資源簡介

(共51張PPT)
7.2 三角函數概念
7.2.3 三角函數的誘導公式
第1課時 誘導公式（一）
探究點一 給角求值
探究點二 給值（式）求值
探究點三 三角函數式的化簡
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
備課素材
【學習目標】
掌握誘導公式一~四并能運用誘導公式進行求值、化簡.
知識點一 角之間的對稱關系
設 為任意角，則 ， ， 的終邊與 的終邊之間的
對稱關系如下表：
相關角 終邊之間的對稱關系
與 關于______對稱
與 關于_____對稱
與 關于_____對稱
原點
軸
軸
知識點二 誘導公式一～四
（1）公式一：______， ______，
______，其中 .
（2）公式二：________，______，
_______.
（3）公式三：______， ________，
_______.
（4）公式四：________, ________，
______.
知識點三 誘導公式的應用
誘導公式 作用
公式一 將角轉化為 范圍內的角求值
公式二 將負角轉化為正角求值
公式三 將~ 范圍內的角轉化為 范圍內的角求值
公式四 將 范圍內的角轉化為 范圍內的角求
值
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）誘導公式二可以將任意負角的三角函數值轉化為正角的三角函
數值.( )
√
（2）誘導公式中的角 一定是銳角.( )
×
（3）由誘導公式二知 .( )
×
（4）在中， .( )
√
探究點一 給角求值
例1 求下列三角函數值.
（1） ____；
[解析] .
例1 求下列三角函數值.
（2） _ ____；
[解析] 方法一：
.
方法二： .
例1 求下列三角函數值.
（3） ___；
1
[解析] .
例1 求下列三角函數值.
（4） ______.
[解析] 原式 .
［素養小結］
利用誘導公式求任意角的三角函數值的步驟:
（1）“負化正”——用公式一或二來轉化;
（2）“大化小”——用公式一將角化為 到 的角;
（3）“小化銳”——用公式三或四將大于 的角轉化為銳角;
（4）“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值.
探究點二 給值（式）求值
例2（1）若且，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，且 ，所以
，所以 .
√
（2）已知，則 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意，得，即 ，
， .
√
（3）已知，且 為第四象限角，則
_ ___.
[解析] 因為,且 是第四象限角，所以
是第三象限角.
因此.
又因為 ,所以
.
變式（1）已知，求 的值；
解： ，
，
.
（2）若 ，求
的值；
解：由，得，所以 .
（3）已知，化簡并求 的值.
解： ，則
.
探究點三 三角函數式的化簡
例3 化簡下列各式.
（1） _______；
[解析] 原式
.
例3 化簡下列各式.
（2） ____.
[解析] 原式
.
變式 設為整數，化簡 .
解：方法一，當為偶數時，設 ，則原式
；
當為奇數時，設，同理可得原式 .
方法二，由于 ，
，則
，
， ，
所以原式 .
［素養小結］
三角函數式化簡的常用方法：
（1）合理轉化：①將角化成 ， ，的形式;②依
據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為角 的三
角函數.
（2）切化弦：一般需將表達式中的正切函數轉化為正弦、余弦函數.
（3）注意“1”的應用：.
1.解決求值問題的策略
解決求值問題,要仔細觀察已知條件與所求式之間的角、函數名及有
關運算的差異與聯系,要么將已知式進行變形向所求式轉化,要么將所
求式進行變形向已知式轉化.總之,設法消除已知式與所求式之間的種
種差異是解決問題的關鍵.
[解析] ，
，
， ，
.
則A，D選項合乎要求，B，C選項不合乎要求.故選 .
例1（1）（多選題）［2025·陜西西安慶安高級中學高一期末］ 下
列與 的值相等的是( )
A. B. C. D.
√
√
（2）已知，且 是第四象限角.
①求 的值；
解：，且 是第四象限角， .
②求 的值.
解： .
2.三角函數式的化簡
例2 化簡： .
解： .
練習冊
1.［2025·天津河北區高一期末］化簡 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
2.已知為整數,化簡 所得的結果是( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
3.［2025·北京朝陽區高一期末］在平面直角坐標系中，角 與
角 均以為始邊，它們的終邊關于軸對稱.若，則
的最大值為( )
A.0 B. C. D.1
[解析] 由題意，得 , ，所以
，，
因為 ，所以，則，
所以當 ，即 ,時， 取得最大值，且
最大值為 .故選B.
√
4.［2025·福建廈門雙十中學高一月考］ 的值是
( )
A. B. C. D.
[解析] .故選A.
√
5.已知,則 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
6.［2025·江蘇常州橫山橋高級中學高一月考］已知
則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得 ，所以
.故選A.
√
7. ______.
[解析] .
8. ___.
1
[解析] .
9.（13分）求下列各式的值.
（1） ;
解：
.
9.（13分）求下列各式的值.
（2） .
解：原式
.
10.（13分）已知 .
（1）化簡 ；
解： , ，
, ，
則 .
10.（13分）已知 .
（2）若，求 的值.
解：由（1）得，，則 ，所以
，
故 .
11.已知，， ，則( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ，
,
，所以
.故選B.
√
12.（多選題）下列化簡結果正確的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 對于A， ，故A正確；
對于B， ，故B正確；
對于C， ，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選 .
√
√
√
13.（多選題）［2025·江蘇鹽城五校高一聯考］ 在 中，下列
結論正確的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 因為 ，所以A正確；
因為 ，所以B錯誤；
因為 ，所以C正確；
因為，所以D正確.故選 .
14.設,則 _ _________
（用 表示）.
[解析] 由已知得，， ，
.
15.［2024·上海普陀區高一期末］對于給定的正整數 ，定義集合
.若中恰有4個元素，則 的可能取
值有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
√
[解析] 當，1，2， ，時，的取值依次為0,, ,
,, ，根據誘導公式可知 ，
，， .
若中恰有4個元素，則 的可能取值為6,7.故選B.
16.（15分）
（1）已知 是方程 的一個實數根,求
的值;
解：因為方程，即 的兩個實數
根為2和，所以 .
由,得 .
當時,;當時, .
所以原式 .
16.（15分）
（2）已知 , ,
且 , ,求 和 的值.
解：因為 ,所以 ，
因為 ,
所以 .
,得,所以 ,
即 .
又 ,所以或 .
又 ,所以當時,由②得 ;
當時,由②得 .
所以,或, .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 原點 軸 軸
知識點二 （1） （2）
（3） （4）
知識點三 【診斷分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√
課中探究 探究點一 例1 （1） （2） （3）1 （4）
探究點二 例2 （1）B （2）D （3）
變式 （1） （2）
探究點三 例3 （1） （2） 變式 原式
練習冊
基礎鞏固 1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7. 8.1
9.（1） （2）
10.（1） （2）
綜合提升 11.B 12.ABD 13.ACD 14.
思維探索 15.B
16.（1） （2）,或,7.2.3　三角函數的誘導公式
第1課時　誘導公式(一)
【課前預習】
知識點一
原點　x軸　y軸
知識點二
(1)sin α　cos α　tan α　(2)-sin α　cos α　-tan α
(3)sin α　-cos α　-tan α　(4)-sin α　-cos α　tan α
知識點三
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
【課中探究】
探究點一
例1　(1)-　(2)-　(3)1　(4)
[解析] (1)cos=cos=cos=-.
(2)方法一:sin 1320°=sin(3×360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-.
方法二:sin 1320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-.
(3)tan(-855°)=-tan 855°=-tan(2×360°+135°)=-tan 135°=-tan(180°-45°)=-tan(-45°)=tan 45°=1.
(4)原式=sin(-2×360°-225°)+cos=sin(-225°)+cos=-sin(180°+45°)+cos=sin 45°-cos=-=.
探究點二
例2　(1)B　(2)D　(3)　[解析] (1)因為cos(2π-α)=cos α=,且α∈,所以sin α=-=-,所以sin(π-α)=sin α=-.
(2)由題意,得sin(π+α)=-sin α=,即sin α=-,∵sin2α+cos2α=1,∴cos α=±=±=±.
(3)因為cos(α-55°)=-<0,且α是第四象限角,所以α-55°是第三象限角.因此sin(α-55°)=-=-.又因為α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=.
變式　解:(1)∵cos=cos=-cos=-,sin2=sin2=1-cos2=1-=,∴cos-sin2=--=-.
(2)由tan(π+α)=2,得tan α=2,所以sin2(2kπ-α)-4sin(π-α)cos(-α)=sin2α-4sin αcos α====-(k∈Z).
(3)f(α)===-cos α,則f=-cos=-cos=-cos =-.
探究點三
例3　(1)-tan α　(2)-1　[解析] (1)原式==
=-=-tan α.
(2)原式==
==-1.
變式　解:方法一,當k為偶數時,設k=2m(m∈Z),則原式===
=-1;當k為奇數時,設k=2m+1(m∈Z),同理可得原式=-1.
方法二,由于kπ-α+kπ+α=2kπ,(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ,則cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),
所以原式==-1.7.2.3　三角函數的誘導公式
第1課時　誘導公式(一)
1.B　[解析] cos 510°=cos(360°+150°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-.故選B.
2.C　[解析] =tan(nπ+α)=tan α.
3.B　[解析] 由題意,得α=-β+2kπ,k∈Z,所以cos α=cos(-β+2kπ)=cos β,k∈Z,因為β∈,所以-1≤cos β≤,則-1≤cos α≤,所以當β=,即α=-+2kπ,k∈Z時,cos α取得最大值,且最大值為.故選B.
4.A　[解析] sin 600°+tan 240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=sin(-120°)+tan 60°=-sin(180°-60°)+tan 60°=-sin 60°+tan 60°=-+=.故選A.
5.B　[解析] cos 215°tan 145°=cos(180°+35°)tan(180°-35°)=-cos 35°·(-tan 35°)=sin 35°==.故選B.
6.A　[解析] 由題意得f=sin=sin=sin=,所以f=f=+1=.故選A.
7.-　[解析] sincostan=sincostan=-sin··=-××=-.
8.1　[解析] ==1.
9.解:(1)sin+tan+cos=sin+tan-cos=-1-=-1.
(2)原式==
=
==
==.
10.解:(1)cos(3π+α)=cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α,
sin(-π-α)=-sin(π+α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,
則f(α)===.
(2)由(1)得,f==,則cos=1,所以cos=cos=-cos=-1,
故f==-.
11.B　[解析] 因為a=tan =tan=tan =,b=sin=sin=sin=,c=cos=cos=cos=cos=,所以a>b>c.故選B.
12.ABD　[解析] 對于A,tan(π+1)=tan 1,故A正確;對于B,==cos α,故B正確;對于C,==-tan α,故C錯誤;對于D,==-=-1,故D正確.故選ABD.
13.ACD　[解析] 因為cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,所以A正確;因為sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以B錯誤;因為tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以C正確;因為sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,所以D正確.故選ACD.
14.　[解析] 由已知得tan 44°=a,∴cos 44°=,sin 44°=,∴sin(-316°)+cos(-316°)=sin 44°+cos 44°==.
15.B　[解析] 當k=0,1,2,…,n時,sin的取值依次為0,sin,sin,…,sin,sin π,根據誘導公式可知0=sin π,sin=sin,sin=sin,….若An中恰有4個元素,則n的可能取值為6,7.故選B.
16.解:(1)因為方程5x2-7x-6=0,即(5x+3)(x-2)=0的兩個實數根為2和-,所以sin α=-.
由sin2α+cos2α=1,得cos α=±=±.
當cos α=時,tan α=-;當cos α=-時,tan α=.所以原式==tan α=±.
(2)因為sin(4π+α)=sin β,所以sin α=sin β①,
因為cos(6π+α)=cos(2π+β),
所以cos α=cos β②.
①2+②2,得sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β)=2,所以cos2α=,即cos α=±.
又0<α<π,所以α=或α=.
又0<β<π,所以當α=時,由②得β=;
當α=時,由②得β=.
所以α=,β=或α=,β=.7.2.3　三角函數的誘導公式
第1課時　誘導公式(一)
【學習目標】
　　掌握誘導公式一~四并能運用誘導公式進行求值、化簡.
◆ 知識點一　角之間的對稱關系
設α為任意角,則π+α,-α,π-α的終邊與α的終邊之間的對稱關系如下表:
相關角 終邊之間的對稱關系
π+α與α 關于　　　　對稱
-α與α 關于　　　　對稱
π-α與α 關于　　　　對稱
◆ 知識點二　誘導公式一~四
(1)公式一:sin(α+2kπ)=　　　　,cos(α+2kπ)=　　　　,tan(α+2kπ)=　　　　,其中k∈Z.
(2)公式二:sin(-α)=　　　　,cos(-α)=　　　　,tan(-α)=　　　　.
(3)公式三:sin(π-α)=　　　　,cos(π-α)=　　　　,tan(π-α)=　　　　.
(4)公式四:sin(π+α)=　　　　,cos(π+α)=　　　　,tan(π+α)=　　　　.
◆ 知識點三　誘導公式的應用
誘導公式 作用
公式一 將角轉化為0~2π范圍內的角求值
公式二 將負角轉化為正角求值
公式三 將~π范圍內的角轉化為0~范圍內的角求值
公式四 將π~2π范圍內的角轉化為0~π范圍內的角求值
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)誘導公式二可以將任意負角的三角函數值轉化為正角的三角函數值. (　 )
(2)誘導公式中的角α一定是銳角. (　 )
(3)由誘導公式二知cos[-(α-β)]=-cos(α-β). (　 )
(4)在△ABC中,sin(A+B)=sin C. (　 )
◆ 探究點一　給角求值
例1 求下列三角函數值.
(1)cos=　　　　;
(2)sin 1320°=　　　　;
(3)tan(-855°)=　　　;
(4)sin(-945°)+cos=　　　　.
[素養小結]
利用誘導公式求任意角的三角函數值的步驟:
(1)“負化正”——用公式一或二來轉化;
(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°的角;
(3)“小化銳”——用公式三或四將大于90°的角轉化為銳角;
(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值.
◆ 探究點二　給值(式)求值
例2 (1)若cos(2π-α)=且α∈,則sin(π-α)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.- C.- D.±
(2)已知sin(π+α)=,則cos α的值為 (　 )
A.± B.
C.- D.±
(3)已知cos(α-55°)=-,且α為第四象限角,則sin(α+125°)=　　　　.
變式 (1)已知cos=,求cos-sin2的值;
(2)若tan(π+α)=2,求sin2(2kπ-α)-4sin(π-α)cos(-α)(k∈Z)的值;
(3)已知f(α)=,化簡f(α)并求f的值.
◆ 探究點三　三角函數式的化簡
例3 化簡下列各式.
(1)=　　　　;
(2)=　　　　.
變式 設k為整數,化簡.
[素養小結]
三角函數式化簡的常用方法:
(1)合理轉化:①將角化成2kπ±α,kπ±α,k∈Z的形式;②依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為角α的三角函數.
(2)切化弦:一般需將表達式中的正切函數轉化為正弦、余弦函數.
(3)注意“1”的應用:1=sin2α+cos2α=tan.7.2.3　三角函數的誘導公式
第1課時　誘導公式(一)
1.[2025·天津河北區高一期末] 化簡cos 510°的值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.-
C. D.-
2.已知n為整數,化簡所得的結果是 (　 )
A.tan nα B.-tan nα
C.tan α D.-tan α
3.[2025·北京朝陽區高一期末] 在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于x軸對稱.若β∈,則cos α的最大值為 (　 )
A.0 B.
C. D.1
4.[2025·福建廈門雙十中學高一月考] sin 600°+tan 240°的值是 (　 )
A. B.-
C.-+ D.-
5.已知cos 35°=a,則cos 215°tan 145°的值為 (　 )
A. B.
C. D.-
6.[2025·江蘇常州橫山橋高級中學高一月考] 已知f(x)=則f= (　 )
A. B. C. D.
7.sincostan=　　　　.
8.=　　　　 .
9.(13分)求下列各式的值.
(1)sin+tan+cos;
(2).
10.(13分)已知f(α)=.
(1)化簡f(α);
(2)若f=,求f的值.
11.已知a=tan ,b=sin,c=cos,則 (　 )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b
12.(多選題)下列化簡結果正確的是 (　 )
A.tan(π+1)=tan 1
B.=cos α
C.=tan α
D.=-1
13.(多選題)[2025·江蘇鹽城五校高一聯考] 在△ABC中,下列結論正確的是 (　 )
A.cos(A+B)=-cos C
B.sin(A+B)=-sin C
C.tan(A+B)=-tan C
D.sin(B+C)=sin A
14.設tan 2024°=a,則sin(-316°)+cos(-316°)=　　　　(用a表示).
15.[2024·上海普陀區高一期末] 對于給定的正整數n,定義集合An=.若An中恰有4個元素,則n的可能取值有 (　 )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
16.(15分)(1)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的一個實數根,求的值;
(2)已知sin(4π+α)=sin β,cos(6π+α)=cos(2π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.

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