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5.4 函數(shù)的奇偶性
第3課時(shí) 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
探究點(diǎn)一 函數(shù)的對(duì)稱性
探究點(diǎn)二 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
◆
◆
課中探究
練習(xí)冊(cè)
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解并掌握函數(shù)的對(duì)稱性，會(huì)利用奇偶性與對(duì)稱性求值.
2.能利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等解決簡(jiǎn)單的函數(shù)問題.
探究點(diǎn)一 函數(shù)的對(duì)稱性
例1 已知函數(shù)，求證：函數(shù) 的圖象是中心對(duì)稱圖形.
證明：要使函數(shù)有意義，必有，解得 ，則函數(shù)
的定義域?yàn)?br/>，
則 ，即對(duì)任意
，都有 成立，故函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù) 的圖象是中心對(duì)稱圖形.
變式 （多選題）下列說法正確的是( )
A.的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
B.若，則的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱的充要條件是
為偶函數(shù)
D.若，則 為偶函數(shù)
√
√
[解析] 對(duì)于A，，則 ，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，由 ，得
，設(shè) ，則
，所以是奇函數(shù)， 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確.
對(duì)于C，若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則
，令 ，則，用替換，則
，故是偶函數(shù)，充分性成立;
若 是偶函數(shù)，則 ，令，
則 ，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
用替換，則函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，必要性成立，
故C正確.
對(duì)于D，因?yàn)椋?，
所以，所以 不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選 ．
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）要證明函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，只需證明對(duì)定義
域內(nèi)的任意，都有
（2）要證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，只需證明對(duì)定義域
內(nèi)的任意，都有.
拓展 若定義在上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，且當(dāng)
時(shí)，，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 是偶函數(shù)，， 的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，，，
用 替換，則，用替換 ，則
.
又當(dāng)時(shí)， ，
.故選D．
探究點(diǎn)二 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
例2（1）［2025·江蘇無錫湖濱中學(xué)高一月考］已知定義在 上的函
數(shù)滿足：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱， 是偶函數(shù)，
且在 上單調(diào)遞增，則( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以 的圖象的對(duì)
稱中心是點(diǎn)，故，
因?yàn)?是偶函數(shù)，所以圖象的對(duì)稱軸是直線，
即 ，
在中，將替換為，得到 ，
故，
將替換為，得到 ，所以，
所以 ，，
所以 ，，.
因?yàn)樵?上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)，所以在 上單調(diào)
遞增，所以，所以 .
故選D.
（2）已知是定義在上的函數(shù)，且 的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，對(duì)任意，，都有 .若
，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A.或 B.或
C.或 D.或
√
[解析] 因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以 的圖象關(guān)于
點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù).
因?yàn)閷?duì)任意， ，都有，所以設(shè)
，則 ，即，
設(shè),則 ，即在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?為奇函數(shù)，所以也是奇函數(shù)，所以在
上單調(diào)遞增.
若 ，則
,即 ，所
以,即，解得或 .故選D.
變式（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱.當(dāng)時(shí)， ，則滿足
的 的取值范圍是______.
[解析] 因?yàn)榕c在上均單調(diào)遞增，所以當(dāng) 時(shí)，
函數(shù)單調(diào)遞增，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，所以，所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增且，即 ，
因?yàn)椋?，所以
，所以，解得 .
故的取值范圍為 .
（2）已知函數(shù)的定義域是 ，對(duì)任意的
，，，都有 ，若函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且 ，則不等式
的解集為________________.
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以 的
圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù).
設(shè) ，由題意可得，對(duì)于任意的,，都有
，所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)楹瘮?shù) 為定義在 上的奇函數(shù)，
所以 ，所以，所以
是定義在上的偶函數(shù)，所以在 上單
調(diào)遞減.
因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，化為
，即，所以；
當(dāng)時(shí)，化為 ，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，
所以 ，所以，所以
化為 ，所以.
綜上所述，的解集為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用
利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性解決常見不
等式問題，在綜合性題目中，要熟練掌握奇偶性、單調(diào)性的定義及
變形，適當(dāng)應(yīng)用解題技巧，化簡(jiǎn)求值，解題時(shí)，一定要特別注意函
數(shù)的定義域.
拓展 ［2025·江蘇南通海門中學(xué)高一期中］ 已知函數(shù) .
（1）判斷函數(shù) 的奇偶性，并證明;
解：函數(shù) 是奇函數(shù)，證明如下：
函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，所以 是奇函數(shù).
拓展 ［2025·江蘇南通海門中學(xué)高一期中］ 已知函數(shù) .
（2）證明：在區(qū)間 上單調(diào)遞增；
證明：任取，， ，
則 .
由，得, ，
則，即 ，
所以在區(qū)間 上單調(diào)遞增.
拓展 ［2025·江蘇南通海門中學(xué)高一期中］ 已知函數(shù) .
（3）若對(duì)任意的，都有 ，
求 的最小值.
解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng) ，即
時(shí)取等號(hào)，因此.
當(dāng)時(shí)，，又 ，且由（1）知是奇函數(shù)，
所以 也是奇函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，
即， .
由對(duì)任意的，都有 ,得
，所以的最小值是 .
練習(xí)冊(cè)
1.函數(shù) 的圖象( )
A.關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都不對(duì)稱 B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C.關(guān)于軸對(duì)稱 D.關(guān)于 軸對(duì)稱
√
[解析] 作出函數(shù) 的圖象如圖所示，由圖可知該函數(shù)的圖象關(guān)
于 軸對(duì)稱，故選D.
2.函數(shù) 的圖象的對(duì)稱中心為( )
A. B. C. D.
[解析] 函數(shù) ，則
，可得 的圖象關(guān)于
點(diǎn) 對(duì)稱，故選A.
√
3.已知函數(shù)滿足，并且當(dāng) 時(shí)，
，則 ( )
A.39 B.0 C.7 D.
[解析] 由題意，得 .故選C.
√
4.［2025·北京五十五中高一期中］如果偶函數(shù)在 上單調(diào)遞
減且最小值是4，那么在 上( )
A.單調(diào)遞減且最小值是4 B.單調(diào)遞減且最大值是4
C.單調(diào)遞增且最小值是4 D.單調(diào)遞增且最大值是4
[解析] 偶函數(shù)在上單調(diào)遞減且最小值是4，所以 ，
則在上單調(diào)遞增且最小值為 ，故選C.
√
5.［2025·河南開封高一期末］已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心
對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)， ( )
A. B.
C. D.
[解析] 當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)， ，故
，
又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱，所以
.
故當(dāng) 時(shí)， .故選A.
√
6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，則下列函數(shù)是
奇函數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，所以將函
數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函
數(shù) 的圖象，
該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以函數(shù) 為奇函數(shù).故選B.
√
7.設(shè)，已知奇函數(shù)的定義域是在 上單調(diào)遞
減，且，則 的取值范圍是______.
[解析] 奇函數(shù)的定義域是，且在 上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上單調(diào)遞減， 函數(shù)在 上是減函數(shù).
又，解得.故 的取
值范圍為 .
8.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
則 ____.
23
[解析] 函數(shù)的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，，且 ，即
，且
，解得， ，則
.
9.（13分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且 .
（1）確定函數(shù) 的解析式；
解：因?yàn)楹瘮?shù) 是奇函數(shù)，
所以，即 ，
整理得，即，所以 .
又因?yàn)椋獾茫?.
9.（13分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且 .
（2）用定義證明在 上單調(diào)遞減;
證明：任取,，且 ，
則 ，
因?yàn)椋?, ,
，所以，即 ，
故在 上單調(diào)遞減.
9.（13分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且 .
（3）求函數(shù)在 上的取值范圍.
解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)
在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在 上單調(diào)遞減，
又， ，
故函數(shù)在上的取值范圍為 .
10.［2025·江蘇常熟高一期中］通過研究發(fā)現(xiàn)：函數(shù) 的圖象
關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是函數(shù) 為奇函數(shù).則函
數(shù) 圖象的對(duì)稱中心為(參考公式：
)( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn) ，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱的充要條件是函數(shù)
為奇函數(shù)，所以
是奇函數(shù)，則
，代入整理得
，
比較系數(shù)可得 解得所以圖象的對(duì)稱
中心為 .故選C.
11.［2025·江蘇南京高一期中］已知函數(shù)是定義域?yàn)?的偶
函數(shù)，且對(duì)任意， 恒成立,若
，則 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以 的圖象關(guān)
于直線對(duì)稱.
因?yàn)閷?duì)任意， 恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，根據(jù)對(duì)稱性可知， 在
上單調(diào)遞減.
若，則 ，
所以，解得 .故選A.
12.（多選題）［2025·遼寧遼陽高一期中］ 已知函數(shù) 為定義在
上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，
則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C.在上單調(diào)遞減 D.的值域?yàn)?br/>[解析] 對(duì)于A，因?yàn)槭嵌x在 上的偶函數(shù)，所以
，解得，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng) 時(shí)，，又 是偶函數(shù)，
√
√
√
所以 ，故B正確；
對(duì)于C，，，則 ，所以
函數(shù)在上不滿足單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng) 時(shí)，，令，則
，且 ，所以，
，所以，即，
由偶函數(shù)對(duì)稱性可知， 的值域?yàn)椋蔇正確.故選 .
13.［2025·江蘇常州高中高一期末］已知是定義在 上的奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意 ，
恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為______.
[解析] 因?yàn)槭嵌x在 上的奇函數(shù)，當(dāng)
時(shí)， ，所以
，即,必有 .
當(dāng)時(shí)，，則有,而 為奇函數(shù)，則
,
故 的圖象如圖所示：
因?yàn)閷?duì)任意， 恒成立，所以，
所以，又，所以的取值范圍為 .
14.（15分）［2025·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高一期中］ 已知函數(shù)
是定義在上的奇函數(shù)，且 .
（1）求, 的值；
解：由題意可知即解得 ，經(jīng)檢
驗(yàn)符合題意.
14.（15分）［2025·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高一期中］ 已知函數(shù)
是定義在上的奇函數(shù)，且 .
（2）判斷函數(shù)在 上的單調(diào)性并加以證明；
解：函數(shù)在 上單調(diào)遞減.證明如下：
由（1）可知，設(shè) ，
則
，
,,, ,
，，即 ，
在 上單調(diào)遞減.
14.（15分）［2025·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高一期中］ 已知函數(shù)
是定義在上的奇函數(shù)，且 .
（3）解不等式 .
解：為奇函數(shù)，且， .
，, .
由（2）可知在 上單調(diào)遞減，
解得 ，
不等式的解集為 .
15.［2025·上海外國(guó)語大學(xué)附屬大境中學(xué)高一月考］對(duì)于函數(shù)
，若存在使，則稱點(diǎn) 與點(diǎn)
是函數(shù) 的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”.若函數(shù)
的圖象存在“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù) 的取值范
圍是__________.
[解析] 由“隱對(duì)稱點(diǎn)”的定義可知，函數(shù) 的圖
象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，
設(shè)的圖象與， 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)，則 ， ，所以
，，故的圖象與 ，
的圖象有交點(diǎn)，
等價(jià)于方程 有實(shí)根，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，故實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
16.（15分）已知是定義在上的奇函數(shù),滿足 ,且當(dāng)
,,時(shí),有 .
（1）判斷函數(shù) 的單調(diào)性;
解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以,所以 ,則
,
當(dāng)，時(shí), ,由，得，
所以由可得函數(shù) 在 上單調(diào)遞增.
16.（15分）已知是定義在上的奇函數(shù),滿足 ,且當(dāng)
,,時(shí),有 .
（2）解不等式 ；
解：因?yàn)?,
由（1）知函數(shù)為 上的增函數(shù),
所以解得即 ,所以不等式
的解集為 .
16.（15分）已知是定義在上的奇函數(shù),滿足 ,且當(dāng)
,,時(shí),有 .
（3）若對(duì)所有, 恒成立,求實(shí)
數(shù) 的取值范圍.
解：因?yàn)閷?duì)所有 恒成立,所以
成立,且 ,所以
對(duì)任意 恒成立.
令 ,
則即解得或或,故實(shí)數(shù) 的
取值范圍是 .
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課中探究 探究點(diǎn)一 例1 證明略 變式 BC 拓展 D
探究點(diǎn)二 例2 （1）D （2）D 變式 （1） （2）
拓展 （1）函數(shù)是奇函數(shù)，證明略（2）證明略（3）的最小值是
練習(xí)冊(cè)
基礎(chǔ)鞏固 1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7. 8.23
9.（1）（2）證明略（3）
綜合提升 10.C 11.A 12.ABD 13.
14.（1）（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明略
（3）< 不等式的解集為
思維探索 15.
16.（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增 （2）不等式m>的解集為
（3）第3課時(shí)　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　證明:要使函數(shù)f(x)有意義,必有x+2≠0,解得x≠-2,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(-2,+∞).f(-4-x)==,則f(x)+f(-4-x)=+==6,即對(duì)任意x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞),都有f(x)+f(-4-x)=6成立,故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對(duì)稱,即函數(shù)f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形.
變式　BC　[解析] 對(duì)于A,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),則f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x+1-3)+(-x+1)2(-x+1-3)=-4,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,由f(x+1)+f(1-x)=2,得f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,設(shè)F(x)=f(x+1)-1,則F(x)+F(-x)=0,所以F(x)是奇函數(shù),F(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,故B正確.對(duì)于C,若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則f(x)=f(2a-x),令x=t+a,則f(t+a)=f(a-t),用x替換t,則f(x+a)=f(a-x),故y=f(x+a)是偶函數(shù),充分性成立;若y=f(x+a)是偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a),令h=x+a,則f(h)=f(2a-h),故函數(shù)y=f(h)的圖象關(guān)于直線h=a對(duì)稱,用x替換h,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,必要性成立,故C正確.對(duì)于D,因?yàn)閒(x-1)=x2-4x+8,f(-x-1)=x2+4x+8,所以f(x-1)≠f(-x-1),所以y=f(x-1)不是偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選BC.
拓展　D　[解析] ∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),∵f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,∴f(1+x)=-f(-x),∴f(x+1)=-f(x),用x+1替換x,則f(x+2)=-f(x+1)=f(x),用x-2替換x,則f(x)=f(x-2).又當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=-x+,∴f(π)=f(π-2)=f(π-4)=f(4-π)=-(4-π)+=π-.故選D.
探究點(diǎn)二
例2　(1)D　(2)D　[解析] (1)因?yàn)閒(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以f(x)的圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn)(0,0),故f(-x)=-f(x),因?yàn)閒(x+2)是偶函數(shù),所以f(x)圖象的對(duì)稱軸是直線x=2,即f(2+x)=f(2-x),在f(2+x)=f(2-x)中,將x替換為x-2,得到f(x)=f(4-x),故f(-x)=-f(4-x),將x替換為x-4,得到f(4-x)=-f(8-x),所以f(-x)=f(8-x),所以f(x+8)=f(x),f(x+16)=f(x+8)=f(x),所以f(10)=f(2),f(19)=f(3)=f(1),f(13)=f(5)=f(-1).因?yàn)閒(x)在[0,2]上單調(diào)遞增且f(x)是奇函數(shù),所以f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞增,所以f(-1)(2)因?yàn)閒(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,即f(x)為奇函數(shù).因?yàn)閷?duì)任意x1,x2∈[0,+∞),都有>-1,所以設(shè)x1>x2≥0,則f(x1)-f(x2)>x2-x1,即f(x1)+x1>f(x2)+x2,設(shè)g(x)=f(x)+x,則g(x1)>g(x2),即g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以g(x)=f(x)+x也是奇函數(shù),所以g(x)在R上單調(diào)遞增.若f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2,則f(a2-1)+a2-1>f(1-a)+1-a,即g(a2-1)>g(1-a),所以a2-1>1-a,即a2+a-2>0,解得a>1或a<-2.故選D.
變式　(1)　(2)(-1,0)∪(1,+∞)　[解析] (1)因?yàn)閥=x與y=-在(1,3]上均單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(1,3]時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱,所以f(1)=2,所以函數(shù)f(x)在[-1,3]上單調(diào)遞增且f(2-x)+f(x)=4,即4-f(x)=f(2-x),因?yàn)閒(x-1)+f(x)≥4,所以f(x-1)≥4-f(x),所以f(x-1)≥f(2-x),所以3≥x-1≥2-x≥-1,解得≤x≤3.故x的取值范圍為.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,即f(x)為奇函數(shù).設(shè)g(x)=xf(x),由題意可得,對(duì)于任意的x1,x2∈(0,+∞),都有>0(x1≠x2),所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(1)=4,所以g(1)=4,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>化為xf(x)>4,即g(x)>g(1),所以x>1;當(dāng)x<0時(shí),f(x)>化為xf(x)<4,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),且f(1)=4,所以f(-1)=-f(1)=-4,所以g(-1)=-f(-1)=4,所以xf(x)<4化為g(x)的解集為(-1,0)∪(1,+∞).
拓展　解:(1)函數(shù)f(x)=4x+是奇函數(shù),證明如下:
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
又f (-x)=-4x-=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).
(2)證明:任取x1,x2∈,x1則f(x1)-f(x2)=4x1+-=4(x1-x2)+=.
由,
則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)=4x+在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(3)當(dāng)x>0時(shí),g(x)=≤=,當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即x=時(shí)取等號(hào),
因此0所以當(dāng)x<0時(shí),-≤g(x)<0,所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)?即g(x)min=-,g(x)max=.
由g(x)對(duì)任意的x1,x2∈R都有|g(x1)-g(x2)|≤a,得a≥g(x)max-g(x)min=,所以a的最小值是.第3課時(shí)　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
1.D　[解析] 作出函數(shù)y=|x|的圖象如圖所示,由圖可知該函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故選D.
2.A　[解析] 函數(shù)f(x)==-1+,則f(1+x)+f(1-x)=-1+-1+=-2,可得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱,故選A.
3.C　[解析] 由題意,得f(3)=f(4-3)=f(1)=3×12+4×1=7.故選C.
4.C　[解析] 偶函數(shù)f(x)在[2,5]上單調(diào)遞減且最小值是4,所以f(5)=4,則f(x)在[-5,-2]上單調(diào)遞增且最小值為f(-5)=f(5)=4,故選C.
5.A　[解析] 當(dāng)x<1時(shí),f(x)=x(x+1),則當(dāng)x>1時(shí),2-x<1,故f(2-x)=(2-x)(3-x),又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱,所以f(x)=-f(2-x)=-(x-2)(x-3).故當(dāng)x>1時(shí),f(x)=-(x-2)(x-3).故選A.
6.B　[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)y=f(2x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱,所以將函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到函數(shù)y=f[2(x+1)-1]+1的圖象,該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即y=f(2x+1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)y=f(2x+1)+1為奇函數(shù).故選B.
7.(1,2]　[解析] ∵奇函數(shù)f(x)的定義域是[-4,4],且f(x)在[0,4]上單調(diào)遞減,∴函數(shù)f(x)在[-4,0]上單調(diào)遞減,∴函數(shù)f(x)在[-4,4]上是減函數(shù).又f(a+1)>f(2a),∴解得18.23　[解析] ∵函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,∴f(-1)=f(-3)=0,且f(1)=f(-5)=0,即[1-(-3)2][(-3)2+a·(-3)+b]=0,且[1-(-5)2][(-5)2+a·(-5)+b]=0,解得a=8,b=15,則a+b=23.
9.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=是奇函數(shù),
所以f(-x)=-f(x),即=-,
整理得2b=0,即b=0,所以f(x)=.
又因?yàn)閒(1)==,解得a=1,所以f(x)=.
(2)證明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=-=,
因?yàn)?0,1+>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)且在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在[-5,-2]上單調(diào)遞減,
又f(-5)=-,f(-2)=-,
故函數(shù)f(x)在[-5,-2]上的取值范圍為.
10.C　[解析] 設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)P(a,b),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù),所以y=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b是奇函數(shù),則f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b],代入整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0,比較系數(shù)可得解得所以f(x)圖象的對(duì)稱中心為(1,-2).故選C.
11.A　[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)f(x-2)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱.因?yàn)閷?duì)任意x10恒成立,所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,根據(jù)對(duì)稱性可知,f(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞減.若f(-2x)-f>0,則f(-2x)>f,所以|-2x+2|<=,解得12.ABD　[解析] 對(duì)于A,因?yàn)閒(x)是定義在[a-6,a+2]上的偶函數(shù),所以a-6+a+2=0,解得a=2,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)x∈[-4,0]時(shí),f(x)=x+2,又f(x)是偶函數(shù),所以f=f=-+2=,故B正確;對(duì)于C,f(0)=2,f(1)=f(-1)=2-1,則f(0)13.　[解析] 因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=|x-a|-a(a∈R),所以f(0)=|-a|-a=0,即|a|=a,必有a≥0.當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則有f(-x)=|x+a|-a,而f(x)為奇函數(shù),則f(x)=-f(-x)=-|x+a|+a,故f(x)=f(x)的圖象如圖所示:因?yàn)閷?duì)任意x∈R,f(x+6)>f(x)恒成立,所以2a-(-2a)<6,所以a<,又a≥0,所以a的取值范圍為.
14.解:(1)由題意可知即解得a=b=1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
(2)函數(shù)f(x)在(-3,3)上單調(diào)遞減.證明如下:
由(1)可知f(x)=-,設(shè)-3則f(x1)-f(x2)=-+=
=,
∵-30,x1x2-9<0,+9>0,+9>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-3,3)上單調(diào)遞減.
(3)∵f(x)為奇函數(shù),且f(1)=-,∴f(-1)=.
∵f(x+1)-≥0,∴f(x+1)≥,∴f(x+1)≥f(-1).由(2)可知f(x)在(-3,3)上單調(diào)遞減,
∴解得-4∴不等式f(x+1)-≥0的解集為{x|-415.(-∞,-2]　[解析] 由“隱對(duì)稱點(diǎn)”的定義可知,函數(shù)f(x)=的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn),設(shè)h(x)的圖象與y=x2+2x,x<0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,設(shè)x>0,則-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,所以h(x)=-f(-x)=-x2+2x,x>0,故h(x)的圖象與y=mx+4,x>0的圖象有交點(diǎn),等價(jià)于方程-x2+2x=mx+4(x>0)有實(shí)根,所以m=-x-+2=-+2≤-2+2=-4+2=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),所以m≤-2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-2].
16.解:(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(n)=-f(-n),則=>0,當(dāng)m,n∈[-1,1]時(shí),-n∈[-1,1],由m+n≠0,得m≠-n,所以由>0可得函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.
(2)因?yàn)閒由(1)知函數(shù)f(x)為[-1,1]上的增函數(shù),
所以解得即-(3)因?yàn)閒(x)≤t2-2at+1對(duì)所有x∈[-1,1]恒成立,所以f(x)max≤t2-2at+1成立,且f(x)max=f(1)=1,所以t2-2at≥0對(duì)任意a∈[-1,1]恒成立.
令g(a)=t2-2at=-2ta+t2,
則即解得t≤-2或t≥2或t=0,故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,-2]∪[2,+∞)∪{0}.第3課時(shí)　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.理解并掌握函數(shù)的對(duì)稱性,會(huì)利用奇偶性與對(duì)稱性求值.
　　2.能利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等解決簡(jiǎn)單的函數(shù)問題.
◆ 探究點(diǎn)一　函數(shù)的對(duì)稱性
例1 已知函數(shù)f(x)=,求證:函數(shù)f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形.
變式 (多選題)下列說法正確的是 (　 )
A.f(x)=x3-3x2的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱
B.若f(x+1)+f(1-x)=2,則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱
C.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是y=f(x+a)為偶函數(shù)
D.若f(x)=x2-2x+5,則y=f(x-1)為偶函數(shù)
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)要證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=h對(duì)稱,只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(h-x)=f(h+x).
(2)要證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱,只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(a+x)+f(a-x)=2b.
拓展 若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=-x+,則f(π)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-π B.-π
C.π- D.π-
◆ 探究點(diǎn)二　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
例2 (1)[2025·江蘇無錫湖濱中學(xué)高一月考] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,f(x+2)是偶函數(shù),且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,則 (　 )
A.f(10)B.f(10)C.f(13)D.f(13)(2)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱,對(duì)任意x1,x2∈[0,+∞),都有>-1.若f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A.a<-2或a>-1
B.a<1或a>2
C.a<-1或a>2
D.a<-2或a>1
變式 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,3],且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱.當(dāng)1(2)已知函數(shù)y=f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱,且f(1)=4,則不等式f(x)>的解集為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用
利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用單調(diào)性解決常見不等式問題,在綜合性題目中,要熟練掌握奇偶性、單調(diào)性的定義及變形,適當(dāng)應(yīng)用解題技巧,化簡(jiǎn)求值,解題時(shí),一定要特別注意函數(shù)的定義域.
拓展 [2025·江蘇南通海門中學(xué)高一期中] 已知函數(shù)f(x)=4x+.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明;
(2)證明:f(x)=4x+在區(qū)間上單調(diào)遞增;
(3)若g(x)=對(duì)任意的x1,x2∈R都有|g(x1)-g(x2)|≤a,求a的最小值.第3課時(shí)　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
1.函數(shù)y=|x|的圖象 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都不對(duì)稱
B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C.關(guān)于x軸對(duì)稱
D.關(guān)于y軸對(duì)稱
2.函數(shù)f(x)=的圖象的對(duì)稱中心為 (　 )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(1,0) D.(1,-2)
3.已知函數(shù)f(x)滿足f(4-x)=f(x),并且當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),f(x)=3x2+4x,則f(3)= (　 )
A.39 B.0
C.7 D.-1
4.[2025·北京五十五中高一期中] 如果偶函數(shù)f(x)在[2,5]上單調(diào)遞減且最小值是4,那么f(x)在[-5,-2]上 (　 )
A.單調(diào)遞減且最小值是4
B.單調(diào)遞減且最大值是4
C.單調(diào)遞增且最小值是4
D.單調(diào)遞增且最大值是4
5.[2025·河南開封高一期末] 已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱,當(dāng)x<1時(shí),f(x)=x(x+1),則當(dāng)x>1時(shí),f(x)= (　 )
A.-(x-2)(x-3) B.(x-2)(x-3)
C.-x(x-1) D.x(x-1)
6.已知函數(shù)y=f(2x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱,則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是 (　 )
A.y=f(2x)+1
B.y=f(2x+1)+1
C.y=f(2x)-1
D.y=f(2x+1)-1
7.設(shè)a∈R,已知奇函數(shù)f(x)的定義域是[-4,4],f(x)在[0,4]上單調(diào)遞減,且f(a+1)>f(2a),則a的取值范圍是　　　　.
8.若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,則a+b= 　　　　.
9.(13分)已知函數(shù)f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),且f(1)=.
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義證明f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
(3)求函數(shù)f(x)在[-5,-2]上的取值范圍.
10.[2025·江蘇常熟高一期中] 通過研究發(fā)現(xiàn):函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).則函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心為(參考公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3) (　 )
A.(0,0) B.(1,2)
C.(1,-2) D.(2,-4)
11.[2025·江蘇南京高一期中] 已知函數(shù)f(x-2)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且對(duì)任意x10恒成立,若f(-2x)-f>0,則x的取值范圍是 (　 )
A.
B.∪
C.
D.∪
12.(多選題)[2025·遼寧遼陽高一期中] 已知函數(shù)f(x)為定義在[a-6,a+2]上的偶函數(shù),當(dāng)x∈[a-6,0]時(shí),f(x)=x+2,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.a=2
B.f=
C.f(x)在[0,a+2]上單調(diào)遞減
D.f(x)的值域?yàn)?br/>13.[2025·江蘇常州高中高一期末] 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=|x-a|-a(a∈R),且對(duì)任意x∈R,f(x+6)>f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.
14.(15分)[2025·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高一期中] 已知函數(shù)f(x)=是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),且f(1)=-.
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(-3,3)上的單調(diào)性并加以證明;
(3)解不等式f(x+1)-≥0.
15.[2025·上海外國(guó)語大學(xué)附屬大境中學(xué)高一月考] 對(duì)于函數(shù)y=f(x),若存在x0使f(x0)=-f(-x0),則稱點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)(-x0,f(-x0))是函數(shù)f(x)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”.若函數(shù)f(x)=的圖象存在“隱對(duì)稱點(diǎn)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　.
16.(15分)已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),滿足f(1)=1,且當(dāng)m,n∈[-1,1],m+n≠0時(shí),有>0.
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)解不等式f(3)若f(x)≤t2-2at+1對(duì)所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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