資源簡介

(共65張PPT)
7.2 三角函數概念
7.2.2 同角三角函數關系
探究點一 求值問題
探究點二 與 的關系的應用
探究點三 由正切求齊次式的值
探究點四 三角函數式的化簡與證明
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
理解同角三角函數的基本關系式： ,
.
知識點一 同角三角函數的基本關系
1.平方關系:_________________.
2.商數關系:_____________________________.
這就是說,同一個角 的正弦、余弦的________等于1,商等于角 的
______.
平方和
正切
知識點二 同角三角函數基本關系式的常用變形
1.__________________________ _______________.
2.__________，_______, __________，
______ .
3.______ ,______ .
4.切化弦:_ ____________;弦化切:____________.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）對任意角 ， 都成立.( )
×
[解析] 當 時， 不成立.
（2）若,則 .( )
[解析] 由得 ,又 ，所以
.
√
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）已知,則 .( )
√
[解析] ,且 ,, ,
,
又 , .
探究點一 求值問題
例1（1）已知,,求 ， 的值.
解：方法一：由已知得由①得 ,
代入②得,所以 ,
又,所以,所以 ，
所以 .
方法二：因為，所以由 得
，所以 ,
又,所以 ,
所以，所以 .
（2）已知，求 ， 的值.
解：因為，，所以 是第三或第四象限角.由
得 .
如果 是第三象限角，那么，于是 ，
從而 ；
如果 是第四象限角，那么，于是 ，從而
.
綜上所述，當 是第三象限角時，， ；
當 是第四象限角時，， .
變式（1）已知， 為第二象限角，求 ， 的值.
解：因為，且 ，所以，
又 為第二象限角，所以 ，
所以， .
（2）已知 是第三象限角，且，求 ， 的值.
解：因為 是第三象限角，所以， ，
由題得則， .
［素養小結］
求三角函數值的方法
（1）已知或求 常用以下方法求解.
（2）已知 求 或 常用以下方法求解.
當角 的范圍不確定且涉及開方時，常因三角函數值的符號問題而
對角 分區間（象限）討論.
探究點二 與 的關系的應用
例2 已知，求 和
的值.
解：因為，所以 ，
即，所以.
易知 為第二象限角，所以 ，所以
.
變式 已知 ， 是關于的方程 的兩個根．
（1）求實數 的值；
解：由題意得，即或 ，
， .
因為 ，
所以，解得或 ，
經驗證，均符合題意，所以或 .
變式 已知 ， 是關于的方程 的兩個根．
（2）若 是第四象限角，求 的值．
解：因為 是第四象限角，所以，，所以
且 ，
所以 ，
即 .
［素養小結］
， ， 三個式子中，已知其中
一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們之間的關系是
.
探究點三 由正切求齊次式的值
例3 ［2025·江蘇淮安金湖中學高一月考］已知 ，求下列各
式的值：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
例3 ［2025·江蘇淮安金湖中學高一月考］已知 ，求下列各
式的值：
（3） .
解： .
變式 ［2025·江蘇揚州中學高一月考］
（1）已知角 的終邊經過點，求 的值.
解：由角 的終邊經過點，可知 ，則
.
變式 ［2025·江蘇揚州中學高一月考］
（2）若，求 的值.
解：由，得 ，
所以 ，所以
.
［素養小結］
已知,求或時,可結合平方關系
解方程組求解;求分子、分母都是 與 的
同次次表達式的值時,常用分子、分母同除以 化切求解,分
母是1的用 代換;求 與 的整式表達式的
值時,常利用 化為關于 的表達式求解.
探究點四 三角函數式的化簡與證明
例4 化簡下列各式：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解： .
例4 化簡下列各式：
（3） .
解： .
變式 化簡下列各式：
（1） ；
解：原式 .
變式 化簡下列各式：
（2） .
解：方法一:原式
.
方法二:原式
.
方法三:原式
.
［素養小結］
三角函數式的化簡技巧：
（1）化切為弦，即把正切函數都化為正、余弦函數，從而減少函數
名稱，達到化繁為簡的目的.
（2）對于含有根號的式子，常把根號里面的部分化成完全平方式，
然后去根號達到化簡的目的.
（3）對于化簡含高次的三角函數式，往往借助于因式分解，或構造
，以降低次數，達到化簡的目的.
例5 求證： .
證明：方法一，因為右邊
左邊，所以原等式成立.
方法二，因為左邊 ，右邊
，所以左邊 右邊，原等式成立.
變式 已知,求證: .
證明：由,可得 ,
即,故有 ,
整理得,即 ,
展開得,即 .
［素養小結］
證明三角恒等式的實質是清除等式兩端的差異,有目的地化簡.
證明三角恒等式的基本原則:由繁到簡.
常用方法:從左向右證;從右向左證;左、右歸一.
常用技巧:“切”化“弦”、整體代換、“1”的代換、方程思想.
1.應用同角三角函數的基本關系式時應注意：
（1）“角相同”，如與， 與 ，與 都是同一個角，
要有一個整體思想；
（2）對“任意”一個角（使得函數有意義的前提下），關系式都成立；
（3）平方關系式中的 是的簡寫，不能寫成 .
2.根據問題的需要，應注意用同角三角函數的基本關系式的變形和逆
用.基本關系式常見的變形： ，
， ， ,
, 等.
1.已知角 的一個三角函數值,求其他三角函數值
解決此類問題時，要注意:①認真確定角 的終邊所在的象限,以便確
定三角函數值的符號;②盡可能地避免使用平方關系,以免造成不必要
的討論;③必要時進行討論.
例1（1）已知， 為第二象限角，求 和 的值；
解：由已知有， ，則
.
所以 .
（2）已知，求 ， 的值.
解：因為，所以角 是第二或第三象限角.
當角 是第二象限角時，，又因為 ，
，所以，所以 ；
當角 是第三象限角時，，又因為 ，
，所以，所以 .
2.利用 與 的關系計算
對于三角函數式 , , ,它們之間可
通過 ,
進行轉換.若已知 ,
, 中的一個,則可求其余兩個函數式的值.
例2 （多選題）［2025·四川涼山州高一期末］ 已知 ,
，則( )
A. 為第二象限角 B.
C. D.
√
√
√
[解析] 對于B，因為 ，所以
，則，故B正確；
對于A，因為 ，所以，又，所以，所以 為第一象限角，故A錯誤；
，故C正確；
對于D，，故D正確.故選 .
3.三角齊次式求值
已知 的值,求關于 , 的齊次式的值一般有兩種方法:
一種是將分子分母（若不是分式形式，則利用 變
為分式形式）同時除以,構造關于 的表達式,再
整體代入 的值求解;另一種是將 化為,找出 與
的關系再代入求解.
例3 已知 .
（1）求 的值；
解：因為，所以 .
（2）求 的值.
解：因為 ，所以
.
練習冊
1.已知，，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，，得 ， ，
則 .故選D.
√
2.化簡 的結果是( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
3.化簡 的結果是( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
4.［2025·廣西玉林四校高一聯考］已知 ，
則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ，所以
，所以 ，
則 ，所以
.故選D.
√
5.已知,則 等于( )
A. B. C.2 D.
[解析] 由，可得 .
√
6.已知 是第三象限角，且，則 的值為
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
所以.
因為 是第三象限角，所以 ，，
所以 .故選A.
√
7.已知，，則 ______.
[解析] 由，，得， .
由，得，則 ，
又 ，.
又， .
8.已知，則 ____.
[解析] 由 ，兩邊同時平方，得
，所以
，
又 ，所以, ，所以 .
因為 ，所以
.
9.（13分）求證： .
證明： 左邊
右邊, 原
等式成立.
10.（13分）［2025·江蘇四校高一期末］
（1）已知，求 的值；
解：由，化簡得 ，
因此 .
所以
.
10.（13分）［2025·江蘇四校高一期末］
（2）已知，且，求 的值.
解：因為 ，所以 ，
則 ，
因為，所以, ，所以
，
則 .
11.若 ，則化簡 的結果是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ， ，則
，故選A.
12.（多選題）下列等式中恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 由同角三角函數的基本關系知，A,BC中等式顯然恒成立；
對于D，當,時， 無意義，等式不成立.故選
.
√
√
√
13.（多選題）［2025·江蘇徐州一中高一檢測］ 已知 ，且
，則( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 對A，B，由題意得 ，即
，故，
因為 ，所以,，則 ，故A，B
均正確；
對C，D，，因為 ，
所以，故C錯誤，D正確.故選 .
14.已知 是的內角，且，則
的值為___.
[解析] 由 的兩邊同時平方，可得
，則.
因為 是 的內角，所以，所以 ，所以
.
15.已知 ， 是方程 的兩個實數根，則
實數 的值為____.
[解析] 因為 ， 是方程 的兩個實數根，
所以
由 ，得，
所以 ，滿足，則 .
16.（15分）
（1）計算，， 的值，你有什么發
現？
解：因為，
， ，
所以,, 的值相等.
16.（15分）
（2）計算，， 的值，你有什么發
現？
（3）證明：， .
證明： ,
.
解：因為，， ，
所以,， 的值相等.
16.（15分）
（4）推測，與 的關系，不需證明
解：推測, .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1. 2. 平方和 正切
知識點二 1. 2.
3. 4.
【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）√
課中探究 探究點一 例1 （1），
（2）當 是第三象限角時，，；當 是第四象限角時，，.
變式 （1）， （2），
探究點二 <， 變式（1）或（2）
探究點三 例3 （1） （2） 變式 （1） （2）
探究點四 例4 （1）原式 （2）原式 （3）
變式 （1）原式 （2）原式練習冊
基礎鞏固 1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A 7. 8. 9.證明略
10.（1）（2）
綜合提升 11.A 12.ABC 13.ABD 14.
思維探索 15.
16.（1）,,的值相等，都為
（2）,，的值相等
（3）證明：, .
（4）推測,.7.2.2　同角三角函數關系
【課前預習】
知識點一
1.sin2α+cos2α=1
2.tan α=　平方和　正切
知識點二
1.sin2α+cos2α±2sin αcos α　1±2sin αcos α
2. 1-cos2α　sin α　1-sin2α　cos α
3.sin α　cos α
4.tan α=　=tan α
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)當α=π時,=tan不成立.
(2)由sin θ+cos θ=0得sin θ=-cos θ,又cos θ≠0,所以tan θ===-1.
(3)∵sin αcos α=>0,且0<α<π,∴0<α<,∴sin α>0,cos α>0,又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,∴sin α+cos α=.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)方法一:由已知得由①得sin α=2cos α,代入②得4cos2α+cos2α=1,所以cos2α=,
又α∈,所以cos α<0,所以cos α=-,
所以sin α=2cos α=-.
方法二:因為tan α=2,所以由sin2α+cos2α=1得=1+tan2α,所以cos2α==,
又α∈,所以cos α<0,
所以cos α=-,所以sin α=cos αtan α=-.
(2)因為sin α<0,sin α≠-1,所以α是第三或第四象限角.由sin2α+cos2α=1得cos2α=1-sin2α=1-=.
如果α是第三象限角,那么cos α<0,于是cos α=-=-,從而tan α==×=;
如果α是第四象限角,那么cos α>0,于是cos α==,從而tan α==×=-.
綜上所述,當α是第三象限角時,cos α=-,tan α=;
當α是第四象限角時,cos α=,tan α=-.
變式　解:(1)因為sin α=,且sin2α+cos2α=1,
所以cos2α=1-sin2α=,又α為第二象限角,所以cos α<0,所以cos α=-,tan α==-.
(2)因為α是第三象限角,所以sin α<0,cos α<0,
由題得則cos α=-,sin α=-.
探究點二
例2　解:因為sin θ+cos θ=(0<θ<π),所以(sin θ+cos θ)2=,即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以sin θcos θ=-.易知θ為第二象限角,所以sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ===.
變式　解:(1)由題意得Δ=8a2-4a≥0,即a≤0或a≥,sin θ+cos θ=2a,sin θ·cos θ=a.
因為(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=8a2,
所以1+2a=8a2,解得a=-或a=,經驗證,均符合題意,所以a=-或a=.
(2)因為θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,所以a=-且sin θ-cos θ<0,
所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
即sin θ-cos θ=-.
探究點三
例3　解:(1)===.
(2)===.
(3)5sin2α+3sin αcos α-2=5sin2α+3sin αcos α-2(sin2α+cos2α)=3sin αcos α+3sin2α-2cos2α=
==
=.
變式　解:(1)由角θ的終邊經過點P(4,-3),可知tan θ=-,則==-.
(2)由=,得3sin α=-cos α,
所以tan α=-,所以sin2α-3sin αcos α-2cos2α===
=.
探究點四
例4　解:(1)原式===1.
(2)-====-2tan2α.
(3)==
=1.
變式　解:(1)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α===.
(2)方法一:原式==
=.
方法二:原式==
=
==.
方法三:原式==
===.
例5　證明:方法一,因為右邊==
==
==左邊,所以原等式成立.
方法二,因為左邊==,右邊====
=,所以左邊=右邊,原等式成立.
變式　證明:由tan2α=2tan2β+1,可得tan2β=(tan2α-1),即=,故有==×,整理得=,即sin2β(1-sin2α)=(1-sin2β),展開得sin2β=sin2α-,即sin2β=2sin2α-1.7.2.2　同角三角函數關系
1.D　[解析] 由cos θ=>0,θ∈(π,2π),得<θ<2π,∴sin θ<0,
則sin θ=-=-=-.故選D.
2.B　[解析] ==|cos 170°|=-cos 170°.故選B.
3.A　[解析] (1-cos α)=(1-cos α)===sin α.
4.D　[解析] 因為sin α+cos α=3cos αtan α=3sin α,所以cos α=2sin α,所以tan α=,則cos2αtan α=cos αsin α====,所以cos2αtan α-1=-1=-.故選D.
5.B　[解析] 由1-sin2x=cos2x,可得=-=-.
6.A　[解析] 由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,所以sin2θcos2θ=.因為θ是第三象限角,所以sin θ<0,cos θ<0,所以sin θcos θ=.故選A.
7.-　[解析] 由tan α=5>0,α∈,得π<α<,∴cos α<0.由tan α=5,得=5,則sin α=5cos α,又sin2α+cos2α=1,∴cos2α=.又cos α<0,∴cos α=-.
8.-　[解析] 由sin θ-cos θ=,兩邊同時平方,得sin2θ-2sin θcos θ+cos2θ=1-2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=>0,又π<θ≤2π,所以sin θ<0,cos θ<0,所以sin θ+cos θ<0.因為(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+=,所以sin θ+cos θ=-.
9.證明:∵左邊==
====右邊,∴原等式成立.
10.解:(1)由=3,化簡得4cos α=2sin α,
因此tan α==2.所以sin2α-2sin αcos α====0.
(2)因為sin α-cos α=,所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,則sin αcos α=>0,
因為α∈(0,π),所以sin α>0,cos α>0,
所以cos α+sin α====,則+===.
11.A　[解析] ∵<α<π,∴cos α<0,則-=-
=-=-=-+=-=-2tan α,故選A.
12.ABC　[解析] 由同角三角函數的基本關系知,A,B,C中等式顯然恒成立;對于D,當α=kπ+,k∈Z時,tan α無意義,等式不成立.故選ABC.
13.ABD　[解析] 對A,B,由題意得(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,故sin αcos α=-,因為α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,則<α<π,故A,B均正確;對C,D,(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,因為<α<π,所以cos α-sin α=-,故C錯誤,D正確.故選ABD.
14.　[解析] 由sin α+cos α=的兩邊同時平方,可得1+2sin αcos α=,則2sin αcos α=-<0.因為α是△ABC的內角,所以sin α>0,所以cos α<0,所以sin α-cos α====.
15.-　[解析] 因為sin θ,cos θ是方程2x2+x+m=0的兩個實數根,所以由(sin θ+cos θ)2=,得1+2sin θcos θ=,所以m=2sin θcos θ=-1=-,滿足Δ≥0,則m=-.
16.解:(1)因為cos4-sin4==cos2-sin2=-=,cos2-sin2=-=,cos=,
所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值相等.
(2)因為cos4-sin4==cos2-sin2=-=0,
cos2-sin2=-=0,cos=0,所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值相等.
(3)證明: x∈R,cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x.
(4)推測 x∈R,cos2x-sin2x=cos 2x.7.2.2　同角三角函數關系
【學習目標】
　　理解同角三角函數的基本關系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.
◆ 知識點一　同角三角函數的基本關系
1.平方關系:　　　　　　.
2.商數關系:　　　　　　　　.
這就是說,同一個角α的正弦、余弦的　　　　等于1,商等于角α的　　　　.
◆ 知識點二　同角三角函數基本關系式的常用
變形
1.(sin α±cos α)2=　　　　　　　　　　　=　　　　　　.
2.sin2α=　　　　,　　　　=±,cos2α=　　　　,　　　　=±.
3.　　　　=cos α·tan α,　　　　=.
4.切化弦:　　　　　　;弦化切:　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)對任意角α,=tan都成立. (　 )
(2)若sin θ+cos θ=0,則tan θ=-1. (　 )
(3)已知sin αcos α=(0<α<π),則sin α+cos α=. (　 )
◆ 探究點一　求值問題
例1 (1)已知α∈,tan α=2,求cos α,sin α的值.
(2)已知sin α=-,求cos α,tan α的值.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)已知sin α=,α為第二象限角,求cos α,tan α的值.
(2)已知α是第三象限角,且tan α=,求sin α,cos α的值.
[素養小結]
求三角函數值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解.
(2)已知tan θ求 sin θ(或cos θ)常用以下方法求解.
當角θ的范圍不確定且涉及開方時,常因三角函數值的符號問題而對角θ分區間(象限)討論.
◆ 探究點二　sin α±cos α與sin αcos α的關系的應用
例2 已知sin θ+cos θ=(0<θ<π),求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值.
變式 已知sin θ,cos θ是關于x的方程x2-2ax+a=0的兩個根.
(1)求實數a的值;
(2)若θ是第四象限角,求sin θ-cos θ的值.
[素養小結]
sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三個式子中,已知其中一個,可以求其他兩個,即“知一求二”,它們之間的關系是(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
◆ 探究點三　由正切求齊次式的值
例3 [2025·江蘇淮安金湖中學高一月考] 已知tan α=3,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3)5sin2α+3sin αcos α-2.
變式 [2025·江蘇揚州中學高一月考] (1)已知角θ的終邊經過點P(4,-3),求的值.
(2)若=,求sin2α-3sin αcos α-2cos2 α的值.
[素養小結]
已知tan α=m,求sin α(或cos α)時,可結合平方關系sin2α+cos2α=1解方程組求解;求分子、分母都是sin α與cos α的同次(k次)表達式的值時,常用分子、分母同除以coskα化切求解,分母是1的用1=sin2α+cos2α代換;求sin α與cos α的整式表達式的值時,常利用sin α=mcos α化為關于cos α的表達式求解.
◆ 探究點四　三角函數式的化簡與證明
例4 化簡下列各式:(1);
(2)-;
(3).
變式 化簡下列各式:
(1)sin2αtan α++2sin αcos α;
(2).
[素養小結]
三角函數式的化簡技巧:
(1)化切為弦,即把正切函數都化為正、余弦函數,從而減少函數名稱,達到化繁為簡的目的.
(2)對于含有根號的式子,常把根號里面的部分化成完全平方式,然后去根號達到化簡的目的.
(3)對于化簡含高次的三角函數式,往往借助于因式分解,或構造sin2α+cos2α=1,以降低次數,達到化簡的目的.
例5 求證:=.
變式 已知tan2α=2tan2β+1,求證:sin2β=2sin2α-1.
[素養小結]
證明三角恒等式的實質是清除等式兩端的差異,有目的地化簡.
證明三角恒等式的基本原則:由繁到簡.
常用方法:從左向右證;從右向左證;左、右歸一.
常用技巧:“切”化“弦”、整體代換、“1”的代換、方程思想.7.2.2　同角三角函數關系
1.已知cos θ=,θ∈(π,2π),則sin θ= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C.- D.-
2.化簡的結果是 (　 )
A.cos 170° B.-cos 170°
C.±cos 170° D.±|cos 170°|
3.化簡(1-cos α)的結果是 (　 )
A.sin α B.cos α
C.1+sin α D.1+cos α
4.[2025·廣西玉林四校高一聯考] 已知sin α+cos α=3cos αtan α,則cos2αtan α-1= (　 )
A.- B.-
C.- D.-
5.已知=,則等于 (　 )
A. B.- C.2 D.-2
6.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,則sin θcos θ的值為 (　 )
A. B.- C. D.-
7.已知tan α=5,α∈,則cos α=　　　　.
8.已知sin θ-cos θ=(π<θ≤2π),則sin θ+cos θ=　　　　.
9.(13分)求證:=.
10.(13分)[2025·江蘇四校高一期末] (1)已知=3,求sin2α-2sin αcos α的值;
(2)已知sin α-cos α=,且α∈(0,π),求+的值.
11.若<α<π,則化簡-的結果是 (　 )
A.-2tan α B.2tan α
C. D.-
12.(多選題)下列等式中恒成立的是 (　 )
A.sin21=1-cos21
B.sin22+cos22=sin23+cos23
C.(sin 2x+cos 2x)2=1+2sin 2xcos 2x
D.sin α=tan αcos α
13.(多選題)[2025·江蘇徐州一中高一檢測] 已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,則 (　 )
A.<α<π
B.sin αcos α=-
C.cos α-sin α=
D.cos α-sin α=-
14.已知α是△ABC的內角,且sin α+cos α=,則sin α-cos α的值為　　　　.
15.已知sin θ,cos θ是方程2x2+x+m=0的兩個實數根,則實數m的值為　　　　.
16.(15分)(1)計算cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值,你有什么發現
(2)計算cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值,你有什么發現
(3)證明: x∈R,cos4x-sin4x=cos2x-sin2x.
(4)推測 x∈R,cos2x-sin2x與cos 2x的關系,不需證明.

展開更多......

收起↑