資源簡介

(共83張PPT)
8.2 函數與數學模型
8.2.1 幾個函數模型的比較
探究點一 計算并比較指數的值
探究點二 增長速度的比較
探究點三 函數模型增長比較的實際應用
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、
一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”
“指數爆炸”等術語的現實含義.
知識點一 指數變化
當時，指數函數隨著 的增大而______,且增大的速度越來
越____，呈“爆炸”的趨勢，因此“指數增長”可以用“指數爆炸”來形容.
當時，指數函數隨著 的增大而______，并逐步趨
向于___.
增大
快
減小
0
知識點二 冪函數、指數函數、對數函數增長的比較
函數性質、 圖象變化、 增長速度 函數
__________ __________ __________
圖象的變化 趨勢
單調遞增
單調遞增
單調遞增
軸
軸
函數性質、 圖象變化、 增長速度 函數
增長速度 越來越快
越來越慢
續表
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）當足夠大時，函數比 增長的速度更快些．( )
×
（2）函數 的增長特點是直線上升，其增長速度不
變．( )
√
（3）對數函數 的增長特點是隨自變量的增大，函
數值增大的速度越來越慢．( )
√
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（4）函數 的變化特點是隨自變量的增大,函數值增大的
速度越來越快.( )
×
[解析] 當時， 隨自變量的增大,函數值減小.
2.（1）如何描述指數函數和冪函數 在
區間 上的函數值的變化關系
解：在區間上,指數函數 與冪函數
都單調遞增，
但無論比 大多少,盡管在一定變化范圍內可能,但由于當
足夠大時的增長速度大于 的增長速度,因此總存在一個,使得
當時, 恒成立.
（2）如何描述對數函數和冪函數 在
區間 上的函數值的變化關系
解：在區間上,對數函數 與冪函數
都單調遞增，
盡管在一定變化范圍內可能 ，但由于當足夠大時的
增長速度小于 的增長速度，因此總存在一個,使得當時,
恒成立.
（3）如何描述函數,,
在區間 上的函數值的變化關系
解：在區間上,函數, ,
都單調遞增,但它們的增長速度變化不同.
的增長速度越來越快,當 充分大時會超過并遠遠大于
的增長速度,而 的增長速度會越來越
慢,故總存在一個,使得當時, 恒成立.
探究點一 計算并比較指數的值
例1 四個變量，，，隨變量 變化的數據如下表：
1 5 10 15 20 25 30
2 26 101 226 401 626 901
2 32 1024 32 768
2 10 20 30 40 50 60
2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
關于 呈指數函數變化的變量最可能是___.
[解析] 以爆炸式增長的變量是呈指數函數變化的.
從題中表格中的數據可以看出，四個變量，，， 均是從2開
始變化的，變量，，，都是越來越大的，但是增長速度不同，
其中變量 的增長速度最快，可知變量最可能關于 呈指數函數變化.
變式 （多選題）三個變量,,隨變量 變化的數據如下表：
0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2005 3130 4505
5 90 1620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
5 30 55 80 105 130 155
則下列說法合理的是( )
A.關于呈對數增長 B.關于 呈指數爆炸
C.關于呈直線上升 D. 的增長速度最快
√
√
√
[解析] 隨 的增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，
1125，1375，故增加得越來越快，不呈對數增長，故A錯誤；
隨 的增大而增大，增加量依次是25，25，25， ，增加速度固定，
故呈一次函數變化，即關于呈直線上升，故C正確；
隨 的增大而增大，增加量依次是85，1530，，， ，
故增加得越來越快，呈指數爆炸，增長速度最快，故B，D正確.
故選 .
［素養小結］
指數函數增長的特點：
指數函數是增函數，隨著的增大，的
增長速度越來越快，形象地稱為“指數爆炸”.
探究點二 增長速度的比較
例2（1）［2025·江蘇南菁中學高一月考］當 足夠大時，下列四個
函數中增長速度最快的是( )
A. B. C. D.
[解析] 為一次函數，為對數函數，
為冪函數，為指數函數，當 足夠大時，指數函數
的增長速度最快.故選D.
√
（2）（多選題）已知函數,, ，則在
區間 上( )
A. 的增長速度越來越快
B. 的增長速度越來越慢
C. 的增長速度越來越慢
D.當足夠大時，的增長速度慢于 的增長速度
√
√
√
[解析] 根據指數函數，對數函數及冪函數的圖象和性質可知，在區
間上，的增長速度越來越快，故A正確；
的增長速度越來越慢，故B正確；
的增長速度不變，故C錯誤；
當 足夠大時，的增長速度慢于的增長速度，故D正確.
故選 .
變式（1）三個變量，，隨著變量 的變化情況如表：
1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3635 6655
5 29 245 2189 19 685 177 149
5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
則與 呈對數型函數、指數型函數、冪函數型函數關系的變量依次是
( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
√
[解析] 由指數函數、對數函數、冪函數的增長速度比較可知，指數
函數增長最快，對數函數增長最慢，
由題中表格中數據可知，與 呈冪函數型函數關系，與呈指數型
函數關系，與 呈對數型函數關系.故選C.
（2）函數和 圖象的示意圖如圖
所示.設兩函數的圖象交于點, ,且
.
①圖中曲線對應的函數為__________,曲線 對應
的函數為__________.
[解析] 由題中圖可知，曲線對應的函數為，曲線 對應
的函數為 .
（2）函數和 圖象的示意圖如圖所示.設兩函數的
圖象交于點,,且 .
②結合函數圖象,函數值,,, 從大到小依次為
________________________________.
[解析] 因為,,, ,所
以,,所以, .
由題中圖可知,當時,,所以,
當 時,,所以,
又 ,所以 .
［素養小結］
三種函數（指數函數、冪函數、對數函數）中,當自變量充分大時,指
數函數的函數值最大,該結論的前提是自變量的值大到一定程度,因此
判斷一個增函數是否為指數型函數時,一般判斷當自變量增加到一定
程度時,自變量增加相同的量時,函數值的增長量是否最大,若是,則這
個函數就可能是指數型函數.
探究點三 函數模型增長比較的實際應用
例3 某企業擬用10萬元投資甲、乙兩種商品.已知各投入 萬元時，
甲、乙兩種商品分別可獲得, 萬元的利潤，利潤曲線
， ，如圖所示.
（1）求函數, 的解析式；
解：由題知點，在曲線上，則 可得
所以 .
由題知點在曲線上，且，則，解得 ，所以
.
例3 某企業擬用10萬元投資甲、乙兩種商品.已知各投入 萬元時，
甲、乙兩種商品分別可獲得, 萬元的利潤，利潤曲線
， ，如圖所示.
（2）應怎樣分配投資資金，才能使投資獲得的利潤最大？
解：設投資甲商品萬元，則投資乙商品 萬元，投資獲得的
利潤為萬元，所以 ，
令 ，
所以 .
當，即時，，此時 .
因此，當投資甲商品6.25萬元，投資乙商品3.75萬元時，所獲得的利
潤最大，最大利潤為 萬元.
變式 ［2025·福建三明一中高一期中］ 金駿眉是紅茶代表，色澤烏
黑有油光，香氣甜香濃郁，滋味甜醇鮮爽，營養價值高.在飲用中發
現，茶水的口感與水的溫度有關.經實驗表明，用 的水泡制，
待茶水溫度降至 時，飲用口感最佳.某實驗小組為探究室溫下剛
泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔 測量一次茶水
溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數據如下表：
0 1 2 3 4 5
100 91 82.9 75.61 69.05 63.14
設經過茶水溫度從變為 ，現給出以下三種函數模
型： ；
；
.
（1）從上述三種函數模型中選出最符合上述實驗的函數模型，并根
據前3組數據求出該解析式；
解：由表格中數據知，函數單調遞減且遞減速度逐漸變慢，所以模
型①③不符合題意，應選模型②，
則即可得 所以
且 .
變式 ［2025·福建三明一中高一期中］ 金駿眉是紅茶代表，色澤烏
黑有油光，香氣甜香濃郁，滋味甜醇鮮爽，營養價值高.在飲用中發
現，茶水的口感與水的溫度有關.經實驗表明，用 的水泡制，
待茶水溫度降至 時，飲用口感最佳.某實驗小組為探究室溫下剛
泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔 測量一次茶水
溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數據如下表：
0 1 2 3 4 5
100 91 82.9 75.61 69.05 63.14
設經過茶水溫度從變為 ，現給出以下三種函數模
型： ；
；
.
（2）根據（1）中所求函數模型，求剛泡好的茶達到最佳飲用口感
的放置時間；
解：令，則 ，
所以剛泡好的茶達到最佳飲用口感的放置時間約為 .
變式 ［2025·福建三明一中高一期中］ 金駿眉是紅茶代表，色澤烏
黑有油光，香氣甜香濃郁，滋味甜醇鮮爽，營養價值高.在飲用中發
現，茶水的口感與水的溫度有關.經實驗表明，用 的水泡制，
待茶水溫度降至 時，飲用口感最佳.某實驗小組為探究室溫下剛
泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔 測量一次茶水
溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數據如下表：
0 1 2 3 4 5
100 91 82.9 75.61 69.05 63.14
設經過茶水溫度從變為 ，現給出以下三種函數模
型： ；
；
.
（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的
室溫最低約為多少.參考數據：,
解：由，得 ，所以進行實驗時的室溫最低約
為 .
［素養小結］
幾類不同增長函數模型的選擇方法：
（1）增長速度不變，即自變量增加相同量時，函數值的增量相等，
此時的函數模型是一次函數模型．
（2）增長速度越來越快，即自變量增加相同量時，函數值的增量越
來越大，此時的函數模型是指數函數模型.
（3）增長速度越來越慢，即自變量增加相同量時，函數值的增量越
來越小，此時的函數模型是對數函數模型．
一次函數、指數函數和對數函數增長的函數模型
（1）指數函數增長的函數模型:
表達式為,,為常數,, ,增長的特點是
隨著自變量 的增大,函數值增大的速度越來越快,常稱之為“指數爆
炸”.例如生活中經常接觸的儲蓄問題,也就是增長率問題,就是指數型
增長,指數型增長隨底數的不同而不同.
復利是一種計算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本
金,再計算下一期的利息.
（2）對數函數增長的函數模型:
表達式為,,為常數,, ,增長的特點
是開始階段增長得較快,但隨著 的逐漸增大,其函數值變化得越來越
慢,常稱之為“蝸牛式增長”.
（3）一次函數增長的函數模型:
表達式為,為常數,,其增長情況由 的取值決定.
函數模型的選擇
例 ［2025·貴州遵義高一期末］ 已知某工廠在生產和銷售某種產品
的過程中，年利潤（單位：百萬元）是關于投資成本 （單位：百
萬元）的函數.下表是該工廠最近幾年來的年利潤與年投資成本的一
組數據：
年份 2021 2022 2023 2024
1 2 3 4
1 2
給出以下三個函數模型： ；
； .
（1）從以上三個函數模型中選出最符合表格中數據的函數模型，并
求出該解析式；
解：對于模型，將， 代入可得
可得則，將代入得 ；
對于模型，將，， 代入
可得
解得則，將 代入得
；
對于模型，將， 代入可得
即可得
將代入得 .
綜上所述，模型②是最符合所給數據的函數模型，且函數解析式為
.
例 ［2025·貴州遵義高一期末］ 已知某工廠在生產和銷售某種產品
的過程中，年利潤（單位：百萬元）是關于投資成本 （單位：百
萬元）的函數.下表是該工廠最近幾年來的年利潤與年投資成本的一
組數據：
年份 2021 2022 2023 2024
1 2 3 4
1 2
給出以下三個函數模型： ；
； .
（2）若今年的投資成本為5百萬元，預計今年的年利潤為多少百萬元？
解：由題意，將代入，得 ，
所以預計今年的年利潤為 百萬元.
例 ［2025·貴州遵義高一期末］ 已知某工廠在生產和銷售某種產品
的過程中，年利潤（單位：百萬元）是關于投資成本 （單位：百
萬元）的函數.下表是該工廠最近幾年來的年利潤與年投資成本的一
組數據：
年份 2021 2022 2023 2024
1 2 3 4
1 2
給出以下三個函數模型： ；
； .
（3）若想要年利潤達到15百萬元及以上，則投資成本至少需要多少
百萬元精確到 .
參考數據：,
解：由題意，得，化簡得 ，
因為， ，所以 ，
則 .
因此，想要年利潤達到15百萬元及以上，則投資成本至少需要6.13百
萬元.
練習冊
1.下列函數中,當足夠大時，隨著 的增長,增長速度最快的是( )
A. B. C. D.
[解析] 根據一次函數、冪函數、對數函數、指數函數的性質可知,當
足夠大時，隨著 的增長,增長速度最快的是指數函數,故選D.
√
2.如圖反映的是下列哪類函數的增長趨勢( )
A.一次函數 B.冪函數 C.對數函數 D.指數函數
[解析] 從題圖可以看出這個函數的增長速率越來越慢，反映的是對
數函數的增長趨勢，選擇C.
√
3.在一次數學實驗中，小胡同學運用圖形計算器采集到如下一組數據：
3 5 7 9 11 13
21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36
在以下四個函數模型中，,為常數，最能反映, 間函數關
系的可能是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根據表格提供的數據可知，自變量變化量相同時，函數值增長
越來越快，所以指數型函數模型符合題意，即B選項符合題意.故選B.
√
4.下列各項是四種生意預期的收益關于時間 的函數，從足夠長遠
的角度看，更為有前途的生意是( )
A. B.
C. D.
[解析] 結合所給函數的增長差異可知，從足夠長遠的角度看，選項
A的預期收益最大，故選A.
√
5.已知當時，不等式恒成立,則 的取值范圍是
( )
A. B. C. D.
[解析] 作出，，
的圖象（橫、縱坐標單位長度不同），如
圖所示，
由圖可知，當 時，
恒成立，故 的取值范圍
是 .故選D.
√
6.[2025·江蘇南京六校高一聯考］某工程需要向一個容器內源源不斷
地注入某種液體，有三種方案可以選擇，這三種方案的注入量與時
間的關系如圖所示，圖中橫軸為時間（單位：小時），縱軸為注入
量，根據以上信息，若使注入量最多，則下列說法中錯誤的是
( )
A.注入時間在3小時以內（含3小時），采用方
案一
B.注入時間恰為4小時，不采用方案三
C.注入時間恰為6小時，采用方案二
D.注入時間恰為12小時，采用方案二
√
[解析] 對于A，由題中圖可知，注入時間在3小時
以內（含3小時）時，方案一的注入量大于其他
兩種方案，故A中說法正確；
對于B，當注入時間恰為4小時時，方案三的注入
量小于其他兩種方案，故B中說法正確；
對于 C，當注入時間恰為6小時時，方案二的注入量大于其他兩種
方案，故C中說法正確；
對于D，當注入時間大于10小時時，方案三的注入量最大，故應選擇
方案三，D中說法錯誤.故選D.
7.一般地,對于對數函數與一次函數 ,
隨著的增大,一次函數 保持固定的增長速度,而
的增長速度越來越____.（填“快”或“慢”）
慢
[解析] 對數函數 的增長速度越來越慢.
8.［2025·江蘇太湖高級中學高一月考］在某種新型材料的研制中，
實驗人員獲得了如下一組實驗數據：
2 2.99 4 5
4 8.02 15.99 32
現準備用下列四個函數中的一個近似地描述這些數據的規律：
；；； .其中最適合的
一個是____（填序號）
④
[解析] 將所給數據分別代入函數①②③④，可得下表：
2 2.99 4 5
4 8.02 15.99 32
4 5.98 8 10
1.5 3.97 7.5 12
1 1.58 2 2.32
4 7.94 16 32
由上表數據可知所給函數中最適合的一個是 .
9.（13分）下表是隨的變化而得到的，， 的函數值：
1 2 9 0
2 4 11 1
3 8 13
4 16 15 2
5 32 17
6 64 19
7 128 21
8 256 23 3
9 512 25
10 1024 27
續表
試回答：
（1）隨著 的增大，各函數的函數值有什么共同的變化趨勢？
解：隨著 的增大,各函數的函數值都在增大.
（2）各函數增長的快慢有什么不同？
解：各函數增長的快慢不同,隨著的增大, 的增長速度越來
越快;均勻增長; 的增長速度越來越慢.
10.［2025·山東菏澤期末］預測人口變化趨勢有多種方法，直接推算
法使用的公式是，其中 為預測期人口
數，為初期人口數，為預測期內人口增長率， 為預測期間隔年
數，則下列說法錯誤的為( )
A.若在某一時期內 ，則這期間人口數呈下降趨勢
B.若在某一時期內 ，則這期間人口數呈上升趨勢
C.若在某一時期內 ，則這期間人口數呈擺動變化
D.若在某一時期內 ，則這期間人口數不變
√
[解析] 對于A選項，當時， ，所以這期間
人口數呈下降趨勢，A選項說法正確.
對于B，C選項，當 時， ，所以這期間人口數呈上升
趨勢，B選項說法正確，C選項說法錯誤.
對于D選項，當時， ，所以這期間人口數不變，D選項
說法正確.故選C.
11.（多選題）下列說法正確的是( )
A.函數 減小的速度越來越慢
B.在指數函數中，當時，底數 越大，其增長速
度越快
C.不存在一個實數，使得當時，
D.當，時，在區間內，對任意的 ，總有
成立
√
√
[解析] 對于A，由對數函數的性質知，函數 減小的速度越
來越慢，選項A正確；
對于B，由指數函數的性質知，指數函數中，當
時，底數 越大，其增長速度越快，選項B正確；
對于C，由指數函數的性質知，當足夠大時 的增長速度遠遠
超過冪函數的增長速度，因此一定存在一個實數 ，使得當
時，，選項C不正確；
對于D，取 , ，則當時，，所以在區間
內，不恒成立，選項D不正確.故選 .
12.圖①②③分別是與 在不同范圍內的圖象，估算出使
成立的的取值范圍是______________________. 參考數據：
，
[解析] 因為當時，，當 時，
，所以與 的圖象的交點情況如
圖所示，
結合圖象可知使成立的 的取值范圍是 .
13.［2025·天津塘沽一中高一期中］已知 ，則函數
，， 中，增長速度越來越快的一個是_______
____，使成立的 的取值范圍是______.
[解析] 作出函數，， 在
上的圖象，如圖所示.
從增長速度看，的增長速度越來越慢，
均勻增長， 的增長速度越來越快.
由圖可得使成立的的取值范圍
是 .
14.（15分）［2024·黑龍江牡丹江六校高一期末］ 退耕還林工程就
是從保護生態環境出發，將水土流失嚴重的耕地，沙化、鹽堿化、
石漠化嚴重的耕地以及糧食產量低而不穩的耕地，有計劃、有步驟
地停止耕種，因地制宜地造林種草，恢復植被.某地區執行退耕還林
以來，生態環境恢復良好，2024年1月底的生物量為 ，到了2024
年4月底，生物量增長為 .現有兩個函數模型可以用來模擬生物量
單位：與月份代碼年1月底月份代碼為1，以此類推 的內
在關系，即且與 .
（1）分別使用兩個函數模型對本次退耕還林進行分析，求出對應的
解析式；
解：若選，由題意得解得 所以
若選，由題意得解得 所以
.
14.（15分）［2024·黑龍江牡丹江六校高一期末］ 退耕還林工程就
是從保護生態環境出發，將水土流失嚴重的耕地，沙化、鹽堿化、
石漠化嚴重的耕地以及糧食產量低而不穩的耕地，有計劃、有步驟
地停止耕種，因地制宜地造林種草，恢復植被.某地區執行退耕還林
以來，生態環境恢復良好，2024年1月底的生物量為 ，到了2024
年4月底，生物量增長為 .現有兩個函數模型可以用來模擬生物量
單位：與月份代碼年1月底月份代碼為1，以此類推 的內
在關系，即且與 .
（2）若測得2024年5月底生物量約為 ，判斷上述兩個函數模型中
哪個更合適.
解：對于，當時，；
對于 ，當時，.
所以模型 更合適.
15.已知，是定義在上的增函數， ，
若對任意，存在，使得 成立，則稱
是在上的“追逐函數”.已知 ，則下列四個函
數中是在 上的“追逐函數”的個數為( )
； ；
； .
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由題意，需滿足與均在 上單調遞增，
在上的取值范圍都是，且對任意的，
的圖象恒在的圖象上方.
對于①,在 上單調遞增，且在 上的取值范圍是
在 上恒成
立，符合題意；
對于②，在上單調遞增，且在 上的取值范圍是
在 上恒成立，符合題意；
，不符合題意；
對于④， 在上的取值范圍為，不符合題意.綜上所述，是 在 上的“追逐函數”的有2個.故選B.
16.（15分）[ 遼寧省實驗中學高一期中］地下礦產資源勘探
建模是一種重要的技術手段，用于幫助人們更好地了解地下礦產資
源的分布和特征.在某個礦藏區域，通過前期的勘探活動，測得了某
物理指標隨著地理位置變化的一組數據，如表所示：
1 2 3 4 5 6
5.7 4.0 2.8 2.0 1.4 1.0
其中表示采樣點距離礦藏中心標記點的距離， 表示物理指標的數值.
（1）根據礦藏分布可能的情況，數據分析人員估計物理指標隨著
變化的模型可能為兩種，分別是， ，請
根據表格中的數據繪制散點圖，并簡要分析此礦藏區域應該用哪一
個模型來估計物理指標隨著 變化的趨勢.
解：根據題設表格數據，畫出散點圖，如圖所
示.
由圖可知隨著變大的遞減趨勢變緩， 應選
模型來估計物理指標隨著 變化
的趨勢.
16.（15分）[ 遼寧省實驗中學高一期中］地下礦產資源勘探
建模是一種重要的技術手段，用于幫助人們更好地了解地下礦產資
源的分布和特征.在某個礦藏區域，通過前期的勘探活動，測得了某
物理指標隨著地理位置變化的一組數據，如表所示：
1 2 3 4 5 6
5.7 4.0 2.8 2.0 1.4 1.0
其中表示采樣點距離礦藏中心標記點的距離， 表示物理指標的數值.
（2）根據（1）中的結論，選取表格中， 的兩對數據，
建立數學模型描述物理指標隨著 變化的趨勢.根據以往經驗，當物
理指標低于0.1時，不具備開采條件，請問正整數 的范圍應該如何
選取，才能保證范圍內所有區域都具備開采條件？
解：依題意知解得隨 變化的趨勢可表示
為，該函數在定義域 內單調遞減.
又當時，，當時， ，
正整數的取值范圍為 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 增大 快 減小 0
知識點二 單調遞增 單調遞增 單調遞增 軸 軸 越來越快 越來越慢
【診斷分析】1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.（1）略（2）略（3）略
課中探究 探究點一 例1 變式 BCD
探究點二 例2 （1）D （2）ABD 變式 （1）C
（2）① ②
探究點三 例3 （1），（2）當投資甲商品6.25萬元，
投資乙商品3.75萬元時，所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元
變式 （1）應選模型②，則且（2）約為 （3）約為
練習冊
基礎鞏固 1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.慢 8.④
9.（1）各函數的函數值都在增大 （2）隨著的增大,的增長速度越來
越快;均勻增長; 的增長速度越來越慢.
綜合提升 10.C 11.AB 12. 13.
14.（1）若選，若選，.
（2）模型更合適
思維探索 15.B
16.（1）散點圖略，應選模型來估計物理指標隨著變化的趨勢
（2）正整數的取值范圍為8.2　函數與數學模型
8.2.1　幾個函數模型的比較
【課前預習】
知識點一
增大　快　減小　0
知識點二
單調遞增　單調遞增　單調遞增　y軸　x軸　①越來越快
越來越慢　②ax>xα>logax
診斷分析
1.(1) ×　(2)√　(3)√　(4)×　[解析] (4)當k<0時,f(x)=k·2x隨自變量的增大,函數值減小.
2.解:(1)在區間(0,+∞)上,指數函數y=ax(a>1)與冪函數y=xn(n>0)都單調遞增,但無論n比a大多少,盡管在一定變化范圍內可能 axx0時,ax>xn恒成立.
(2)在區間(0,+∞)上,對數函數y=logax(a>1)與冪函數y=xn(n>0)都單調遞增,盡管在一定變化范圍內可能logax>xn,但由于當x足夠大時logax的增長速度小于xn的增長速度,因此總存在一個x0,使得當x>x0時,logax(3)在區間(0,+∞)上,函數y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=xn(n>0)都單調遞增,但它們的增長速度變化不同.y=ax(a>1)的增長速度越來越快,當x充分大時會超過并遠遠大于y=xn(n>0)的增長速度,而y=logax(a>1)的增長速度會越來越慢,故總存在一個x0,使得當x>x0時,logax【課中探究】
探究點一
例1　y2　[解析] 以爆炸式增長的變量是呈指數函數變化的.從題中表格中的數據可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化的,變量y1,y2,y3,y4都是越來越大的,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,可知變量y2最可能關于x呈指數函數變化.
變式　BCD　[解析] y1隨x的增大而增大,增加量依次是125,375,625,875,1125,1375,故增加得越來越快,不呈對數增長,故A錯誤;y3隨x的增大而增大,增加量依次是25,25,25,…,增加速度固定,故y3呈一次函數變化,即y3關于x呈直線上升,故C正確;y2隨x的增大而增大,增加量依次是85,1530,27 540,495 720,…,故增加得越來越快,呈指數爆炸,增長速度最快,故B,D正確.故選BCD.
探究點二
例2　(1)D　(2)ABD　[解析] (1)y=2025x為一次函數,y=log2025x為對數函數,y=x2025為冪函數,y=2025x為指數函數,當x足夠大時,指數函數y=2025x的增長速度最快.故選D.
(2)根據指數函數,對數函數及冪函數的圖象和性質可知,在區間(0,+∞)上,f(x)的增長速度越來越快,故A正確;g(x)的增長速度越來越慢,故B正確;h(x)的增長速度不變,故C錯誤;當x足夠大時,g(x)的增長速度慢于h(x)的增長速度,故D正確.故選ABD.
變式　(1)C　(2)①g(x)=x3　f(x)=2x　②f(2025)>g(2025)>g(8)>f(8)　[解析] (1)由指數函數、對數函數、冪函數的增長速度比較可知,指數函數增長最快,對數函數增長最慢,由題中表格中數據可知,y1與x呈冪函數型函數關系,y2與x呈指數型函數關系,y3與x呈對數型函數關系.故選C.
(2)①由題中圖可知,曲線C1對應的函數為g(x)=x3,曲線C2對應的函數為f(x)=2x.②因為f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2.由題中圖可知,當x1x2時,f(x)>g(x),所以f(2025)>g(2025),又g(2025)>g(8),所以f(2025)>g(2025)>g(8)>f(8).
探究點三
例3　解:(1)由題知點(1,1.25),(4,2.5)在曲線P1上,則可得所以y1=(x≥0).
由題知點(4,1)在曲線P2上,且c=0,則1=4b,解得b=,所以y2=x(x≥0).
(2)設投資甲商品x萬元,則投資乙商品(10-x)萬元,投資獲得的利潤為y萬元,所以y=+(10-x)=-x+,令=t∈[0,],
所以y=-t2+t+=-+.
當t=,即x==6.25時,ymax=,此時10-x=3.75.
因此,當投資甲商品6.25萬元,投資乙商品3.75萬元時,所獲得的利潤最大,最大利潤為萬元.
變式　解:(1)由表格中數據知,函數單調遞減且遞減速度逐漸變慢,所以模型①③不符合題意,應選模型②,
則即可得所以y=90×0.9x+10且x≥0.
(2)令90×0.9x+10=60,則x=log0.9=≈6.5(min),所以剛泡好的茶達到最佳飲用口感的放置時間約為6.5 min.
(3)由0.9x∈(0,1],得y∈(10,100],所以進行實驗時的室溫最低約為10 ℃.8.2　函數與數學模型
8.2.1　幾個函數模型的比較
1.D　[解析] 根據一次函數、冪函數、對數函數、指數函數的性質可知,當x足夠大時,隨著x的增長,增長速度最快的是指數函數,故選D.
2.C　[解析] 從題圖可以看出這個函數的增長速率越來越慢,反映的是對數函數的增長趨勢,選擇C.
3.B　[解析] 根據表格提供的數據可知,自變量變化量相同時,函數值增長越來越快,所以指數型函數模型符合題意,即B選項符合題意.故選B.
4.A　[解析] 結合所給函數的增長差異可知,從足夠長遠的角度看,選項A的預期收益最大,故選A.
5.D　[解析] 作出y=log2x,y=x2,y=2x的圖象(橫、縱坐標單位長度不同),如圖所示,由圖可知,當x>4時,log2x6.D　[解析] 對于A,由題中圖可知,注入時間在3小時以內(含3小時)時,方案一的注入量大于其他兩種方案,故A中說法正確;對于B,當注入時間恰為4小時時,方案三的注入量小于其他兩種方案,故B中說法正確;對于 C,當注入時間恰為6小時時,方案二的注入量大于其他兩種方案,故C中說法正確;對于D,當注入時間大于10小時時,方案三的注入量最大,故應選擇方案三,D中說法錯誤.故選D.
7.慢　[解析] 對數函數y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.
8.④　[解析] 將所給數據分別代入函數①②③④,可得下表:
x 2 2.99 4 5
y 4 8.02 15.99 32
①y=2x 4 5.98 8 10
②y=(x2-1) 1.5 3.97 7.5 12
③y=log2x 1 1.58 2 2.32
④y=2x 4 7.94 16 32
由上表數據可知所給函數中最適合的一個是④y=2x.
9.解:(1)隨著x的增大,各函數的函數值都在增大.
(2)各函數增長的快慢不同,隨著x的增大,f1(x)=2x的增長速度越來越快;f2(x)=2x+7均勻增長;f3(x)=log2x的增長速度越來越慢.
10.C　[解析] 對于A選項,當-10時,1+k>1,所以這期間人口數呈上升趨勢,B選項說法正確,C選項說法錯誤.對于D選項,當k=0時,1+k=1,所以這期間人口數不變,D選項說法正確.故選C.
11.AB　[解析] 對于A,由對數函數的性質知,函數y=lox減小的速度越來越慢,選項A正確;對于B,由指數函數的性質知,指數函數y=ax(a>1)中,當x>0時,底數a越大,其增長速度越快,選項B正確;對于C,由指數函數的性質知,當x足夠大時y=1.1x的增長速度遠遠超過冪函數y=x100的增長速度,因此一定存在一個實數m,使得當x>m時,1.1x>x100,選項C不正確;對于D,取a=2,k=4,則當x=1時,4×1>21,所以在區間(0,+∞)內,logax12.(-∞,0.27)∪(2.17,+∞)　[解析] 因為當x=0.27時,30.27≈1.35=5×0.27,當x=2.17時,32.17≈10.85=5×2.17,所以y=3x與y=5x的圖象的交點情況如圖所示,結合圖象可知使3x>5x成立的x的取值范圍是(-∞,0.27)∪(2.17,+∞).
13.y=2x　(1,2)　[解析] 作出函數y=log2x,y=2x,y=2x在(0,+∞)上的圖象,如圖所示.從增長速度看,y=log2x的增長速度越來越慢,y=2x均勻增長,y=2x的增長速度越來越快.由圖可得使log2x<2x<2x成立的x的取值范圍是(1,2).
14.解:(1)若選y=kax,由題意得解得所以y=.
若選y=mx2+n,由題意得解得所以y=x2+.
(2)對于y=,當x=5時,y=81;對于y=x2+,當x=5時,y=76.8.所以模型y=更合適.
15.B　[解析] 由題意,需滿足f(x)=x2與g(x)均在[1,+∞)上單調遞增,在[1,+∞)上的取值范圍都是[1,+∞),且對任意的x∈(1,+∞),f(x)的圖象恒在g(x)的圖象上方.對于①,g(x)在[1,+∞)上單調遞增,且在[1,+∞)上的取值范圍是[1,+∞),f(x)-g(x)=x2-2x+1=(x-1)2>0在(1,+∞)上恒成立,符合題意;對于②,g(x)在[1,+∞)上單調遞增,且在[1,+∞)上的取值范圍是[1,+∞),f(x)-g(x)=(x2-1)>0在(1,+∞)上恒成立,符合題意;對于③,f(x)-g(x)=x2-,當x=15時,152-=×=×=×<0,不符合題意;對于④,g(x)=2-在[1,+∞)上的取值范圍為[1,2),不符合題意.綜上所述,是f(x)在 [1,+∞)上的“追逐函數”的有2個.故選B.
16.解:(1)根據題設表格數據,畫出散點圖,如圖所示.
由圖可知隨著x變大y的遞減趨勢變緩,∴應選模型②y=2mx+n來估計物理指標y隨著x變化的趨勢.
(2)依題意知解得∴y隨x變化的趨勢可表示為y==8×,該函數在定義域[0,+∞)內單調遞減.
又當x=12時,y=>0.1,當x=13時,y=<0.1,
∴正整數x的取值范圍為{x∈N|1≤x≤12}.8.2　函數與數學模型
8.2.1　幾個函數模型的比較
【學習目標】
　　結合現實情境中的具體問題,利用計算工具,比較對數函數、一次函數、指數函數增長速度的差異,理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義.
◆ 知識點一　指數變化
當a>1時,指數函數y=ax隨著x的增大而　　　　,且增大的速度越來越　　　　,呈“爆炸”的趨勢,因此“指數增長”可以用“指數爆炸”來形容.
當0◆ 知識點二　冪函數、指數函數、對數函數增
長的比較
函數性質、 圖象變化、 增長速度 函數
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (α>0)
在(0,+∞)上 的單調性 　　　 　　　 　　　
圖象的 變化趨勢 隨x增大逐漸近似與　　　　平行 隨x增大逐漸近似與　　　　平行 隨α值的不同而不同
(續表)
函數性質、 圖象變化、 增長速度 函數
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (α>0)
增長速度 ①y=ax(a>1)隨著x的增大,y的增長速度　　　　,會遠遠大于y=xα(α>0)的增長速度,y=logax(a>1)的增長速度　　　　　　; ②當x足夠大時,有　　　
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當x足夠大時,函數y=x4比y=3x增長的速度更快些. (　 )
(2)函數y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變. (　 )
(3)對數函數y=logax(a>1)的增長特點是隨自變量的增大,函數值增大的速度越來越慢. (　 )
(4)函數f(x)=k·2x的變化特點是隨自變量的增大,函數值增大的速度越來越快. (　 )
2.(1)如何描述指數函數y=ax(a>1)和冪函數y=xn(n>0)在區間(0,+∞)上的函數值的變化關系
(2)如何描述對數函數y=logax(a>1)和冪函數y=xn(n>0)在區間(0,+∞)上的函數值的變化關系
(3)如何描述函數y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=xn(n>0)在區間(0,+∞)上的函數值的變化關系
◆ 探究點一　計算并比較指數的值
例1 四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數據如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
關于x呈指數函數變化的變量最可能是　　　　.
變式 (多選題)三個變量y1,y2,y3隨變量x變化的數據如下表:
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505
y2 5 90 1620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
則下列說法合理的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y1關于x呈對數增長
B.y2關于x呈指數爆炸
C.y3關于x呈直線上升
D.y2的增長速度最快
[素養小結]
指數函數增長的特點:
指數函數y=ax(a>1)是增函數,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越快,形象地稱為“指數爆炸”.
◆ 探究點二　增長速度的比較
例2 (1)[2025·江蘇南菁中學高一月考] 當x足夠大時,下列四個函數中增長速度最快的是(　 )
A.y=2025x B.y=log2025x
C.y=x2025 D.y=2025x
(2)(多選題)已知函數f(x)=2x,g(x)=log2x,h(x)=x,則在區間(0,+∞)上 (　 )
A.f(x)的增長速度越來越快
B.g(x)的增長速度越來越慢
C.h(x)的增長速度越來越慢
D.當x足夠大時,g(x)的增長速度慢于h(x)的增長速度
變式 (1)三個變量y1,y2,y3隨著變量x的變化情況如表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1715 3635 6655
y2 5 29 245 2189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
則與x呈對數型函數、指數型函數、冪函數型函數關系的變量依次是 (　 )
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2
(2)函數f(x)=2x和g(x)=x3圖象的示意圖如圖所示.設兩函數的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1①圖中曲線C1對應的函數為　　　　,曲線C2對應的函數為　　　　.
②結合函數圖象,函數值f(8),g(8),f(2025),g(2025)從大到小依次為　　　　　　　　　　.
[素養小結]
三種函數(指數函數、冪函數、對數函數)中,當自變量充分大時,指數函數的函數值最大,該結論的前提是自變量的值大到一定程度,因此判斷一個增函數是否為指數型函數時,一般判斷當自變量增加到一定程度時,自變量增加相同的量時,函數值的增長量是否最大,若是,則這個函數就可能是指數型函數.
◆ 探究點三　函數模型增長比較的實際應用
例3 某企業擬用10萬元投資甲、乙兩種商品.已知各投入x萬元時,甲、乙兩種商品分別可獲得y1,y2萬元的利潤,利潤曲線P1:y1=axn,P2:y2=bx+c,如圖所示.
(1)求函數y1=axn,y2=bx+c的解析式;
(2)應怎樣分配投資資金,才能使投資獲得的利潤最大
變式 [2025·福建三明一中高一期中] 金駿眉是紅茶代表,色澤烏黑有油光,香氣甜香濃郁,滋味甜醇鮮爽,營養價值高.在飲用中發現,茶水的口感與水的溫度有關.經實驗表明,用100 ℃的水泡制,待茶水溫度降至60 ℃時,飲用口感最佳.某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間,每隔1 min測量一次茶水溫度,得到茶水溫度隨時間變化的數據如下表:
時間/min 0 1 2 3 4 5
水溫/℃ 100 91 82.9 75.61 69.05 63.14
設經過x min茶水溫度從100 ℃變為y ℃,現給出以下三種函數模型:①y=cx+b(c<0,x≥0);②y=cax+b(c>0,01,c>0,x≥0).
(1)從上述三種函數模型中選出最符合上述實驗的函數模型,并根據前3組數據求出該解析式;
(2)根據(1)中所求函數模型,求剛泡好的茶達到最佳飲用口感的放置時間;
(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實,求進行實驗時的室溫最低約為多少.(參考數據:lg 3≈0.48,lg 5≈0.70)
[素養小結]
幾類不同增長函數模型的選擇方法:
(1)增長速度不變,即自變量增加相同量時,函數值的增量相等,此時的函數模型是一次函數模型.
(2)增長速度越來越快,即自變量增加相同量時,函數值的增量越來越大,此時的函數模型是指數函數模型.
(3)增長速度越來越慢,即自變量增加相同量時,函數值的增量越來越小,此時的函數模型是對數函數模型.8.2　函數與數學模型
8.2.1　幾個函數模型的比較
1.下列函數中,當x足夠大時,隨著x的增長,增長速度最快的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=10x B.y=x10
C.y=lg x D.y=10x
2.如圖反映的是下列哪類函數的增長趨勢 (　 )
A.一次函數 B.冪函數
C.對數函數 D.指數函數
3.在一次數學實驗中,小胡同學運用圖形計算器采集到如下一組數據:
x 3 5 7 9 11 13
y 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36
在以下四個函數模型中,a(a>1),b為常數,最能反映x,y間函數關系的可能是 (　 )
A.y=ax+b
B.y=ax+b
C.y=ax2+b
D.y=logax+b
4.下列各項是四種生意預期的收益y關于時間x的函數,從足夠長遠的角度看,更為有前途的生意是 (　 )
A.y=10×1.05x
B.y=20+x1.5
C.y=30+lg(x-1)
D.y=50
5.已知當x>m時,不等式log2xA.(0,+∞) B.[2,+∞)
C.(0,2) D.[4,+∞)
6.[2025·江蘇南京六校高一聯考] 某工程需要向一個容器內源源不斷地注入某種液體,有三種方案可以選擇,這三種方案的注入量與時間的關系如圖所示,圖中橫軸為時間(單位:小時),縱軸為注入量,根據以上信息,若使注入量最多,則下列說法中錯誤的是 (　 )
A.注入時間在3小時以內(含3小時),采用方案一
B.注入時間恰為4小時,不采用方案三
C.注入時間恰為6小時,采用方案二
D.注入時間恰為12小時,采用方案二
7.一般地,對于對數函數y=logax(a>1)與一次函數y=kx(k>0),隨著x的增大,一次函數y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而y=logax(a>1)的增長速度越來越　　　　.(填“快”或“慢”)
8.[2025·江蘇太湖高級中學高一月考] 在某種新型材料的研制中,實驗人員獲得了如下一組實驗數據:
x 2 2.99 4 5
y 4 8.02 15.99 32
現準備用下列四個函數中的一個近似地描述這些數據的規律:①y=2x;②y=(x2-1);③y=log2x;④y=2x.其中最適合的一個是　　　　(填序號)
9.(13分)下表是隨x的變化而得到的f1(x),f2(x),f3(x)的函數值:
x f1(x)=2x f2(x)=2x+7 f3(x)=log2x
1 2 9 0
2 4 11 1
3 8 13 1.585 0
4 16 15 2
5 32 17 2.321 9
6 64 19 2.585 0
7 128 21 2.807 4
8 256 23 3
9 512 25 3.169 9
10 1024 27 3.321 9
試回答:
(1)隨著x的增大,各函數的函數值有什么共同的變化趨勢
(2)各函數增長的快慢有什么不同
10.[2025·山東菏澤期末] 預測人口變化趨勢有多種方法,直接推算法使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>-1),其中Pn為預測期人口數,P0為初期人口數,k為預測期內人口增長率,n為預測期間隔年數,則下列說法錯誤的為 (　 )
A.若在某一時期內-1B.若在某一時期內k>0,則這期間人口數呈上升趨勢
C.若在某一時期內0D.若在某一時期內k=0,則這期間人口數不變
11.(多選題)下列說法正確的是 (　 )
A.函數y=lox減小的速度越來越慢
B.在指數函數y=ax(a>1)中,當x>0時,底數a越大,其增長速度越快
C.不存在一個實數m,使得當x>m時,1.1x>x100
D.當a>1,k>0時,在區間(0,+∞)內,對任意的x,總有logax12.圖①②③分別是y=3x與y=5x在不同范圍內的圖象,估算出使3x>5x成立的x的取值范圍是　　　　　　　.(參考數據:30.27≈1.35,32.17≈10.85)
13.[2025·天津塘沽一中高一期中] 已知x∈(0,+∞),則函數y=log2x,y=2x,y=2x中,增長速度越來越快的一個是　　　　,使log2x<2x<2x成立的x的取值范圍是　　　　.
14.(15分)[2024·黑龍江牡丹江六校高一期末] 退耕還林工程就是從保護生態環境出發,將水土流失嚴重的耕地,沙化、鹽堿化、石漠化嚴重的耕地以及糧食產量低而不穩的耕地,有計劃、有步驟地停止耕種,因地制宜地造林種草,恢復植被.某地區執行退耕還林以來,生態環境恢復良好,2024年1月底的生物量為16 t,到了2024年4月底,生物量增長為54 t.現有兩個函數模型可以用來模擬生物量y(單位:t)與月份代碼x(2024年1月底月份代碼為1,以此類推)的內在關系,即y=kax(k>0且a>1)與y=mx2+n(m>0).
(1)分別使用兩個函數模型對本次退耕還林進行分析,求出對應的解析式;
(2)若測得2024年5月底生物量約為80 t,判斷上述兩個函數模型中哪個更合適.
15.已知f(x),g(x)是定義在[t,+∞)上的增函數,f(t)=g(t)=M,若對任意k>M,存在x1①g(x)=2x-1;②g(x)=x2+;
③g(x)=;④g(x)=2-.
A.1 B.2 C.3 D.4
16.(15分)[2025·遼寧省實驗中學高一期中] 地下礦產資源勘探建模是一種重要的技術手段,用于幫助人們更好地了解地下礦產資源的分布和特征.在某個礦藏區域,通過前期的勘探活動,測得了某物理指標隨著地理位置變化的一組數據,如表所示:
x 1 2 3 4 5 6
y 5.7 4.0 2.8 2.0 1.4 1.0
其中x表示采樣點距離礦藏中心標記點的距離,y表示物理指標的數值.
(1)根據礦藏分布可能的情況,數據分析人員估計物理指標y隨著x變化的模型可能為兩種,分別是①y=ax2+b,②y=2mx+n,請根據表格中的數據繪制散點圖,并簡要分析此礦藏區域應該用哪一個模型來估計物理指標y隨著x變化的趨勢.
(2)根據(1)中的結論,選取表格中x=2,x=4的兩對數據,建立數學模型描述物理指標y隨著x變化的趨勢.根據以往經驗,當物理指標y低于0.1時,不具備開采條件,請問正整數x的范圍應該如何選取,才能保證范圍內所有區域都具備開采條件

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