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(共61張PPT)
5.4 函數的奇偶性
第2課時 奇偶性的應用
探究點一 利用函數奇偶性求解析式
探究點二 利用函數單調性與奇偶性解不等式
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能夠根據函數的奇偶性和單調性解決相關問題.
2.能夠通過具體的函數圖象，用歸納的方式，抽象概括出奇函數
和偶函數的圖象特征，體會數形結合思想.
知識點 奇、偶函數的圖象與性質
1.奇函數的圖象關于______對稱.反過來,如果一個函數的圖象關于
______對稱,那么這個函數是________.
偶函數的圖象關于_____對稱.反過來,如果一個函數的圖象關于_____
對稱,那么這個函數是偶函數.
原點
原點
奇函數
軸
軸
2.重要性質
（1）奇函數在區間和 上有相同的單調性.
（2）偶函數在區間和 上有相反的單調性.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點.( )
×
[解析] 若奇函數的定義域含有元素0，則圖象一定過原點，否則不過
原點.
（2）若函數是偶函數，則函數 的圖象關于直
線 對稱.( )
√
[解析] 是偶函數，的圖象關于 軸對
稱，的圖象關于直線 對稱.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）若偶函數在區間上單調遞增，則在區間
上也單調遞增.( )
×
[解析] 偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反.
探究點一 利用函數奇偶性求解析式
例1（1）已知函數為偶函數，當時， ，則當
時， ( )
A. B. C. D.
[解析] 當時，，所以 ，根據偶函數的
性質可知 .故選C.
√
（2）已知是定義在上的偶函數,是定義在 上的奇函數,且
,求, 的解析式.
解：因為是偶函數,是奇函數,所以 ,
.
由 ,得,
即 .
由①②得, .
變式（1）［2025·江蘇無錫天一中學高一期中］函數 為奇函數，
且當時，，則當 時，
( )
A. B.
C. D.
[解析] 當時，，且函數 為奇
函數， 當時， ，
.故選A.
√
（2）已知，分別是定義在 上的奇函數和偶函數，且
，則 ____________.
[解析] 因為，分別是定義在 上的奇函數和偶函數，所以
即解得， ，
所以 .
［素養小結］
利用函數奇偶性求函數解析式的方法：
首先設出所求區間上的自變量，利用奇、偶函數的定義域關于原點
對稱的特點，把它轉化到已知的區間上，代入已知的解析式，然后
利用函數的奇偶性求解即可.
探究點二 利用函數單調性與奇偶性解不等式
角度1 比較大小問題
例2 ［2025·江蘇宿遷高一期中］已知定義在上的函數 滿足
，且在上單調遞減，則，,
的大小順序是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 依題意，，由在 上單調遞減，
，得，所以 .故選C.
變式（1）［2025·江蘇鹽城五校聯盟高一期中］若 是定義在
上的偶函數，且 ，則下列各式中一定成立的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為是定義在上的偶函數，所以 ，
因為，所以 ，故B正確，
因為無法判斷函數的單調性，所以其余選項不能判斷.故選B.
√
（2）已知是定義在上的奇函數,且在區間 上單調遞增,
則,, 的大小關系是_______________________.
[解析] 是定義在上的奇函數,且在區間 上單調遞增,
在上是增函數, .
角度2 不等式問題
例3 已知函數是定義在上的偶函數，且對任意 ,
，當時， .
（1）求 的值；
解：依題意可得，解得 .
例3 已知函數是定義在上的偶函數，且對任意 ,
，當時， .
（2）求不等式 的解集.
解：由對任意,，當時， ，得當
時，，所以函數在 上單調
遞增，
又 是偶函數，所以等價于
解得 ，則原不等式的解集為 .
變式 ［2025·北京第一七一中學高一月考］ 已知定義域為 的函數
是奇函數，當時， .
（1）求 的解析式；
解：因為當時， ，所以當時， ，
則，
又是定義在 上的奇函數，
所以當時， .
所以
變式 ［2025·北京第一七一中學高一月考］ 已知定義域為 的函數
是奇函數，當時， .
（2）若對任意的，不等式 恒成立，
求實數 的取值范圍.
解：因為當時， ，所以函
數在上單調遞減，
又是定義在 上的奇函數，所以在 上是減函數.
所以由，可得 ，
即，所以 ，所以
恒成立，
所以，令，當時， 有最小值，
最小值為 ，
即，所以實數的取值范圍是 .
［素養小結］
利用函數的奇偶性和單調性解不等式要注意兩點:
（1）奇函數在定義域內的關于原點對稱的兩個區間上單調性相同,偶
函數在定義域內的關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；
（2）確定單調區間,依據題設條件將不等式轉化為具體不等式,在這
個區間上解不等式.
1.函數的奇偶性、周期性及單調性是函數的三大性質，在高考中常常
將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周
期性來確定另一區間上的單調性，即先實現區間的轉換，再利用單
調性解決相關問題.
[解析] 因為奇函數在 上單調遞增，
且，所以在 上單調遞增，且
，
由此畫出 圖象的示意圖 ， 如圖所示，
由圖可知，不等式 的解集 .故選B.
例1 （1）［2025·四川平昌中學高一月考］已知奇函數在
上單調遞增，且，則不等式 的解集為( )
A. B.
C. D.
√
（2）［2025·江蘇通州高級中學高一月考］已知函數 .
①證明：函數 是奇函數；
證明：由函數，可得其定義域為 ，關于原點對稱，
又 ，
所以函數是定義在 上的奇函數.
（2）［2025·江蘇通州高級中學高一月考］已知函數 .
②用定義證明：函數在 上單調遞增；
證明：當時， ，
任取,，且 ，可得
,
因為,，且 ，所以，， ，所以，即 ，
所以函數在 上單調遞增.
（2）［2025·江蘇通州高級中學高一月考］已知函數 .
③若關于的不等式對于任意實數 恒
成立，求實數 的取值范圍.
解：因為函數是定義在 上的奇函數，且在上單調遞增，
所以函數在 上也單調遞增，
因為，所以函數在 上是增函數.
由 ，
可得 ，
因為不等式 對于任意實數 恒成立，
所以不等式 對于任意實數恒成立，
可得不等式 對于任意實數 恒成立，即不等式
對于任意實數 恒成立.
當時，不等式即為 ，顯然恒成立，符合題意；
當時，則需滿足 解得 .
綜上可得，，即實數的取值范圍 .
2.函數的奇偶性是函數對稱性的一個特殊情況，將函數的對稱性推廣
到一般情況.
解：函數的對稱中心為 .驗證如下：
設函數，易知 的定義域為
，即定義域關于原點對稱，且 ，
所以是奇函數，則函數圖象的對稱中心為 .
例2 ［2025· 江蘇無錫輔仁高中高一期中］有同學發現：函數
的圖象關于點 成中心對稱圖形的充要條件是函數
為奇函數.運用該結論解決以下問題：
（1）直接寫出函數 圖象的對稱中心；
例2 ［2025· 江蘇無錫輔仁高中高一期中］有同學發現：函數
的圖象關于點 成中心對稱圖形的充要條件是函數
為奇函數.運用該結論解決以下問題：
（2）證明：函數圖象的對稱中心為 ；
證明：設 ，
易知的定義域為 ，即定義域關于原點對稱，
又，所以 為奇函數，
所以圖象的對稱中心為 .
例2 ［2025· 江蘇無錫輔仁高中高一期中］有同學發現：函數
的圖象關于點 成中心對稱圖形的充要條件是函數
為奇函數.運用該結論解決以下問題：
（3）若函數圖象的對稱中心為 ，求實
數， 的值.
解： ，
設，
因為 是奇函數，所以 ，即
，整理得 ，
進而得 解得,或 .
練習冊
1.下列函數中既是奇函數又是增函數的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A，函數 為偶函數，故A錯誤；
對于B，函數為奇函數，在 上單調遞減，故B錯誤；
對于C，函數為偶函數，故C錯誤；
對于D，函數 的定義域為，，
所以 為奇函數，易知其為增函數，故D正確.故選D.
√
2.［2025·廣東珠海金磚四校高一期中］已知是定義在 上的奇函
數，當時，，則當時， ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為是定義在上的奇函數，所以 .
因為當時，，所以當時， ，則
，即 .故選B.
√
3.［2025·湖南邵陽二中高一期中］已知 是偶函數，且在區間
上單調遞增，則，， 的大小關系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為是偶函數，所以， ，
又因為在區間上單調遞增，所以 ，
即 .故選C.
√
4.已知函數滿足，當 時，
，則當時， ( )
A. B. C. D.
[解析] 當時， ，
，
又 ，，
.故選C.
√
5. 江蘇南通期末］設為上的奇函數，則“ 在
上單調遞增”是“當時， ”的( )
A.充要條件 B.必要且不充分條件
C.充分且不必要條件 D.既不充分又不必要條件
√
[解析] 由為上的奇函數，且在 上單調遞增，不能
得到當時，，例如 為奇函數，且
在上單調遞增，但當時， ，充分性不成立；
由為上奇函數，且當時，，不能得到 在
上單調遞增，例如在 上單調遞減，
即必要性不成立.故選D.
6.已知偶函數在區間 上單調遞減，則滿足
的實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為偶函數在區間 上單調遞減，且滿足
，所以不等式等價于 ，所以
，所以，解得，即 的取值范
圍是 .故選C.
√
7.若是偶函數，則，，
的大小關系是____________________.（用“ ”連接）
[解析] 當時，，不合題意；當 時，由題意
可知，其圖象關于軸對稱，，， 在
上單調遞增，在上單調遞減.
又 ，， .
8.[ 江蘇無錫高一期中］定義在上的偶函數在
上單調遞減，則滿足不等式的 的取值范圍是_____
______________.
[解析] 因為定義在上的偶函數在 上單調遞減，且
，所以，所以 解
得或 .
9.（13分）已知函數 是奇函數.
（1）求實數 的值；
解：設，則 ，所以
.
又為奇函數，所以 ，
于是當時，，所以 .
9.（13分）已知函數 是奇函數.
（2）若函數在區間上單調遞增，求實數 的取值范圍.
解：要使在上單調遞增，結合 的圖象（如圖所示）
知所以，故實數的取值范圍是 .
10.已知函數是定義在上的偶函數，在 上單調遞增，且
，則不等式 的解集為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因為函數是定義在上的偶函數，在 上單調遞增，
所以在上單調遞減，
又因為 ，所以，所以當或時，
,當時，.
由，得 或所以
或解得,所以不等式 的解集為
，故選A.
11.［2025·江蘇泰州中學高一期中］已知函數，是定義在
上的函數，其中是偶函數， 是奇函數，且
，若對于任意 ，都有
，則實數 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 函數，分別是 上的偶函數、奇函數，由
，得
，即
，可得 .
對于任意，，則 ，則
，而，所以 ，
因此，所以實數的取值范圍是 .故選A.
12.（多選題）［2025·江蘇如東中學高一期中］ 已知函數 的定
義域為，， ，則( )
A. B.的圖象關于點 對稱
C.的圖象關于點對稱 D.
[解析] 對于A，令，，則 ，即
，解得，故A正確；
對于B，令 ，則，
得 ， 由A可知，則，
即 ，故是奇函數，故B正確；
√
√
√
對于C，對任意的 都有，可得
，因此的圖象關于點 對稱，故C錯誤；
對于D，由且是奇函數，得 ，
即，因此 ，
，，， ，
故D正確.故選 .
13.已知函數是定義在上的奇函數，且當 時，
，若函數為上的減函數，則 的取值
范圍是_______.
[解析] 因為函數是定義在上的奇函數，所以 .
若函數為上的減函數，則滿足 的圖象的
對稱軸在軸左側，且，即得 .
14.（15分）已知為上的奇函數，當時， .
（1）求 的值；
解：因為函數為 上的奇函數，當時， ,所以
.
14.（15分）已知為上的奇函數，當時， .
（2）求 的解析式；
解：當時，，因為函數為上的奇函數，當
時， ，
所以當時， .
又因為滿足 ,
所以
14.（15分）已知為上的奇函數，當時， .
（3）寫出不等式 的解集.
解：當時，由，解得
或；
當時，由 ，解得 .
綜上所述，不等式的解集為 .
15.（多選題）［2025·重慶萬州三中高一月考］ 已知函數 是定
義在上的偶函數，若對任意,，且,
恒成立，則滿足不等式的 的值可以為
( )
A. B. C.1 D.2
√
√
[解析] 令，由題意知在 上單調遞減.因為
為上的偶函數，所以為上的奇函數.
又在 上單調遞減，，所以在上為減函數.
①當 時，，等價于
，即，所以，所以，
可得 ；
②當時， ,等價于
，所以，所以 ，
所以，可得.綜上，或.故選 .
16.（多選題）[ 江蘇蘇州期末］ 定義在上的函數 滿足
，當時，，且 ，則
下列說法正確的是( )
A.
B. 是奇函數
C.在 上單調遞減
D.不等式的解集為
√
√
√
[解析] 對于A，取，，可得 ，所以
，A錯誤；
對于B，函數的定義域為 ，定義域關于原點對稱，由
，用替換 可得，，所以
，即，所以函數 為奇函數，
B正確；
對于C，任取，，且 ，則
，又當 時，，且，所以
，即，所以函數在 上單調遞減，
C正確；
對于D，因為，所以不等式 可
化為，即 ，
又函數在上單調遞減，所以,解得 ，所以
不等式的解集為，D正確.故選 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點 1.原點 原點 奇函數 軸 軸
【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）×
課中探究 探究點一 例1 （1）C （2）,
變式 （1）A （2）
探究點二 角度1 例2 C 變式 （1）B （2）
角度2 例3 （1） （2）
變式 （1）（2）
練習冊
基礎鞏固
1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7. 8.
9.（1）（2）
綜合提升
10.A 11.A 12.ABD 13.
14.（1）（2）（3）
思維探索
15.BD 16.BCD第2課時　奇偶性的應用
【課前預習】
知識點
1.原點　原點　奇函數　y軸　y軸
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)若奇函數的定義域含有元素0,則圖象一定過原點,否則不過原點.
(2)∵y=f(x+a)是偶函數,∴y=f(x+a)的圖象關于y軸對稱,∴y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
(3)偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　[解析] 當x<0時,-x>0,所以f(-x)=-x-1,根據偶函數的性質可知f(x)=f(-x)=-x-1.故選C.
(2)解:因為f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=x2+x-2①,
得f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2,即f(x)-g(x)=x2-x-2②.由①②得f(x)=x2-2,g(x)=x.
變式　(1)A　(2)x3-x2+1　[解析] (1)∵當x∈(-∞,0)時,f(x)=-1+x2-x3,且函數f(x)為奇函數,∴當x∈(0,+∞)時,-x∈(-∞,0),f(x)=-f(-x)=-[-1+(-x)2-(-x)3]=1-x2-x3.故選A.
(2)因為f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,所以
即解得g(x)=1-x2,f(x)=x3,所以f(x)+g(x)=x3-x2+1.
探究點二
例2　C　[解析] 依題意,f(-3)=f(3),由f(x)在(0,+∞)上單調遞減,<3<,得f變式　(1)B　(2)f(-1)f(2),所以f(2)(2)∵f(x)是定義在R上的奇函數,且在區間[0,+∞)上單調遞增,∴f(x)在R上是增函數,∴f(-1)例3　解:(1)依題意可得-2m+1+m=0,解得m=1.
(2)由對任意x1,x2∈[-2,0],當x1≠x2時,>0,得當-2≤x1所以f(2x-1)≤f(4x)等價于解得-≤x≤,則原不等式的解集為.
變式　解:(1)因為當x>0時,f(x)=-3x2-2x,
所以當x<0時,-x>0,則f(-x)=-3(-x)2-2(-x)=-3x2+2x,又f(x)是定義在R上的奇函數,所以當x<0時,f(x)=-f(-x)=3x2-2x.
所以f(x)=
(2)因為當x≥0時,f(x)=-3x2-2x=-3+,所以函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,又f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(x)在R上是減函數.
所以由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,可得f(t2-2t)<-f(2t2-k),即f(t2-2t)-2t2+k,所以3t2-2t>k恒成立,
所以(3t2-2t)min>k,令y=3t2-2t,當t=時,y有最小值,最小值為-,
即k<-,所以實數k的取值范圍是.第2課時　奇偶性的應用
1.D　[解析] 對于A,函數f(x)=x2為偶函數,故A錯誤;對于B,函數f(x)=為奇函數,在(0,+∞)上單調遞減,故B錯誤;對于C,函數f(x)=|x|為偶函數,故C錯誤;對于D,函數f(x)=2x的定義域為R,f(-x)=-2x=-f(x),所以f(x)=2x為奇函數,易知其為增函數,故D正確.故選D.
2.B　[解析] 因為f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(-x)=-f(x).因為當x≥0時,f(x)=x(1+x),所以當x<0時,-x>0,則f(-x)=-x(1-x)=-f(x),即f(x)=x(1-x).故選B.
3.C　[解析] 因為f(x)是偶函數,所以f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),又因為f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,所以f(0)4.C　[解析] 當x∈(-∞,-1)時,-x∈(1,+∞),f(-x)=(-x)2-6x+8=x2-6x+8,又∵f(x)+f(-x)=0,∴-f(x)=x2-6x+8,∴f(x)=-x2+6x-8.故選C.
5.D　[解析] 由f(x)為R上的奇函數,且f(x)在(0,+∞)上單調遞增,不能得到當x>0時,f(x)>0,例如f(x)=為奇函數,且f(x)在(0,+∞)上單調遞增,但當x>0時,f(x)<0,充分性不成立;由f(x)為R上奇函數,且當x>0時,f(x)>0,不能得到f(x)在(0,+∞)上單調遞增,例如f(x)=在(0,+∞)上單調遞減,即必要性不成立.故選D.
6.C　[解析] 因為偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞減,且滿足f(2x-1)>f(1),所以不等式等價于f(|2x-1|)>f(1),所以|2x-1|<1,所以-1<2x-1<1,解得07.f(-2)8.∪　[解析] 因為定義在[-1,1]上的偶函數f(x)在[0,1]上單調遞減,且f(1+m)9.解:(1)設x<0,則-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x),
于是當x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調遞增,結合f(x)的圖象(如圖所示)知所以110.A　[解析] 因為函數f(x)是定義在R上的偶函數,在(-∞,0]上單調遞增,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減,又因為f(2)=0,所以f(-2)=f(2)=0,所以當x<-2或x>2時,f(x)<0,當-20.由(x+2)f(x)<0,得或所以
或解得x>2,所以不等式(x+2)f(x)<0的解集為(2,+∞),故選A.
11.A　[解析] 函數f(x),g(x)分別是R上的偶函數、奇函數,由f(x)+g(x)=ax2+x+2,得f(-x)+g(-x)=a(-x)2+(-x)+2,即f(x)-g(x)=ax2-x+2,可得f(x)=ax2+2.對于任意1-2,則a(x1+x2)>-2,則a>-,而212.ABD　[解析] 對于A,令x=1,y=0,則f[f(1)]=f(1)+f(0),即f(1)=f(1)+f(0),解得f(0)=0,故A正確;對于B,令y=-x,則f[f(x-x)]=f(x)+f(-x),得f[f(0)]=f(x)+f(-x),由A可知f(0)=0,則f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,故f(x)是奇函數,故B正確;對于C,對任意的x都有f[f(x+1-x)]=f(x)+f(1-x),可得1=f(x)+f(1-x),因此f(x)的圖象關于點對稱,故C錯誤;對于D,由1=f(x)+f(1-x)且f(x)是奇函數,得1=f(x)-f(x-1),即f(x)=f(x-1)+1,因此f(2)=f(1)+1=2,f(3)=f(2)+1=3,f(4)=f(3)+1=4,…,f(100)=100,故D正確.故選ABD.
13.[-1,0]　[解析] 因為函數f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(0)=0.若函數f(x)為R上的減函數,則滿足y=-x2+ax-1-a的圖象的對稱軸在y軸左側,且-1-a≤0,即得-1≤a≤0.
14.解:(1)因為函數f(x)為R上的奇函數,當x>0時,f(x)=x2-2x,所以f(-1)=-f(1)=-(1-2)=1.
(2)當x<0時,-x>0,因為函數f(x)為R上的奇函數,當x>0時,f(x)=x2-2x,
所以當x<0時,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
又因為f(0)=0滿足f(x)=x2-2x,
所以f(x)=
(3)當x≥0時,由xf(x)=x(x2-2x)=x2(x-2)≥0,解得x=0或x≥2;當x<0時,由xf(x)=x(-x2-2x)=-x2(x+2)≥0,解得x≤-2.
綜上所述,不等式xf(x)≥0的解集為(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).
15.BD　[解析] 令g(x)=xf(x),由題意知g(x)在[0,+∞)上單調遞減.因為f(x)為R上的偶函數,所以g(x)為R上的奇函數.又g(x)在[0,+∞)上單調遞減,g(0)=0,所以g(x)在R上為減函數.①當t>0時,f-(2t2-t)f(2t-1)>0,等價于f>(2t-1)f(2t-1),即g>g(2t-1),所以<2t-1,所以1<2t2-t,可得t>1;②當t<0時,f-(2t2-t)f(2t-1)>0,等價于f<(2t-1)f(2t-1),所以g2t-1,所以1<2t2-t,可得t<-.綜上,t<-或t>1.故選BD.
16.BCD　[解析] 對于A,取x=0,y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,A錯誤;對于B,函數f(x)的定義域為R,定義域關于原點對稱,由f(x+y)=f(x)+f(y),用-x替換y可得,f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以函數f(x)為奇函數,B正確;對于C,任取x1,x2∈R,且x10,且x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數f(x)在R上單調遞減,C正確;對于D,因為f(1)=-2,所以不等式f(x-1)-f(3-2x)≤-4可化為f(x-1)≤f(1)+f(1)+f(3-2x),即f(x-1)≤f(5-2x),又函數f(x)在R上單調遞減,所以x-1≥5-2x,解得x≥2,所以不等式的解集為[2,+∞),D正確.故選BCD.第2課時　奇偶性的應用
【學習目標】
　　1.能夠根據函數的奇偶性和單調性解決相關問題.
　　2.能夠通過具體的函數圖象,用歸納的方式,抽象概括出奇函數和偶函數的圖象特征,體會數形結合思想.
◆ 知識點　奇、偶函數的圖象與性質
1.奇函數的圖象關于　　　　對稱.反過來,如果一個函數的圖象關于　　　　對稱,那么這個函數是　　　　　.
偶函數的圖象關于　　　　對稱.反過來,如果一個函數的圖象關于　　　　對稱,那么這個函數是偶函數.
2.重要性質
(1)奇函數在區間[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的單調性.
(2)偶函數在區間[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的單調性.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)偶函數的圖象不一定過原點,奇函數的圖象一定過原點. (　 )
(2)若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱. (　 )
(3)若偶函數f(x)在區間[-3,-1]上單調遞增,則f(x)在區間[1,3]上也單調遞增. (　 )
◆ 探究點一　利用函數奇偶性求解析式
例1 (1)已知函數f(x)為偶函數,當x>0時,f(x)=x-1,則當x<0時,f(x)= (　 )
A.x-1 B.-x+1
C.-x-1 D.x+1
(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數,g(x)是定義在R上的奇函數,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.
變式 (1)[2025·江蘇無錫天一中學高一期中] 函數f(x)為奇函數,且當x∈(-∞,0)時,f(x)=-1+x2-x3,則當x∈(0,+∞)時,f(x)= (　 )
A.1-x2-x3 B.1-x2+x3
C.-1-x2-x3 D.-1-x2+x3
(2)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,且f(x)-g(x)=x3+x2-1,則f(x)+g(x)=　　　　.
[素養小結]
利用函數奇偶性求函數解析式的方法:
首先設出所求區間上的自變量,利用奇、偶函數的定義域關于原點對稱的特點,把它轉化到已知的區間上,代入已知的解析式,然后利用函數的奇偶性求解即可.
◆ 探究點二　利用函數單調性與奇偶性解不等式
角度1　比較大小問題
例2 [2025·江蘇宿遷高一期中] 已知定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)=f(x),且f(x)在(0,+∞)上單調遞減,則f(-3),f,f的大小順序是 (　 )
A.fB.f(-3)C.fD.f變式 (1)[2025·江蘇鹽城五校聯盟高一期中] 若f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,且f(5)>f(2),則下列各式中一定成立的是 (　 )
A.f(0)B.f(2)C.f(4)D.f(1)(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數,且在區間[0,+∞)上單調遞增,則f(-0.5),f(-1),f(0)的大小關系是　　　　　　　　　.
角度2　不等式問題
例3 已知函數f(x)是定義在[-2m,1+m]上的偶函數,且對任意x1,x2∈[-2m,0],當x1≠x2時,>0.
(1)求m的值;
(2)求不等式f(2x-1)≤f(4x)的解集.
變式 [2025·北京第一七一中學高一月考] 已知定義域為R的函數f(x)是奇函數,當x≥0時,f(x)=-3x2-2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍.
[素養小結]
利用函數的奇偶性和單調性解不等式要注意兩點:
(1)奇函數在定義域內的關于原點對稱的兩個區間上單調性相同,偶函數在定義域內的關于原點對稱的兩個區間上單調性相反;
(2)確定單調區間,依據題設條件將不等式轉化為具體不等式,在這個區間上解不等式.第2課時　奇偶性的應用
1.下列函數中既是奇函數又是增函數的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.f(x)=x2
B.f(x)=
C.f(x)=|x|
D.f(x)=2x
2.[2025·廣東珠海金磚四校高一期中] 已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x(1+x),則當x<0時,f(x)= (　 )
A.x(3+x) B.x(1-x)
C.x(x-1) D.-x(1+x)
3.[2025·湖南邵陽二中高一期中] 已知f(x)是偶函數,且在區間[0,+∞)上單調遞增,則f(-0.5),f(-1),f(0)的大小關系是 (　 )
A.f(-0.5)B.f(-1)C.f(0)D.f(-1)4.已知函數f(x)滿足f(x)+f(-x)=0,當x∈(1,+∞)時,f(x)=x2+6x+8,則當x∈(-∞,-1)時,f(x)= (　 )
A.-x2+6x+8
B.x2+6x+8
C.-x2+6x-8
D.x2-6x+8
5.[2025·江蘇南通期末] 設f(x)為R上的奇函數,則“f(x)在(0,+∞)上單調遞增”是“當x>0時,f(x)>0”的 (　 )
A.充要條件
B.必要且不充分條件
C.充分且不必要條件
D.既不充分又不必要條件
6.已知偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞減,則滿足f(2x-1)>f(1)的實數x的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(0,1) D.
7.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函數,則f(0),f(1),f(-2)的大小關系是　　　　　　　　.(用“<”連接)
8.[2025·江蘇無錫高一期中] 定義在[-1,1]上的偶函數f(x)在[0,1]上單調遞減,則滿足不等式f(1+m)9.(13分)已知函數f(x)=是奇函數.
(1)求實數m的值;
(2)若函數f(x)在區間[-1,a-2]上單調遞增,求實數a的取值范圍.
10.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,在(-∞,0]上單調遞增,且f(2)=0,則不等式(x+2)f(x)<0的解集為 (　 )
A.(2,+∞)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-2,0)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
11.[2025·江蘇泰州中學高一期中] 已知函數f(x),g(x)是定義在R上的函數,其中f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,且f(x)+g(x)=ax2+x+2,若對于任意1-2,則實數a的取值范圍是(　 )
A.
B.(0,+∞)
C.∪(0,+∞)
D.
12.(多選題)[2025·江蘇如東中學高一期中] 已知函數f(x)的定義域為R,f[f(x+y)]=f(x)+f(y),f(1)=1,則 (　 )
A.f(0)=0
B.f(x)的圖象關于點(0,0)對稱
C.f(x)的圖象關于點對稱
D.f(100)=100
13.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=-x2+ax-1-a,若函數f(x)為R上的減函數,則a的取值范圍是　　　　.
14.(15分)已知f(x)為R上的奇函數,當x>0時,f(x)=x2-2x.
(1)求f(-1)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)寫出不等式xf(x)≥0的解集.
15.(多選題)[2025·重慶萬州三中高一月考] 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,若對任意a,b∈[0,+∞),且a≠b,<0恒成立,則滿足不等式f-(2t2-t)f(2t-1)>0的t的值可以為 (　 )
A.- B.-1
C.1 D.2
16.(多選題)[2025·江蘇蘇州期末] 定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),當x<0時,f(x)>0,且f(1)=-2,則下列說法正確的是 (　 )
A.f(0)=1
B.f(x)是奇函數
C.f(x)在R上單調遞減
D.不等式f(x-1)-f(3-2x)≤-4的解集為[2,+∞)

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