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(共53張PPT)
8.1 二分法與求方程近似解
8.1.2 用二分法求方程的近似解
探究點一 二分法的概念
探究點二 求方程的近似解
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
能利用零點存在定理，借助具體連續函數的圖象，利用二分法
求方程的近似解.
知識點一 二分法的定義
一般地，對于在區間 上圖象連續不斷且_____________的函數
,通過不斷地把它的零點所在區間__________,使所得區間的
兩個端點________________________,進而得到零點________的方法.
一分為二
逐步逼近函數的零點
近似值
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數 可以用二分法求零點．( )
×
（2）所有函數的零點都可以用二分法來求． ( )
×
2.已知函數在區間 內有零點,且單調遞增，采用什么方
法能進一步有效縮小零點所在的區間
解：可采用“取中點”的方法逐步縮小零點所在的區間.
知識點二 用二分法求方程近似解的步驟
給定精確度,用二分法求函數零點 的近似值的一般步驟:
（1）確定零點 所在的初始區間______.這一步的關鍵是①使區間長
度盡量小;,的值比較容易計算;, 異號.
（2）求區間的______.利用公式 即可求解.
中點
給定精確度,用二分法求函數零點 的近似值的一般步驟:
（3）計算,并進一步確定零點 所在的區間.
①若_________（此時）,則 就是函數的零點;②若
（此時 ______）,則令;③若
此時,則令 .這一步的目的是縮小零點所在的區間,也
就是所謂的“二分”.
（4）判斷是否達到精確度若___________,則得到零點近似值
（或 ）；否則重復第（2）（3）（4）步.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）用二分法求函數零點的近似值時，每次等分區間后，零點必定
在右側區間內．( )
×
[解析] 用二分法求函數零點的近似值時，每次等分區間后，零點既
可以在左側區間內，也可以在右側區間內.
（2）用二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
×
[解析] 用二分法所求出的方程的解可能是準確解．
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）用二分法求方程在區間 上的近似解時,經計算得
,,則方程的一個近似解可取為
（精確度為0.1）.( )
[解析] 因為,所以方程 的
一個近似解可取為0.6.
√
探究點一 二分法的概念
例1（1）已知函數 的圖象如圖所示，其中零
點的個數與可以用二分法求解的零點個數分別為
( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
[解析] 題中圖象與 軸有4個交點，所以零點的個數為4.
左右兩側函數值異號的零點有3個，所以可以用二分法求解的零點個數
為3.故選D.
√
（2）［2025·上海大同中學高一月考］用“二分法”求方程
在區間 內的實根，取區間中點三次，可以確定
根所在的最小區間是( )
A. B.
C. D.
[解析] 令，則， ，
由，， ，得所求區間
為 .故選C.
√
（3）已知函數在區間 內單調遞增且
，用二分法求方程 近似解（精確度為0.05）
時，需要求中點值的次數為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 所給區間 的長度等于1，每經過一次操作，區間長度變
為原來的一半.
經過1次操作，區間長度變為 ；經過兩次操作，區間長度變為；
經過3次操作，區間長度變為 ，經過4次操作，區間長度變為
，經過5次操作區間長度變為 .
所以需要求中點值的次數為5.故選C.
√
［素養小結］
判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是其圖象在零點附近是連
續不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數的零點近似
值的方法僅對函數的變號零點適用，對函數的不變號零點不適用．
探究點二 求方程的近似解
例2 用二分法求方程 的近似解（精確度為0.1）.
解：令，因為， ，
所以，
又易知是增函數，所以函數 有一個零點且在 內存在零點，
即方程在 內有解．
列表如下，
1 0.5
0.5 0.75
0.25 0.625
0.125
因為 ，所以方程的近似解為0.75．
變式 ［2025·湖北黃岡蘄春一中高一月考］ 函數
的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次
計算，參考數據如表：
那么方程 的一個近似根（精確度為0.1）為
___________________.
1.4（答案不唯一）
[解析] 因為，所以函數的一個零點在 內；
因為，所以函數的一個零點在 內；
因為，所以函數的一個零點在 內；
因為，所以函數 的一個零點在
內.
因為 ，所以方程
的一個近似根（精確到0.1）可取為1.4.
［素養小結］
用二分法求方程的近似解的思路和方法:
（1）根據函數的零點與對應方程解的關系可知,求函數的零點與求對
應方程的解是等價的,所以求方程的近似解,可按照用二分法
求函數零點近似值的步驟求解.
（2）對于求形如的方程的近似解,可以通過移項轉化為
求函數的零點的近似值,然后按照用二分法求函
數零點近似值的步驟求解.
應用二分法求方程的近似解應注意的問題
二分法不是萬能的,只有滿足的圖象在區間 上連續不斷,
時，方程 的解才能用二分法求解.因此,它
只能求解函數的變號零點,不能求解不變號零點.
求函數零點的近似值
利用二分法求函數在區間上的零點,就是不斷地把函數
的零點所在的區間一分為二,并通過判斷區間兩端點處函數值乘積的
正負情況,使區間的兩個端點逐步逼近零點,從而找到零點的近似值.
例 已知函數在 上單調遞增，用二分法求方
程的正根精確度為 .
解：因為函數在 上單調遞增，
所以方程 的正根最多有一個.
因為， ，
所以方程的正根在內，取 為初始區間，用二分法逐次計算，
列出下表：
區間 中點值 中點函數值的近似值
0.5 0.732
0.25
0.375 0.328
0.124
0.021
因為，所以方程 的正根
可取為 .
練習冊
1.給出下列關于函數, 的說法:
①若,且滿足,則是 的一個零點;
②若是在上的零點,則可用二分法求 的近似值;
③函數的零點是方程的根,但方程 的根不一定
是函數 的零點;
④用二分法求方程的根時,得到的都是近似值.
其中正確說法的序號為( )
A.① B.② C.③ D.④
√
[解析] ,且,是的一個零點, 中說
法正確;
②函數的圖象不一定連續不斷,且不一定是 的變號
零點，則不一定能用二分法求的近似值， 中說法錯誤;
③方程的根一定是函數的零點, 中說法錯誤;
④用二分法求方程的根時,得到的根也可能是精確值, 中說法錯誤.
故選A.
2.小明同學在用二分法研究函數在區間 上的零點時，發現
，， ，那么他下一步應計算( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意知，零點在區間上，因此下一步應計算 ，
故選C.
√
3.要用二分法求函數在區間 內的一個零點的
近似值，一組數據如下表所示：
1 1.5 1.25 1.375
0.875 0.225
那么的一個零點的近似值精確度為 可取為( )
A.1 B.1.5 C.1.25 D.
√
[解析] 在 上的圖象連續不斷，
， ，且
，所以函數 的一個零點的近似
值可取為 .故選D.
4.用二分法求方程 的近似解時，已經將根鎖定在區
間 內，則下一步可斷定該根所在的區間為( )
A. B. C. D.
[解析] ,
，
因為 ,所以，所以,所以
，則，所以下一步可斷定該根所在的區間為
. 故選B.
√
5.用二分法求函數在區間 上的零點，要求精確度
為 ，則需要二分區間的次數為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 初始區間 的長度等于1，每經過一次二分區間的操作，
區間長度變為原來的一半，則經過次操作，區間的長度為 ,
因為, ，所以需要二分區間的次數為7.
故選C.
√
6.［2025·廣東深圳外國語學校高一期末］用二分法求方程
的近似解時，所取的第一個區間可以是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令，則 ，
，
，
， .
故用二分法求方程 的近似解時，所取的第一個區間可
以是 .故選B.
7.用二分法研究函數 的零點時，第一次計算得
,，第二次應計算，則 等于_____.
0.25
[解析] 因為,，所以函數在 上有零點，
又，所以第二次應計算，即 .
8.［2025·上海徐匯區高一診斷］用二分法求函數在區間 上
的零點的近似值，計算得， ,
,.下一次應求，則 ______.
2.875
[解析] 由二分法的求解過程知，下一次所求 為
，所以 .
9.（13分）用二分法求函數的零點.精確度為
解：易知函數在 上單調遞增，
因為,，所以 ，
所以在上存在唯一的零點，記為 .
又，
所以 ，所以.
因為 ，
所以，所以 .
因為，所以 ,所
以 .
因為 ,
所以,所以 .
因為 ,
所以,所以 .
因為 ，
所以 的零點可取為1.2.
10.（13分）證明在區間 內有解，設
，根據下表，并求方程的近似解精確度為 .
區間
解：易知在定義域內是增函數，因為 ，
，所以方程在區間 內有唯
一解.
由題中所給數據得 ，所以方
程 的近似解可取為1.4.
11.［2024·上海虹口區期末］若在用二分法尋找函數
零點的過程中，依次確定了零點所在區間
為,,，則實數和 分別等于( )
A., B.2，3 C.,2 D.,
√
[解析] 函數 ，
根據指數函數與反比例函數的性質，可得函數在 上單調
遞增，所以函數在 內至多有一個零點.
因為依次確定了零點所在區間為,,，
所以 即解得 故選A.
12.（多選題）用二分法求方程 的近似解時，設函數
，通過計算給出如下對應值表：
1.25 1.375 1.5
0.02 0.33
分析表中數據，下列說法正確的是( )
A.
B.方程 有實數解
C.若精確度為 ，則近似解可取為1.4
D.若精確度為 ，則近似解可取為1.3
√
√
[解析] 與都是 上的增函數，
是上的增函數，在 上至多有一個零點.
由表格中的數據可知，，在
上有唯一零點，且零點所在的區間為， ，
A錯誤；
方程有實數解，B正確；
，，，
方程的近似解可取為，C正確，D錯誤.故選 .
13.（多選題）下列方程中，可以用二分法求近似解的有( )
A. B.
C. D.
[解析] 對于A，在上單調遞增，在
上圖象連續不斷，且， ，則可以使
用二分法求原方程的近似解；
對于B，在 上圖象連續不斷且單調遞增，又
， ，所以可以使用二分法求原方程的近似解；
√
√
√
對于C， ，故不可以使用二分法求原方程的
近似解；
對于D，在上單調遞增，在 上
圖象連續不斷，且， ，則可以使用二
分法求原方程的近似解.故選 .
14.函數有零點，但不能用二分法求出，則，
的關系是________．
[解析] 函數有零點，但不能用二分法求出，
函數的圖象與軸相切， ，
.
15.在16枚嶄新的金幣中，有1枚外表與真幣完全相同的假幣
（比真幣略輕）.現只有一臺天平，利用二分法的思想（每次均二等
分），則需要___次就可以找出這枚假幣.
4
[解析] 利用二分法的思想，需要4次就可以找出這枚假幣.
第一次把16枚金幣平均分成兩組，放在天平上稱，天平一定不平衡，
輕的一組（8枚金幣）含假幣；
第二次把含假幣的8枚金幣平均分成兩組，放在天平上稱，天平一定
不平衡，輕的一組（4枚金幣）含假幣；
第三次把含假幣的4枚金幣平均分成兩組，放在天平上稱，天平一定不
平衡，輕的一組（2枚金幣）含假幣；
第四次把含假幣的2枚金幣放在天平上稱，天平一定不平衡，輕的一邊
是假幣.
16.（15分）隨著社會的發展，電動車進入了千家萬戶，給我們的生
活帶來了極大的方便.某品牌電動車2021年平均每臺電動車的生產成
本為15萬元，并以純利潤 標定出廠價.2022年開始，公司加強管
理，降低生產成本.2025年平均每臺電動車盡管出廠價僅是2021年出
廠價的，但卻實現了純利潤 的高收益.以2021年的生產成本
為基數，用二分法求 年生產成本平均每年降低的百分數
精確度為參考數據：, ,
,,, ,
.
解：設2025年平均每臺電動車的生產成本為 萬元，依題意得
，解得 ，所以2025
年平均每臺電動車的生產成本約為9.24萬元.
設年生產成本平均每年降低的百分數為 ，
根據題意，得 ，
令，可得, 的對應值如表，
0.1 0.15 0.2 0.3
則，故函數在區間內有零點 .
取區間的中點，可得 ，則
，得 .
取的中點，得 ，因為
，所以 ，
同理 ，
又 ，所以原方程的近似解可取為，
故 年生產成本平均每年降低約 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 一分為二 逐步逼近函數的零點 近似值
【診斷分析】 1.（1）× （2）× 2. 可采用“取中點”的方法
知識點二 （1） （2）中點 （3） （4）
【診斷分析】 （1）× （2）× （3）√
課中探究 探究點一 例1 （1）D （2）C （3）C
探究點二 例2 0.75 變式 1.4（答案不唯一）
練習冊
基礎鞏固
1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.0.25 8.2.875
9. 的零點可取為1.2
10. 方程的近似解可取為1.4
綜合提升
11.A 12.BC 13.ABD 14.
思維探索
15.4
16. 年生產成本平均每年降低約8.1.2　用二分法求方程的近似解
【課前預習】
知識點一
f(a)f(b)<0　一分為二　逐步逼近函數f(x)的零點
近似值
診斷分析
1.(1)×　(2)×
2.解:可采用“取中點”的方法逐步縮小零點所在的區間.
知識點二
(1)[a,b]　(2)中點c　(3)①f(c)=0　②(a,c)
(4)|a-b|<ε
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)用二分法求函數零點的近似值時,每次等分區間后,零點既可以在左側區間內,也可以在右側區間內.
(2)用二分法所求出的方程的解可能是準確解.
(3)因為|0.562 5-0.625|=0.062 5<0.1,所以方程f(x)=0的一個近似解可取為0.6.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D　(2)C　(3)C　[解析] (1)題中圖象與x軸有4個交點,所以零點的個數為4.左右兩側函數值異號的零點有3個,所以可以用二分法求解的零點個數為3.故選D.
(2)令f(x)=x3-2x-5,則f(2)=-1,f(3)=16,由f(2.5)=5.625,f(2.25)≈1.891,f(2.125)≈0.346,得所求區間為(2,2.125).故選C.
(3)所給區間(2,3)的長度等于1,每經過一次操作,區間長度變為原來的一半.經過1次操作,區間長度變為;經過兩次操作,區間長度變為;經過3次操作,區間長度變為>0.05,經過4次操作,區間長度變為>0.05,經過5次操作區間長度變為<0.05.所以需要求中點值的次數為5.故選C.
探究點二
例2　解:令f(x)=2x3+3x-3,因為f(0)=-3<0,f(1)=2>0,所以f(0)f(1)<0,又易知f(x)是增函數,所以函數f(x)有一個零點且在(0,1)內存在零點,
即方程2x3+3x-3=0在(0,1)內有解.列表如下,
(a,b) b-a f的正負
(0,1) 1 0.5 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.5 0.75 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.25 0.625 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.125 0.687 5 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) 0.062 5
因為|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以方程的近似解為0.75.
變式　1.4(答案不唯一)　[解析] 因為f(1)f(1.5)<0,所以函數f(x)的一個零點在(1,1.5)內;因為f(1.25)f(1.5)<0,所以函數f(x)的一個零點在(1.25,1.5)內;因為f(1.375)f(1.5)<0,所以函數f(x)的一個零點在(1.375,1.5)內;因為f(1.375)f(1.437 5)<0,所以函數f(x)的一個零點在(1.375,1.437 5)內.因為|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1,所以方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根(精確到0.1)可取為1.4.8.1.2　用二分法求方程的近似解
1.A　[解析] ①∵x0∈[a,b],且f(x0)=0,∴x0是f(x)的一個零點,∴①中說法正確;②函數f(x)的圖象不一定連續不斷,且x0不一定是f(x)的變號零點,則不一定能用二分法求x0的近似值,∴②中說法錯誤;③方程f(x)=0的根一定是函數f(x)的零點,∴③中說法錯誤;④用二分法求方程的根時,得到的根也可能是精確值,∴④中說法錯誤.故選A.
2.C　[解析] 由題意知,零點在區間(0,0.5)上,因此下一步應計算f(0.25),故選C.
3.D　[解析] f(x)=x3-x-1在R上的圖象連續不斷,f(1.375)=0.225>0,f(1.312 5)=-0.052<0,且1.375-1.312 5=0.062 5<0.1,所以函數f(x)的一個零點的近似值可取為1.312 5.故選D.
4.B　[解析] log34+4-5=log34-1>0,log33.5+3.5-5=log33.5-log331.5,因為33=27,所以31.5=>4,所以3.5<31.5,所以log33.5-1.5<0,則log33.5+3.5-5<0,所以下一步可斷定該根所在的區間為(3.5,4).故選B.
5.C　[解析] 初始區間(1,2)的長度等于1,每經過一次二分區間的操作,區間長度變為原來的一半,則經過n次操作,區間的長度為,因為=>0.01,=<0.01,所以需要二分區間的次數為7.故選C.
6.B　[解析] 令f(x)=-3-x,則f(0)=0-1=-1<0,f=-=-<0,f=-=->0,f=-=->0,f(1)=-3-1=1->0.故用二分法求方程-3-x=0的近似解時,所取的第一個區間可以是.故選B.
7.0.25　[解析] 因為f(0)<0,f(0.5)>0,所以函數f(x)在(0,0.5)上有零點,又=0.25,所以第二次應計算f(0.25),即x1=0.25.
8.2.875　[解析] 由二分法的求解過程知,下一次所求f(m)為f=f(2.875),所以m=2.875.
9.解:易知函數f(x)=x3+x-3在R上單調遞增,
因為f(1)=-1,f(2)=7,所以f(1)·f(2)<0,
所以f(x)在(1,2)上存在唯一的零點,記為x0.
又f=f(1.5)=1.875,所以f(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5).因為f=f(1.25)≈0.203,所以f(1)·f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25).
因為f=f(1.125)≈-0.451,所以f(1.25)·f(1.125)<0,所以x0∈(1.125,1.25).
因為f=f(1.187 5)≈-0.138,
所以f(1.187 5)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.187 5,1.25).
因為f=f(1.218 75)≈0.029,
所以f(1.187 5)·f(1.218 75)<0,所以x0∈(1.187 5,1.218 75).因為|1.187 5-1.218 75|=0.031 25<0.05,
所以f(x)的零點可取為1.2.
10.解:易知f(x)在定義域內是增函數,因為f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0,所以方程2x+x-4=0在區間[1,2]內有唯一解.由題中所給數據得|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以方程2x+x=4的近似解可取為1.4.
11.A　[解析] 函數f(x)=2x-=2x-=2x--2,根據指數函數與反比例函數的性質,可得函數f(x)在(1,+∞)上單調遞增,所以函數f(x)在(1,+∞)內至多有一個零點.因為依次確定了零點所在區間為[a,b],,,所以即解得故選A.
12.BC　[解析] ∵y=2x與y=3x-7都是R上的增函數,∴f(x)=2x+3x-7是R上的增函數,∴f(x)在R上至多有一個零點.由表格中的數據可知f(1.421 875)<0,f(1.437 5)>0,∴f(x)在R上有唯一零點,且零點所在的區間為(1.421 875,1.437 5),∴h<0,A錯誤;方程2x+3x-7=0有實數解,B正確;∵f(1.375)<0,f(1.437 5)>0,|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1,∴方程的近似解可取為1.4,C正確,D錯誤.故選BC.
13.ABD　[解析] 對于A,f(x)=log2x+x在(0,+∞)上單調遞增,在(0,+∞)上圖象連續不斷,且f=-1+<0,f(1)=1>0,則可以使用二分法求原方程的近似解;對于B,g(x)=ex+x在R上圖象連續不斷且單調遞增,又g(0)=1>0,g(-1)=e-1-1<0,所以可以使用二分法求原方程的近似解;對于C,x2-2x+1=(x-1)2≥0,故不可以使用二分法求原方程的近似解;對于D,h(x)=+ln x在(0,+∞)上單調遞增,在(0,+∞)上圖象連續不斷,且h=-1<0,h(1)=1>0,則可以使用二分法求原方程的近似解.故選ABD.
14.a2=4b　[解析] ∵函數f(x)=x2+ax+b有零點,但不能用二分法求出,∴函數f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸相切,∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b.
15.4　[解析] 利用二分法的思想,需要4次就可以找出這枚假幣.第一次把16枚金幣平均分成兩組,放在天平上稱,天平一定不平衡,輕的一組(8枚金幣)含假幣;第二次把含假幣的8枚金幣平均分成兩組,放在天平上稱,天平一定不平衡,輕的一組(4枚金幣)含假幣;第三次把含假幣的4枚金幣平均分成兩組,放在天平上稱,天平一定不平衡,輕的一組(2枚金幣)含假幣;第四次把含假幣的2枚金幣放在天平上稱,天平一定不平衡,輕的一邊是假幣.
16.解:設2025年平均每臺電動車的生產成本為M萬元,依題意得M(1+40%)=15×(1+15%)×75%,解得M≈9.24,所以2025年平均每臺電動車的生產成本約為9.24萬元.
設2022~2025年生產成本平均每年降低的百分數為x,
根據題意,得15(1-x)4=9.24(0x 0.1 0.15 0.2 0.3
f(x) 0.601 5 -1.41 -3.096 -5.638 5
則f(0.1)·f(0.15)<0,故函數在區間(0.1,0.15)內有零點x0.
取區間(0.1,0.15)的中點x1=0.125,可得f(0.125)≈-0.447,則f(0.125)·f(0.1)<0,得x0∈(0.1,0.125).
取(0.1,0.125)的中點x2=0.112 5,得f(0.112 5)≈0.066,因為f(0.112 5)·f(0.125)<0,所以x0∈(0.112 5,0.125),同理x0∈(0.112 5,0.118 75),
又|0.118 75-0.112 5|<0.01,
所以原方程的近似解可取為0.112 5,故2022~2025年生產成本平均每年降低約11.25%.8.1.2　用二分法求方程的近似解
【學習目標】
　　能利用零點存在定理,借助具體連續函數的圖象,利用二分法求方程的近似解.
◆ 知識點一　二分法的定義
一般地,對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且　　　　　　的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區間　　　　,使所得區間的兩個端點　　　　　　　　　,進而得到零點　　　　的方法.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數f(x)=|x+1|可以用二分法求零點.(　 )
(2)所有函數的零點都可以用二分法來求. (　 )
2.已知函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點,且單調遞增,采用什么方法能進一步有效縮小零點所在的區間
◆ 知識點二　用二分法求方程近似解的步驟
給定精確度ε,用二分法求函數y=f(x)零點x0的近似值的一般步驟:
(1)確定零點x0所在的初始區間　　　　.這一步的關鍵是①使區間長度盡量小;②f(a),f(b)的值比較容易計算;③f(a),f(b)異號.
(2)求區間(a,b)的　　　　.利用公式c=即可求解.
(3)計算f(c),并進一步確定零點x0所在的區間.
①若　　　　(此時x0=c),則c就是函數的零點;②若f(a)·f(c)<0(此時x0∈　　　　),則令b=c;③若f(c)·f(b)<0(此時x0∈(c,b)),則令a=c.這一步的目的是縮小零點所在的區間,也就是所謂的“二分”.
(4)判斷是否達到精確度ε:若　　　　　　,則得到零點近似值a(或b);否則重復第(2)(3)(4)步.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)用二分法求函數零點的近似值時,每次等分區間后,零點必定在右側區間內. (　 )
(2)用二分法所求出的方程的解都是近似解.(　 )
(3)用二分法求方程f(x)=0在區間[0,1]上的近似解時,經計算得f(0.562 5)<0,f(0.625)>0,則方程的一個近似解可取為0.6 (精確度為0.1). (　 )
◆ 探究點一　二分法的概念
例1 (1)已知函數f(x)的圖象如圖所示,其中零點的個數與可以用二分法求解的零點個數分別為(　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
(2)[2025·上海大同中學高一月考] 用“二分法”求方程x3-2x-5=0在區間(2,3)內的實根,取區間中點三次,可以確定根所在的最小區間是(　 )
A.(2,2.5) B.(2,2.25)
C.(2,2.125) D.(2.062 5,2.125)
(3)已知函數f(x)=ln x+x-3在區間(2,3)內單調遞增且f(2)·f(3)<0,用二分法求方程f(x)=0近似解(精確度為0.05)時,需要求中點值的次數為 (　 )
A.3 B.4 C.5 D.6
[素養小結]
判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是其圖象在零點附近是連續不斷的,且該零點為變號零點.因此,用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適用,對函數的不變號零點不適用.
◆ 探究點二　求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x3+3x-3=0的近似解(精確度為0.1).
變式 [2025·湖北黃岡蘄春一中高一月考] 函數f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算,參考數據如表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根(精確度為0.1)為　　　　.
[素養小結]
用二分法求方程的近似解的思路和方法:
(1)根據函數的零點與對應方程解的關系可知,求函數的零點與求對應方程的解是等價的,所以求方程f(x)=0的近似解,可按照用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟求解.
(2)對于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通過移項轉化為求函數F(x)=f(x)-g(x)的零點的近似值,然后按照用二分法求函數零點近似值的步驟求解.8.1.2　用二分法求方程的近似解
1.給出下列關于函數f(x),x∈[a,b]的說法:
①若x0∈[a,b],且滿足f(x0)=0,則x0是f(x)的一個零點;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零點,則可用二分法求x0的近似值;
③函數f(x)的零點是方程f(x)=0的根,但方程f(x)=0的根不一定是函數f(x)的零點;
④用二分法求方程的根時,得到的都是近似值.
其中正確說法的序號為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.① B.②
C.③ D.④
2.小明同學在用二分法研究函數f(x)在區間(0,1)上的零點時,發現f(0)>0,f(1)<0,f(0.5)<0,那么他下一步應計算 (　 )
A.f(0.75) B.f(0.625)
C.f(0.25) D.f(0.125)
3.要用二分法求函數f(x)=x3-x-1在區間[1,1.5]內的一個零點的近似值,一組數據如下表所示:
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5
f(x) -1 0.875 -0.297 0.225 -0.052
那么f(x)的一個零點的近似值(精確度為0.1)可取為 (　 )
A.1 B.1.5
C.1.25 D.1.312 5
4.用二分法求方程log3x+x-5=0的近似解時,已經將根鎖定在區間(3,4)內,則下一步可斷定該根所在的區間為 (　 )
A.(3,3.5) B.(3.5,4)
C.(3,3.25) D.(3.5,3.75)
5.用二分法求函數f(x)=2x-在區間(1,2)上的零點,要求精確度為0.01,則需要二分區間的次數為 (　 )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.[2025·廣東深圳外國語學校高一期末] 用二分法求方程-3-x=0的近似解時,所取的第一個區間可以是 (　 )
A. B.
C. D.
7.用二分法研究函數f(x)=x3+2x-1的零點時,第一次計算得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次應計算f(x1),則x1等于　　　　.
8.[2025·上海徐匯區高一診斷] 用二分法求函數f(x)在區間(2,3)上的零點的近似值,計算得f(2)=-2,f(3)=0.625,f(2.5)=-0.984,f(2.75)=-0.26.下一次應求f(m),則m=　　　　　.
9.(13分)用二分法求函數f(x)=x3+x-3的零點.(精確度為0.05)
10.(13分)證明2x+x=4在區間[1,2]內有解,設f(x)=2x+x-4,根據下表,并求方程的近似解(精確度為0.1).
區間 區間中點值xn f(xn)的值
(1,2) x1=1.5 f(x1)≈0.328
(1,1.5) x2=1.25 f(x2)≈-0.372
(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)≈-0.031
(1.375,1.5) x4=1.437 5 f(x4)≈0.146
11.[2024·上海虹口區期末] 若在用二分法尋找函數f(x)=2x-(x>1)零點的過程中,依次確定了零點所在區間為[a,b],,,則實數a和b分別等于 (　 )
A., B.2,3
C.,2 D.,
12.(多選題)用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解時,設函數f(x)=2x+3x-7,通過計算給出如下對應值表:
x 1.25 1.375 1.406 25 1.421 875 1.429 687 5 1.437 5 1.5
f(x) -0.87 -0.28 h -0.06 -0.02 0.02 0.33
分析表中數據,下列說法正確的是 (　 )
A.h>0
B.方程2x+3x-7=0有實數解
C.若精確度為0.1,則近似解可取為1.4
D.若精確度為0.1,則近似解可取為1.3
13.(多選題)下列方程中,可以用二分法求近似解的有 (　 )
A.log2x+x=0 B.ex+x=0
C.x2-2x+1=0 D.+ln x=0
14.函數f(x)=x2+ax+b有零點,但不能用二分法求出,則a,b的關系是　　　　.
15.在16枚嶄新的金幣中,有1枚外表與真幣完全相同的假幣(比真幣略輕).現只有一臺天平,利用二分法的思想(每次均二等分),則需要　　　　次就可以找出這枚假幣.
16.(15分)隨著社會的發展,電動車進入了千家萬戶,給我們的生活帶來了極大的方便.某品牌電動車2021年平均每臺電動車的生產成本為15萬元,并以純利潤15%標定出廠價.2022年開始,公司加強管理,降低生產成本.2025年平均每臺電動車盡管出廠價僅是2021年出廠價的75%,但卻實現了純利潤40%的高收益.以2021年的生產成本為基數,用二分法求2022~2025年生產成本平均每年降低的百分數(精確度為0.01)(參考數據:0.74=0.240 1,0.84=0.409 6,0.854≈0.522 0,0.8754≈0.586 2,0.887 54≈0.620 4,0.94=0.656 1,0.881 254≈0.603 1).

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