資源簡介

(共54張PPT)
7.2 三角函數概念
7.2.3 三角函數的誘導公式
第2課時 誘導公式（二）
探究點一 利用誘導公式化簡求值
探究點二 利用誘導公式化簡、證明
探究點三 誘導公式的綜合應用
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
掌握 的正弦、余弦的誘導公式.
知識點一 特殊角終邊對稱性
1.角 的終邊與角 的終邊關于直線______對稱,如圖所示.
2.角 的終邊與角 的終邊關于直線______對稱.
知識點二 誘導公式
1.公式五
______, ______.
2.公式六
______, _______.
公式五和公式六可以概括為 的正弦（余弦）函數值,分別等于
的余弦（正弦）函數值,前面加上一個把 看成______時原函數值的
符號.
銳角
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）公式五和公式六中的角 一定是銳角.( )
×
[解析] 公式五和公式六中的角 可以是任意角.
（2）在中， .( )
[解析] 因為，所以由公式五可知 .
（3） .( )
√
√
2.如何由公式三及公式五推導公式六？
解： .
探究點一 利用誘導公式化簡求值
例1（1）［2025·江蘇南京高一期末］已知， ，
則 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 由, ，得 ，則
.故選D.
√
（2） ____.
[解析] .
（3）化簡： ______.
[解析] 原式 .
變式（1）已知，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
（2）已知，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] .故選A.
√
（3）［2025·江蘇鎮江實驗高級中學高一期末］若 ，
求 的值.
解：因為 ，
所以 ，
因為 ，
所以 ,
所以 .
［素養小結］
解決化簡求值問題的策略：
（1）要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間
的差異及聯系；
（2）可以將已知式進行變形，向所求式轉化，或將所求式進行變形，
向已知式轉化.
提醒：
常見的互余關系有： 與 ， 與 等；
常見的互補關系有： 與 ， 與 等.
探究點二 利用誘導公式化簡、證明
例2（1）求證： .
證明：右邊
左邊，所以原等式成立.
（2）化簡： .
解： .
變式（1）化簡： ___.
0
[解析] 原式 .
（2）求證： .
證明：
，所以原等式成立.
［素養小結］
三角恒等式的證明常用的方法：定義法，化弦法，拆項拆角法，公
式變形法，“1”的代換法.
探究點三 誘導公式的綜合應用
例3 ［2025·天津求真高級中學高一月考］已知
.
（1）化簡 ;
解： .
例3 ［2025·天津求真高級中學高一月考］已知
.
（2）若，求 的值.
解：當 時，
，所以
的值為 .
變式 ［2025·江蘇鎮江中學高一月考］ 已知函數
.
（1）化簡 ；
解：由題意，得
，則 .
變式 ［2025·江蘇鎮江中學高一月考］ 已知函數
.
（2）若，且 為第二象限角，求 的值.
解： ， ，
又，且 為第二象限角，
， .
［素養小結］
在誘導公式綜合應用的問題中，涉及三角函數式的化簡求值問題，
一般遵循誘導公式先行的原則，即先用誘導公式化簡變形，達到角
的統一，再進行切化弦，以保證三角函數名最少.對于 和
這兩套誘導公式，切記運用前一套公式不變名，而運用后一套公式
必須變名.
1.誘導公式五和六可用口訣“函數名改變,符號看象限”記憶,“函數名改
變”是指正弦變余弦,余弦變正弦,“符號看象限”是指把 看成銳角時
等式左邊三角函數值的符號.
2.利用誘導公式可在三角函數的變形過程中進行角的轉化.在求任意
角的過程中，一般先把負角轉化為正角，正角轉化為 范圍內
的角，再將這個范圍內大于 的角轉化為銳角.也就是“負化正，大化
小，化到銳角再查表（特殊角的三角函數值表）”.
1.利用誘導公式與角的變換求值
例1（1）［2025·河北石家莊辛集中學高一期中］已知
，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ，所以
，故選A.
√
（2）［2025·江蘇鹽城五校高一聯考］已知 ，則
的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ，
所以 ，故選A.
√
2.利用誘導公式與同角三角函數的基本關系求值
例2 ［2025·江蘇江陰二中高一期中］已知 是第四象限角.
（1）若，求 的值；
解： 是第四象限角，則 ，
，則
.
例2 ［2025·江蘇江陰二中高一期中］已知 是第四象限角.
（2）若 ，求
的值.
解：由，得
.
例3 ［2025·江蘇海門高一期末］在 ；
；
這三個條件中任選一個，將序號補充
在下面橫線上，并解答問題.
已知____.
（1）求 的值；
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
解：若選，則 ，
.
若選，則，
即 ，則 ，
.
若選，則 ，即
，
.
例3 ［2025·江蘇海門高一期末］在 ；
；
這三個條件中任選一個，將序號補充
在下面橫線上，并解答問題.
已知____.
（2）當 為第三象限角時，求
的值.
解：由（1）得，即 ，
由，則，解得 ，
為第三象限角，, ，
.
練習冊
1.已知,則 ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
2.［2025·陜西榆林八校高一聯考］若角 的終邊過點 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 角 的終邊過點，則點 到原點的距離
，所以 ，所以
.故選A.
√
3.［2025·江蘇濱海中學高一月考］已知 ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] .故選B.
√
4.在下列各數中，與 相等的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A， ，故A正確；
對于B， ，故B錯誤；
對于C， ，故C錯誤；
對于D， ，故D錯誤.故選A.
√
5.若，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以 ，所以
.
√
6.若 為銳角,且 ,
,則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得, ,解得
,
又 為銳角, ,故選C.
√
7. 的值為___.
0
[解析] .
8.若，則 _____.
[解析] ，從而 ，所以
.
9.（13分）［2025·江蘇揚州大學附中期中］ 已知
.
（1）化簡函數 ；
解： .
9.（13分）［2025·江蘇揚州大學附中期中］ 已知
.
（2）若，求 的值.
解：由題意，知，所以 ，
所以 .
10.（13分）已知,,為 的內角.
（1）求證: ;
證明：因為，所以 ，
所以 ，
所以 .
10.（13分）已知,,為 的內角.
（2）若,求證: 為鈍角三
角形.
證明： 因為 ，
所以，即 .
又因為 ， ， 且 ，
所以或所以為鈍角或為鈍角，所以
為鈍角三角形.
11.［2025·江蘇句容中學高一月考］下列函數中，滿足 在定義域
上是偶函數的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 對于A,的定義域為 ,且
，則 為奇函數，故A錯誤；
對于B,的定義域為 ,且
，則 為偶函數，
故B正確；
對于C,的定義域為 ，
即定義域關于原點對稱，且 ，
則為奇函數，故C錯誤；
對于D， ，其定義域為,且
,則 為奇函數，故D錯誤.故選B.
12.（多選題） 已知 ,則下列等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ,故A中等式恒成立;
,故B中等式恒成立;
,故C中等式恒成立;
,故D中等式不恒成立.故選 .
√
√
√
13.（多選題）［2025·山東濟南振聲學校高一月考］ 在 中，
下列關系式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 中，
項中， ，
故A正確；
B，C項中， ，故B錯誤，C正確；
D項中，,故D錯誤.故選 .
√
√
14.設,是方程 的解，則
的值為____.
[解析] 由，得 ，所以
，即，
又因為 ,所以，
所以 ，所以 .
15.若的內角，，滿足 ，則( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，且，，為 的內角，所以
,所以,所以或 .
若，則，此時不存在，故舍去，所以 ，
即 .故選A.
√
16.（15分）是否存在角 ， ，， ，使等式
， 同時成
立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，請說明理由.
解：由條件得 ，得
，所以 ，
又，所以或，將 代入②，得
.
又，所以 ，代入①可知符合條件.
將代入②得 ，
又，所以 ，代入①可知不符合條件.
綜上可知，存在， 滿足條件.
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1. 2.
知識點二 1. 2. 銳角
【診斷分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ 2.略
課中探究 探究點一 例1 （1）D （2） （3）
變式 （1）B （2）A （3）
探究點二 例2 （1）證明略 （2） 變式（1）0 （2）證明略
探究點三 例3 （1） （2） 變式 （1）（2）
練習冊
基礎鞏固
1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.C 7.0 8.
9.（1） （2） 10.（1）證明略 （2） 證明略
綜合提升
11.B 12.ABC 13.AC 14.
思維探索
15.A
16. 存在，滿足條件第2課時　誘導公式(二)
1.B　[解析] cos 130°=cos(90°+40°)=-sin 40°=-a.
2.A　[解析] 角α的終邊過點(3,1),則點(3,1)到原點的距離r==,所以cos α===,所以sin=cos α=.故選A.
3.B　[解析] cos=sin=sin=.故選B.
4.A　[解析] 對于A,sin 80°=sin(90°-10°)=cos 10°,故A正確;對于B,cos 80°=cos(90°-10°)=sin 10°,故B錯誤;對于C,sin 170°=sin(180°-10°)=sin 10°,故C錯誤;對于D,cos 170°=cos(180°-10)=-cos 10°,故D錯誤.故選A.
5.A　[解析] 因為sin(3π+α)=-sin α=-,所以sin α=,所以cos=cos=-cos=-sin α=-.
6.C　[解析] 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得tan α=3,又α為銳角,∴sin α=,故選C.
7.0　[解析] sin 95°+cos 175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°)=cos 5°-cos 5°=0.
8.-　[解析] sin=cos θ=,從而sin2θ=1-cos2θ=,所以cos2θ-sin2θ=-.
9.解:(1)f(x)===-=-.
(2)由題意,知f(α)=-=,所以tan α=-2,
所以sin αcos α+2sin2α====.
10.證明:(1)因為A+B=π-C,所以=-,
所以cos=cos=sin,
所以cos2+cos2=1.
(2)因為cossintan(C-π)<0,
所以(-sin A)(-cos B)tan C<0,即sin Acos Btan C<0.
又因為00,
所以或所以B為鈍角或C為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形.
11.B　[解析] 對于A,f(x)的定義域為R,且f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),則f(x)為奇函數,故A錯誤;對于B,f(x)=|sin x|的定義域為R,且f(-x)=|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|=f(x),則f(x)為偶函數,故B正確;對于C,f(x)=tan x的定義域為(k∈Z),即定義域關于原點對稱,且f(-x)=tan(-x)=-tan x=-f(x),則f(x)為奇函數,故C錯誤;對于D,f(x)=cos=sin x,其定義域為R,且f(x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),則f(x)為奇函數,故D錯誤.故選B.
12.ABC　[解析] sin(-x)=-sin x,故A中等式恒成立;cos=-cos=sin x,故B中等式恒成立;sin=sin=cos x,故C中等式恒成立;cos(π-x)=-cos x,故D中等式不恒成立.故選ABC.
13.AC　[解析] △ABC中,A+B+C=π.A項中,cos(2A+2B)=cos[2(π-C)]=cos(-2C)=cos 2C,故A正確;B,C項中,cos=cos=sin,故B錯誤,C正確;D項中,tan=tan===,故D錯誤.故選AC.
14.-　[解析] 由25x2-30x+9=(5x-3)2=0,得x=,所以cos=,即sin φ=,又因為φ∈,所以cos φ=-=-,所以tan φ==-,所以tan(π+φ)=tan φ=-.
15.A　[解析] 因為sin A=cos B,且 A,B,C為△ABC的內角,所以sin A=cos B>0,所以016.解:由條件得①2+②2,得sin2α+3cos2α=2,所以cos2α=,
又α∈,所以α=或α=-,將α=代入②,得cos β=.
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合條件.
將α=-代入②得cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知不符合條件.
綜上可知,存在α=,β=滿足條件.第2課時　誘導公式(二)
【課前預習】
知識點一
1.y=x　2.x=0
知識點二
1.cos α　sin α　2.cos α　-sin α　銳角
診斷分析
1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)公式五和公式六中的角α可以是任意角.
(2)因為+=,所以由公式五可知sin=cos.
2.解:sin=sin=sin=cos α.
cos=cos=-cos=-sin α.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D 　(2) 　(3)sin α　[解析] (1)由cos α=-,<α<π,得sin α==,則cos=sin α=.故選D.
(2)sin 95°+cos 185°+tan 240°=sin 95°+cos(90°+95°)+tan(180°+60°)=sin 95°-sin 95°+tan 60°=.
(3)原式=+=2sin α-sin α=sin α.
變式　(1)B　(2)A　[解析] (1)sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)·(-tan 31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°==.
(2)cos=cos=sin=.故選A.
(3)解:因為cossin=cossin,
所以cossin=-cossin,因為cos=,
所以-cossin=-sin=-cos=-,
所以cossin=-.
探究點二
例2　解:(1)證明:右邊==
==
===左邊,所以原等式成立.
(2)=
=-sin α.
變式　(1)0　[解析] 原式=+=tan2α-tan2α=0.
(2)證明:=
==
=-1,所以原等式成立.
探究點三
例3　解:(1)f(α)===cos α.
(2)當α=-時,f=cos=cos=cos=cos=,所以f(α)的值為.
變式　解:(1)由題意,得f(α)==
=
==-,則f(α)=-.
(2)∵tan=-tan=-tan=-tan=-=-=2,
∴cos α=-2sin α,又∵sin2α+cos2α=1,且α為第二象限角,
∴cos α=-,∴f(α)=-=-=.第2課時　誘導公式(二)
【學習目標】
　　掌握±α的正弦、余弦的誘導公式.
◆ 知識點一　特殊角終邊對稱性
1.角-α的終邊與角α的終邊關于直線　　　對稱,如圖所示.
2.角-α的終邊與角+α的終邊關于直線　　　　對稱.
◆ 知識點二　誘導公式
1.公式五
sin=　　　　,cos=　　　　.
2.公式六
sin=　　　　,cos=　　　　.
公式五和公式六可以概括為±α的正弦(余弦)函數值,分別等于α的余弦(正弦)函數值,前面加上一個把α看成　　　　時原函數值的符號.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)公式五和公式六中的角α一定是銳角. (　 )
(2)在△ABC中,sin=cos. (　 )
(3)sin=sin=cos(-α)=cos α. (　 )
2.如何由公式三及公式五推導公式六
◆ 探究點一　利用誘導公式化簡求值
例1 (1)[2025·江蘇南京高一期末] 已知cos α=-,<α<π,則cos的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.-
C. D.
(2)sin 95°+cos 185°+tan 240°=　　　　.
(3)化簡:+= 　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)已知cos 31°=m,則sin 239°tan 149°= (　 )
A. B.
C.- D.-
(2)已知sin=,則cos= (　 )
A. B.- C. D.-
(3)[2025·江蘇鎮江實驗高級中學高一期末] 若cos=,求cossin的值.
[素養小結]
解決化簡求值問題的策略:
(1)要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系;
(2)可以將已知式進行變形,向所求式轉化,或將所求式進行變形,向已知式轉化.
提醒:
常見的互余關系有:-α與+α,+α與-α等;
常見的互補關系有:+θ與-θ,+θ與-θ等.
◆ 探究點二　利用誘導公式化簡、證明
例2 (1)求證:=.
(2)化簡:.
變式 (1)化簡:+=　　　　.
(2)求證:=-1.
[素養小結]
三角恒等式的證明常用的方法:定義法,化弦法,拆項拆角法,公式變形法,“1”的代換法.
◆ 探究點三　誘導公式的綜合應用
例3 [2025·天津求真高級中學高一月考] 已知f(α)=.
(1)化簡f(α);
(2)若α=-,求f(α)的值.
變式 [2025·江蘇鎮江中學高一月考] 已知函數f(α)=.
(1)化簡f(α);
(2)若tan=2,且α為第二象限角,求f(α)的值.
[素養小結]
在誘導公式綜合應用的問題中,涉及三角函數式的化簡求值問題,一般遵循誘導公式先行的原則,即先用誘導公式化簡變形,達到角的統一,再進行切化弦,以保證三角函數名最少.對于π±α和±α這兩套誘導公式,切記運用前一套公式不變名,而運用后一套公式必須變名.第2課時　誘導公式(二)
1.已知sin 40°=a,則cos 130°= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a B.-a
C. D.-
2.[2025·陜西榆林八校高一聯考] 若角α的終邊過點(3,1),則sin= (　 )
A. B.-
C. D.-
3.[2025·江蘇濱海中學高一月考] 已知sin=,則cos= (　 )
A.- B.
C.- D.
4.在下列各數中,與cos 10°相等的是 (　 )
A.sin 80° B.cos 80°
C.sin 170° D.cos 170°
5.若sin(3π+α)=-,則cos= (　 )
A.- B.
C. D.-
6.若α為銳角,且2tan(π-α)-3cos=-5,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,則sin α= (　 )
A. B.
C. D.
7.sin 95°+cos 175°的值為　　　　.
8.若sin=,則cos2θ-sin2θ=　　　　.
9.(13分)[2025·江蘇揚州大學附中期中] 已知f(x)=.
(1)化簡函數f(x);
(2)若f(α)=,求sin αcos α+2sin2α的值.
10.(13分)已知A,B,C為△ABC的內角.
(1)求證:cos2+cos2=1;
(2)若cossintan(C-π)<0,求證:△ABC為鈍角三角形.
11.[2025·江蘇句容中學高一月考] 下列函數中,滿足f(x)在定義域上是偶函數的是 (　 )
A.f(x)=sin x
B.f(x)=|sin x|
C.f(x)=tan x
D.f(x)=cos
12.(多選題) 已知x∈R,則下列等式中恒成立的是 (　 )
A.sin(-x)=-sin x
B.cos=sin x
C.sin=cos x
D.cos(π-x)=cos x
13.(多選題)[2025·山東濟南振聲學校高一月考] 在△ABC中,下列關系式恒成立的是 (　 )
A.cos(2A+2B)=cos 2C
B.cos =cos
C.cos =sin
D.tan=tan
14.設φ∈,cos是方程25x2-30x+9=0的解,則tan(π+φ)的值為　　　　.
15.若△ABC的內角A,B,C滿足sin A=cos B=tan C, 則 (　 )
A.A-B= B.A+B=
C.B-A= D.A+B=
16.(15分)是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同時成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,請說明理由.

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