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(共72張PPT)
6.3 對數函數
第1課時 對數函數的概念與圖象
探究點一 對數函數的概念
探究點二 與對數函數有關的函數的定義域
探究點三 對數函數的圖象與性質
探究點四 對數函數的圖象與性質的應用
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能夠在熟悉的實際問題情境中，了解對數函數的實際背景，由
具體到一般，抽象概括得出對數函數的概念，能夠說出對數函數三
要素及其意義.
2.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象，探索并
了解對數函數的單調性與特殊點.
知識點一 對數函數的定義
一般地，函數______ 叫作對數函數,它的定義域是
________.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數 是對數函數．( )
×
（2）函數的定義域是 ．( )
×
（3）函數 是對數函數.( )
×
2.函數是對數函數嗎 呢
解：由對數函數的定義知,函數和 都不
是對數函數.
知識點二 對數函數的圖象與性質
定義
底數
圖象 ______________________________ _________________________________
定義域
值域 ___
單調性 增函數 減函數
共點性 圖象過定點______，即 ___
函數值特 征 當時， _____ ___；當 時， ________ 當時， _____
____；當 時，
________
對稱性 與 的圖象關于___軸對稱
趨近 越大，圖象越接近 軸 越小，圖象越接近 軸
趨勢 圖象無限趨近于 軸
0
續表
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數在 上是增函數.( )
√
[解析] ， 函數在 上是
增函數.
（2）函數的圖象過定點 ．( )
√
（3）函數在 上是單調函數． ( )
√
（4）由函數的圖象向左平移1個單位可得 的
圖象．( )
×
探究點一 對數函數的概念
例1（1）給出下列函數：
；； .
其中是對數函數的為____（填序號）.
①
[解析] ①符合對數函數的結構形式，是對數函數．
②自變量在底數位置上，不是對數函數．
③對數式 后又加上1，不是對數函數．故填①.
（2）若函數是對數函數，則
___.
5
[解析] 由對數函數的定義可知解得 .
［素養小結］
一個函數是對數函數，其解析式必須形如且，
即必須滿足以下條件：（1）系數為1；（2）底數為大于0且不等于1
的常數；（3）對數的真數僅有自變量.
探究點二 與對數函數有關的函數的定義域
例2（1）函數 的定義域為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得解得，則函數 的定義域
為 .故選C.
√
（2）函數 的定義域是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題得可得，則函數 的定義域為
.故選D.
√
變式 求下列函數的定義域：
（1） ；
解：要使函數有意義，需解得
即或，故所求函數的定義域為．
變式 求下列函數的定義域：
（2） ；
解：要使函數有意義，需，得 ，
由指數函數的單調性得，所以函數 的定義域為
．
（3） ．
解：要使函數有意義，需解得所以 且
，故所求函數的定義域為 .
［素養小結］
定義域求解問題通常包括以下情況:
①若為整式,則函數的定義域為;②若為分式,則要求分
母不能為0;③若為對數式,則要求真數大于0;④若為根指數是
偶數的根式,則要求被開方數非負;描述實際問題時,要求使實際
問題有意義.
若是由以上幾種情況的式子構成的,則常常轉化為不等式（組）.
探究點三 對數函數的圖象與性質
例3（1）已知函數， ，
的圖象分別對應圖中曲線①②③，則
下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖，作出直線,則直線 與
曲線①②③的交點的橫坐標分別為,,，
由圖知 ，故選A.
√
（2）函數的圖象恒過定點，則
點的坐標為( )
A. B. C. D.
[解析] 令，則，則，故定點 .故選D.
√
（3）在同一直角坐標系中指數函數 ，
對數函數 的圖象如圖所示，則下列
關系成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由題圖可得，指數函數為減函數，對數函數
為增函數，所以,，即 .故選B.
√
變式（1）在同一個坐標系中，函數, ,
的圖象可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為, 的圖象在同一坐標系中，所以
,的單調性一定相反，且, 圖象均不過原點，故排除
A，D；
在B，C選項中，過原點的圖象為冪函數 的圖象，
由題圖可知，所以在 上單調遞減，
在 上單調遞增，故排除B.故選C.
（2）已知函數，且 的圖象恒
過點，則 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 令，解得 ，
又 ，所以函數
，且 的圖象恒過點，即， ，
所以 .故選B.
√
［素養小結］
1.處理對數函數圖象問題的3個注意點：
（1）明確圖象的分布區域.對數函數的圖象經過第一、四象限.當趨
近于0時，函數圖象會越來越靠近軸，但永遠不會與軸相交.
（2）建立分類討論的思想.在畫對數函數圖象之前要先判斷對數的底
數的取值范圍是，還是.
（3）牢記特殊點.對數函數，且的圖象經過
點，和.
2.對數型函數的圖象一般以函數的圖象為基礎,通過平移、
對稱變換得到.
探究點四 對數函數的圖象與性質的應用
例4（1）已知函數.若曲線 過點
，則不等式 的解集為_____________.
[解析] 因為曲線過點 ，所以
，所以,則 ，所以
，則在 上單調遞增，
所以不等式等價于解得 ，
所以不等式的解集為 .
（2）比較下列各組中兩個值的大小.
，;
解：因為在上是增函數,且 ，所以
.
解：因為在上單調遞減，且 ，
所以 .
與 ；
（2）比較下列各組中兩個值的大小.
③，;
解：因為,,所以 .
④， ；
解： 因為,所以 ,
即 .
解： 當時，在上是增函數，又 ，所以
；當時，在 上是減函數，
又，所以 .
綜上，當時， ；
當時， .
（2）比較下列各組中兩個值的大小.
⑤，且 .
變式（1）設，， ，則( )
A. B. C. D.
[解析] 因為在 上是增函數，所以
.
因為在 上是增函數，所以
，所
以，所以 .故選A.
√
（2）不等式 的解集為______.
[解析] 由題意可得 解得
，且
為減函數，解得 ，即不
等式的解集為 .
［素養小結］
比較對數值大小的常用方法如下:
（1）同底數的兩個對數值的大小比較,根據對數函數的單調性比較；
（2）底數不同且真數也不相同的兩個對數值的大小比較,常引入中間
量進行比較,通常取中間量為,0,1等；
（3）底數不同而真數相同的兩個對數值的大小比較,常用數形結合思想
來解決,也可用換底公式化為同底,再根據對數函數的單調性進行比較.
1.對數函數的定義
（1）對數函數在形式上具有嚴格性,表達式中 前面的
系數必須是1,自變量在真數的位置上,否則不是對數函數.
（2）在對數函數中,底數,且,自變量 ,函數
值 .對于對數函數的三個要素,要做到了解意義、牢固記憶、準
確運用.
2.對數函數的判斷
判斷一個函數是不是對數函數,只需看其形式是否符合對數函數的定義.
3.底數對對數函數圖象的影響
（1）對數函數,且的圖象與直線 的交點
是 ,交點的橫坐標越大,對應的對數函數的底數越大.也就是說,沿
直線由左向右看,底數 增大，如圖所示.
（2）當時,底數越大,圖象越靠近軸;當 時,底數越小,
圖象越靠近 軸.
（3）與，且的圖象關于 軸對稱.
4.對數函數的圖象與性質的關系
圖象特征 函數性質
位于 軸右側，過定點 定義域為,值域為 ,對于任意的
，且,都有
圖象可以分兩類:一類是在 區間 內的圖象上各點 的縱坐標都小于0,在區間 內的圖象上各點的 縱坐標都大于0;另一類圖 象恰好相反 當 時,
（1）若,則 ;
（2）若,則
當 時,
（1）若,則 ;
（2）若,則
圖象特征 函數性質
自左向右看,當 時， 圖象逐漸上升;當 時,圖象逐漸下 降 當時, 是增函數;
當時, 是減函數
續表
1.判斷一個函數是不是對數函數的關鍵是分析所給函數是否具有
，且 這種形式．
例1 給出下列函數:
,且,;; ;
.
其中為對數函數的是______.（填序號）
②③
[解析] 函數,且,的底數是自變量 ,不
是常數,故①不是對數函數;
函數 符合對數函數的定義，故②是對數函數；
函數 符合對數函數的定義，故③是對數函數；
函數的真數是,不是自變量 ,故④不是對數函數.
故填②③.
2.與對數函數有關的定義域問題,需注意真數恒大于0.
例2 ［2025·山東淄博七中高一月考］函數
的定義域是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以 解得
，所以函數的定義域是 .故選C.
√
3.比較多個對數式大小的方法
比較多個對數式的大小，則應先根據每個數的結構特征，以及它們
與中間量“0”和“1”的大小關系進行分組，再比較各組內的對數式的
大小即可．
例3（1）［2025·廣東中山華僑中學高一月考］設 ，
， ，則( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為 ，，
且， ，所以.
因為，且，所以，即 ，
所以，即.
因為，且 ，
所以，即，所以，即.
所以 ，故 .故選D.
（2）［2025·云南寶山高一期末］已知， ，
，則,, 的大小關系是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意，得 ，則
，
而，則 ，所以 .故選C.
√
4.利用單調性解不等式
解對數不等式主要是利用對數函數的單調性，如果含有參數，還需
要對參數分類討論.
常見的對數不等式的三種類型及求解方法
（1）形如的不等式，借助 的單調性求解，
如果的取值不確定，需分與 兩種情況討論；
（2）形如的不等式，應將化為以 為底數的對數式的形
式，再借助 的單調性求解；
（3）形如 的不等式，可利用圖象求解.
例4 已知不等式成立，則實數 的取值
范圍是______．
[解析] 原不等式等價于 或，
解不等式組①得 ，不等式組②無解，
所以實數的取值范圍是 .
練習冊
1.下列函數是對數函數的是( )
A. B.
C.，且 D.
[解析] 對于A，真數為，而不是 ，故A不是對數函數；
顯然B是對數函數；
對于C，真數為常數，而不是 ，故C不是對數函數；
對于D，真數為，而不是 ，故D不是對數函數．故選B.
√
2.函數且 的圖象過定點( )
A. B. C. D.
[解析] 函數且的圖象恒過點 .
令，則， ，故函數
的圖象恒過定點 .故選C.
√
3.函數在 上的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] ，在 上單調遞增，
在 上單調遞增，
又， ，
在上的取值范圍為 .故選B.
√
4.［2025·甘肅天水一中期中］若且，則 的取
值范圍是( )
A. B.
C. D.
[解析] 當時，恒成立；
當 時，，則.
綜上可得 .故選C.
√
5.如圖中曲線，，，是底數取不同值時指數函數 或
對數函數的圖象，已知取,,,2，則圖中曲線,, ,
對應的函數中 的值依次為( )
A.,,,2 B.,,2, C.2,,, D.2,,,
√
[解析] 曲線,是指數函數 的圖象，且
該函數在上單調遞增，所以, 對應的函數中
的取值范圍均為，
又直線與 的交點縱坐標大于直線與
的交點縱坐標，故,對應的函數中的值分別為2,；
曲線 ，是對數函數的圖象，且該函數在區間 上
單調遞減，所以,對應的函數中的取值范圍均為，
又直線 與的交點橫坐標小于直線與的交點橫坐標，
故, 對應的函數中的值分別為, .故選C.
6.已知,, ，則( )
A. B. C. D.
[解析] , ,
，則，.
因為， ，且在上單調遞增，
所以 ，則，所以 .故選A.
√
7.［2025·北京北師大實驗中學高一月考］函數
的定義域為____________.
[解析] 要使函數有意義，則解得 且
.
8.已知函數的圖象經過點 ，則不等
式 的解集為______.
[解析] 由題意可得，則，解得 .
由函數在上單調遞減，且 ，可得
解得 .
9.（13分）求下列函數的定義域：
（1） ；
解：要使函數有意義，需滿足
即且 ，
該函數的定義域為且 .
（2） .
解：要使函數有意義，需滿足 ，
該函數的定義域為 .
10.［2025·江蘇蘇州中學月考］已知偶函數 滿足
且在 上的解析式為
則 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 由，可得 ，即
，
為偶函數， ，
， ，
.故選D.
11.［2025·江蘇金湖中學高一月考］設,, ，
則( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以 ，
又，，所以 ，故選B.
√
12.（多選題）已知函數，且 的圖象經過點
，則下列說法正確的是( )
A.
B.函數 為增函數
C.若，則
D.若，則
√
√
[解析] 由題意知，，解得，所以 ，所以
函數為增函數，故A錯誤，B正確；
當 時，，所以 ，故C正確；
對于D，， ，
因為，所以，所以 ，
即，故D錯誤.故選 .
13.若函數是減函數，則實數 的取值
范圍為______.
[解析] 函數 是減函數，則
解得，則實數的取值范圍為 .
14.（15分）已知且 .
（1）若曲線過點，求函數 的值域；
解：由曲線過點，可得，則 ，
，
因為 恒成立，故函數的定義域為 ，
由可得 ，
故函數的值域為 .
14.（15分）已知且 .
（2）若存在，使 成立，
求實數 的取值范圍.
解：由題知得 ，
由 ，可得
,化簡得
,，即 ，
設，則， ，
令，則， ，
因為在上單調遞減，所以 ，即
，
又且，故實數 的取值范圍為 .
15.［2025·江蘇蘇州大學附中高一檢測］給定條件：
；②對任意,, ，都有
.寫出同時滿足條件①②的函數 的一個解析式：
___________________.
（答案不唯一）
[解析] 由對任意,,，都有 ，可知
在上單調遞增.
取 ，則，且在
上單調遞增，符合題意.
16.（15分）［2025·上海師大附中月考］ 已知函數 ，
其中且 .
（1）若函數的圖象過點，求不等式
的解集；
解：，，，
， ，，其定義域為 ，
由不等式， 在定義域內是增函數，得
，，， ，即不等
式的解集為 .
16.（15分）［2025·上海師大附中月考］ 已知函數 ，
其中且 .
（2）若存在實數，使得成立，求 的
取值范圍.
解：的定義域為， 由方程
，得
又且，，問題轉化為當 時，方程
有實數解.
，則 ，
即
為單調函數，，兩邊同除以得
.
令，由，得， 關于的方程
在 時有解.
又在 上單調遞增，
，即，
又且 ，，則的取值范圍為 .
快速核答案(導學案）
課前預習 知識點一 【診斷分析】 1.（1）× （2）× （3）×
2. 函數和都不是對數函數
知識點二 0
【診斷分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）×
課中探究 探究點一 例1 （1）① （2）5
探究點二 例2 （1）C （2）D 變式 （1）
（2） （3）
探究點三 例3 （1）A （2）D （3）B 變式 （1）C （2）B
探究點四 例4 （1） （2）① ②
③ ④ ⑤當時，；當時，
變式 （1）A （2）
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練習冊
基礎鞏固
1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7. 8.
9.（1）且 （2）
綜合提升
10.D 11.B 12.BC 13.
14.（1） （2）思維探索
15.（答案不唯一） 16.（1）（2）>6.3　對數函數
第1課時　對數函數的概念與圖象
【課前預習】
知識點一
logax　(0,+∞)
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.解:由對數函數的定義知,函數y=log2(x-3)和y=log2x-3都不是對數函數.
知識點二
R　(1,0)　0　(-∞,0)　(0,+∞)　(0,+∞)
(-∞,0)　x
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　[解析] (1)∵m2+2≥2>1,∴函數f(x)=lox在(0,+∞)上是增函數.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)①　(2)5　[解析] (1)①符合對數函數的結構形式,是對數函數.
②自變量在底數位置上,不是對數函數.
③對數式log2x后又加上1,不是對數函數.故填①.
(2)由對數函數的定義可知解得a=5.
探究點二
例2　(1)C　(2)D　[解析] (1)由題意得解得-3(2)由題得可得變式　解:(1)要使函數有意義,需解得
即-3(2)要使函數有意義,需16-4x>0,得4x<16=42,由指數函數的單調性得x<2,所以函數y=log2(16-4x)的定義域為(-∞,2).
(3)要使函數有意義,需解得所以x>且x≠,故所求函數的定義域為∪.
探究點三
例3　(1)A　(2)D　(3)B
[解析] (1)如圖,作出直線y=1,則直線y=1與曲線①②③的交點的橫坐標分別為a,b,c,由圖知a>b>1>c,故選A.
(2)令x+3=1,則x=-2,則y=5,故定點A(-2,5).故選D.
(3)由題圖可得,指數函數y=ax為減函數,對數函數y=logbx為增函數,所以01,即0變式　(1)C　(2)B　[解析] (1)因為f(x)=logax,g(x)=a-x的圖象在同一坐標系中,所以f(x),g(x)的單調性一定相反,且f(x),g(x)圖象均不過原點,故排除A,D;在B,C選項中,過原點的圖象為冪函數h(x)=xa的圖象,由題圖可知0(2)令4x-7=1,解得x=2,又f(2)=loga(4×2-7)-3=-3,所以函數f(x)=loga(4x-7)-3(a>0,且a≠1)的圖象恒過點P(2,-3),即m=2,n=-3,所以m+n=-1.故選B.
探究點四
例4　(1){x|0(2)解:①因為y=log2x在(0,+∞)上是增函數,且1.9>1.5,所以log21.9>log21.5.
②因為y=log0.7x在(0,+∞)上單調遞減,且0.1<0.2,
所以log0.70.1>log0.70.2.
③因為log23>log21=0,log0.32log0.32.
④因為0=log0.21>log0.23>log0.24,所以<,
即log30.2⑤當a>1時,y=logax在(0,+∞)上是增函數,又5.1<5.9,所以loga5.1loga5.9.
綜上,當a>1時,loga5.1當0loga5.9.
變式　(1)A　(2)(2,3)　[解析] (1)因為y=log3x在(0,+∞)上是增函數,所以a=log30,所以b>c>0,所以b>c>a.故選A.
(2)由題意可得解得x>2.∵lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1=lo[2(x-1)],且y=lox為減函數,∴解得2第1課時　對數函數的概念與圖象
1.B　[解析] 對于A,真數為x+2,而不是x,故A不是對數函數;顯然B是對數函數;對于C,真數為常數,而不是x,故C不是對數函數;對于D,真數為,而不是x,故D不是對數函數.故選B.
2.C　[解析] 函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(1,0).令x-1=1,則x=2,y=loga1+2=2,故函數y=loga(x-1)+2的圖象恒過定點(2,2).故選C.
3.B　[解析] ∵2>1,∴y=log2x在[,8]上單調遞增,∴f(x)=log2x-2在[,8]上單調遞增,又f()=log2-2=-,f(8)=log28-2=1,∴f(x)=log2x-2在[,8]上的取值范圍為.故選B.
4.C　[解析] 當a>1時,loga<0<1恒成立;當05.C　[解析] 曲線C1,C2是指數函數y=ax的圖象,且該函數在R上單調遞增,所以C1,C2對應的函數中a的取值范圍均為a>1,又直線x=1與C1的交點縱坐標大于直線x=1與C2的交點縱坐標,故C1,C2對應的函數中a的值分別為2,;曲線C3,C4是對數函數y=logax的圖象,且該函數在區間(0,+∞)上單調遞減,所以C3,C4對應的函數中a的取值范圍均為06.A　[解析] a=log43log44=1,則a7.(0,1)∪(1,2)　[解析] 要使函數f(x)有意義,則解得08.　[解析] 由題意可得f(2)=loga2=-1,則a-1=2,解得a=.由函數f(x)=lox在(0,+∞)上單調遞減,且f(x)9.解:(1)要使函數有意義,需滿足
即∴x>-1且x≠1,
∴該函數的定義域為{x|x>-1且x≠1}.
(2)要使函數有意義,需滿足∴-1∴該函數的定義域為{x|-110.D　[解析] 由f(x-2)=f(x+2),可得f(x)=f(x+4),即f(x)=f(x+4k)(k∈Z),∵f(x)為偶函數,∴f(-x)=f(x),∴f(2026)=f(2)=log22+1=2,f(2027)=f(-1)=f(1)=1,∴f(2026)+f(2027)=1+2=3.故選D.
11.B　[解析] 因為log3321=2,c=lo412.BC　[解析] 由題意知,loga9=2,解得a=3,所以f(x)=log3x,所以函數f(x)為增函數,故A錯誤,B正確;當x>3時,f(x)=log3x>log33=1,所以f(x)>1,故C正確;對于D,==log3,f=log3,因為013.　[解析] 函數f(x)=是減函數,則解得≤a<,則實數a的取值范圍為.
14.解:(1)由曲線y=logax過點,可得a=,則f(x)=lox,f(x2+2)=lo(x2+2),因為x2+2>0恒成立,故函數y=f(x2+2)的定義域為R,
由x2+2≥2可得lo(x2+2)≤lo2=-1,
故函數y=f(x2+2)的值域為(-∞,-1].
(2)由題知得x>1,由f(x-1)+f(2x+3)-2f[a(x+1)]=0,可得loga(x-1)+loga(2x+3)-2loga[a(x+1)]=0,化簡得(x-1)(2x+3)=a2(x+1)2,x>1,即a2=,
設t=x+1,則t>2,a2===2--,令u=,則u∈,a2=-2u2-3u+2=-2+,
因為y=-2+在上單調遞減,所以00且a≠1,故實數a的取值范圍為(0,1)∪(1,).
15.ln x(答案不唯一)　[解析] 由對任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0,可知f(x)在(0,+∞)上單調遞增.取f(x)=ln x,則f(x2)=ln x2=2ln x=2f(x),且f(x)=ln x在(0,+∞)上單調遞增,符合題意.
16.解:(1)∵f(4)=2,∴loga4=2,∴a2=4,∵a>0,∴a=2,
∴f(x)=log2x,其定義域為(0,+∞),
由不等式f(2x-2)(2)∵f(x)的定義域為(0,+∞),∴由方程2f(ax)=f(x+1)+f(x+2),得
又a>0且a≠1,∴x>0,問題轉化為當x>0時,方程f(x+1)+f(x+2)=2f(ax)有實數解.
f(x)=logax,則loga(x+1)+loga(x+2)=2loga(ax),
即loga(a2x2)=loga(x2+3x+2).∵f(x)為單調函數,
∴a2x2=x2+3x+2(x>0),兩邊同除以x2得a2=++1.令t=,由x>0,得t∈(0,+∞),∴關于t的方程a2=2t2+3t+1在t>0時有解.
又y=2t2+3t+1=2-在(0,+∞)上單調遞增,∴y=2t2+3t+1∈(1,+∞),即a2∈(1,+∞),又a>0且a≠1,∴a>1,則a的取值范圍為(1,+∞).6.3　對數函數
第1課時　對數函數的概念與圖象
【學習目標】
　　1.能夠在熟悉的實際問題情境中,了解對數函數的實際背景,由具體到一般,抽象概括得出對數函數的概念,能夠說出對數函數三要素及其意義.
　　2.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象,探索并了解對數函數的單調性與特殊點.
◆ 知識點一　對數函數的定義
一般地,函數y=　　　　(a>0,a≠1)叫作對數函數,它的定義域是　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=logx3是對數函數. (　 )
(2)函數y=log3(x-1)的定義域是(0,+∞). (　 )
(3)函數y=log3(x+1)是對數函數. (　 )
2.函數y=log2(x-3)是對數函數嗎 y=log2x-3呢
◆ 知識點二　對數函數的圖象與性質
定義 y=logax(a>0,a≠1)
底數 a>1 0圖象
定義域 (0,+∞)
值域 　　　
單調性 增函數 減函數
共點性 圖象過定點　　　　,即loga1=　　　　
函數值 特征 當x∈(0,1)時,y∈　　　　;當x∈(1,+∞)時,y∈　　　 當x∈(0,1)時,y∈　　　　;當x∈(1,+∞)時,y∈　　　
對稱性 y=logax與y=lox的圖象關于　　軸對稱
趨近 a越大,圖象越接近x軸 a越小,圖象越接近x軸
趨勢 圖象無限趨近于y軸
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數f(x)=lox在(0,+∞)上是增函數. (　 )
(2)函數y=logax(a>0,a≠1)的圖象過定點(1,0). (　 )
(3)函數y=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上是單調函數. (　 )
(4)由函數y=log2x的圖象向左平移1個單位可得y=log2x+1的圖象. (　 )
◆ 探究點一　對數函數的概念
例1 (1)給出下列函數:
①y=log6x;②y=logx5;③y=log2x+1.
其中是對數函數的為　　　　(填序號).
(2)若函數f(x)=log(a-1)x+(a2-3a-10)是對數函數,則a=　　　　.
[素養小結]
一個函數是對數函數,其解析式必須形如y=logax(a>0且a≠1),即必須滿足以下條件:(1)系數為1;(2)底數為大于0且不等于1的常數;(3)對數的真數僅有自變量x.
◆ 探究點二　與對數函數有關的函數的定義域
例2 (1)函數f(x)=ln(3+x)+的定義域為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.[-3,0] B.[-3,0)
C.(-3,0] D.(-3,0)
(2)函數f(x)=+的定義域是 (　 )
A.(-∞,1) B.
C. D.
變式 求下列函數的定義域:
(1)y=;(2)y=log2(16-4x);(3)y=log(3x-1)(2x+3).
[素養小結]
定義域求解問題通常包括以下情況:
①若f(x)為整式,則函數f(x)的定義域為R;②若f(x)為分式,則要求分母不能為0;③若f(x)為對數式,則要求真數大于0;④若f(x)為根指數是偶數的根式,則要求被開方數非負;⑤f(x)描述實際問題時,要求使實際問題有意義.
若f(x)是由以上幾種情況的式子構成的,則常常轉化為不等式(組).
◆ 探究點三　對數函數的圖象與性質
例3 (1)已知函數f(x)=logax,g(x)=logbx,h(x)=logcx的圖象分別對應圖中曲線①②③,則下列結論正確的是 (　 )
A.a>b>1>c
B.b>a>1>c
C.c>1>a>b
D.c>a>1>b
(2)函數y=loga(x+3)+5(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A,則A點的坐標為 (　 )
A.(2,-3) B.(-2,6)
C.(-3,5) D.(-2,5)
(3)在同一直角坐標系中指數函數y=ax,對數函數y=logbx的圖象如圖所示,則下列關系成立的是 (　 )
A.0C.0變式 (1)在同一個坐標系中,函數f(x)=logax,g(x)=a-x,h(x)=xa的圖象可能是 (　 )
(2)已知函數f(x)=loga(4x-7)-3(a>0,且a≠1)的圖象恒過點P(m,n),則m+n= (　 )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[素養小結]
1.處理對數函數圖象問題的3個注意點:
(1)明確圖象的分布區域.對數函數的圖象經過第一、四象限.當x趨近于0時,函數圖象會越來越靠近y軸,但永遠不會與y軸相交.
(2)建立分類討論的思想.在畫對數函數圖象之前要先判斷對數的底數a的取值范圍是a>1,還是0(3)牢記特殊點.對數函數y=logax(a>0,且a≠1)的圖象經過點(1,0),(a,1)和.
2.對數型函數的圖象一般以函數y=logax的圖象為基礎,通過平移、對稱變換得到.
◆ 探究點四　對數函數的圖象與性質的應用
例4 (1)已知函數f(x)=logax(a>0,a≠1).若曲線y=f(x)過點(8,3),則不等式f(2x)(2)比較下列各組中兩個值的大小.
①log21.9,log21.5;②log0.70.1與log0.70.2;
③log23,log0.32;④log30.2,log40.2;
⑤loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1).
變式 (1)設a=log3,b=log53,c=,則 (　 )
A.aC.b(2)不等式lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1的解集為　　　　.
[素養小結]
比較對數值大小的常用方法如下:
(1)同底數的兩個對數值的大小比較,根據對數函數的單調性比較;
(2)底數不同且真數也不相同的兩個對數值的大小比較,常引入中間量進行比較,通常取中間量為-1,0,1等;
(3)底數不同而真數相同的兩個對數值的大小比較,常用數形結合思想來解決,也可用換底公式化為同底,再根據對數函數的單調性進行比較.6.3　對數函數
第1課時　對數函數的概念與圖象
1.下列函數是對數函數的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=log2(x+2)
B.y=log(π-e)x
C.y=logx2(x>0,且x≠1)
D.y=log2
2.函數y=loga(x-1)+2(a>0且a≠1)的圖象過定點 (　 )
A.(1,0) B.(1,1)
C.(2,2) D.(2,0)
3.函數f(x)=log2x-2在[,8]上的取值范圍為 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2025·甘肅天水一中期中] 若loga<1(a>0且a≠1),則a的取值范圍是 (　 )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.∪
5.如圖中曲線C1,C2,C3,C4是底數a取不同值時指數函數y=ax或對數函數y=logax的圖象,已知a取,,,2,則圖中曲線C1,C2,C3,C4對應的函數中a的值依次為 (　 )
A.,,,2
B.,,2,
C.2,,,
D.2,,,
6.已知a=log43,b=log53,c=log45,則 (　 )
A.bC.a7.[2025·北京北師大實驗中學高一月考] 函數f(x)=ln(-x2+2x)+的定義域為　　　　　　.
8.已知函數f(x)=logax(a>0,a≠1)的圖象經過點(2,-1),則不等式f(x)9.(13分)求下列函數的定義域:
(1)y=;
(2)y=ln(x+1)+.
10.[2025·江蘇蘇州中學月考] 已知偶函數f(x)滿足f(x-2)=f(x+2)且在[0,2]上的解析式為f(x)=則f(2026)+f(2027)= (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
11.[2025·江蘇金湖中學高一月考] 設a=log36,b=21.2,c=lo4,則 (　 )
A.bC.c12.(多選題)已知函數f(x)=logax(a>0,且a≠1)的圖象經過點(9,2),則下列說法正確的是(　 )
A.a=2
B.函數f(x)為增函數
C.若x>3,則f(x)>1
D.若0f
13.若函數f(x)=是減函數,則實數a的取值范圍為　　　　.
14.(15分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若曲線y=f(x)過點,求函數y=f(x2+2)的值域;
(2)若存在x,使f(x-1)+f(2x+3)-2f[a(x+1)]=0成立,求實數a的取值范圍.
15.[2025·江蘇蘇州大學附中高一檢測] 給定條件:①f(x2)=2f(x);②對任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0.寫出同時滿足條件①②的函數f(x)的一個解析式:f(x)=　　　　.
16.(15分)[2025·上海師大附中月考] 已知函數f(x)=logax,其中a>0且a≠1.
(1)若函數y=f(x)的圖象過點(4,2),求不等式f(2x-2)(2)若存在實數x,使得f(x+1)+f(x+2)=2f(ax)成立,求a的取值范圍.

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