|x+2|
C.y= D.y=2x-1
2.下列說法中錯誤的是 (　 )
A.奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱
B.圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)
C.奇函數(shù)一定滿足f(0)=0
D.偶函數(shù)的圖象不一定與y軸相交
3.函數(shù)f(x)=2x-的圖象關(guān)于 (　 )
A.y軸對稱
B.直線y=-x對稱
C.直線y=x對稱
D.坐標原點對稱
4.如圖為奇函數(shù)y=f(x)的部分圖象,則f(-2)+f(-1)的值為 (　 )
A.-2 B.2
C.1 D.0
5.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,則f(2)等于 (　 )
A.-26 B.-18
C.-10 D.10
6.已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+2a+b是定義在[2a-1,a]上的偶函數(shù),則f(a+b)= (　 )
A.1 B.0
C.- D.-
7.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x2+,則f(-1)=　　　　.
8.[2025·上海七寶中學高一月考] 已知函數(shù)y=是偶函數(shù),則實數(shù)a=　　　　.
9.(13分)判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=+x2,x∈(-1,0)∪(0,1];
(2)g(x)=.
10.[2025·廣東清遠南陽中學高一期中] 函數(shù)f(x)=的圖象大致是 (　 )
A B C D
11.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是 (　 )
A.y=f(x)g(x)為奇函數(shù)
B.y=|f(x)|g(x)為偶函數(shù)
C.y=f(x)|g(x)|為偶函數(shù)
D.y=|f(x)g(x)|為偶函數(shù)
12.(多選題)函數(shù)f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,則下列函數(shù)中其圖象關(guān)于y軸對稱的有 (　 )
A.f(x) B.f(x-1)
C.f(|x+1|) D.f(|x|)
13.[2025·江蘇泰州中學高一期中] 已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x+2)為偶函數(shù),且f(1)=1,則f(4)+f(5)的值為　　　　.
14.(15分)[2025·江蘇鎮(zhèn)江高一期中] 在“①奇函數(shù),②偶函數(shù)”中任選一個,填在下面的橫線上,補充完整問題,并作答.(如果兩個都選,則按選的第一個計分)
已知函數(shù)f(x)為定義在R上的　　　　,當x≥0時,f(x)=.
(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(3)求函數(shù)f(x)的值域.
15.[2025·江蘇鹽城高一期末] 已知函數(shù)f(x)=在其定義域內(nèi)為偶函數(shù),且f(1)=,則f+f+…+f+f(1)+f(2)+…+f(2025)= (　 )
A.0 B.
C.2025 D.
16.(15分)[2025·溫州中學高一期中] 定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:對任意的x,y∈(-1,1),都有f(y)-f(x)=f,且當x∈(-1,0)時,f(x)<0.
(1)求證:f(x)是奇函數(shù).
(2)判斷f+f的正負,并說明理由.

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