資源簡(jiǎn)介

(共52張PPT)
7.3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
7.3.1 三角函數(shù)的周期性
探究點(diǎn)一 三角函數(shù)的最小正周期
探究點(diǎn)二 周期函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用
探究點(diǎn)三 利用周期求函數(shù)值
探究點(diǎn)四 證明函數(shù)的周期性
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
備課素材
練習(xí)冊(cè)
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.
2.理解函數(shù)，， 都是周期函數(shù)，都
存在最小正周期.
3.會(huì)求函數(shù)， 及
的周期.
知識(shí)點(diǎn)一 周期函數(shù)
1.周期函數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖赺___________常數(shù) ，使得
對(duì)于任意的，都有，并且 ，那么函數(shù)
就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù) 叫作這個(gè)函數(shù)的周期.
一個(gè)非零的
2.最小正周期
對(duì)于一個(gè)周期函數(shù) ，如果在它所有的周期中存在_____________
___，那么，這個(gè)最小的正數(shù)就叫作 的最小正周期.
一個(gè)最小的正數(shù)
知識(shí)點(diǎn)二 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的周期
1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期
正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，且 都是它們的
周期，它們的最小正周期都是____.
2.正切函數(shù)的周期
正切函數(shù)是周期函數(shù)，它的最小正周期是___.
3.函數(shù)，和 的
最小正周期
一般地，函數(shù)及（其中， ，
為常數(shù)，且， ）的最小正周期為___，函數(shù)
（其中， ， 為常數(shù)，且， ）的
最小正周期為___.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）正弦函數(shù)的一個(gè)周期為 .( )
√
（2）是偶函數(shù)且最小正周期為 .( )
√
（3）的最小正周期為 .( )
×
（4）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)都沒有周期性.( )
√
2.正弦函數(shù)的周期是否唯一？正弦函數(shù) 的周期有哪
些？
解：正弦函數(shù)的周期不唯一.
， ， ， 都是正弦函數(shù)的周期，事實(shí)上，任何一個(gè)
常數(shù)且 都是它的周期.
探究點(diǎn)一 三角函數(shù)的最小正周期
例1 （多選題）［2025·河北邯鄲高一期末］ 下列函數(shù)中最小正周
期為 的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 對(duì)于選項(xiàng)A，作 的部分圖象，
如圖，由圖可知的最小正周期為 ，
故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù) 的 最小正周期為 ，所以函數(shù)
的最小正周期為 ，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以函數(shù)的最小正
周期為 ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)的最小正周期 ，故D
正確.故選 .
變式（1）已知函數(shù)， ，
，且的最小值為，則 的最小正周期為( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則由題意可知 ，可得
.故選D.
√
（2）（多選題）［2025·江蘇太倉(cāng)一中月考］ 下列函數(shù)中最小正周
期為 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因?yàn)椋?的最小正周期為
，故A正確；
函數(shù)的最小正周期為 ，該函數(shù)圖象在軸及
軸期上方部分不變，在軸下方部分沿 軸翻折后，所得圖象對(duì)應(yīng)的
函數(shù)的最小正周期沒有發(fā)生變化，
√
√
√
的最小正周期為 ，故B正確；
函數(shù)的最小正周期為 ，該函數(shù)圖象在 軸及其上方部分
不變，在軸下方部分沿 軸翻折后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小正周
期減半，變?yōu)椋院瘮?shù)的最小正周期為 ，故C錯(cuò)誤；
函數(shù)的最小正周期為 ，該函數(shù)圖象在 軸及其上方
部分不變，在軸下方部分沿 軸翻折后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小
正周期沒有發(fā)生變化，所以函數(shù)的最小正周期為 ，
故D正確.故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求三角函數(shù)的最小正周期，通常有三種方法：
（1）定義法；（2）公式法；（3）觀察法（圖象法）.
探究點(diǎn)二 周期函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例2 一機(jī)械振動(dòng)中，某質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移
與時(shí)間 之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
（1）求該函數(shù)的最小正周期；
解：由函數(shù)圖象可知，該函數(shù)的最小正周期
.
例2 一機(jī)械振動(dòng)中，某質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移
與時(shí)間 之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
（2）求 時(shí)該質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移.
解：設(shè)， 函數(shù)的最小正周期為 ，
，
時(shí)質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
根據(jù)函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象，首先確定函數(shù)的最小正周期,然后再利用
周期解決問題.
探究點(diǎn)三 利用周期求函數(shù)值
例3 定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù),又是周期函數(shù),若 的最小
正周期為 ,且當(dāng)時(shí),,求 的值.
解：因?yàn)槎x在上的函數(shù) 既是偶函數(shù),
又是周期函數(shù),的最小正周期為 ,且當(dāng)時(shí), ,
所以 ,
,
所以 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）利用函數(shù)的周期性，可以把求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求
的函數(shù)值.
（2）利用函數(shù)周期性的定義，將所求轉(zhuǎn)化為可求的的函數(shù)值，從
而可解決求值問題.
探究點(diǎn)四 證明函數(shù)的周期性
例4 求證：的最小正周期為 .
證明：設(shè) ，則
，是的一個(gè)周期.
若是 的周期，則
對(duì) 恒成立，
令，則，
， ，而在 內(nèi)不存在正弦值為0的角，
這與矛盾.故是 的最小正周期.
［素養(yǎng)小結(jié)］
三角函數(shù)的周期性的證明都采用定義法，首先證明為函數(shù)
的周期，再證明是函數(shù)的最小正周期.
1.對(duì)函數(shù)周期性的理解
若函數(shù)是周期函數(shù),是其一個(gè)周期,則①對(duì)定義域內(nèi)任意 ,
均有,其中且;在一個(gè)周期
內(nèi)的圖象每隔一個(gè)周期 重復(fù)出現(xiàn)一次.
2.正、余弦函數(shù)的周期性
（1）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的周期性實(shí)質(zhì)上是由終邊相同的角
具有的周期性所決定的；
（2）由誘導(dǎo)公式 ，
也可以說明它們的周期性；
（3）函數(shù)及（其中， ，
為常數(shù)，且，）的最小正周期 .
1.求三角函數(shù)周期的方法:
（1）定義法.
（2）公式法.
（3）觀察法（圖象法）.
例1（1）求， 的一個(gè)周期.
解:因?yàn)?，
所以是 的一個(gè)周期（答案不唯一）.
（2）求下列函數(shù)的最小正周期.
①， ;
解: 因?yàn)椋淖钚≌芷谑? ,且
，的圖象是將，的圖象在 軸下方
的部分翻折到軸上方,并且保留在軸上及 軸上方的部分而得到的,
所以所求函數(shù)的最小正周期 .
②， .
解: ，的最小正周期 .
2.函數(shù)周期性的應(yīng)用與理解
（1）用周期函數(shù)的定義討論非三角函數(shù)的函數(shù)周期問題時(shí),只需找到
一個(gè)非零實(shí)數(shù),對(duì)定義域內(nèi)任意的總有
在定義域內(nèi) 成立.
（2）解答利用周期性求值問題的關(guān)鍵是利用化歸轉(zhuǎn)化的思想,借助周
期性定義把待求問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,代入求解即可.
（3）并不是每一個(gè)函數(shù)都是周期函數(shù).若函數(shù)具有周期性,周期也不
一定唯一.一般地,若是函數(shù)的一個(gè)周期,則 也是
它的周期.
例2 ［2025·福建泉州七中高一期中］已知是定義在 上的奇函
數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)， ，則
( )
A. B. C. D.0
[解析] 因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且滿足 ，
則，所以 ，
則，所以函數(shù) 是周期為8的周期函數(shù)，
又當(dāng)時(shí)， ，所以
.故選B.
√
練習(xí)冊(cè)
1.函數(shù) 的最小正周期為( )
A. B. C. D.
[解析] 函數(shù)的最小正周期 .故選D.
√
2.函數(shù) 的最小正周期是( )
A. B. C. D.
[解析] 函數(shù) 的圖象如圖所示，
由圖可知，函數(shù)的最小正周期為 .故選B.
√
3.函數(shù) 的最小正周期為( )
A.4 B. C.8 D.
[解析] 函數(shù)的最小正周期 .故選D.
√
4.已知函數(shù)的最小正周期為，則 的值是
( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] 因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以
，則 .
√
5.［2025·江蘇海門中學(xué)高一月考］已知函數(shù)滿足： ，
，且，則 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由，得，則 ，則
，
函數(shù) 是一個(gè)周期為12的周期函數(shù)，
.故選B.
√
6.［2025·廣東深圳中學(xué)期中］已知函數(shù)
的最小正周期為 ，則函數(shù) 在
上的最小值是( )
A. B. C.0 D.
√
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為 ，
所以 ，解得，所以 ，
當(dāng)時(shí)， ，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當(dāng)
時(shí)，取得最小值，的最小值為 ，故
選D.
7.一個(gè)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 表示離開平衡位置的
位移（單位：）， 表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（單位：），與 之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，
則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期為___ ．
4
[解析] 由題圖知，該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期為 .
8.函數(shù)的最小正周期不大于2，則正整數(shù) 的
最小值為____.
13
[解析] ， .又， 正整數(shù) 的最小值為13.
9.（13分）求下列函數(shù)的最小正周期.
（1） ；
解： 函數(shù)，，
又， 函數(shù)的最小正周期 .
（2） .
解：當(dāng)時(shí)，的最小正周期 ；
當(dāng)時(shí)，，的最小正周期 .
綜上可知，的最小正周期 .
10.（13分）已知是以 為最小正周期的偶函數(shù)，且
時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，求 的解析式.
解：當(dāng)時(shí)， ，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，
所以 .
又是以 為最小正周期的偶函數(shù)，
所以 ，
所以當(dāng)時(shí)，的解析式為 .
11.［2025·江蘇金湖中學(xué)高一月考］函數(shù) 的最小
正周期為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函數(shù) ，
結(jié)合選項(xiàng)可得
，則函數(shù) 的最
小正周期為 .故選A.
12.（多選題）下列函數(shù)是最小正周期為 的偶函數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 對(duì)于A,是最小正周期為 的偶函
數(shù)；
對(duì)于B,是最小正周期為 的奇函數(shù)；
對(duì)于C,是最小正周期為 的偶函數(shù)；
對(duì)于D,是最小正周期為 的偶函數(shù).故選 .
√
√
13.（多選題）函數(shù) ，則下列說法正確的是
( )
A.函數(shù)的周期為
B. 是函數(shù) 圖象的一條對(duì)稱軸
C.函數(shù) 的圖象有對(duì)稱中心
D.
√
√
[解析] 對(duì)于A，由
， 可知的周期為 ，故A正確；
，可知，所以 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，
所以，可知 為偶函數(shù)，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)
合函數(shù)的周期性可知 的圖象不存在對(duì)稱中心，故C不正確；
對(duì)于D，，所以 ，
故D錯(cuò)誤.故選 .
14.［2025·福建福安一中月考］已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，且的最小正周期為2，則 的解析式可以是
____________________________.（寫出一個(gè)即可）
（答案不唯一）
[解析] 取函數(shù)，則的最小正周期 ，
，所以的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱.
15.我們平時(shí)聽到的樂音不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，
稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng)，產(chǎn)生頻率為
的基音的同時(shí)，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一等部分
也在振動(dòng)，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù)，如,, 等，
這些音叫諧音，其振幅較小，一般不易被單獨(dú)聽出來.若我們聽到的
聲音函數(shù)為 ，則函數(shù)
的最小正周期為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設(shè) ，所以
，故 是的一個(gè)周期，
又的最小正周期為 ，所以函數(shù)
的最小正周期為 ，故選C.
16.（多選題）若存在常數(shù)，使得函數(shù) 滿足
，則 的一個(gè)正周期可以為( )
A. B. C. D.
[解析] 令，則，
依題意有 ，此式對(duì)任意都成立，
而且為常數(shù)，因此 是周期函數(shù)，所以是的一個(gè)正周期
且的正整數(shù)倍也是 的正周期.故選 .
√
√
√
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一 1.一個(gè)非零的 2.一個(gè)最小的正數(shù)
知識(shí)點(diǎn)二 1. 2. 3.
【診斷分析】 1.（1）√ （2）√ （3）× （4）√
2.解：正弦函數(shù)的周期不唯一. ， ， ， 都是正弦函數(shù)
的周期，事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)且都是它的周期.
課中探究 探究點(diǎn)一 例1 ABD 變式 （1）D （2）ABD
探究點(diǎn)二 例2 （1） （2）
探究點(diǎn)三 例3
探究點(diǎn)四 例4 證明略
練習(xí)冊(cè)
基礎(chǔ)鞏固
1.D 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.4 8.13
9.（1） （2）
10.
綜合提升
11.A 12.AD 13.AB 14.（答案不唯一）
思維探索
15.C 16.BCD7.3　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
7.3.1　三角函數(shù)的周期性
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.一個(gè)非零的　2.一個(gè)最小的正數(shù)
知識(shí)點(diǎn)二
1.2π　2.π　3.　
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.解:正弦函數(shù)y=sin x的周期不唯一. ±2π,±4π,±6π,…都是正弦函數(shù)的周期,事實(shí)上,任何一個(gè)常數(shù)2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　ABD　[解析] 對(duì)于選項(xiàng)A,作y=|cos x|的部分圖象,如圖,由圖可知y=|cos x|的最小正周期為π,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)楹瘮?shù)y=tan x的最小正周期為π,所以函數(shù)y=tan的最小正周期為π,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閥=cos|x|=cos x,所以函數(shù)y=cos|x|的最小正周期為2π,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)y=sin的最小正周期T==π,故D正確.故選ABD.
變式　(1)D　(2)ABD　[解析] (1)設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,則由題意可知=,可得T=.故選D.
(2)因?yàn)閏os|2x|=cos 2x,所以y=cos|2x|的最小正周期為=π,故A正確;函數(shù)y=2sin+1的最小正周期為π,該函數(shù)圖象在x軸及x軸期上方部分不變,在x軸下方部分沿x軸翻折后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小正周期沒有發(fā)生變化,所以函數(shù)y=的最小正周期為π,故B正確;函數(shù)y=2sin 2x的最小正周期為π,該函數(shù)圖象在x軸及其上方部分不變,在x軸下方部分沿x軸翻折后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小正周期減半,變?yōu)?所以函數(shù)y=|2sin 2x|的最小正周期為,故C錯(cuò)誤;函數(shù)y=tan的最小正周期為π,該函數(shù)圖象在x軸及其上方部分不變,在x軸下方部分沿x軸翻折后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小正周期沒有發(fā)生變化,所以函數(shù)y=的最小正周期為π,故D正確.故選ABD.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)由函數(shù)圖象可知,該函數(shù)的最小正周期T=4.5-0.5=4 s.
(2)設(shè)x=f(t),∵函數(shù)f(t)的最小正周期為4 s,
∴f(25.5)=f(6×4+1.5)=f(1.5)=-3,∴t=25.5 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移為-3 cm.
探究點(diǎn)三
例3　解:因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù),
又是周期函數(shù),f(x)的最小正周期為π,且當(dāng)x∈時(shí),f(x)=sin x,所以f=f(675π)=f(0)=sin 0=0,f=f=f=sin=,所以f+f=0+=.
探究點(diǎn)四
例4　證明:設(shè)f(x)=|sin 2x|,則f==|sin(π+2x)|=|-sin 2x|=|sin 2x|=f(x),
∴是y=|sin 2x|的一個(gè)周期.若T是y=|sin 2x|的周期,則f(x)=|sin 2x|=f(x+T)=|sin(2x+2T)|對(duì)x∈R恒成立,令x=0,則sin 2T=0,∵07.3.1　三角函數(shù)的周期性
1.D　[解析] 函數(shù)y=2sin的最小正周期T==4π.故選D.
2.B　[解析] 函數(shù)y=|sin x|的圖象如圖所示,由圖可知,函數(shù)的最小正周期為π.故選B.
3.D　[解析] 函數(shù)y=tan的最小正周期T==.故選D.
4.A　[解析] 因?yàn)閒(x)=tan ωx(ω>0)的最小正周期T==,所以ω=4,則f=tan π=0.
5.B　[解析] 由f(x)·f(x+6)=2,得f(x)≠0,則f(x+6)=,則f(x+12)==f(x),∴函數(shù)f(x)是一個(gè)周期為12的周期函數(shù),∴f(92)=f(12×7+8)=f(8)==2.故選B.
6.D　[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期為π,所以=π,解得ω=2,所以f(x)=3sin,當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當(dāng)2x+=時(shí),f(x)取得最小值,f(x)的最小值為3×sin=,故選D.
7.4　[解析] 由題圖知,該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期為2×(3-1)=4(s).
8.13　[解析] ∵=≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整數(shù)k的最小值為13.
9.解:(1)∵函數(shù)y=tan,∴ω=3,又=,∴函數(shù)y=tan的最小正周期T=.
(2)當(dāng)a>0時(shí),f(x)的最小正周期T=;
當(dāng)a<0時(shí),f(x)=-4sin,f(x)的最小正周期T=.
綜上可知,f(x)的最小正周期T=.
10.解:當(dāng)x∈時(shí),3π-x∈,
因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí),f(x)=1-sin x,
所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x.
又f(x)是以π為最小正周期的偶函數(shù),
所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),
所以當(dāng)x∈時(shí),f(x)的解析式為f(x)=1-sin x.
11.A　[解析] 函數(shù)y==,結(jié)合選項(xiàng)可得=
==
=,則函數(shù)y=的最小正周期為.故選A.
12.AD　[解析] 對(duì)于A,y=sin=-cos 2x是最小正周期為π的偶函數(shù);對(duì)于B,y=cos=sin 2x是最小正周期為π的奇函數(shù);對(duì)于C,y=cos(x-π)=-cos x是最小正周期為2π的偶函數(shù);對(duì)于D,y=cos(2x-π)=-cos 2x是最小正周期為π的偶函數(shù).故選AD.
13.AB　[解析] 對(duì)于A,由f=+=|cos x|+|-sin x|=|cos x|+|sin x|=f(x),可知f(x)的周期為,故A正確;對(duì)于B,由f(2π-x)=|sin(2π-x)|+|cos(2π-x)|=|-sin x|+|cos x|=|cos x|+|sin x|,可知f(2π-x)=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)閒(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|-sin x|+|cos x|=|sin x|+|cos x|,所以f(-x)=f(x),可知f(x)為偶函數(shù),圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,結(jié)合函數(shù)的周期性可知f(x)的圖象不存在對(duì)稱中心,故C不正確;對(duì)于D,=2π×506+,所以f=+=1,故D錯(cuò)誤.故選AB.
14.f(x)=cos πx(答案不唯一)　[解析] 取函數(shù)f(x)=cos πx,則f(x)的最小正周期T==2,且f(2-x)=cos π(2-x)=cos(2π-πx)=cos(-πx)=cos πx=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
15.C　[解析] 設(shè)f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x,所以f(x+2π)=sin(x+2π)+sin 2(x+2π)+sin 3(x+2π)=sin x+sin(2x+4π)+sin(3x+6π)=sin x+sin 2x+sin 3x=f(x),故2π是f(x)的一個(gè)周期,又y=sin x的最小正周期為2π,所以函數(shù)y=sin x+sin 2x+sin 3x的最小正周期為2π,故選C.
16.BCD　[解析] 令px-=u,則px=u+,依題意有f=f(u),此式對(duì)任意u∈R都成立,而>0且為常數(shù),因此f(x)是周期函數(shù),所以是f(x)的一個(gè)正周期且的正整數(shù)倍也是f(x)的正周期.故選BCD.7.3　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
7.3.1　三角函數(shù)的周期性
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.
　　2.理解函數(shù)y=sin x,y=cos x,y=tan x都是周期函數(shù),都存在最小正周期.
　　3.會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ) 及y=Atan(ωx+φ)的周期.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　周期函數(shù)
1.周期函數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果存在　　　常數(shù)T,使得對(duì)于任意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù),非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期.
2.最小正周期
對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在　　　　　　　　,那么,這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的周期
1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期
正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0)都是它們的周期,它們的最小正周期都是　　　　.
2.正切函數(shù)的周期
正切函數(shù)是周期函數(shù),它的最小正周期是　　　　.
3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的最小正周期
一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的最小正周期為　　　　,函數(shù)y=Atan(ωx+φ) (其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的最小正周期為　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)正弦函數(shù)y=sin x的一個(gè)周期為4π. (　 )
(2)y=-cos|x|是偶函數(shù)且最小正周期為2π. (　 )
(3)y=tan|x|的最小正周期為. (　 )
(4)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)都沒有周期性. (　 )
2.正弦函數(shù)y=sin x的周期是否唯一 正弦函數(shù)y=sin x的周期有哪些
◆ 探究點(diǎn)一　三角函數(shù)的最小正周期
例1 (多選題)[2025·河北邯鄲高一期末] 下列函數(shù)中最小正周期為π的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=|cos x| B.y=tan
C.y=cos|x| D.y=sin
變式 (1)已知函數(shù)f(x)=cos(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值為,則f(x)的最小正周期為 (　 )
A.2π B.π C. D.
(2)(多選題)[2025·江蘇太倉(cāng)一中月考] 下列函數(shù)中最小正周期為π的是 (　 )
A.y=cos|2x|
B.y=
C.y=|2sin 2x|
D.y=
[素養(yǎng)小結(jié)]
求三角函數(shù)的最小正周期,通常有三種方法:
(1)定義法;(2)公式法;(3)觀察法(圖象法).
◆ 探究點(diǎn)二　周期函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例2 一機(jī)械振動(dòng)中,某質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移x(cm)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求該函數(shù)的最小正周期;
(2)求t=25.5 s時(shí)該質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移.
[素養(yǎng)小結(jié)]
根據(jù)函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象,首先確定函數(shù)的最小正周期,然后再利用周期解決問題.
◆ 探究點(diǎn)三　利用周期求函數(shù)值
例3 定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù),又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期為π,且當(dāng)x∈時(shí),f(x)=sin x,求f+f的值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)利用函數(shù)的周期性,可以把求x+nT(n∈Z)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求x的函數(shù)值.
(2)利用函數(shù)周期性的定義,將所求轉(zhuǎn)化為可求的x的函數(shù)值,從而可解決求值問題.
◆ 探究點(diǎn)四　證明函數(shù)的周期性
例4 求證:y=|sin 2x|的最小正周期為.
[素養(yǎng)小結(jié)]
三角函數(shù)的周期性的證明都采用定義法,首先證明T(T>0)為函數(shù)的周期,再證明T是函數(shù)的最小正周期.7.3　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
7.3.1　三角函數(shù)的周期性
1.函數(shù)y=2sin的最小正周期為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.π B.2π
C.3π D.4π
2.函數(shù)y=|sin x|的最小正周期是 (　 )
A. B.π
C.2π D.4π
3.函數(shù)y=tan的最小正周期為 (　 )
A.4 B.
C.8 D.
4.已知函數(shù)f(x)=tan ωx(ω>0)的最小正周期為,則f的值是 (　 )
A.0 B.1
C.-1 D.
5.[2025·江蘇海門中學(xué)高一月考] 已知函數(shù)f(x)滿足: x∈R,f(x)·f(x+6)=2,且f(2)=1,則f(92)= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.[2025·廣東深圳中學(xué)期中] 已知函數(shù)f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)在上的最小值是 (　 )
A.- B.- C.0 D.
7.一個(gè)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),s表示離開平衡位置的位移(單位:cm),t表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位:s),s與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期為　　　　s.
8.函數(shù)y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,則正整數(shù)k的最小值為　　　　.
9.(13分)求下列函數(shù)的最小正周期.
(1)y=tan;
(2)f(x)=4sin(a≠0).
10.(13分)已知f(x)是以π為最小正周期的偶函數(shù),且x∈時(shí),f(x)=1-sin x,則當(dāng)x∈時(shí),求f(x)的解析式.
11.[2025·江蘇金湖中學(xué)高一月考] 函數(shù)y=的最小正周期為 (　 )
A. B.π
C.π D.2π
12.(多選題)下列函數(shù)是最小正周期為π的偶函數(shù)的是 (　 )
A.y=sin
B.y=cos
C.y=cos(x-π)
D.y=cos(2x-π)
13.(多選題)函數(shù)f(x)=|sin x|+|cos x|,則下列說法正確的是 (　 )
A.函數(shù)f(x)的周期為
B.x=π是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸
C.函數(shù)f(x)的圖象有對(duì)稱中心
D.f=
14.[2025·福建福安一中月考] 已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且f(x)的最小正周期為2,則f(x)的解析式可以是　　　　　.(寫出一個(gè)即可)
15.我們平時(shí)聽到的樂音不只是一個(gè)音在響,而是許多個(gè)音的結(jié)合,稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng),產(chǎn)生頻率為f的基音的同時(shí),其各部分如二分之一、三分之一、四分之一等部分也在振動(dòng),產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù),如2f,3f,4f等,這些音叫諧音,其振幅較小,一般不易被單獨(dú)聽出來.若我們聽到的聲音函數(shù)為y=sin x+sin 2x+sin 3x,則函數(shù)y=sin x+sin 2x+sin 3x的最小正周期為 (　 )
A. B.π
C.2π D.π
16.(多選題)若存在常數(shù)p>0,使得函數(shù)f(x)滿足f(px)=f(x∈R),則f(x)的一個(gè)正周期可以為 (　 )
A. B.
C.p D.2p

展開更多......

收起↑