資源簡介

(共83張PPT)
6.2 指數函數
第2課時 指數函數圖象與性質的綜
合應用
探究點一 與指數函數有關的圖象變換
探究點二 與指數函數有關的函數的定義域和值域
探究點三 與指數函數有關的復合函數的單調性與最值
探究點四 指數函數的實際應用
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.了解指數型函數的概念.
2.利用復合函數的性質研究指數型函數的性質，并利用指數型函
數的性質解決問題.
知識點一 指數型函數
形如_________ 的函數稱為指數型函數，
這是非常有用的函數模型．
知識點二 與指數函數有關的復合函數
函數且的定義域、值域可轉化為函數 進
行研究,其中______.若的定義域為,則 的定義域為
___.函數的值域要根據的值域及函數 的單調性研究.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數且的定義域是,值域是 .
( )
√
（2）函數的定義域是,值域是 .( )
×
（3）函數 是減函數.( )
√
[解析] 因為是增函數，所以 是減函數.
探究點一 與指數函數有關的圖象變換
例1 利用指數函數 的圖象，作出下列各函數的圖象：
（1） ；
解：把 的圖象向右平移一個單位長度得
到 的圖象，如圖中實線所示.
例1 利用指數函數 的圖象，作出下列各函數的圖象：
（2） ；
解：把的圖象在 軸及其右側部分不動，
在軸左側的部分去掉，在軸右側部分沿 軸對稱過
去，即可得到 的圖象，如圖中實線所示.
例1 利用指數函數 的圖象，作出下列各函數的圖象：
（3） ；
解：把的圖象向下平移一個單位長度得到 的
圖象，如圖中實線所示.
例1 利用指數函數 的圖象，作出下列各函數的圖象：
（4） ；
解：把的圖象沿軸翻折得到 的圖象，如圖中實
線所示.
例1 利用指數函數 的圖象，作出下列各函數的圖象：
（5） ；
解：把 的圖象向下平移一個單位長度得到
的圖象，該圖象在 軸及其右側部分不
動，在軸左側的部分沿 軸翻折即可得到
的圖象，如圖中實線所示.
例1 利用指數函數 的圖象，作出下列各函數的圖象：
（6） .
解：把的圖象繞著原點旋轉 ，即可得到
的圖象，如圖中實線所示.
變式 已知函數 ，畫出下列函數圖象，并寫出各自值域.
（1） ；
解：將 的圖象向下平移1個單位長度后
得到的圖象，再將該圖象在
軸及其上方部分不變，在軸下方部分沿
軸翻折上去，即可得 的圖
象，如圖所示.
由圖知， 的值域是 .
變式 已知函數 ，畫出下列函數圖象，并寫出各自值域.
（2） .
解：將的圖象在 軸及其右側部分不變，
在軸左側部分去掉，在軸右側部分沿 軸對
稱過去，可得到 的圖象，再將該圖象
向下平移1個單位長度，即可得
的圖象，如圖所示.
由圖知，的值域是 .
［素養小結］
圖象變換
（1）平移變換
的圖象的圖象，
的圖象的圖象.
（2）對稱變換
的圖象 的圖象，
的圖象 的圖象，
的圖象 的圖象.
（3）翻折變換
的圖象 ,的圖象，
的圖象
的圖象.
探究點二 與指數函數有關的函數的定義域和值域
例2 求下列函數的定義域與值域.
（1） ；
解：要使函數有意義,則需,即.
因為函數 是增函數,所以,故函數的定義域為
.
因為,所以,所以,所以 ,
即函數的值域為 .
例2 求下列函數的定義域與值域.
（2） ；
解：要使函數有意義,則需,解得,所以函數 的
定義域為.
因為,所以,
又 ，故函數的值域為且 .
例2 求下列函數的定義域與值域.
（3） ;
解：依題意知，函數的定義域為，
因為 ，所以，
所以函數的值域為 ．
例2 求下列函數的定義域與值域.
（4） .
解：依題意知，函數的定義域為.
，因為，所以，
所以，所以 ，
所以，所以函數的值域為 .
變式（1）函數 的定義域為( )
A. B.
C. D.
[解析] 函數的自變量滿足解得 且
，則函數的定義域為 ，故選D.
√
（2）［2025· 上海閔行中學期中］已知函數 ，則
的值域為_________.
[解析] 由題意，設，則，而 在
上單調遞減，從而 ，所以
的值域為 .
（3）［2025·北京八十中高一期中］函數 的值域是______.
[解析] 因為函數的定義域為， ，所以
，所以，即函數的值域是 .
［素養小結］
函數的定義域、值域的求法
（1）定義域：使得有意義的的取值集合．
（2）值域：①換元，令；②求的定義域；③求
的值域；④利用的單調性求，的值域．
需要注意的是，通過建立不等關系求定義域時，解集為各不等關系
解集的交集；當指數型函數的底數含字母時，在求定義域、值域時
要分類討論．
探究點三 與指數函數有關的復合函數的單調性與最值
例3 ［2025·江蘇響水中學高一期中］已知函數 .
（1）當時，求函數 的單調區間；
解：當時， ，
令，則，
的增區間為，減區間為，且
為減函數， 根據“同增異減”法則知，的
增區間為 ，減區間為 .
例3 ［2025·江蘇響水中學高一期中］已知函數 .
（2）若對任意,恒成立，求 的取值范圍.
解：對任意,恒成立，即 恒成
立，，即 恒成立，
，解得 .
變式（1）［2025·廣東廣雅中學高一質檢］已知函數
且在區間上單調遞增，則 的取值范
圍是_ _____.
[解析] 因為函數且在區間 上單調遞
增，在上單調遞減，所以，且
在上恒成立.
所以解得，則 的取值范圍是 .
（2）設函數，則不等式 的解
集是_______.
[解析] 函數的定義域為 ，
，則為奇函數，
又函數 ,分別為上的增函數和減函數，所以是 上
的增函數，不等式可化為 ，
即，解得，所以原不等式的解集為 .
（3）已知函數 .
①若，求函數的最小值及取得最小值時 的取值；
解：若，則 ，
令，則，
令 ，，
由二次函數性質可知， ，
即當時，函數取得最小值1，此時 .
（3）已知函數 .
②若 ，求函數的最小值.
解：，令，則 ，
令， ，
當時，在上單調遞增， ，
此時函數的最小值為 ；
當時，在上單調遞減，在 上單調遞增，
，此時函數的最小值為 .
綜上可知，當時，函數的最小值為；當時，
函數 的最小值為 .
［素養小結］
（1）指數函數的單調性與底數有關，因此討論指數函數的單調性時，
一定要明確底數與1的大小關系.與指數函數有關的函數的單調性也往
往與底數有關，一般是利用函數單調性的定義進行判斷.
（2）指數函數本身不具有奇偶性，但是與指數函數有關的函數可以
具有奇偶性，一般是利用函數奇偶性的定義和性質進行判斷.
（3）解形如，且 的不等式時，借助于函數
的單調性求解，如果的取值不確定，需分與 兩
種情況討論；解形如，且的不等式時，注意將 轉
化為以為底數的指數冪的形式，再借助于函數 的單調性求解．
探究點四 指數函數的實際應用
例4 某林區2025年木材蓄積量為200萬立方米，由于采取了封山育林、
嚴禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均遞增率能達到 .
（1）若經過年后，該林區的木材蓄積量為萬立方米，求
的表達式，并求此函數的定義域；
解：現有木材蓄積量為200萬立方米，經過1年后木材蓄積量為
（萬立方米），經過2年后木材蓄
積量為
（萬立方米），
經過年后木材蓄積量為 萬立方米，
，函數的定義域為 .
例4 某林區2025年木材蓄積量為200萬立方米，由于采取了封山育林、
嚴禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均遞增率能達到 .
（2）求經過多少年后，林區的木材蓄積量能達到300萬立方米
（結果取整數）．
解：如圖，作直線與函數 的圖象，且
交于點，
設點的橫坐標為，由圖可知， 經過9年后，林區的
木材蓄積量能達到300萬立方米．
變式 某催化劑的活性指標單位：與反應溫度
單位：滿足函數關系：（其中，為常數，是自然常數）.若該催化劑在時的活性指標為,在 時
的活性指標為,則該催化劑在 時的活性指標為
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 該催化劑在時的活性指標為,在 時的活
性指標為,則 可得
，解得或 （舍去），
故，，所以該催化劑在 的活性指標為
.故選C.
［素養小結］
涉及單位時間內變化率一定的問題可用來計算，其中
為初始值， 為變化率，為自變量，，為年變化后的函數值.
形如,且 的函數的性質
（1）函數與函數 有相同的定義域.
（2）當時,函數與的單調性相同;當
時,函數與函數 的單調性相反.
1.換元法
對于與指數函數復合的函數,求其值域時一般考慮換元法,即通過換元
將復合函數轉化為簡單函數,再利用簡單函數的單調性求其值域.
例1 ［2025·上海閔行中學高一期中］已知函數
，其中且 .
（1）若，求 的最小值；
解：當 時，函數
，
所以當時，函數取得最小值 .
例1 ［2025·上海閔行中學高一期中］已知函數
，其中且 .
（2）若在區間上的最大值為2，求 的值.
解：令，則函數 可轉化為 ，
當時，由，得 ，因為函數
在上單調遞減，在區間 上的最大值為2，
所以當時， 取得最大值，最大值為
，解得或，均不滿足 ，舍去；
當時，由，得 ，
因為函數在上單調遞增，在區間 上的
最大值為2，
所以當時， 取得最大值，最大值為
，
解得或，其中不滿足 ，舍去.
綜上， .
例2 求函數 的值域.
解：,令 ,則
,
當時,取得最小值,所以函數的值域為 .
2.復合函數法
對于與指數函數相關的復合函數的單調性,一般用復合函數法判斷.
例3（1）函數 的一個減區間為( )
A. B. C. D.
[解析] 令，，則 是增函數，
由復合函數的單調性可知， 的減區間即為函數
的減區間，
又 ，所以函數為偶函數，其
圖象關于縱軸對稱.
當 時，，所以可作出 的圖象，如圖所示，
由圖可知函數的減區間為和，則 的減
區間為和 ，結合選項可知選C.
√
（2）已知函數在區間上單調遞增，則 的取值
范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，，則隨 的增大而增大，要使
在上單調遞增，只需在上單調遞增，則需滿足 ，
所以 .故選A.
√
3.與指數函數有關的函數性質綜合問題
例4 ［2025·江蘇啟東匯龍中學高一期中］已知函數， 分別
是定義在上的偶函數和奇函數，且 .
（1）求函數和 的解析式；
解：由題意可得 ，
則，即 ，
則 .
例4 ［2025·江蘇啟東匯龍中學高一期中］已知函數， 分別
是定義在上的偶函數和奇函數，且 .
（2）若對任意，不等式 恒成立，求實
數 的取值范圍.
解：設，當時， ，
由在上單調遞增，可得 ，
對任意，不等式 恒成立，
即 恒成立，
又，當且僅當，即 時，等號成立，
所以的最小值為 ，
則 ，
即的取值范圍是 .
練習冊
1.函數 的定義域是( )
A. B.
C. D.且
[解析] 由題意可知，要有意義，可得 ，所以函數
的定義域是 .故選C.
√
2.［2024·廣東實驗中學高一期中］函數 的增區間
是( )
A. B. C. D.
[解析] 函數的定義域為 ，函數
在上單調遞減，在 上單調遞增，
而函數在上單調遞減，因此函數在 上單調遞增，
在上單調遞減，所以函數 的增區間是 .
故選A.
√
3.不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為是上的減函數，所以 等價于
，則
解得,即不等式的解集為 .故選D.
√
4.已知函數，則 ( )
A.是奇函數，且在上是增函數 B.是偶函數，且在 上是增函數
C.是奇函數，且在上是減函數 D.是偶函數，且在 上是減函數
[解析] 因為的定義域為 ，
，所以是奇函數.
因為在 上是增函數，在上是增函數，所以在
上是增函數.故選A.
√
5. 重慶育才中學診斷］ 設函數在區間 上
單調遞減，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 易知函數是由指數函數 和二次函數
復合而成的，
由復合函數單調性結合題意可得，二次函數在區間
上單調遞減，因此 ，可得 .故選D.
√
6.函數是增函數，且 ，
則實數 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 當時，單調遞增；當 時，
單調遞增.
因為 是增函數，且，
所以解得 .故選C.
√
7.函數在 上的取值范圍是______.
[解析] 當時， ，函數
，
顯然當，即 時，，當，即時，
，所以所求取值范圍是 .
8.［2025·山東菏澤高一期中］函數 的增區間為
___________.
[解析] 的定義域為 ，設
則在 上單調
遞減，在上單調遞增.
因為在 上單調遞增，所以的增區間為 .
9.（13分）已知函數 .
（1）作出函數 的圖象；
解：的定義域為 ，，則為偶函數，
所以函數的圖象關于 軸對稱.
當時，函數.
作出 的圖象如圖.
9.（13分）已知函數 .
（2）直接寫出函數 的值域；
解：的值域是 .
（3）求 的值.
解： .
10.設偶函數滿足，則滿足的
的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根據題意，當時，，令 ，
解得
是定義在上的偶函數， 其圖象關于軸對稱， 不等式
的解集為 ，
因此不等式等價于 ，可得
，故選D.
11.（多選題）［2025·江西南昌十中高一期中］ 已知函數
，則下列結論正確的是( )
A.函數的定義域為
B.函數的值域為
C.
D.函數 為減函數
√
√
[解析] 由函數，得，解得 ，所以函數的
定義域為 ，故A錯誤；
因為，且，當 時，
，則，當時， ，則
，所以函數的值域為 ，故B正確；
，
故C正確；
當時，，當時，，所以 不會是減
函數，故D錯誤.故選 .
12.（多選題）已知函數 ，則下列結論中正確的有
( )
A.函數的值域為
B.函數的增區間為
C.方程 有兩個不同的實數根
D.函數的圖象關于直線 對稱
√
√
√
[解析] 對于A項，函數的定義域為 ，
，所以 ，故A正確.
對于B項，函數的定義域為，當 時，
單調遞減，函數在 上單調遞增，
所以在上單調遞減；當 時，
單調遞增，函數在 上單調遞增，
所以在上單調遞增.則 的增區間為
，故B正確.
對于C項,方程即為，所以 ，即
，則 ，所以方程
有兩個不同的實數根，即方程 有兩個不同
的實數根，故C正確.
對于D項，因為 ，，所以函數的
圖象不關于直線 對稱，故D錯誤.故選 .
13.若關于的不等式在 上恒成立，則實數
的取值范圍是__________.
[解析] 由關于的不等式在 上恒成立，得
對任意恒成立.
函數 在上是減函數， 當時，
，，則，故實數的取值
范圍為 .
14.（15分）［2025·江蘇宜興高一期中］ 已知函數
為奇函數.
（1）求實數 的值;
解：由題知，為 上的奇函數，則，
即 ，整理可得，可得 .
14.（15分）［2025·江蘇宜興高一期中］ 已知函數
為奇函數.
（2）判斷 的單調性，并用定義證明;
解：為 上的增函數.證明如下：
由（1）知，設,，且 ，
則 ，
由，結合指數函數的性質，得， ，
，
所以，即，所以
為 上的增函數.
14.（15分）［2025·江蘇宜興高一期中］ 已知函數
為奇函數.
（3）求不等式 的解集.
解：因為為 上的奇函數，所以不等式
可化為 ，
又為上的增函數，所以，解得或 ，
故原不等式的解集為或 .
15.對于給定的正數，定義函數 若對于函數
的定義域內的任意實數，恒有 ，則
( )
A.的最大值為 B.的最小值為
C.的最大值為1 D. 的最小值為1
√
[解析] 由題意知.
由得 ，故函數的定義域
為.
令 ，，則，，
所以 ，因此，則的最小值為 ，無最大值.
故選B.
16.（15分）［2025·江蘇十校聯盟高一聯考］ 定義：若對定義域內任
意，都有為正常數)，則稱函數為“ 距”增函數.
（1）若，，試判斷 是否為“1距”增
函數，并說明理由；
解： 為“1距”增函數，理由如下：
因為， ，
所以，當 時，
，
所以 為“1距”增函數.
16.（15分）［2025·江蘇十校聯盟高一聯考］ 定義：若對定義域內任
意，都有為正常數)，則稱函數為“ 距”增函數.
（2）設，若 是“2距”增函數，求
的取值范圍.
解： 是“2距”增函數，
則，即 ，
可得 .
當時， ，
整理得，所以，解得 ；
當時， ，
整理得，所以，解得 .
綜上所述，的取值范圍為 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 知識點二 【診斷分析】（1）√ （2）× （3）√
課中探究 探究點一 例1 略
變式 （1）圖略，的值域是
，值域為 （2）定義域為，值
域為且 （3）定義域為，值域為 （4）定義域為，，<值域為
變式 （1）D （2） （3）
探究點三 例3 （1）的增區間為，減區間為（2）
變式 （1） （2） （3）①函數/m>的最小值為1，此時
②當時，函數的最小值為；當時，函數的最小值為.
探究點四 例4 （1），函數的定義域為變式 C
練習冊
基礎鞏固
1.C 2.A 3.D 4.A 5.D 6.C 7. 8.
9.（1）略（2） （3）
綜合提升
10.D 11.BC 12.ABC 13.
14.（1）（2）為上的增函數.證明略（3）或
思維探索
15.B 16.（1）為“1距”增函數，理由略（2）第2課時　指數函數圖象與性質的綜合應用
【課前預習】
知識點一
y=kax
知識點二
f(x)　R
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (3)因為y=3x是增函數,所以f(x)=-2·3x是減函數.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)把f(x)=2x的圖象向右平移一個單位長度得到y=f(x-1)的圖象,如圖中實線所示.
(2)把f(x)=2x的圖象在y軸及其右側部分不動,在y軸左側的部分去掉,在y軸右側部分沿y軸對稱過去,即可得到y=f(|x|)的圖象,如圖中實線所示.
(3)把f(x)=2x的圖象向下平移一個單位長度得到y=f(x)-1的圖象,如圖中實線所示.
(4)把f(x)=2x的圖象沿x軸翻折得到y=-f(x)的圖象,如圖中實線所示.
(5)把f(x)=2x的圖象向下平移一個單位長度得到y=f(x)-1的圖象,該圖象在y軸及其右側部分不動,在y軸左側的部分沿x軸翻折即可得到y=|f(x)-1|的圖象,如圖中實線所示.
(6)把f(x)=2x的圖象繞著原點旋轉180°,即可得到y=-f(-x)的圖象,如圖中實線所示.
變式　解:(1)將f(x)的圖象向下平移1個單位長度后得到y=f(x)-1的圖象,再將該圖象在x軸及其上方部分不變,在x軸下方部分沿x軸翻折上去,即可得n(x)=的圖象,如圖所示.由圖知,n(x)的值域是[0,+∞).
(2)將f(x)的圖象在y軸及其右側部分不變,在y軸左側部分去掉,在y軸右側部分沿y軸對稱過去,可得到y=f(|x|)的圖象,再將該圖象向下平移1個單位長度,即可得 m(x)=-1的圖象,如圖所示.
由圖知,m(x)的值域是(-1,0].
探究點二
例2　解:(1)要使函數有意義,則需1-3x≥0,即3x≤1=30.因為函數y=3x是增函數,所以x≤0,故函數y=的定義域為(-∞,0].因為x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1,所以∈[0,1),即函數y=的值域為[0,1).
(2)要使函數有意義,則需x-4≠0,解得x≠4,所以函數y=的定義域為{x|x≠4}.因為≠0,所以≠1,又>0,故函數y=的值域為{y|y>0且y≠1}.
(3)依題意知,函數的定義域為R,因為x2+1≥1,所以≥31=3,所以函數y=的值域為[3,+∞).
(4)依題意知,函數的定義域為R.y==1-,因為3x>0,所以1+3x>1,所以0<<1,所以-1<-<0,所以0<1-<1,所以函數的值域為(0,1).
變式　(1)D　(2)(0,2025]　(3)　[解析] (1)函數f(x)=的自變量x滿足解得x≥2且x≠5,則函數的定義域為[2,5)∪(5,+∞),故選D.
(2)由題意,設t=x2-1,則t≥0-1=-1,而y=在[-1,+∞)上單調遞減,從而0(3)因為函數y=的定義域為R,0.5x>0,所以0.5x+2>2,所以0<<,即函數的值域是.
探究點三
例3　解:(1)當a=-2時,f(x)=,
令t=x2+4x+3,則y=,∵t=x2+4x+3的增區間為(-2,+∞),減區間為(-∞,-2),且y=為減函數,∴根據“同增異減”法則知,f(x)=的增區間為(-∞,-2),減區間為(-2,+∞).
(2)對任意x∈R,f(x)≤恒成立,即f(x)=≤恒成立,∴x2-2ax+3≥2,即x2-2ax+1≥0恒成立,∴Δ=4a2-4≤0,解得-1≤a≤1.
變式　(1)　(2)(-3,1)　[解析] (1)因為函數f(x)=(a>0且a≠1)在區間[2,3]上單調遞增,y=在[2,3]上單調遞減,所以0(2)函數f(x)=2x-2-x的定義域為R,f(-x)=2-x-2x=-f(x),則f(x)為奇函數,又函數y=2x,y=2-x分別為R上的增函數和減函數,所以f(x)是R上的增函數,不等式f(x2)+f(2x-3)<0可化為f(x2)(3)解:①若a=1,則f(x)=4x-2×2x+2,
令2x=t,則t∈(0,+∞),令m(t)=t2-2t+2=(t-1)2+1,t∈(0,+∞),由二次函數性質可知,m(t)min=m(1)=1,
即當2x=1時,函數f(x)=4x-2×2x+2取得最小值1,此時x=0.
②x∈[0,+∞),令2x=t,則t∈[1,+∞),
令h(t)=t2-2at+2=(t-a)2+2-a2,t∈[1,+∞),
當a≤1時,h(t)在[1,+∞)上單調遞增,h(t)min=h(1)=3-2a,此時函數f(x)的最小值為3-2a;
當a>1時,h(t)在[1,a)上單調遞減,在[a,+∞)上單調遞增,h(t)min=h(a)=2-a2,此時函數f(x)的最小值為2-a2.綜上可知,當a≤1時,函數f(x)的最小值為3-2a;當a>1時,函數f(x)的最小值為2-a2.
探究點四
例4　解:(1)現有木材蓄積量為200萬立方米,經過1年后木材蓄積量為200+200×5%=200×(1+5%)(萬立方米),經過2年后木材蓄積量為200×(1+5%)+200×(1+5%)×5%=200×(1+5%)2(萬立方米),
∴經過x年后木材蓄積量為200×(1+5%)x萬立方米,
∴y=f(x)=200×(1+5%)x,函數的定義域為x∈N*.
(2)如圖,作直線y=300與函數y=200×(1+5%)x的圖象,且交于A點,設A點的橫坐標為x0,由圖可知8變式　C　[解析] 該催化劑在20 ℃時的活性指標為11 kgPP/gCat,在40 ℃時的活性指標為83 kgPP/gCat,則可得(e20a-9)(e20a+8)=0,解得e20a=9或e20a=-8(舍去),故b=2,e10a=3,所以該催化劑在50 ℃的活性指標為e50a+2=35+2=245(kgPP/gCat).故選C.第2課時　指數函數圖象與性質的綜合應用
【學習目標】
　　1.了解指數型函數的概念.
　　2.利用復合函數的性質研究指數型函數的性質,并利用指數型函數的性質解決問題.
◆ 知識點一　指數型函數
形如　　　　(k∈R,k≠0,a>0,a≠1)的函數稱為指數型函數,這是非常有用的函數模型.
◆ 知識點二　與指數函數有關的復合函數
函數y=af(x)(a>0且a≠1)的定義域、值域可轉化為函數y=at進行研究,其中t=　　　　.若f(x)的定義域為R,則y=af(x)的定義域為　　　　.函數y=af(x)的值域要根據f(x)的值域及函數y=at的單調性研究.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=a2x-1(a>0且a≠1)的定義域是R,值域是(0,+∞). (　 )
(2)函數y=3|x|+1的定義域是R,值域是(3,+∞). (　 )
(3)函數f(x)=-2·3x是減函數. (　 )
◆ 探究點一　與指數函數有關的圖象變換
例1 利用指數函數f(x)=2x的圖象,作出下列各函數的圖象:
(1)y=f(x-1);
(2)y=f(|x|);
(3)y=f(x)-1;
(4)y=-f(x);
(5)y=|f(x)-1|;
(6)y=-f(-x).
變式 已知函數f(x)=,畫出下列函數圖象,并寫出各自值域.
(1)n(x)=|f(x)-1|;
(2)m(x)=f(|x|)-1.
[素養小結]
圖象變換
(1)平移變換
y=f(x)的圖象y=f(x+a)的圖象,
y=f(x)的圖象y=f(x)+k的圖象.
(2)對稱變換
y=f(x)的圖象y=-f(x)的圖象,
y=f(x)的圖象y=f(-x)的圖象,
y=f(x)的圖象y=-f(-x)的圖象.
(3)翻折變換
y=f(x)的圖象y=|f(x)|的圖象,
y=f(x)的圖象y=f(|x|)的圖象.
◆ 探究點二　與指數函數有關的函數的定義域和值域
例2 求下列函數的定義域與值域.
(1) y=;(2) y=;(3)y=;(4)y=.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)函數f(x)=的定義域為 (　 )
A.(-∞,2]
B.(-∞,5)∪(5,+∞)
C.[2,+∞)
D.[2,5)∪(5,+∞)
(2)[2025·上海閔行中學期中] 已知函數f(x)=,則f(x)的值域為　　　　.
(3)[2025·北京八十中高一期中] 函數y=的值域是　　　　.
[素養小結]
函數y=af(x)的定義域、值域的求法
(1)定義域:使得f(x)有意義的x的取值集合.
(2)值域:①換元,令t=f(x);②求t=f(x)的定義域D;③求t=f(x)的值域M;④利用y=at的單調性求y=at,t∈M的值域.
需要注意的是,通過建立不等關系求定義域時,解集為各不等關系解集的交集;當指數型函數的底數含字母時,在求定義域、值域時要分類討論.
◆ 探究點三　與指數函數有關的復合函數的單調性與最值
例3 [2025·江蘇響水中學高一期中] 已知函數f(x)=.
(1)當a=-2時,求函數f(x)的單調區間;
(2)若對任意x∈R,f(x)≤恒成立,求a的取值范圍.
變式 (1)[2025·廣東廣雅中學高一質檢] 已知函數f(x)=(a>0且a≠1)在區間[2,3]上單調遞增,則a的取值范圍是　　　　.
(2)設函數f(x)=2x-2-x,則不等式f(x2)+f(2x-3)<0的解集是　　　　.
(3)已知函數f(x)=4x-2a·2x+2.
①若a=1,求函數的最小值及取得最小值時x的取值;
②若x∈[0,+∞),求函數的最小值.
[素養小結]
(1)指數函數的單調性與底數有關,因此討論指數函數的單調性時,一定要明確底數與1的大小關系.與指數函數有關的函數的單調性也往往與底數有關,一般是利用函數單調性的定義進行判斷.
(2)指數函數本身不具有奇偶性,但是與指數函數有關的函數可以具有奇偶性,一般是利用函數奇偶性的定義和性質進行判斷.
(3)解形如ax>ab(a>0,且a≠1)的不等式時,借助于函數y=ax的單調性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0b(a>0,且a≠1)的不等式時,注意將b轉化為以a為底數的指數冪的形式,再借助于函數y=ax的單調性求解.
◆ 探究點四　指數函數的實際應用
例4 某林區2025年木材蓄積量為200萬立方米,由于采取了封山育林、嚴禁采伐等措施,使木材蓄積量的年平均遞增率能達到5%.
(1)若經過x年后,該林區的木材蓄積量為y萬立方米,求y=f(x)的表達式,并求此函數的定義域;
(2)求經過多少年后,林區的木材蓄積量能達到300萬立方米(結果取整數).
變式 某催化劑的活性指標K(單位:kgPP/gCat)與反應溫度t(單位:℃)滿足函數關系:K=eat+b(其中a,b為常數,e是自然常數).若該催化劑在20 ℃時的活性指標為11 kgPP/gCat,在40 ℃時的活性指標為83 kgPP/gCat,則該催化劑在50 ℃時的活性指標為 (　 )
A.125 kgPP/gCat B.225 kgPP/gCat
C.245 kgPP/gCat D.250 kgPP/gCat
[素養小結]
涉及單位時間內變化率一定的問題可用y=a(1+α)x來計算,其中a為初始值,α為變化率,x為自變量,x∈N*,y為x年變化后的函數值.第2課時　指數函數圖象與性質的綜合應用
1.C　[解析] 由題意可知,要有意義,可得x≠0,所以函數y=-1的定義域是{x|x≠0}.故選C.
2.A　[解析] 函數f(x)=的定義域為R,函數u=x2-2x-8=(x-1)2-9在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,而函數y=在R上單調遞減,因此函數f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,所以函數f(x)=的增區間是(-∞,1).故選A.
3.D　[解析] 因為y=0.5x是R上的減函數,所以0.<0.等價于>,則
解得0≤x<1,即不等式0.<0.的解集為[0,1).故選D.
4.A　[解析] 因為f(x)=4x-=4x-4-x的定義域為R,f(-x)=4-x-4x=-f(x),所以f(x)是奇函數.因為y=4x在R上是增函數,y=-4-x在R上是增函數,所以f(x)在R上是增函數.故選A.
5.D　[解析] 易知函數f(x)=3x(x-a)是由指數函數y=3t和二次函數t=x(x-a)復合而成的,由復合函數單調性結合題意可得,二次函數t=x(x-a)在區間(0,2)上單調遞減,因此≥2,可得a∈[4,+∞).故選D.
6.C　[解析] 當-1f(m-1),所以解得07.[1,2]　[解析] 當-1≤x≤1時,≤2x≤2,函數f(x)=(2x)2-2·2x+2=(2x-1)2+1,顯然當2x=1,即x=0時,f(x)min=1,當2x=2,即x=1時,f(x)max=2,所以所求取值范圍是[1,2].
8.(-∞,-2]　[解析] f(x)的定義域為R,設g(x)=1-|2x+4|=則g(x)在(-2,+∞)上單調遞減,在(-∞,-2]上單調遞增.因為y=5x在R上單調遞增,所以f(x)的增區間為(-∞,-2].
9.解:(1)f(x)的定義域為R,f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數,所以函數f(x)的圖象關于y軸對稱.
當x≥0時,函數f(x)=.作出f(x)的圖象如圖.
(2)f(x)的值域是(0,1].
(3)f[f(-1)]=f==.
10.D　[解析] 根據題意,當x≥0時,f(x)=2x-4,令f(x)=2x-4>0,解得x>2.∵f(x)是定義在R上的偶函數,∴其圖象關于y軸對稱,∴不等式f(x)>0的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞),因此不等式f(x-2)>0等價于x-2∈(-∞,-2)∪(2,+∞),可得x∈(-∞,0)∪(4,+∞),故選D.
11.BC　[解析] 由函數f(x)=,得2x-1≠0,解得x≠0,所以函數的定義域為{x|x≠0},故A錯誤;因為f(x)===1+,且2x>0,當2x-1>0時,>0,則f(x)>1,當-1<2x-1<0時,<-2,則f(x)<-1,所以函數f(x)的值域為(-∞,-1)∪(1,+∞),故B正確;f(-x)+f(x)=+=+=+=0,故C正確;當x>0時,f(x)>0,當x<0時,f(x)<0,所以f(x)不會是減函數,故D錯誤.故選BC.
12.ABC　[解析] 對于A項,函數f(x)=的定義域為R,x2+2x=(x+1)2-1≥-1,所以f(x)=≥,故A正確.對于B項,函數f(x)=的定義域為R,當x∈(-∞,-1)時,u=x2+2x=(x+1)2-1單調遞減,函數y=3u在R上單調遞增,所以f(x)=在(-∞,-1)上單調遞減;當x∈[-1,+∞)時,u=x2+2x=(x+1)2-1單調遞增,函數y=3u在R上單調遞增,所以f(x)=在[-1,+∞)上單調遞增.則f(x)的增區間為[-1,+∞),故B正確.對于C項,方程f(x)=3即為=31,所以x2+2x=1,即x2+2x-1=0,則Δ=22-4×(-1)×1>0,所以方程x2+2x-1=0有兩個不同的實數根,即方程f(x)=3有兩個不同的實數根,故C正確.對于D項,因為f(0)=30=1,f(2)=38≠f(0),所以函數f(x)的圖象不關于直線x=1對稱,故D錯誤.故選ABC.
13.　[解析] 由關于x的不等式1+2x+4x·a≥0在(-∞,1]上恒成立,得a≥-對任意x∈(-∞,1]恒成立.∵函數y=+在R上是減函數,∴當x∈(-∞,1]時,+≥+=,∴-≤-,則a≥-,故實數a的取值范圍為.
14.解:(1)由題知,f(x)為R上的奇函數,則f(-x)=-f(x),即a-=-,整理可得2a=+=4,可得a=2.
(2)f(x)為R上的增函數.證明如下:
由(1)知f(x)=2-,設x1,x2∈R,且x1則f(x1)-f(x2)=-=,由x10,+1>0,
所以f(x1)-f(x2)=<0,即f(x1)(3)因為f(x)為R上的奇函數,所以不等式f(x2-x)+f(-x-3)>0可化為f(x2-x)>f(x+3),
又f(x)為R上的增函數,所以x2-x>x+3,解得x<-1或x>3,故原不等式的解集為{x|x<-1或x>3}.
15.B　[解析] 由題意知k≥f(x)max.由-x2+x+2≥0得-1≤x≤2,故函數f(x)=的定義域為[-1,2].令t=,x∈[-1,2],則t∈,2t∈[1,2],所以f(x)max=2,因此k≥2,則k的最小值為2,無最大值.故選B.
16.解:(1)f(x)為“1距”增函數,理由如下:
因為f(x+1)=(x+1)2+(x+1)=x2+3x+2,f(x)=x2+x,所以f(x+1)-f(x)=2x+2,當x∈(-1,+∞)時,f(x+1)-f(x)=2x+2>0,
所以f(x)為“1距”增函數.
(2)f(x)=(x∈(-1,+∞))是“2距”增函數,
則f(x+2)>f(x),即>,
可得(x+2)2+k|x+2|>x2+k|x|.
當x∈(-1,0)時,(x+2)2+k(x+2)>x2-kx,
整理得(x+1)(4+2k)>0,所以4+2k>0,解得k>-2;
當x≥0時,(x+2)2+k(x+2)>x2+kx,
整理得4x+4+2k>0,所以4+2k>0,解得k>-2.
綜上所述,k的取值范圍為(-2,+∞).第2課時　指數函數圖象與性質的綜合應用
1.函數y=-1的定義域是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.R
B.{x|x≠1}
C.{x|x≠0}
D.{x|x≠0且x≠1}
2.[2024·廣東實驗中學高一期中] 函數f(x)=的增區間是 (　 )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-2)
C.(4,+∞)
D.(1,+∞)
3.不等式0.<0.的解集為 (　 )
A.[0,2) B.(-4,1)
C.(1,2) D.[0,1)
4.已知函數f(x)=4x-,則f(x) (　 )
A.是奇函數,且在R上是增函數
B.是偶函數,且在R上是增函數
C.是奇函數,且在R上是減函數
D.是偶函數,且在R上是減函數
5.[2025·重慶育才中學診斷] 設函數f(x)=3x(x-a)在區間(0,2)上單調遞減,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,0] B.[-4,0)
C.(0,4] D.[4,+∞)
6.函數f(x)=是增函數,且f(2m+1)>f(m-1),則實數m的取值范圍為 (　 )
A.(-2,1] B.(-2,1)
C.(0,1] D.(0,1)
7.函數f(x)=4x-2x+1+2在[-1,1]上的取值范圍是　　　　.
8.[2025·山東菏澤高一期中] 函數f(x)=51-|2x+4|的增區間為　　　　.
9.(13分)已知函數f(x)=.
(1)作出函數f(x)的圖象;
(2)直接寫出函數f(x)的值域;
(3)求f[f(-1)]的值.
10.設偶函數f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),則滿足f(x-2)>0的x的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,0)
B.(0,4)
C.(4,+∞)
D.(-∞,0)∪(4,+∞)
11.(多選題)[2025·江西南昌十中高一期中] 已知函數f(x)=,則下列結論正確的是(　 )
A.函數f(x)的定義域為R
B.函數f(x)的值域為(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.f(x)+f(-x)=0
D.函數f(x)為減函數
12.(多選題)已知函數f(x)=,則下列結論中正確的有 (　 )
A.函數f(x)的值域為
B.函數f(x)的增區間為[-1,+∞)
C.方程f(x)=3有兩個不同的實數根
D.函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱
13.若關于x的不等式1+2x+4x·a≥0在(-∞,1]上恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　　　.
14.(15分)[2025·江蘇宜興高一期中] 已知函數f(x)=a-(a∈R)為奇函數.
(1)求實數a的值;
(2)判斷f(x)的單調性,并用定義證明;
(3)求不等式f(x2-x)+f(-x-3)>0的解集.
15.對于給定的正數k,定義函數fk(x)=若對于函數f(x)=的定義域內的任意實數x,恒有fk(x)=f(x),則 (　 )
A.k的最大值為2
B.k的最小值為2
C.k的最大值為1
D.k的最小值為1
16.(15分)[2025·江蘇十校聯盟高一聯考] 定義:若對定義域內任意x,都有f(x+a)>f(x)(a為正常數),則稱函數f(x)為“a距”增函數.
(1)若f(x)=x2+x,x∈(-1,+∞),試判斷f(x)是否為“1距”增函數,并說明理由;
(2)設k∈R,若f(x)=(x∈(-1,+∞))是“2距”增函數,求k的取值范圍.

展開更多......

收起↑