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(共67張PPT)
7.1 角與弧度
7.1.2 弧度制
探究點(diǎn)一 弧度制的概念
探究點(diǎn)二 角度制與弧度制的互化
探究點(diǎn)三 用弧度制表示角
探究點(diǎn)四 弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
備課素材
練習(xí)冊(cè)
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解弧度制.
2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.
3.理解弧度制下的弧長公式及扇形面積公式.
知識(shí)點(diǎn)一 角度制與弧度制
1.角度制:規(guī)定周角的 為1度的角，用____作為單位來度量角的單
位制叫作角度制.
2.弧度制:把長度等于________的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角,記
作______.用______作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.
度
半徑長
弧度
3.1弧度的角：把半徑為___的圓叫作單位圓.如圖，在單位圓 中，
的長等于1， 就是_______的角.
1
1弧度
4.角的弧度數(shù):正角的弧度數(shù)是______,負(fù)角的弧度數(shù)是______,零角的
弧度數(shù)是___.在半徑為的圓中,弧長為的弧所對(duì)的圓心角為 ,那
么 __.
正數(shù)
負(fù)數(shù)
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）的角和 的角大小相等.( )
×
（2）用弧度來表示的角都是正角.( )
×
（3）用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān).( )
×
（4）每個(gè)弧度制下的角，都有唯一的角度制下的角與之對(duì)應(yīng).( )
√
（5）比值 與所取的圓的半徑大小有關(guān).( )
×
知識(shí)點(diǎn)二 角度制與弧度制的互化
1.角度與弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
牢記， .
2.一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
度 ____ _____
弧度 __ _ __ _ __ _ ___ ____ _ ___ ____
知識(shí)點(diǎn)三 弧長公式與扇形面積公式
角度制與弧度制下扇形的弧長與面積公式 是扇形所在圓的半徑，
扇形的圓心角的弧度數(shù)為 ，
公式 度量制 弧長公式 扇形面積公式
角度制
弧度制
探究點(diǎn)一 弧度制的概念
例1（1）下列說法正確的是( )
A.1弧度就是1度的圓心角所對(duì)的弧
B.1弧度是長度為半徑的弧
C.1弧度是1度的弧與1度的角之和
D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小
[解析] 1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小.
√
（2）下列說法中正確的是( )
A. 的角是周角的，的角是周角的
B.大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大
C.所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長都相等
D.用弧度制表示的角都是正角
[解析] 易知A正確；
對(duì)于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長不一定相等，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，用弧度制表示的角也可以不是正角，故D錯(cuò)誤.故選A.
√
探究點(diǎn)二 角度制與弧度制的互化
例2（1）把下列角度化成弧度:
① ;
解： .
② ；
解： .
③ ;
解： .
例2（1）把下列角度化成弧度:
④ .
解： .
（2）把下列弧度化成角度:
① ;
解： .
② ;
解： .
③ ;
解： .
（2）把下列弧度化成角度:
④ .
解： .
變式 設(shè) , ,, ，
， .
（1）將, 用弧度制表示出來，并指出它們的終邊各自所在的象限；
解： ， ，
， ,
的終邊在第二象限， 的終邊在第一象限．
變式 設(shè) , ,, ，
， .
（2）將,用角度制表示出來，并找出與， 分別有相同終邊的
角 和 ．
解： ，則 ，由
，得 ，
或， 或 ;
, 則，由
,得,,
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
角度與弧度互化技巧：
在進(jìn)行角度與弧度的互化時(shí),抓住關(guān)系式 是關(guān)鍵,由它可
以得到:角度數(shù)弧度數(shù),弧度數(shù)角度數(shù).
探究點(diǎn)三 用弧度制表示角
例3（1）把, 分別寫成 的形式.
解：, , ， .
,
, ， .
（2）用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與 軸正半軸重
合，終邊在圖中陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角
的集合.
解：,, 滿足
條件的角 的集合為 .
變式（1）用弧度制表示與 角的終邊相同的角的集合為( )
A. B.
C. D.
[解析] 因?yàn)椋耘c 角的終邊相同的角
的集合為 .故選D.
√
（2）把表示成的形式,則使最小的 的值是
_____.
[解析] 和終邊相同的角可表示為, ,也可表示為
,或,,則使最小的 的值是 .
（3）用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與 軸的正半
軸重合,終邊在圖中的陰影部分內(nèi)（不包括直線 ，
包括軸）的角 的集合為____________________
__________.
[解析] 由題意可知，， ，則終邊
在直線上的角為，.
又終邊在 軸上的角為，，故終邊落在陰影部分內(nèi)
（不包括直線 ，包括軸）的角 的集合為
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）用弧度制表示區(qū)域角,需進(jìn)行角度與弧度的換算,注意要統(tǒng)一單
位，角度數(shù)與弧度數(shù)不能混用.
（2）用弧度制表示終邊相同的角時(shí)， 是 的偶
數(shù)倍，而不是整數(shù)倍.在表示角的集合時(shí),可以先寫出
（或 ~）內(nèi)的角,再加上 ,.
（3）終邊在同一直線（傾斜角為）上的角的集合為
},終邊在互相垂直的兩直線（其中一條直線的
傾斜角為 ,且）上的角的集合為.
探究點(diǎn)四 弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用
例4 ［2024·江蘇連云港高一期中］已知一扇形的圓心角為
，半徑為，弧長為 .
（1）若 ，，求 ；
解：由題意知 ，所以
.
例4 ［2024·江蘇連云港高一期中］已知一扇形的圓心角為
，半徑為，弧長為 .
（2）若扇形的周長為，面積是，求 的弧度數(shù)；
解：由題意得 ，且解得 （舍）或
故 .
例4 ［2024·江蘇連云港高一期中］已知一扇形的圓心角為
，半徑為，弧長為 .
（3）若扇形的周長為，則當(dāng) 為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面
積最大
解：由題意知 ，所以扇形的面積
，且
，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值 ，
此時(shí)， .
變式（1）玉雕在我國歷史悠久，玉雕是將玉石用傳統(tǒng)的手工雕刻工
藝加工生產(chǎn)成的工藝品.某扇環(huán)形玉雕 （扇環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇
形截得的一部分；玉雕厚度忽略不計(jì)）尺寸（單位： ）如圖所示，
則該玉雕的面積為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖，設(shè)玉雕所在扇形的圓心為 ，
， ，由弧長公式可得
解得
設(shè)扇形，扇形的面積分別為， ，則該玉雕
的面積為 .
故選A.
（2）若扇形的圓心角為，面積為 ，則該扇形的弧長為
________.
[解析] 設(shè)扇形的半徑為，因?yàn)樯刃蔚膱A心角 ，所
以扇形的面積，解得 ，所
以該扇形的弧長 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
扇形的弧長和面積的求解策略
（1）記公式：面積公式，弧長公式
（其中是扇形的弧長，是扇形的半徑， 是扇形圓心角的弧度
數(shù)，）.
（2）找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等計(jì)算
問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧
長公式、扇形的面積公式直接求解或列方程（組）求解.
1.對(duì)于角度制與弧度制的理解
（1）無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個(gè)與其所
在扇形半徑大小無關(guān)的定值，扇形半徑僅僅是為了能使概念更具體
的一個(gè)“過渡量”而已.
（2）以弧度為單位表示角的大小時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫，這
時(shí)弧度數(shù)在形式上雖是一個(gè)不名數(shù)，但我們應(yīng)該把它理解為名數(shù)，如
是指 弧度 .以度為單位表示角時(shí)，“度”就不能省去.
（3）以弧度為單位表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少 的形式，如
無特殊要求，不必把 寫成小數(shù)，如 弧度，不必寫成
弧度.
（4）角度制和弧度制不能混用，如 ，
都不正確.
2.弧度與角度的換算
（1）弧度與角度的換算是一種比例關(guān)系的變形.在進(jìn)行角度與弧度的
換算時(shí)，抓住關(guān)系式 是關(guān)鍵，由它可以得，角度數(shù)
弧度數(shù)，弧度數(shù)角度數(shù)，牢記 ，
.
（2）特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)的對(duì)應(yīng)值今后常用，應(yīng)該熟記.
3.運(yùn)用扇形的弧長及面積公式時(shí)，應(yīng)注意的問題
（1）由扇形的弧長及面積公式可知，對(duì)于 ，，， 中“知其二求
其二”，實(shí)質(zhì)上是方程思想的運(yùn)用.
（2）用弧度制表示的扇形弧長與面積公式比用角度制表示的公式要
簡單得多，但要注意運(yùn)用公式的前提條件是“弧度制”.若角是以“度”
為單位，則必須先化成弧度，再計(jì)算.
（3）在運(yùn)用弧度制下的扇形弧長與面積公式時(shí)，還應(yīng)熟練掌握這兩
個(gè)公式的變形運(yùn)用：，，； ，
.
1.用弧度制表示角的集合
表示角的集合時(shí)，既可以用角度制也可以用弧度制，但只能用一種
度量制表示，不能把角度與弧度混用.
例1 終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合用角度制表示為_______________
____________，用弧度制表示為________________.
，
2.用弧度制表示區(qū)域角的集合
根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟：①仔細(xì)觀察圖形，寫出區(qū)
域邊界作為終邊時(shí)角 范圍內(nèi) 的表示；②用不等式表示終
邊在區(qū)域范圍內(nèi)的角，邊界對(duì)應(yīng)的角 范圍內(nèi) 應(yīng)再加上
.
注意事項(xiàng)：用不等式表示區(qū)域角的范圍時(shí)，要注意角的集合是否能
夠合并，這一點(diǎn)容易出錯(cuò).
例2 用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在 軸的非負(fù)半軸，終邊落在圖
中陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.
解：題圖（1）中，以射線 為終邊的角為
， ，
以射線為終邊的角為 ， ，
所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為
.
題圖（2）中，射線與射線 在一條直線上，
因此終邊在直線上的角為, ,
又終邊在軸上的角為, ,
所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集
合為 .
3.扇形的弧長與面積
扇形的弧長與面積問題主要借助于弧長和面積公式,構(gòu)造出方程
（組）,然后求解方程（組）得出相關(guān)的量.
例3 ［2025·江蘇梅村高級(jí)中學(xué)高一月考］體育老師為
了方便學(xué)生練習(xí)擲鉛球，在操場上畫了一塊扇環(huán)形區(qū)
域（圖中陰影部分），其中和均以 為圓心，
A.75 B.90 C.100 D.120
.若， ，且
，分別表示,的長 ，則這塊扇
環(huán)形區(qū)域的面積的最大值為( )
√
[解析] 由扇形弧長公式可得
，
即 ，
所以當(dāng)時(shí)， 最大，最大值為100，故選C.
，
練習(xí)冊(cè)
1.［2025·江蘇徐州三中高一檢測(cè)］ 化為弧度是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 .故選C.
√
2.若，則角 的終邊在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ，則角 的終邊在第四象限.故選D.
√
3.若角 與角的終邊相同，則與 終邊相同的角的集合為( )
A. B.
C. D.
[解析] 角 與角的終邊相同， 與 終邊相同的角的集合為
，故選A.
√
4.［2025·湖南長郡十八校高一檢測(cè)］已知長為 的弧所對(duì)的圓心角
為 ，則該弧所在的扇形面積為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意可知，扇形的半徑 ，因此該扇形的面積
.故選A.
√
5.［2025·廣東東莞中學(xué)高一期中］“”是“ 是第一象限角”
的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
[解析] 若，則 一定是第一象限角，充分性成立；
若 是第一象限角，則,，無法得到 一定
屬于，必要性不成立.
所以“”是“ 是第一象限角”的充分且不必要條件.故選A.
√
6.［2025·江蘇豐縣中學(xué)高一月考］若角 的終邊落在如圖所示的陰
影部分（含邊界）內(nèi)，則角 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 依題意，在 內(nèi)陰影部分的兩條邊界所在
終邊對(duì)應(yīng)的角分別為,，則在 內(nèi)終邊在陰影
部分內(nèi)的角的取值范圍是，所以角 的取值
范圍是 .故選D.
7.［2025·上海黃浦區(qū)部分學(xué)校高一期中］當(dāng)手表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢10分
鐘時(shí)，只需將分針旋轉(zhuǎn)____弧度就可以調(diào)節(jié)準(zhǔn)確.
[解析] 由題意，分針需要沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，即分針旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
為 .
8.［2025·重慶萬州三中高一月考］已知一扇形的周長為40，則這個(gè)
扇形面積的最大值是_____.
100
[解析] 設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則， ，
則扇形的面積
，當(dāng)
時(shí)，扇形面積取得最大值100.
9.（13分）將下列各角轉(zhuǎn)化成,且 的形式,
并指出它們是第幾象限角.
（1） ;
解： .
與的終邊相同,且 是第一象限角,
是第一象限角.
（2） .
解：.與的終邊相同,且是第三象限角, 是
第三象限角.
10.［2025·廣東揭陽一中高一段考］如圖，圓 的半徑
為1，劣弧的長為 ，則陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè) ， ，因?yàn)閳A的半徑，劣弧
的長，所以，則,
為等邊三角形且，所以陰影部分的面積
為.故選B.
√
11.（多選題）若一個(gè)扇形的弧長為 ，面積為 ，則( )
A.該扇形的圓心角為 B.該扇形的半徑為14
C.該扇形的圓心角為 D.該扇形的半徑為7
[解析] 設(shè)扇形的半徑為，由扇形的弧長 ，扇形的面積
，得，則 ，B正確，D錯(cuò)誤；
扇形的圓心角，A錯(cuò)誤，C正確.故選 .
√
√
12.［2025·廣東惠州一中高一月考］如圖是某
折扇的示意圖，已知為 的中點(diǎn)，
， ，則此扇面部分
（扇環(huán) ）的面積是___.
[解析] 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，， ，所以 ，
， ，所以此扇
面部分（扇環(huán)）的面積是 .
13.若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時(shí)，扇形圓心角的弧
度數(shù)是___.
2
[解析] 設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則 ，即
， ，所以扇形面積
，所以當(dāng)
時(shí)，取得最大值，
此時(shí) ，所以扇形的圓心角 （弧度）.
14.（15分）已知扇形 ，如圖.
（1）若，，求扇形 的面積和
弧 的長；
解：設(shè)扇形的半徑為，，所以 ，，
根據(jù)扇形弧長公式得弧的長，扇形
的面積 .
14.（15分）已知扇形 ，如圖.
（2）若扇形的面積為，求扇形 周長的
最小值，并求出此時(shí) 的值.
解：由扇形的面積（，分別為扇形 的弧長、
半徑），得，則扇形 的周長為
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)
成立，
此時(shí)由知 .
15.［2025·江蘇金壇一中月考］萊洛三角形以機(jī)械學(xué)
家萊洛的名字命名，這種三角形應(yīng)用非常廣泛，不
僅用于建筑和商品的外包裝設(shè)計(jì)，還用于工業(yè)生產(chǎn)
中.萊洛三角形的畫法：先畫正三角形 ，然后分
A. B. C.6 D.
別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑畫圓弧，即可得到萊洛三角形，
如圖中實(shí)線所示.若萊洛三角形的面
積是，則弓形 的周長為( )
√
[解析] 設(shè)，則弧,, 所在的
每個(gè)扇形面積均為 ，
又等邊三角形的面積 ，
所以萊洛三角形的面積是
，則，
所以弧的長 ，所以弓形 的周長為 .故選A.
16.（15分）現(xiàn)在有人研究鐘表的時(shí)針和分針一天內(nèi)重合的次數(shù)，從
午夜零時(shí)算起，假設(shè)經(jīng)過時(shí)分針和時(shí)針恰好第 次重合.
（1）建立關(guān)于 的函數(shù)解析式；
解：因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的角速度為 ，
時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度為 ，
所以，,即， .
16.（15分）現(xiàn)在有人研究鐘表的時(shí)針和分針一天內(nèi)重合的次數(shù)，從
午夜零時(shí)算起，假設(shè)經(jīng)過時(shí)分針和時(shí)針恰好第 次重合.
（2）求一天內(nèi)分針和時(shí)針重合的次數(shù).
解：因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間為 ，
所以令，可得 ,
又 ，故時(shí)針與分針一天內(nèi)重合22次.
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一 1.度 2.半徑長 弧度 3.1 1弧度
4.正數(shù) 負(fù)數(shù) 【診斷分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）×
知識(shí)點(diǎn)二 1. 2.
知識(shí)點(diǎn)三
課中探究 探究點(diǎn)一 例1 （1）D （2）A
探究點(diǎn)二 例1 （1）① ② ③ ④ （2）①
② ③ ④ 變式 （1）m>，,的終邊在
第二象限，的終邊在第一象限
（2） ， 或 ; ,
探究點(diǎn)三 例3 （1），（2）
變式（1）D （2） （3）
探究點(diǎn)四 例4 （1） （2） （3）m> 變式 （1）A （2）
練習(xí)冊(cè)
基礎(chǔ)鞏固 1.C 2.D 3.A 4.A 5.A 6.D 7. 8.100
9.（1）， 是第一象限角.
（2）是第三象限角.
綜合提升 10.B 11.BC 12. 13.2
14.（1）弧的長，扇形的面積為
（2）周長的最小值為<，此時(shí)
思維探索 15.A 16.（1），（2）22次7.1.2　弧度制
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.度　2.半徑長　1 rad　弧度
3.1　1弧度　4.正數(shù)　負(fù)數(shù)　0　
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
知識(shí)點(diǎn)二
1.2π　360°　π　180°
2.60°　180°　0　　　　　　2π
知識(shí)點(diǎn)三
|α|·r　lr　|α|r2
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)D　(2)A　[解析] (1)1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小.
(2)易知A正確;對(duì)于B,大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長不一定相等,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,用弧度制表示的角也可以不是正角,故D錯(cuò)誤.故選A.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)①-150°=-=-.
②2100°==.
③11°15'=°==.
④112°30'=°==.
(2)①==30°.
②-=-=-300°.
③==81°.
④-π=-×180°=-75°.
變式　解:(1)∵180°=π,∴-570°=-=-,∴α1=-=-2×2π+,α2=750°===2×2π+,
∴α1的終邊在第二象限,α2的終邊在第一象限.
(2)β1==×180°=108°,則θ=k·360°+108°(k∈Z),由-720°≤θ<0°,得-720°≤k·360°+108°<0°(k∈Z),
∴k=-2或k=-1,∴θ=-612°或θ=-252°;β2=-=-60°,則φ=k·360°-60°(k∈Z),由-720°≤φ<-360°,得-720°≤k·360°-60°<-360°(k∈Z),∴k=-1,∴φ=-420°.
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)=4π+,∵0≤<2π,4π=2×2π,∴=4π+.
-315°=-315×=-=-2π+,
∵0≤<2π,-2π=-1×2π,∴-315°=-2π+.
(2)∵330°=360°-30°=2π-,60°=,∴滿足條件的角θ的集合為.
變式　(1)D　(2)-　(3)
[解析] (1)因?yàn)?50°=150×=,所以與150°角的終邊相同的角的集合為.故選D.
(2)和-終邊相同的角可表示為2kπ-,k∈Z,也可表示為2kπ-,k∈Z或2kπ+,k∈Z,則使|θ|最小的θ的值是-.
(3)由題意可知,30°=,210°=,則終邊在直線AB上的角為α=kπ+,k∈Z.又終邊在y軸上的角為β=kπ+,k∈Z,故終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括直線AB,包括y軸)的角θ的集合為.
探究點(diǎn)四
例4　解:(1)由題意知α=120°= rad,所以l=α·R=×10=(cm).
(2)由題意得0<α<2π,且解得(舍)或故α= rad.
(3)由題意知l+2R=20,所以扇形的面積S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,且0變式　(1)A　(2)2 cm　[解析] (1)如圖,設(shè)玉雕所在扇形的圓心為O,∠AOB=α,OB=r,由弧長公式可得
解得設(shè)扇形COD,扇形AOB的面積分別為S1,S2,則該玉雕的面積為S1-S2=×120×(30+30)-×60×30=2700(cm2).故選A.
(2)設(shè)扇形的半徑為r(r>0),因?yàn)樯刃蔚膱A心角α=3 rad,所以扇形的面積S=αr2=×3r2=2(cm2),解得r=(cm),所以該扇形的弧長l=αr=3×=2(cm).7.1.2　弧度制
1.C　[解析] 由1°= rad,得105°=π= rad.故選C.
2.D　[解析] α-2π=6-2π∈,則角α的終邊在第四象限.故選D.
3.A　[解析] ∵角θ與-角的終邊相同,∴與θ終邊相同的角的集合為,故選A.
4.A　[解析] 由題意可知,扇形的半徑r==3,因此該扇形的面積S=×π×3=.故選A.
5.A　[解析] 若α∈,則α一定是第一象限角,充分性成立;若α是第一象限角,則2kπ<α<2kπ+,k∈Z,無法得到α一定屬于,必要性不成立.所以“α∈”是“α是第一象限角”的充分且不必要條件.故選A.
6.D　[解析] 依題意,在[0,2π)內(nèi)陰影部分的兩條邊界所在終邊對(duì)應(yīng)的角分別為,,則在[0,2π)內(nèi)終邊在陰影部分內(nèi)的角的取值范圍是,所以角α的取值范圍是(k∈Z).故選D.
7.-　[解析] 由題意,分針需要沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,即分針旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為-.
8.100　[解析] 設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則2r+l=40,09.解:(1)-1725°=-5×360°+75°=-10π+.
∵-1725°與的終邊相同,且是第一象限角,
∴-1725°是第一象限角.
(2)=20π+.∵與的終邊相同,且是第三象限角,∴是第三象限角.
10.B　[解析] 設(shè)∠AOB=α,0<α<π,因?yàn)閳AO的半徑r=1,劣弧AB的長l=,所以α=,則S扇形AOB=lr=××1=,△AOB為等邊三角形且S△AOB=×1×=,所以陰影部分的面積為-.故選B.
11.BC　[解析] 設(shè)扇形的半徑為R,由扇形的弧長l=2π,扇形的面積S=14π,得14π=×2πR,則R=14,B正確,D錯(cuò)誤;扇形的圓心角α===,A錯(cuò)誤,C正確.故選BC.
12.π　[解析] 因?yàn)镈為OA的中點(diǎn),OA=2,∠AOB=π,所以O(shè)D=1,S扇形AOB=×π×22=,S扇形DOC=×π×12=,所以此扇面部分(扇環(huán)ABCD)的面積是S扇形AOB-S扇形DOC=-=π.
13.2　[解析] 設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=18,即l=18-2r,014.解:(1)設(shè)扇形的半徑為R,α=∠AOB,所以α=,R=4,根據(jù)扇形弧長公式得弧AB的長l=αR=(cm),扇形AOB的面積S=αR2=(cm2).
(2)由扇形AOB的面積S==10(l,R分別為扇形AOB的弧長、半徑),得l=,則扇形AOB的周長為2R+l=2R+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)R= cm時(shí)等號(hào)成立,
此時(shí)由l=αR=(α=∠AOB)知∠AOB==2.
15.A　[解析] 設(shè)AB=BC=AC=R,則弧BC,AC,AB所在的每個(gè)扇形面積均為×R2=R2,又等邊三角形ABC的面積S=R·R=R2,所以萊洛三角形的面積是3+R2=R2=,則R=3,所以弧AC的長l=×3=π,所以弓形AC的周長為π+3.故選A.
16.解:(1)因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的角速度為-=-(rad/min),
時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度為-=-(rad/min),
所以t=-2πn,n∈N*,即t=n,n∈N*.
(2)因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間為24×60=1440(min),
所以令n≤1440,可得n≤22,
又n∈N*,故時(shí)針與分針一天內(nèi)重合22次.7.1.2　弧度制
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.了解弧度制.
　　2.能進(jìn)行弧度與角度的互化,體會(huì)引入弧度制的必要性.
　　3.理解弧度制下的弧長公式及扇形面積公式.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　角度制與弧度制
1.角度制:規(guī)定周角的為1度的角,用　　　　作為單位來度量角的單位制叫作角度制.
2.弧度制:把長度等于　　　　的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角,記作　　　　.用　　　　作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.
3.1弧度的角:把半徑為　　　　的圓叫作單位圓.如圖,在單位圓O中,的長等于1,∠AOB就是　　　　的角.
4.角的弧度數(shù):正角的弧度數(shù)是　　　　,負(fù)角的弧度數(shù)是　　　　,零角的弧度數(shù)是　　　　.在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對(duì)的圓心角為α rad,那么|α|=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等. (　 )
(2)用弧度來表示的角都是正角. (　 )
(3)用角度制和弧度制度量角,都與圓的半徑有關(guān). (　 )
(4)每個(gè)弧度制下的角,都有唯一的角度制下的角與之對(duì)應(yīng). (　 )
(5)比值與所取的圓的半徑大小有關(guān).(　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　角度制與弧度制的互化
1.角度與弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°=　　　　 rad 2π rad=　　　
180°=　　　　 rad π rad=　　　
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30°
角度數(shù)×=弧度數(shù) 弧度數(shù)×°=角度數(shù)
牢記180°=π rad,1 rad=°.
2.一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
度 0° 30° 45° 　 90° 120° 135° 150° 　 270° 360°
弧度 　 　 　 　 　 　 π 　
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　弧長公式與扇形面積公式
角度制與弧度制下扇形的弧長與面積公式(r是扇形所在圓的半徑,扇形的圓心角的弧度數(shù)為α,α=n°)
　　公式 度量制　　 弧長公式 扇形面積公式
角度制 l= S=
弧度制 l=　　　 (0<|α|<2π) S=　　　　=　　　　 (0<|α|<2π)
◆ 探究點(diǎn)一　弧度制的概念
例1 (1)下列說法正確的是 (　 )
A.1弧度就是1度的圓心角所對(duì)的弧
B.1弧度是長度為半徑的弧
C.1弧度是1度的弧與1度的角之和
D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小
(2)下列說法中正確的是 (　 )
A.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
B.大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大
C.所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長都相等
D.用弧度制表示的角都是正角
◆ 探究點(diǎn)二　角度制與弧度制的互化
例2 (1)把下列角度化成弧度:
①-150°;②2100°;③11°15';④112°30'.
(2)把下列弧度化成角度:
①;②-;③;④-π.
變式 設(shè)α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-,-720°≤θ<0°,-720°≤φ<-360°.
(1)將α1,α2用弧度制表示出來,并指出它們的終邊各自所在的象限;
(2)將β1,β2用角度制表示出來,并找出與β1,β2分別有相同終邊的角θ和φ.
[素養(yǎng)小結(jié)]
角度與弧度互化技巧:
在進(jìn)行角度與弧度的互化時(shí),抓住關(guān)系式π rad=180°是關(guān)鍵,由它可以得到:角度數(shù)×=弧度數(shù),弧度數(shù)×°=角度數(shù).
◆ 探究點(diǎn)三　用弧度制表示角
例3 (1)把,-315°分別寫成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式.
(2)用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合,終邊在圖中陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角θ的集合.
變式 (1)用弧度制表示與150°角的終邊相同的角的集合為 (　 )
A.
B.
C.
D.
(2)把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,則使|θ|最小的θ的值是　　　　.
(3)用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊在圖中的陰影部分內(nèi)(不包括直線AB,包括y軸)的角θ的集合為　　　　　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)用弧度制表示區(qū)域角,需進(jìn)行角度與弧度的換算,注意要統(tǒng)一單位,角度數(shù)與弧度數(shù)不能混用.
(2)用弧度制表示終邊相同的角2kπ+α(k∈Z)時(shí),2kπ是π的偶數(shù)倍,而不是整數(shù)倍.在表示角的集合時(shí),可以先寫出0~2π(或-π~π)內(nèi)的角,再加上2kπ,k∈Z.
(3)終邊在同一直線(傾斜角為α)上的角的集合為{x|x=α+kπ(k∈Z)},終邊在互相垂直的兩直線上的角的集合為.
◆ 探究點(diǎn)四　弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用
例4 [2024·江蘇連云港高一期中] 已知一扇形的圓心角為α(0°<α<360°),半徑為R,弧長為l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求l;
(2)若扇形的周長為10 cm,面積是4 cm2,求α的弧度數(shù);
(3)若扇形的周長為20 cm,則當(dāng)α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)玉雕在我國歷史悠久,玉雕是將玉石用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產(chǎn)成的工藝品.某扇環(huán)形玉雕ABCD(扇環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分;玉雕厚度忽略不計(jì))尺寸(單位:cm)如圖所示,則該玉雕的面積為 (　 )
A.2700 cm2 B.3500 cm2
C.4300 cm2 D.4800 cm2
(2)若扇形的圓心角為3 rad,面積為2 cm2,則該扇形的弧長為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
扇形的弧長和面積的求解策略
(1)記公式:面積公式S=lR=αR2,弧長公式l=αR(其中l(wèi)是扇形的弧長,R是扇形的半徑,α是扇形圓心角的弧度數(shù),0<α<2π).
(2)找關(guān)鍵:涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等計(jì)算問題,關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量,然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形的面積公式直接求解或列方程(組)求解.7.1.2　弧度制
1.[2025·江蘇徐州三中高一檢測(cè)] 105°化為弧度是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.若α=6 rad,則角α的終邊在 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若角θ與-角的終邊相同,則與θ終邊相同的角的集合為 (　 )
A.
B.
C.
D.
4.[2025·湖南長郡十八校高一檢測(cè)] 已知長為π的弧所對(duì)的圓心角為,則該弧所在的扇形面積為 (　 )
A. B.
C. D.
5.[2025·廣東東莞中學(xué)高一期中] “α∈”是“α是第一象限角”的 (　 )
A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
6.[2025·江蘇豐縣中學(xué)高一月考] 若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分(含邊界)內(nèi),則角α的取值范圍是 (　 )
A.
B.
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
7.[2025·上海黃浦區(qū)部分學(xué)校高一期中] 當(dāng)手表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢10分鐘時(shí),只需將分針旋轉(zhuǎn)　　　　弧度就可以調(diào)節(jié)準(zhǔn)確.
8.[2025·重慶萬州三中高一月考] 已知一扇形的周長為40,則這個(gè)扇形面積的最大值是　　　　.
9.(13分)將下列各角轉(zhuǎn)化成2kπ+α(k∈Z,且0≤α<2π)的形式,并指出它們是第幾象限角.
(1)-1725°;
(2).
10.[2025·廣東揭陽一中高一段考] 如圖,圓O的半徑為1,劣弧AB的長為,則陰影部分的面積為 (　 )
A.- B.-
C.- D.-
11.(多選題)若一個(gè)扇形的弧長為2π,面積為14π,則 (　 )
A.該扇形的圓心角為
B.該扇形的半徑為14
C.該扇形的圓心角為
D.該扇形的半徑為7
12.[2025·廣東惠州一中高一月考] 如圖是某折扇的示意圖,已知D為OA的中點(diǎn),OA=2,∠AOB=π,則此扇面部分(扇環(huán)ABCD)的面積是　　　　.
13.若扇形的周長為18,則扇形面積取得最大值時(shí),扇形圓心角的弧度數(shù)是　　　　.
14.(15分)已知扇形AOB,如圖.
(1)若∠AOB=,AB=4 cm,求扇形AOB的面積和弧AB的長;
(2)若扇形AOB的面積為10 cm2,求扇形AOB周長的最小值,并求出此時(shí)∠AOB的值.
15.[2025·江蘇金壇一中月考] 萊洛三角形以機(jī)械學(xué)家萊洛的名字命名,這種三角形應(yīng)用非常廣泛,不僅用于建筑和商品的外包裝設(shè)計(jì),還用于工業(yè)生產(chǎn)中.萊洛三角形的畫法:先畫正三角形ABC,然后分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,邊長為半徑畫圓弧,即可得到萊洛三角形,如圖中實(shí)線所示.若萊洛三角形的面積是,則弓形AC的周長為 (　 )
A.π+3 B.π+6
C.6 D.3π
16.(15分)現(xiàn)在有人研究鐘表的時(shí)針和分針一天內(nèi)重合的次數(shù),從午夜零時(shí)算起,假設(shè)經(jīng)過t min時(shí)分針和時(shí)針恰好第n(n∈N*)次重合.
(1)建立t關(guān)于n的函數(shù)解析式;
(2)求一天內(nèi)分針和時(shí)針重合的次數(shù).

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