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6.3 對數(shù)函數(shù)
第2課時 對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜
合應(yīng)用
探究點一 與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象變換
探究點二 反函數(shù)的概念
探究點三 對數(shù)型函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
探究點四 對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
備課素材
練習(xí)冊
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
能借助于具體的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，得出對數(shù)函數(shù)
,且與指數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù).
知識點一 反函數(shù)的概念
對數(shù)函數(shù) 和_______互為反函數(shù).若兩個函數(shù)
互為反函數(shù),則它們的圖象關(guān)于直線 對稱.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數(shù)與 互為反函數(shù)．( )
×
（2）函數(shù)與的圖象關(guān)于直線 對稱．( )
√
（3）函數(shù)與的圖象關(guān)于直線 對稱.( )
×
[解析] 由，得，因此 的反函數(shù)為
，則與的圖象關(guān)于直線 對稱.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（4）函數(shù)與的圖象關(guān)于直線 對稱.( )
×
[解析] 由，得,則函數(shù)的反函數(shù)為 ，
另外 也不是指數(shù)函數(shù).
知識點二 型函數(shù)性質(zhì)的研究
1.定義域:由解得 的取值范圍,即為函數(shù)的定義域.
2.值域:先由函數(shù)的定義域確定 的值域,再由
的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.
3.單調(diào)性:在定義域內(nèi)考慮與 的單調(diào)性,根據(jù)_______
_____法則判定.（或運用單調(diào)性定義判定）
同增
異減
4.奇偶性:根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.
5.最值:先在的條件下,確定的值域,再根據(jù) 確定函數(shù)
的單調(diào)性,最后確定最值.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）在 上單調(diào)遞增．( )
√
（2）函數(shù)的值域為 ．( )
×
（3）函數(shù)的最小值為 .( )
×
[解析] 因為，而函數(shù)在 上是減函數(shù)，
所以的最大值為 .
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（4）函數(shù) 是偶函數(shù).( )
√
[解析] 函數(shù)的定義域為 ，關(guān)于原點對稱，且
對任意 ，都有
，則函數(shù) 為偶函數(shù).
2.函數(shù) 的定義域是___________________，值域是___，
奇偶性是________，增區(qū)間是________.
偶函數(shù)
探究點一 與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象變換
例1 已知，滿足 ，試畫出函數(shù)
的圖象.
解：由題意得，解得 ，
故，
作 的圖象，如圖中虛線所示，
將函數(shù) 的圖象向左平移1個單位長度，
即可得函數(shù) 的圖象，如圖中實線所示.
變式（1）分別說出下列兩個函數(shù)的圖象和函數(shù) 圖象的關(guān)系，
并在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象：
① ；
解：函數(shù) 的圖象與函數(shù)
的圖象關(guān)于 軸對稱，兩圖象
如圖甲（橫、縱軸單位長度不同）.
變式（1）分別說出下列兩個函數(shù)的圖象和函數(shù) 圖象的關(guān)系，
并在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象：
② .
解：函數(shù)的圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于
軸對稱，兩圖象如圖乙（橫、縱軸單位長度不同）.
（2）畫出函數(shù) 的圖象，并寫出函數(shù)的值域及單調(diào)
區(qū)間.
解： 函數(shù) 的圖象可以按下面步驟得到：
①先把函數(shù) 的圖象向左平移1個單位長度，得到
函數(shù) 的圖象；
②再把函數(shù)的圖象在軸及其上方部分不變，在 軸
下方的部分沿軸翻折到軸上方，即可得到函數(shù) 的
圖象，如圖所示.
函數(shù)的值域為 .
由圖知，函數(shù)的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為
.
探究點二 反函數(shù)的概念
例2（1）函數(shù) 的反函數(shù)為________________，該反
函數(shù)的值域為________，定義域為________.
[解析] 由得 ，所以函數(shù)
的反函數(shù)為，
值域為 ，定義域為 .
（2）函數(shù) 的反函數(shù)圖象過定點
______.
[解析] 互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于直線 對稱，
由于函數(shù)的圖象恒過點 ，所以其反函數(shù)的
圖象過點 .
變式 若點在函數(shù) 的圖象上，點
在的反函數(shù)圖象上，則 ____.
[解析] 方法一：由點在函數(shù) 的圖象上，得
，即，解得.
由 的反函數(shù)為，則，解得 .
方法二：由點在函數(shù) 的圖象上，得
，即，解得，則 .
又點在的反函數(shù)圖象上， 點在 的圖象上，則
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；（2）原函
數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.
探究點三 對數(shù)型函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
角度1 與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
例3（1）函數(shù) 的增區(qū)間是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令，解得或，可知 的定義域
為，
因為二次函數(shù) 的圖象開口向上，對稱軸為，所
以在 內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
又因為 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在
內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減，所以的增區(qū)間是
，故選D.
（2）［2025·江西南昌二中高一月考］已知關(guān)于 的函數(shù)
在上單調(diào)遞增，則實數(shù) 的取值范
圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意，函數(shù)在 上單調(diào)遞減，且
對于任意 恒成立，
則 解得 .故選A.
√
變式（1）已知函數(shù)在 上單調(diào)遞增，
則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由或 ，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為
.故選D.
√
（2）（多選題）下列函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 在 上單調(diào)遞增，故 A正確;
的定義域為，故該函數(shù)在
上無意義，故B錯誤;
是由 （減函數(shù)）和（在上單調(diào)遞
減）復(fù)合而成的，故該函數(shù)在 上單調(diào)遞增，故C正確;
因為 恒成立，所以函數(shù)
的定義域為 ，又是由
（減函數(shù)）和 （在上不單調(diào)）復(fù)合而成的，
所以該函數(shù)在 上不單調(diào)，故D錯誤.故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,一定樹立定義域優(yōu)先的意
識,即由先求定義域，然后借助函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)
和在定義域內(nèi)的單調(diào)性,從而判定的
單調(diào)性，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
角度2 與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域或最值
例4 ［2025·福建莆田二中高一月考］設(shè)
，且 .
（1）求的值及 的定義域；
解：因為 ，且
，
所以，即，解得 .
故 ,
由解得,故的定義域為 .
例4 ［2025·福建莆田二中高一月考］設(shè)
，且 .
（2）求在區(qū)間 上的最值.
解：因為， ，
且，在上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減， 在定義域上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
又，， ，
所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為 .
變式 已知函數(shù), .
（1）當(dāng)時，求 的值域；
解：當(dāng)時，, ,
令,因為在上單調(diào)遞增，所以 ,
則在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，；當(dāng)或時， .
所以的值域為 .
變式 已知函數(shù), .
（2）設(shè)的最小值為,求 的解析式.
解：, ,
令,則 ,
則, .
①當(dāng)，即時,在 上單
調(diào)遞增，
又 在定義域上是增函數(shù)，所以
;
②當(dāng)，即時, 在
上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
又 在定義域上是增函數(shù)，所以
;
③當(dāng)，即時,在 上單
調(diào)遞減，
又 在定義域上是增函數(shù)，所以
.
綜上，
［素養(yǎng)小結(jié)］
求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域或最值時,主要考慮對數(shù)函數(shù)的
單調(diào)性，若是與二次函數(shù)復(fù)合的函數(shù),還要考慮二次函數(shù)的單調(diào)性.
探究點四 對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用
例5 （多選題）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核
由一個質(zhì)子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發(fā)生 衰變，其半
衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時間 （單位:年）的衰變規(guī)律滿
足，其中 表示氚原有的質(zhì)量，則（參考數(shù)據(jù):
）( )
A.
B.經(jīng)過24.86年后，樣本中的氚元素會全部消失
C.經(jīng)過62.15年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?br/>D.若經(jīng)過年后，樣本中氚元素的含量為，則
√
√
[解析] 由題意得，則 ，左右兩邊同時取對
數(shù)得，可得 ，故A錯誤；
當(dāng)時， ，即經(jīng)過24.86年后，
樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼模蔅錯誤；
當(dāng) 時， ，即經(jīng)過62.15年后，
樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?，故C正確；
對于D，由題意得 ，化簡得
，將
代入，可得 ，故D
正確.故選 .
變式 某公司制訂了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當(dāng)銷售利潤不超
過10萬元時，按銷售利潤的 進行獎勵；當(dāng)銷售利潤超過10萬元
時，若超出萬元，則超出部分按 進行獎勵．記銷售人
員獲得的獎金為（單位：萬元），銷售利潤為 （單位：萬元）．
（1）寫出銷售人員獲得的獎金關(guān)于銷售利潤 的關(guān)系式；
解：由題意知
變式 某公司制訂了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當(dāng)銷售利潤不超
過10萬元時，按銷售利潤的 進行獎勵；當(dāng)銷售利潤超過10萬元
時，若超出萬元，則超出部分按 進行獎勵．記銷售人
員獲得的獎金為（單位：萬元），銷售利潤為 （單位：萬元）．
（2）如果銷售員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少
萬元？
解：由題意知老江的銷售利潤超過10萬元，
令，即， ，解得
， 老江的銷售利潤是34萬元．
［素養(yǎng)小結(jié)］
實際問題中對數(shù)型函數(shù)模型要建模準(zhǔn)確，計算時充分利用對數(shù)運算
性質(zhì)，注意變量的實際意義．
對反函數(shù)的理解
（1）由，且得出 ,根據(jù)函數(shù)定義知,對
每一個在區(qū)間上的值,均有唯一的值與之對應(yīng),故是 的函
數(shù),習(xí)慣上用作為自變量,用作為函數(shù)值,則稱是 的
反函數(shù).與，且 互為反函數(shù).
（2）指數(shù)函數(shù)，且 的定義域、值域分別是對數(shù)
函數(shù)，且 的值域、定義域.
（3）指數(shù)函數(shù)，且 的圖象與對數(shù)函數(shù)
，且的圖象關(guān)于直線 對稱.
（4）函數(shù)，且與，且 在
各自的定義域內(nèi)單調(diào)性相同,即當(dāng)時,都為增函數(shù),當(dāng) 時,
都為減函數(shù).
1.利用換元法和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求復(fù)合函數(shù) 的值域
（1）分解成 , 兩個函數(shù);
（2）求 的定義域;
（3）求 的取值范圍;
（4）利用 的單調(diào)性進行求解.
例1 函數(shù) 的值域為__________.
[解析] 要使函數(shù)有意義，則 ，解得
，則函數(shù)的定義域為 .
設(shè) ，則
在上的取值范圍為 ，
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則函數(shù)
的值域為 .
例2 ［2025·河南洛陽強基聯(lián)盟高一聯(lián)考］已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)時，求函數(shù) 的值域；
解：當(dāng)時，，
因為 ，
所以，故的值域是 .
例2 ［2025·河南洛陽強基聯(lián)盟高一聯(lián)考］已知函數(shù)
.
（2）若函數(shù)的最大值是，求 的值；
解：因為函數(shù)的最大值是，所以由對數(shù)函數(shù) 的單調(diào)
性知的最大值為 .
令， ，
若，則 的圖象為開口向上的拋物線在縱軸右側(cè)的部分，沒
有最大值，不滿足題意.
由（1）知 也不滿足題意.
所以，此時，在 處取得最大值，
，解得
（舍去正值）.
例2 ［2025·河南洛陽強基聯(lián)盟高一聯(lián)考］已知函數(shù)
.
（3）已知，，且在區(qū)間 上的取值范圍
為，求實數(shù) 的取值范圍.
解：令，，當(dāng)
時， ，
令，則圖象的對稱軸為 ，
由得 ，所以在上單調(diào)遞增，
又在 上單調(diào)遞增，
所以在 上單調(diào)遞增，
所以即
所以關(guān)于的方程 有兩個不
等正實根，
即 有兩個不等正實根，
即 有兩個大于1的不等實根，
所以解得 ，
即實數(shù)的取值范圍為 .
2.利用對數(shù)型函數(shù)綜合性質(zhì)解決問題
例3 ［2025·廣東深圳寶安中學(xué)高一期中］已知函數(shù)
, .
（1）求關(guān)于的不等式 的解集；
解：不等式即為 ，
令，則 ，即
，
即，即 .
當(dāng)時，，解得，所以，解得 且
；
當(dāng)時，，則由，解得 或
，
所以或，解得或 ；
當(dāng)時，，則由，解得 或
，
所以或，解得或 .
綜上，當(dāng)時，不等式的解集為 ；
當(dāng)時，不等式的解集為 ；
當(dāng)時，不等式的解集為 .
例3 ［2025·廣東深圳寶安中學(xué)高一期中］已知函數(shù)
, .
（2）當(dāng)時，若對任意恒成立，求 的
取值范圍.
解：由題意知對任意 恒
成立，
令，，則， 對任意
恒成立，
所以對任意 恒成立.
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，也在 上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，該函數(shù)在 上的最大
值為 ，
故 .
練習(xí)冊
1.函數(shù) 的反函數(shù)的定義域為( )
A. B. C. D.
[解析] 由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù) 的值域
為，則其反函數(shù)的定義域為 .故選D.
√
2.函數(shù) 的值域為( )
A. B. C. D.
[解析] ,,， 函數(shù) 的值
域為 .故選A.
√
3.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的
特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量（只）與引入時間 （年）的關(guān)
系為 ，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則
第7年它們發(fā)展到( )
A.300只 B.400只 C.600只 D.700只
[解析] 將，代入 ，得
，解得，當(dāng) 時，
.故選A.
√
4.[ 江蘇淮安中學(xué)高一二聯(lián)］函數(shù) 的大致圖象是
( )
A. B. C. D.
[解析] 的圖象就是由的圖象在 軸及其上方部分不
變，在軸下方部分沿軸翻折到 軸上方得到.故選D.
√
5.［2025·福建廈門一中期中］函數(shù) 的增區(qū)間為
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，即 ，
解得，則函數(shù)的定義域為 .
由函數(shù)表示開口向下，且對稱軸為 的拋物線，
為增函數(shù)，
結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)
的增區(qū)間為 .故選A.
√
6.設(shè)函數(shù) ，則下列說法正確的是( )
A.在上是增函數(shù) B.在 上是減函數(shù)
C.在上單調(diào)遞增 D.在 上單調(diào)遞增
[解析] 因為在 上為
增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.故選C.
√
7.函數(shù)與且互為反函數(shù)，且 的圖象
過點，則 ____.
[解析] 由題意可得，的圖象過點 ，則點
在的圖象上，即，解得 ，所以
，所以 .
8.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù) 的值為___.
1
[解析] 由得,由函數(shù) 為奇函數(shù)，得
的定義域關(guān)于原點對稱，，所以 ，
，顯然等式成立，所以 .
9.（13分）已知定義在上的函數(shù) ，且
在 上的最大值為1.
（1）求 的值；
解：， 函數(shù)在 上單調(diào)遞增.
在 上的最大值為1，
，解得 .
9.（13分）已知定義在上的函數(shù) ，且
在 上的最大值為1.
（2）令，求函數(shù) 的值域.
解： ，
.
由解得， 函數(shù)的定義域為 .
令，則， ，
的值域為 .
10.（13分）［2025·北京北大附中元培學(xué)院高一期中］ 天文學(xué)中用
星等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小，星體越亮.視星等是指觀測者
用肉眼所看到的星體亮度；絕對星等是假定把恒星放在距地球32.6光
年的地方測得的恒星的亮度，反應(yīng)恒星的真實發(fā)光本領(lǐng).如果兩顆恒
星的亮度分別為,，視星等分別為, ，那么
.
（1）已知太陽的視星等是 ，夜空中最亮的恒星天狼星的視星
等是 ，求太陽與天狼星的亮度之比.（保留兩位有效數(shù)字，
）
解：設(shè)太陽、天狼星的視星等分別是, ，亮
度分別為, ，
由題意可知 ，可得
，
所以太陽與天狼星的亮度之比約為 .
10.（13分）［2025·北京北大附中元培學(xué)院高一期中］ 天文學(xué)中用
星等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小，星體越亮.視星等是指觀測者
用肉眼所看到的星體亮度；絕對星等是假定把恒星放在距地球32.6光
年的地方測得的恒星的亮度，反應(yīng)恒星的真實發(fā)光本領(lǐng).如果兩顆恒
星的亮度分別為,，視星等分別為, ，那么
.
（2）如果一顆恒星的絕對星等、視星等分別是, ，與地球的距離
是光年，那么 .已知天狼星、織女星、牛郎星的
絕對星等、視星等如下表：
星體 視星等 絕對星等
天狼星 1.44
織女星 0.00 0.55
牛郎星 0.75 2.19
把這三顆恒星按照距離地球從近到遠的順序排序.
解：由，可得 ，
則隨著 增大而增大，
星體 視星等 絕對星等
天狼星 1.44
織女星 0.00 0.55
牛郎星 0.75 2.19
由表可知， 由小到大依次為天狼星、牛郎星、織女星，
所以這三顆恒星按照距離地球從近到遠的順序排序為天狼星、牛郎
星、織女星.
10.（13分）［2025·北京北大附中元培學(xué)院高一期中］ 天文學(xué)中用
星等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小，星體越亮.視星等是指觀測者
用肉眼所看到的星體亮度；絕對星等是假定把恒星放在距地球32.6光
年的地方測得的恒星的亮度，反應(yīng)恒星的真實發(fā)光本領(lǐng).如果兩顆恒
星的亮度分別為,，視星等分別為, ，那么
.
（3）如果一顆恒星的視星等大于絕對星等，能由此推斷出什么結(jié)論？
解：由（2）知，若一顆恒星的視星等大于絕對星等，則 ，
可知 ，
所以該恒星與地球的距離大于32.616光年.
11.（多選題）［2025·江西南昌十中高一月考］ 關(guān)于函數(shù)
，下列說法正確的有( )
A. B.函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對稱
C.函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 D. 在定義域上單調(diào)遞減
√
√
[解析] 對于A，由，可得 ，故
A正確；
對于B,C,因為 ，其定義域為
，顯然定義域關(guān)于原點對稱，
且，即 為奇函
數(shù)，所以 的圖象關(guān)于原點對稱，故B錯誤，C正確；
設(shè)，則，因為在和
上單調(diào)遞減，且 在定義域上單調(diào)遞增，所以
在和 上單調(diào)遞減，故D錯誤.故
選 .
12.［2025·江蘇太湖高級中學(xué)高一月考］已知函數(shù)
若，則 的取
值范圍為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，且
，所以， ，且，
令，則， ，，所以
，
設(shè)函數(shù)，，則易知在 上單調(diào)
遞增，所以，即，所以
.故選B.
13.已知函數(shù)在 上單調(diào)遞增，則實
數(shù) 的取值范圍為________.
[解析] 令，，因為 在定義域上
為增函數(shù),函數(shù)在 上單調(diào)遞增，所
以在上單調(diào)遞增，且
對任意恒成立，
則解得 ，故實數(shù)的取值范圍是 .
14.已知函數(shù),，則函數(shù)
的值域為_______.
[解析] 由得，所以 的定義
域是
，
令，，則 ，，所以當(dāng) 時，，當(dāng)時，
，所以所求函數(shù)的值域為 .
15.已知函數(shù)，若當(dāng)?shù)亩x域為 時實
數(shù)的取值范圍為集合，當(dāng)?shù)闹涤驗闀r實數(shù) 的取值范圍為集
合 ，則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 對于A選項，若的定義域為,則對任意 ，都有
.當(dāng)時，，解得，故 的
定義域不是，不滿足題意；當(dāng) 時，由
.故要想的定義域為，實數(shù) 的取值
范圍為，故 ，A錯誤.
對于B選項，若的值域為，則 能取到所有正
數(shù).當(dāng)時，能取到所有正數(shù)，滿足要求；當(dāng) 時，要
想能取到所有正數(shù)，必須且 ，解
得.綜上，，故 ，故B錯誤.
對于C，D選項， , ，故C錯誤，D正確.
故選D.
16.（15分）[ 江蘇鹽城中學(xué)高一月考］
（1）已知函數(shù)，求在 上的最大值.
解：作函數(shù) 的圖象如圖，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在 上
單調(diào)遞增，且 .
所以當(dāng)時，在上的最大值為 ；
當(dāng)時，在上的最大值為 .
16.（15分）[ 江蘇鹽城中學(xué)高一月考］
（2）設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在區(qū)間 ，滿足：對任意
，存在，使得，則稱區(qū)間為的“
區(qū)間”.已知函數(shù)的定義域為 ，若區(qū)間
為函數(shù)的“ 區(qū)間”，求 的最大值.
解：當(dāng)時，在 上的取值范圍為
，在上的取值范圍為 ，
滿足對任意，存在，使得 ;
當(dāng)時，在上的取值范圍為在 上的
取值范圍為 ，當(dāng)時，，所以
存在 ，，即存在，對任意 ，
都有 ，不滿足題意；
當(dāng)時，同理可得不滿足題意.
所以，即 的最大值是1.
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識點一 【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
知識點二 3.同增異減 【診斷分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2. 偶函數(shù)
課中探究 探究點一 例1 圖略 變式（1）①圖象關(guān)于軸對稱，圖略 ②圖象關(guān)于軸對稱，圖略
（2）圖略， ， 值域為，增區(qū)間為
探究點二 例2 （1） （2） 變式
探究點三 角度1 例3 （1）D （2）A 變式 （1）D （2）AC
角度2 例4 （1），的定義域為（2）最大值為，最小值為.
變式 （1） （2）m>
探究點四 例5 CD 變式 （1） （2）34萬元
練習(xí)冊
基礎(chǔ)鞏固 1.D 2.A 3.A 4.D 5.A 6.C 7. 8.1 9.（1）（2）
10.（1）約為
（2）這三顆恒星按照距離地球從近到遠的順序排序為天狼星、牛郎星、織女星.
（3）該恒星與地球的距離大于32.616光年
綜合提升 11.AC 12.B 13. 14.
思維探索 15.D 16.（1）當(dāng)時，在上的最大值為；當(dāng)時，在上的最大值為
（2）的最大值是1
第2課時　對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
y=ax
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (3)由y=2x+1,得x=y-,因此y=2x+1的反函數(shù)為y=x-,則y=2x+1與y=x-的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
(4)由y=log5x,得x=5y,則函數(shù)y=log5x的反函數(shù)為y=5x,另外y=(-5)x也不是指數(shù)函數(shù).
知識點二
3.同增異減
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (3)因為t=x2+5≥5,而函數(shù)y=log0.2t在(0,+∞)上是減函數(shù),所以y=log0.2(x2+5)的最大值為log0.25=lo5=-1.
(4)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱,且對任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=log5|-x|=log5|x|=f(x),則函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
2.(-∞,-1)∪(1,+∞)　R　偶函數(shù)　(1,+∞)
【課中探究】
探究點一
例1　解:由題意得f(-5)=loga|-5|=loga5=1,解得a=5,
故f(x)=log5|x|,作f(x)的圖象,如圖中虛線所示,將函數(shù)f(x)=log5|x|的圖象向左平移1個單位長度,
即可得函數(shù)y=log5|x+1|的圖象,如圖中實線所示.
變式　解:(1)①函數(shù)y=lg x的圖象與函數(shù)y=lg(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱,兩圖象如圖甲(橫、縱軸單位長度不同).
②函數(shù)y=-lg x的圖象與函數(shù)y=lg x的圖象關(guān)于x軸對稱,兩圖象如圖乙(橫、縱軸單位長度不同).
(2)函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象可以按下面步驟得到:
①先把函數(shù)y=log2x的圖象向左平移1個單位長度,得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象;
②再把函數(shù)y=log2(x+1)的圖象在x軸及其上方部分不變,在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,即可得到函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,如圖所示.∴函數(shù)y=|log2(x+1)|的值域為[0,+∞).
由圖知,函數(shù)y=|log2(x+1)|的減區(qū)間為(-∞,0),增區(qū)間為(0,+∞).
探究點二
例2　(1)y=lox(x≥1)　[0,+∞)　[1,+∞)　(2)(2,0)
[解析] (1)由y=(x≥0)得x=loy(y≥1),所以函數(shù)y=(x≥0)的反函數(shù)為y=lox(x≥1),值域為[0,+∞),定義域為[1,+∞).
(2)互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱,由于函數(shù)y=loga(x+1)+2的圖象恒過點(0,2),所以其反函數(shù)的圖象過點(2,0).
變式　-2　[解析] 方法一:由點P(4,2)在函數(shù)f(x)=logax的圖象上,得f(4)=loga4=2,即a2=4,解得a=2.由f(x)=log2x的反函數(shù)為g(x)=2x,則g(m)=2m=,解得m=-2.
方法二:由點P(4,2)在函數(shù)f(x)=logax的圖象上,得f(4)=loga4=2,即a2=4,解得a=2,則f(x)=log2x.又點Q在f(x)的反函數(shù)圖象上,∴點在f(x)的圖象上,則m=log2=-2.
探究點三
例3　(1)D　(2)A　[解析] (1)令x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,可知f(x)的定義域為(-∞,-2)∪(4,+∞),因為二次函數(shù)u=x2-2x-8的圖象開口向上,對稱軸為x=1,所以u=x2-2x-8在(4,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞減,又因為y=ln u在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)=ln(x2-2x-8)在(4,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)的增區(qū)間是(4,+∞),故選D.
(2)由題意,函數(shù)y=x2+ax+a-1在(-4,-3)上單調(diào)遞減,且x2+ax+a-1>0對于任意x∈(-4,-3)恒成立,則解得a≤4.故選A.
變式　(1)D　(2)AC　[解析] (1)由x2-4x-5>0 (x+1)(x-5)>0 x<-1或x>5,易知函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(5,+∞)上單調(diào)遞增.又函數(shù)f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,所以a≥5,即a的取值范圍為[5,+∞).故選D.
(2)y=log2(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故 A正確;y=log2的定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞),故該函數(shù)在(0,1]上無意義,故B錯誤;y=log0.2是由y=log0.2u(減函數(shù))和u=(在(0,+∞)上單調(diào)遞減)復(fù)合而成的,故該函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C正確;因為x2-4x+5=(x-2)2+1>0恒成立,所以函數(shù)y=lo(x2-4x+5)的定義域為R,又y=lo(x2-4x+5)是由y=lot(減函數(shù))和t=x2-4x+5(在(0,+∞)上不單調(diào))復(fù)合而成的,所以該函數(shù)在(0,+∞)上不單調(diào),故D錯誤.故選AC.
例4　解:(1)因為f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2,
所以f(1)=loga2+loga2=2,即loga2=1,解得a=2.
故f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),
由解得-1(2)因為f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2(-x2+2x+3),x∈,
且y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,在上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,y=log2x在定義域上單調(diào)遞增,
所以f(x)在上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,
又f(1)=2,f(2)=log23,f=log2>log23,
所以f(x)在區(qū)間上的最大值為f(1)=2,最小值為f(2)=log23.
變式　解:(1)當(dāng)m=-2時,f(x)=(log2x)2-4log2x+4,x∈[2,8],令t=log2x,因為t=log2x在[2,8]上單調(diào)遞增,所以t=log2x∈[1,3],則y=t2-4t+4=(t-2)2在[1,2]上單調(diào)遞減,在[2,3]上單調(diào)遞增.
當(dāng)t=2時,ymin=0;當(dāng)t=1或t=3時,ymax=1.
所以f(x)的值域為[0,1].
(2)f(x)=(log2x)2+2mlog2x+2-m,x∈[2,8],
令t=log2x,則t=log2x∈[1,3],
則y=t2+2mt+2-m=(t+m)2-m2+2-m,t∈[1,3].
①當(dāng)-m≤1,即m≥-1時,y=(t+m)2-m2+2-m在[1,3]上單調(diào)遞增,
又t=log2x在定義域上是增函數(shù),所以h(m)=(1+m)2-m2+2-m=m+3;
②當(dāng)1<-m<3,即-3又t=log2x在定義域上是增函數(shù),所以h(m)=(-m+m)2-m2+2-m=-m2-m+2;
③當(dāng)-m≥3,即m≤-3時,y=(t+m)2-m2+2-m在[1,3]上單調(diào)遞減,
又t=log2x在定義域上是增函數(shù),所以h(m)=(3+m)2-m2+2-m=5m+11.
綜上,h(m)=
探究點四
例5　CD　[解析] 由題意得N=N0·,則=,左右兩邊同時取對數(shù)得log2=-,可得t=-12.43log2,故A錯誤;當(dāng)t=24.86時,N=N0·=2-2·N0=N0,即經(jīng)過24.86年后,樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?故B錯誤;當(dāng)t=62.15時,N=N0·=2-5·N0=N0,即經(jīng)過62.15年后,樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?故C正確;對于D,由題意得0.4N0=N0·,化簡得x=-12.43log2=-12.43log2=-12.43(log22-log25)=-12.43(1-log25)=-12.43=-12.43,將lg 2≈0.301代入,可得x≈-12.43≈16.44>16,故D正確.故選CD.
變式　解:(1)由題意知y=
(2)由題意知老江的銷售利潤超過10萬元,令1.5+2log5(x-9)=5.5,即log5(x-9)=2,∴x-9=52,解得x=34,∴老江的銷售利潤是34萬元.第2課時　對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
1.D　[解析] 由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得,函數(shù)y=log3x的值域為[-1,4],則其反函數(shù)的定義域為[-1,4].故選D.
2.A　[解析] ∵3x>0,∴3x+1>1,∴l(xiāng)og2(3x+1)>0,∴函數(shù)f(x)的值域為(0,+∞).故選A.
3.A　[解析] 將x=1,y=100代入y=alog2(x+1),得100=alog2(1+1),解得a=100,當(dāng)x=7時,y=100log2(7+1)=300.故選A.
4.D　[解析] y=|ln x|的圖象就是由y=ln x的圖象在x軸及其上方部分不變,在x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方得到.故選D.
5.A　[解析] 由-x2+2x+3>0,即x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,解得-16.C　[解析] f(x)=|lg x|=因為y=lg x在(0,+∞)上為增函數(shù),所以f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增.故選C.
7.-1　[解析] 由題意可得f(x)=logax,g(x)的圖象過點(-2,4),則點(4,-2)在f(x)的圖象上,即-2=loga4,解得a=,所以f(x)=lox,所以f(1)+f(2)=lo1+lo2=0-1=-1.
8.1　[解析] 由>0得(x+1)(x-a)<0,由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),得f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,f(x)=-f(-x),所以a=1,log3=-log3,顯然等式成立,所以a=1.
9.解:(1)∵a>1,∴函數(shù)f(x)=logax在上單調(diào)遞增.
∵f(x)在上的最大值為1,
∴f(3)=loga3=1,解得a=3.
(2)∵a=3,∴F(x)=log3+log3=log3=log3.
由解得-令t=-x2,則t∈,∴F(x)≤log3=-2,
∴F(x)的值域為(-∞,-2].
10.解:(1)設(shè)太陽、天狼星的視星等分別是m2=-26.70,m1=-1.47,亮度分別為E2,E1,
由題意可知(-26.70)-(-1.47)=-2.5lg,可得=1010.092=1010×100.092≈1.2×1010,
所以太陽與天狼星的亮度之比約為1.2×1010.
(2)由M=m+5lg,可得d=32.616×1,
則d隨著m-M增大而增大,
星體 視星等 絕對星等 m-M
天狼星 -1.47 1.44 -2.91
織女星 0.00 0.55 -0.55
牛郎星 0.75 2.19 -1.44
由表可知,m-M由小到大依次為天狼星、牛郎星、織女星,
所以這三顆恒星按照距離地球從近到遠的順序排序為天狼星、牛郎星、織女星.
(3)由(2)知,若一顆恒星的視星等大于絕對星等,則m-M>0,可知d=32.616×1>32.616,
所以該恒星與地球的距離大于32.616光年.
11.AC　[解析] 對于A,由f(x)=log3,可得f(2)=log33=1,故A正確;對于B,C,因為f(x)=log3=log3,其定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞),顯然定義域關(guān)于原點對稱,且f(-x)=log3=log3=log3=-f(x),即f(x)為奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,故B錯誤,C正確;設(shè)t=+1,則y=log3t,因為t=+1在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,且y=log3t在定義域上單調(diào)遞增,所以f(x)=log3在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,故D錯誤.故選AC.
12.B　[解析] 因為函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,且f(a)=f(b)(a13.[8,+∞)　[解析] 令t=-x2+ax+15,x∈,因為y=log2t在定義域上為增函數(shù),函數(shù)f(x)=log2(-x2+ax+15)在上單調(diào)遞增,所以t=-x2+ax+15在上單調(diào)遞增,且t=-x2+ax+15>0對任意x∈恒成立,則解得a≥8,故實數(shù)a的取值范圍是[8,+∞).
14.[6,13]　[解析] 由得1≤x≤3,所以y=[f(x)]2+f(x2)的定義域是[1,3].y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6,令t=log3x,x∈[1,3],則t∈[0,1],y=[f(x)]2+f(x2)=t2+6t+6=(t+3)2-3,所以當(dāng)t=0時,ymin=6,當(dāng)t=1時,ymax=13,所以所求函數(shù)的值域為[6,13].
15.D　[解析] 對于A選項,若f(x)的定義域為R,則對任意x∈R,都有ax2+2x+3>0.當(dāng)a=0時,2x+3>0,解得x>-,故f(x)的定義域不是R,不滿足題意;當(dāng)a≠0時,由 a>.故要想f(x)的定義域為R,實數(shù)a的取值范圍為a>,故A=,A錯誤.對于B選項,若f(x)的值域為R,則y=ax2+2x+3能取到所有正數(shù).當(dāng)a=0時,2x+3能取到所有正數(shù),滿足要求;當(dāng)a≠0時,要想ax2+2x+3能取到所有正數(shù),必須Δ=4-12a≥0且a>0,解得016.解:(1)f(x)=作函數(shù)f(x)的圖象如圖,所以函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且f=f(2)=1.
所以當(dāng)當(dāng)m>2時,f(x)在上的最大值為f(m)=log2m.
(2)當(dāng)滿足對任意x1∈A,存在x2∈ IA,使得f(x1)=f(x2);
當(dāng)1當(dāng)1≤x1當(dāng)a=2時,同理可得不滿足題意.所以【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　能借助于具體的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象,得出對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù).
◆ 知識點一　反函數(shù)的概念
對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)和　　　　　　互為反函數(shù).若兩個函數(shù)互為反函數(shù),則它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=log4x與y=x4互為反函數(shù). (　 )
(2)函數(shù)y=3x與y=log3x的圖象關(guān)于直線y=x對稱. (　 )
(3)函數(shù)y=2x+1與y=2x-1的圖象關(guān)于直線y=x對稱. (　 )
(4)函數(shù)y=log5x與y=(-5)x的圖象關(guān)于直線y=x對稱. (　 )
◆ 知識點二　y=logaf(x)型函數(shù)性質(zhì)的研究
1.定義域:由f(x)>0解得x的取值范圍,即為函數(shù)的定義域.
2.值域:先由函數(shù)y=logaf(x)的定義域確定t=f(x)的值域,再由y=logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.
3.單調(diào)性:在定義域內(nèi)考慮t=f(x)與y=logat的單調(diào)性,根據(jù)　　　　法則判定.(或運用單調(diào)性定義判定)
4.奇偶性:根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.
5.最值:先在f(x)>0的條件下,確定t=f(x)的值域,再根據(jù)a確定函數(shù)y=logat的單調(diào)性,最后確定最值.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)y=log2x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增. (　 )
(2)函數(shù)y=lo(x2+1)的值域為[0,+∞).(　 )
(3)函數(shù)y=log0.2(x2+5)的最小值為-1. (　 )
(4)函數(shù)f(x)=log5|x|是偶函數(shù). (　 )
2.函數(shù)y=log2(x2-1)的定義域是　　　　　　　　　,值域是　　　　,奇偶性是　　　　,增區(qū)間是　　　　.
◆ 探究點一　與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象變換
例1 已知f(x)=loga|x|,滿足f(-5)=1,試畫出函數(shù)y=loga|x+1|的圖象.
變式 (1)分別說出下列兩個函數(shù)的圖象和函數(shù)y=lg x圖象的關(guān)系,并在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象:
①y=lg(-x);
②y=-lg x.
(2)畫出函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,并寫出函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間.
◆ 探究點二　反函數(shù)的概念
例2 (1)函數(shù)y=(x≥0)的反函數(shù)為　　　　　,該反函數(shù)的值域為　　　　,定義域為　　　　.
(2)函數(shù)y=loga(x+1)+2(a>0,a≠1)的反函數(shù)圖象過定點　　　　.
變式 若點P(4,2)在函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)的圖象上,點Q在f(x)的反函數(shù)圖象上,則m=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;(2)原函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.
◆ 探究點三　對數(shù)型函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
角度1　與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性　　　　　 　　　　　 　　　　　
例3 (1)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的增區(qū)間是 (　 )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(2)[2025·江西南昌二中高一月考] 已知關(guān)于x的函數(shù)y=lo(x2+ax+a-1)在(-4,-3)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是 (　 )
A.a≤4 B.a<4
C.a≤6 D.a<6
變式 (1)已知函數(shù)f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
(2)(多選題)下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是 (　 )
A.y=log2(x+1)
B.y=log2
C.y=log0.2
D.y=lo(x2-4x+5)
[素養(yǎng)小結(jié)]
求形如y=logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,一定樹立定義域優(yōu)先的意識,即由f(x)>0先求定義域,然后借助函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)t=f(x)和y=logat在定義域內(nèi)的單調(diào)性,從而判定y=logaf(x)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
角度2　與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域或最值
例4 [2025·福建莆田二中高一月考] 設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定義域;
(2)求f(x)在區(qū)間上的最值.
變式 已知函數(shù)f(x)=(log2x)2+2mlog2x+2-m,x∈[2,8].
(1)當(dāng)m=-2時,求f(x)的值域;
(2)設(shè)f(x)的最小值為h(m),求h(m)的解析式.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域或最值時,主要考慮對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,若是與二次函數(shù)復(fù)合的函數(shù),還要考慮二次函數(shù)的單調(diào)性.
◆ 探究點四　對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用
例5 (多選題)氚,亦稱超重氫,是氫的同位素之一,它的原子核由一個質(zhì)子和兩個中子組成,并帶有放射性,會發(fā)生β衰變,其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量N隨時間t(單位:年)的衰變規(guī)律滿足N=N0·,其中N0表示氚原有的質(zhì)量,則(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301) (　 )
A.t=12.43log2
B.經(jīng)過24.86年后,樣本中的氚元素會全部消失
C.經(jīng)過62.15年后,樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?br/>D.若經(jīng)過x年后,樣本中氚元素的含量為0.4N0,則x>16
變式 某公司制訂了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時,按銷售利潤的15%進行獎勵;當(dāng)銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進行獎勵.記銷售人員獲得的獎金為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元).
(1)寫出銷售人員獲得的獎金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式;
(2)如果銷售員老江獲得5.5萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元
[素養(yǎng)小結(jié)]
實際問題中對數(shù)型函數(shù)模型要建模準(zhǔn)確,計算時充分利用對數(shù)運算性質(zhì),注意變量的實際意義.第2課時　對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
1.函數(shù)y=log3x的反函數(shù)的定義域為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,+∞) B.
C.(1,4) D.[-1,4]
2.函數(shù)f(x)=log2(3x+1)的值域為 (　 )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
3.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖,引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物,已知該動物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只,則第7年它們發(fā)展到 (　 )
A.300只 B.400只
C.600只 D.700只
4.[2025·江蘇淮安中學(xué)高一二聯(lián)] 函數(shù)y=|ln x|的大致圖象是 (　 )
A B C D
5.[2025·福建廈門一中期中] 函數(shù)y=ln(-x2+2x+3)的增區(qū)間為 (　 )
A.(-1,1) B.(-∞,1)
C.(1,3) D.(1,+∞)
6.設(shè)函數(shù)f(x)=|lg x|,則下列說法正確的是 (　 )
A.f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
B.f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)
C.f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增
D.f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增
7.函數(shù)f(x)與g(x)=ax(a>0且a≠1)互為反函數(shù),且g(x)的圖象過點(-2,4),則f(1)+f(2)=　　　　.
8.已知函數(shù)f(x)=log3為奇函數(shù),則實數(shù)a的值為　　　　.
9.(13分)已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=logax(a>1),且f(x)在上的最大值為1.
(1)求a的值;
(2)令F(x)=f+f,求函數(shù)F(x)的值域.
10.(13分)[2025·北京北大附中元培學(xué)院高一期中] 天文學(xué)中用星等表示星體亮度,星等的數(shù)值越小,星體越亮.視星等是指觀測者用肉眼所看到的星體亮度;絕對星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方測得的恒星的亮度,反應(yīng)恒星的真實發(fā)光本領(lǐng).如果兩顆恒星的亮度分別為E1,E2,視星等分別為m1,m2,那么m2-m1=-2.5lg.
(1)已知太陽的視星等是-26.70,夜空中最亮的恒星天狼星的視星等是-1.47,求太陽與天狼星的亮度之比.(保留兩位有效數(shù)字,100.092=1.235…)
(2)如果一顆恒星的絕對星等、視星等分別是M,m,與地球的距離是d光年,那么M=m+5lg.已知天狼星、織女星、牛郎星的絕對星等、視星等如下表:
星體 視星等 絕對星等
天狼星 -1.47 1.44
織女星 0.00 0.55
牛郎星 0.75 2.19
把這三顆恒星按照距離地球從近到遠的順序排序.
(3)如果一顆恒星的視星等大于絕對星等,能由此推斷出什么結(jié)論
11.(多選題)[2025·江西南昌十中高一月考] 關(guān)于函數(shù)f(x)=log3,下列說法正確的有 (　 )
A.f(2)=1
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱
C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱
D.f(x)在定義域上單調(diào)遞減
12.[2025·江蘇太湖高級中學(xué)高一月考] 已知函數(shù)f(x)=若f(a)=f(b)(aA. B.
C. D.
13.已知函數(shù)f(x)=log2(-x2+ax+15)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為　　　　.
14.已知函數(shù)f(x)=2+log3x,x∈[1,9],則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域為　　　　.
15.已知函數(shù)f(x)=log4(ax2+2x+3),若當(dāng)f(x)的定義域為R時實數(shù)a的取值范圍為集合A,當(dāng)f(x)的值域為R時實數(shù)a的取值范圍為集合B,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.A= B.B=
C.A∩B= D.A∪B=[0,+∞)
16.(15分)[2025·江蘇鹽城中學(xué)高一月考] (1)已知函數(shù)f(x)=|log2x|,求f(x)在上的最大值.
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,若存在區(qū)間A I,滿足:對任意x1∈A,存在x2∈ IA,使得f(x1)=f(x2),則稱區(qū)間A為f(x)的“Γ區(qū)間”.已知函數(shù)f(x)=|log2x|的定義域為I=,若區(qū)間A=為函數(shù)f(x)的“Γ區(qū)間”,求a的最大值.

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