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(共81張PPT)
7.3 三角函數的圖象和性質
7.3.2 三角函數的圖象與性質
第2課時 正弦、余弦函數的性質
探究點一 正弦、余弦函數的奇偶性與周期性
探究點二 正弦、余弦函數圖象的對稱性
探究點三 正弦、余弦函數的單調性及應用
探究點四 求函數的值域
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大（小）值.
2.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在 上的性質.
知識點一 正弦函數、余弦函數的定義域、值域、周期
函數
圖象 __________________________________________________ _____________________________________________________
定義域
值域
周期
知識點二 三角函數的奇偶性
是________； 是________.
奇函數
偶函數
知識點三 正弦函數、余弦函數的單調性和最值
正弦函數 余弦函數
單調 性 增區間 ， __________________
____________
減區間 _ ______________________ ， ，
最值 _ ___________________ ，
， __________________
__
，
，
，
，
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）存在，使得 .( )
×
（2）函數， 是奇函數.( )
×
（3）函數 是偶函數.( )
×
[解析] 函數的定義域為 ，不關于原點對稱，因此函數
不具有奇偶性.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（4）函數在區間 上單調.( )
×
[解析] 函數在上單調遞增，在 上單調遞減，在
上單調遞增.
探究點一 正弦、余弦函數的奇偶性與周期性
例1（1）定義在上的函數既是偶函數又是周期函數， 的最
小正周期是 ，且當時，，則 的值為___.
[解析] 由題意可得 .
（2）判斷下列函數的奇偶性.
① ；
解：， ，
， 函數
為奇函數.
（2）判斷下列函數的奇偶性.
② ；
解：由得，得 的定義域為
， 的定義域關于原點對稱．
③ ；
解：由得，此時， 的定義域為
， 既是奇函數又是偶函數．
又， 為奇函數．
（2）判斷下列函數的奇偶性.
④ ．
解：函數的定義域為 ，且
， 函數
是偶函數．
變式（1）若函數是偶函數，則 的最小
值為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為為偶函數，所以，
又，所以 的最小值為 .故選D.
√
（2）已知函數為偶函數,其中 ,則
____.
[解析] 因為函數為偶函數,
所以 , ,
又 ,所以 ,
故 .
［素養小結］
1.解決三角函數的奇偶性與周期性綜合問題的方法:利用函數的周期
性,可以把的函數值轉化為的函數值.利用奇偶性,可以
找到與的函數值之間的關系,從而解決求值問題.
2.推得函數周期的若干形式:
（1）若,則函數的周期為;
（2）若,則函數的周期為;
（3）若且,則函數的周期為;
（4）若且,則函數的周期為.
探究點二 正弦、余弦函數圖象的對稱性
例2（1）函數 圖象的一條對稱軸的方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于函數，令， ，可得
，，則函數圖象的對稱軸方程為 ，
，
令，可得函數圖象的一條對稱軸的方程是 .故選C.
√
（2）函數 的圖象的一個對稱中心為_____________________.
（答案不唯一）
[解析] 由余弦函數的圖象可知，函數 的圖象的對稱中心
的橫坐標，所以函數 的圖象的一個對稱
中心為 .
變式 若直線與直線是函數 圖象的
兩條相鄰的對稱軸，則的最小正周期 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依題意得函數的最小正周期 .故
選D.
√
［素養小結］
正弦曲線、余弦曲線的對稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最
高點或最低點；正弦曲線、余弦曲線的對稱中心一定是正弦曲線、
余弦曲線與軸的交點.
拓展 已知函數的圖象關于點
對稱，方程在上有兩個不同的實根， ，則
的最大值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為的圖象關于點 對稱，所以
，，則， ，
又因為，所以 ，所以
.
當 時， ，作出在上的
圖象與直線 ，如圖所示.
由圖可知，要使方程在上有兩個不同的實根，，
則 ，可得 ，所以
.故選D.
探究點三 正弦、余弦函數的單調性及應用
角度1 比較三角函數值的大小
例3 利用三角函數的單調性,比較下列各組數的大小（在下列橫線上
填“ ”或“ ”）.
（1）___ ;
[解析] 函數在上單調遞減,且 ,
.
例3 利用三角函數的單調性,比較下列各組數的大小（在下列橫線上
填“ ”或“ ”）.
（2）___ ;
[解析] ,
.
,且在上單調遞減,
,即 .
例3 利用三角函數的單調性,比較下列各組數的大小（在下列橫線上
填“ ”或“ ”）.
（3）___ ;
[解析] ,,且在
上單調遞減,,即 .
例3 利用三角函數的單調性,比較下列各組數的大小（在下列橫線上
填“ ”或“ ”）.
（4）___ .
[解析] ,,
又 在區間上單調遞增, .
［素養小結］
利用單調性比較三角函數值大小的一般步驟:①異名函數化為同名函
數;②利用誘導公式把角化到同一單調區間上;③利用函數的單調性比
較大小.
角度2 求正弦型函數、余弦型函數的單調區間
例4 求下列函數的單調區間：
（1） ；
解：令 ，
解得 ，
所以的增區間為 .
由，解得 ，
所以的減區間為 .
例4 求下列函數的單調區間：
（2） ；
解：對于 ，令 ,
得 ,
所以的減區間為 .
令 ，
得 ，
所以的增區間為 .
例4 求下列函數的單調區間：
（3） .
解： ,由 ， ，
解得 ， ，
所以函數的增區間為, .
由 , ，
解得 , ，
所以函數的減區間為, .
變式（1）函數 的減區間是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] ，令
， ，解得 ，
，所以函數的減區間為 ,
.故選A.
√
（2）關于函數， 的單調性，下列說法正確的
是( )
A.在上單調遞增，在 上單調遞減
B.在，上單調遞增，在 上單調遞減
C.在 ，上單調遞增，在 上單調遞減
D.在上單調遞增，在, 上單調遞減
√
[解析] 易知函數的減區間是 ，
增區間是，
， 在上單調遞增，在 上單調
遞減.故選A.
［素養小結］
1.求或的單調區
間，通常采用“換元法”整體代換，將“ ”看成一個整體“”，
利用正（余）弦函數的單調區間，求原函數的單調區間.若，
則先利用誘導公式，將的系數轉化為正數.
2.結合正弦、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間是求解的關鍵.
求單調區間時，需將最終結果寫成區間形式，并注意.
探究點四 求函數的值域
例5 求下列函數的值域.
（1） ；
解：因為 ，
所以當 時，函數取得最大值1，
當時，函數取得最小值 ，
所以函數的值域為 .
例5 求下列函數的值域.
（2）, ；
解：易知在上單調遞增，在 上單調遞減，
因為，， ，
所以原函數的值域為 .
例5 求下列函數的值域.
（3）， .
解：易知在上單調遞增，在 上單調遞減，
因為，，，所以當 時，
.
又因為， ，
所以當時，取得最小值 ，
當時， 取得最大值1，
故原函數的值域為 .
變式 求下列函數的值域：
（1） ；
解：因為，所以 ，
所以 ，
所以函數的值域是 .
變式 求下列函數的值域：
（2）， ；
解：由，得 ，
因為函數在區間 上單調遞減，
所以原函數的值域為 .
變式 求下列函數的值域：
（3） .
解：令，則 ，
所以 ，
則當 時，函數取得最大值10，
當 時，函數取得最小值2，
所以原函數的值域為 .
［素養小結］
解決關于三角函數的值域問題時,要特別注意角的取值范圍及三角函
數的有界性.
1.正、余弦曲線的對稱性
（1）正弦曲線是中心對稱圖形,其對稱中心的坐標為 ,
即對稱中心是正弦曲線與 軸的所有交點;正弦曲線也是軸對稱圖形,
其對稱軸方程是,所有對稱軸都垂直于 軸,且與正
弦曲線交點的縱坐標是正弦函數的最大值或最小值.
（2）余弦曲線是中心對稱圖形,其對稱中心的坐標是
,即對稱中心是余弦曲線與 軸的所有交點;余弦曲
線也是軸對稱圖形,其對稱軸方程是 ,所有對稱軸都垂直
于 軸,且與余弦曲線交點的縱坐標是余弦函數的最大值或最小值.
2.三角函數單調區間的求法
求函數或 的單調區間,一般
將 視作整體,結合或 的單調區間列出不等式,
解之即得.
3.三角函數的值域問題
（1）或
型的函數值域問題的解決方法是利用三角函數在區間上的單調性.
（2）與二次函數復合時，一般利用三角函數的有界性和二次函數在
區間上的最值求解.
1.函數奇偶性的判斷
解決此類問題，常利用函數奇偶性的定義求解.
例1 判斷下列函數的奇偶性:
（1） ;
解：有意義,無意義, 的定義域不關于原點對
稱，故 為非奇非偶函數.
（2） .
解：的定義域為 ，且
, 是偶函數.
2.函數單調區間的確定
結合正、余弦函數的圖象,熟記它們的單調區間.
例2（1）已知函數，，則函數 的減
區間為_______.
[解析] 當時， ，
結合余弦函數的性質可知，當時，函數單調遞減，
此時 ，故函數的減區間為 .
（2）［2025·江蘇江陰高級中學高一月考］函數
的增區間為_________________________.
[解析] 對于 ，需滿足
，所以，即 ，
可得 ，解得
，所以函數 的定義域為
.
令，， ，
因為函數，都為增函數，所以函數 為增
函數.
由 ，得
，即函數 在 上單
調遞增.
由復合函數單調性的法則可知，函數的增區間為
.
3.比較三角函數值大小的問題
例3 比較下列各組三角函數值的大小.
（1） 與 ；
解：， ，
， ，
，即 .
例3 比較下列各組三角函數值的大小.
（2）與 .
解： ，
，
， 在上單調遞增，
，即 .
4.求與三角函數有關的最值（值域）問題
（1）求形如或 的函數的最值時，要注
意對 進行討論.
（2）對于可化為或
（其中, ， ,為常數,, ）的形式的函數,通常利用三
角函數的性質求最值,易得其最大值為,最小值為 .
（3）求可化為 或
的函數的最大值、最小值，可利用
求二次函數在區間 上的最大值、最小值的方法來求
（換元法）.
例4 求函數, 的值域.
解：令,.
,,即 ,
又 ,
, 函數的值域為 .
練習冊
1.下列函數中，是偶函數的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A選項，函數 為奇函數，不符合題意；
對于B選項，函數 為偶函數，符合題意；
對于C選項，函數 為非奇非偶函數，不符合題意；
對于D選項，函數 為非奇非偶函數，不符合題意.故選B.
√
2.函數 的最大值為( )
A.4 B.7 C. D.15
[解析] 對于函數，當 時，函數取得最大
值7.故選B.
√
3.下列關于函數 的圖象與性質的描述正確的是( )
A.最小正周期是
B.圖象的對稱軸方程為
C.增區間是
D.圖象的對稱中心為
√
[解析] 函數的最小正周期為 ，故A正確；
函數圖象的對稱軸方程為 ，故B錯誤；
函數的增區間為 ，故C錯誤；
函數圖象的對稱中心為 ，故D錯誤.故選A.
4.函數為上的奇函數，則 的值可以是
( )
A.0 B. C. D.
[解析] 由函數為 上的奇函數，得
, ，解得 ,，當時， .
故選C.
√
5.下列關系式中正確的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ，
，
由正弦函數的單調性得 ，則
.故選C.
√
6.函數 的最大值是( )
A. B.1 C. D.
[解析] ，
， 當時，函數有最大值，最大值為 .
故選C.
√
7.函數的圖象在區間 上的對稱軸方程為_______.
[解析] 由，可得，令 ，解得
，即所求對稱軸方程為 .
8.函數， 的值域是_______.
[解析] 因為，所以 ，則
.
9.（13分）判斷下列函數的奇偶性.
（1） ；
解：因為 ，，
所以 是偶函數.
（2） ；
解：因為， ，
所以 ，
所以函數 是偶函數.
9.（13分）判斷下列函數的奇偶性.
（3） .
解：因為， ，所以
是奇函數.
10.［2025·河北辛集中學高一月考］下列函數既是奇函數又在區間
內單調遞增的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 對于A，由 ，可得，所以函數
的定義域為 ，因為
，所以 不是奇函數，A不滿足題意；
對于B，函數 的定義域為，且
，則 是奇函數，當時，
，所以函數在 上不單調，B不滿足題意；
對于C，函數的定義域為 ， 且
，則函數 不是奇函數，C不滿足題意；
對于D，函數的定義域為 ，且
，所以函數為奇函數，當 時，
，所以函數在 上單調遞增，D滿足題意.
故選D.
11.［2025·江蘇江陰南菁高級中學高一月考］若函數
在上的取值范圍是，則實數 的最大值為( )
A. B. C. D.
[解析] 設，由，得，
畫出 的圖象，如圖所示，
要使當時， ，必須滿足
，所以，所以實數的最大值為 .故選C.
√
12.（多選題）［2025·南京二十九中高一月考］ 已知函數
，則下列結論正確的是( )
A.是偶函數 B.的一個周期是
C.的最小值是 D.在區間 上單調遞減
[解析] 對于A，顯然的定義域為 ，因為
，
所以 為偶函數，故選項A正確.
√
√
√
，則的一個周期為 ，故選項B
正確.
對于C，假設 的最小值為，則取到最小值時
, ，因為，所以
，即 取不到，所以假設不成立，的最小值不
是 ，故選項C錯誤.
對于D，因為在上單調遞減，且 ，
在上單調遞增，
所以在區間 上單調 遞減，因為在區間
上單調遞增，且，在 上單調
遞減，所以在區間 上單調遞減.所以
在區間 上單調遞減，故選項D正
確.故選 .
13.［2025·南京師大附中高一期末］設 為實數，若函數
在區間上既有最大值，又有最小值，則 的最小
值為__.
[解析] 因為，所以，依題意可得 ，
解得，所以的最小值為 .
14.（15分）已知函數 .
（1）求函數在 內的最大值；
解：由可得 ，
所以，所以 ，
則函數在區間內的最大值為 .
14.（15分）已知函數 .
（2）若不等式當時的解集為空集，求 的
取值范圍.
解：因為不等式當 時的解集為空集，
所以當 時的解集為空集.
令,，則 ，
當時， ，
則,可得 .
故的取值范圍為 .
15.［2025·南京師大附中高一調研］已知函數 ，若存在
實數，， ，，滿足 ，且
，則
正整數 的最小值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
[解析] 由題意知， 要盡可能地小，則等式
中，
每一項要盡可能地大.
因為 ，所以盡可能有更多組，
滿足時， 最小.
結合，的圖象可知最多有三組，
滿足，故另外兩組的和為2時， 最小，此時可
取,,,,, ，滿足題意.故選D.
16.（15分）已知函數 .
（1）若函數的最大值是最小值的4倍，求實數 的值；
解： ，
當時，，令 ，
.
①當時， ，
，
由題得，解得或 ，由
得 .
②當時， ，
,
由題得，解得或，由
得 .
③當時， ,
,
由題得，解得 ，
由得 .
④當時， ,
，
由題得，解得 ，
由得 .
綜上所述或3或或 .
16.（15分）已知函數 .
（2）若方程 存在實數根，求該方程的實數根.
解：由（1）知， ，
， ，
若方程存在實數根，則必有 或1.
①當時，，此時方程 的實數根為
；
②當時，，此時方程 的實數根為
.
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點二 奇函數 偶函數
知識點三 ， ， ，
， 【診斷分析】 （1）× （2）× （3）× （4）×
課中探究 探究點一 例1 （1） （2）①奇函數 ②奇函數 ③既是奇函數又是偶函數 ④偶函數
變式 （1）D （2）
探究點二 例2 （1）C （2）（答案不唯一） 變式 D 拓展 D
探究點三 角度1 例3 （1） （2） （3） （4）
角度2 例4 （1）的增區間為, 的減區間為.
（2）的減區間為, 的增區間為
.
（3）的增區間為,, 的減區間為,.
變式 （1）A （2）A
探究點四 例5 （1） （2） 變式 （1）> （2）（3）練習冊
基礎鞏固 1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7. 8.
9.（1）偶函數（2）偶函數（3）奇函數
綜合提升 10.D 11.C 12.ABD 13. 14.（1）（2）
思維探索 15.D
16.（1）或3或或
（2）當時， 方程 <的實數根為；
當時，<方程的實數根為.第2課時　正弦、余弦函數的性質
【課前預習】
知識點二
奇函數　偶函數
知識點三
[-π+2kπ,2kπ],k∈Z　,k∈Z
x=+2kπ,k∈Z　x=π+2kπ,k∈Z
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (3)函數f(x)的定義域為(-π,π],不關于原點對稱,因此函數f(x)不具有奇偶性.
(4)函數f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)　[解析] 由題意可得f=f=f=sin=.
(2)解:①f(x)=x2cos=-x2sin x,x∈R,
∵f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),∴函數f(x)=x2cos為奇函數.
②由得-1又f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x),∴f(x)為奇函數.
③由得cos x=,此時f(x)=0,f(x)的定義域為,∴f(x)既是奇函數又是偶函數.
④函數的定義域為R,且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),∴函數f(x)=sin(cos x)是偶函數.
變式　(1)D　(2)-　[解析] (1)因為f(x)為偶函數,所以φ=kπ(k∈Z),又φ>0,所以φ的最小值為π.故選D.
(2)因為函數f(x)=2sin(2x+φ)為偶函數,所以φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,故cos=cos=-cos=-.
探究點二
例2　(1)C　(2)(答案不唯一)　[解析] (1)對于函數y=2sin,令 x-=kπ+,k∈Z,可得x=kπ+,k∈Z,則函數圖象的對稱軸方程為x=kπ+,k∈Z,令k=0,可得函數圖象的一條對稱軸的方程是x=.故選C.
(2)由余弦函數的圖象可知,函數y=2cos x的圖象的對稱中心的橫坐標x=+kπ(k∈Z),所以函數y=2cos x的圖象的一個對稱中心為.
變式　D　[解析] 依題意得函數f(x)的最小正周期T=2×=π.故選D.
拓展　D　[解析] 因為f(x)的圖象關于點對稱,所以+φ=kπ,k∈Z,則φ=kπ-,k∈Z,又因為-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=sin.當0≤x≤π時,-≤x-≤π,作出y=sin x在上的圖象與直線y=a,如圖所示.由圖可知,要使方程f(x)=a在[0,π]上有兩個不同的實根x1,x2,則a∈,可得|x1-x2|≤π-=π,所以|x1-x2|max=π.故選D.
探究點三
例3　(1)>　(2)<　(3)<　(4)>　[解析] (1)∵函數y=sin x在上單調遞減,且<<<π,∴sin>sin.
(2)cos=cos=cos=cos,cos=cos=cos=cos.∵0<<<π,且y=cos x在[0,π]上單調遞減,∴cos(3)∵cos 1=sin,<2<+1<,且y=sin x在上單調遞減,∴sin(4)∵cos=sin,∴0sin.
例4　解:(1)令-π+2kπ≤4x≤2kπ(k∈Z),
解得-+≤x≤(k∈Z),
所以y=cos 4x的增區間為(k∈Z).
由2kπ≤4x≤2kπ+π(k∈Z),解得≤x≤+(k∈Z),
所以y=cos 4x的減區間為(k∈Z).
(2)對于y=-sin+1,
令-+2kπ≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得-+2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以y=-sin+1的減區間為(k∈Z).
令+2kπ≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以y=-sin+1的增區間為(k∈Z).
(3)y=sin=-sin,
由+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以函數y=sin的增區間為,k∈Z.
由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以函數y=sin的減區間為,k∈Z.
變式　(1)A　(2)A　[解析] (1)f(x)=cos=cos,令2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,所以函數f(x)=cos的減區間為,k∈Z.故選A.
(2)易知函數y=-cos x的減區間是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),增區間是[2kπ,π+2kπ](k∈Z),∵x∈[0,2π],∴y=-cos x在[0,π]上單調遞增,在[π,2π]上單調遞減.故選A.
探究點四
例5　解:(1)因為y=-2cos x-1,
所以當cos x=-1時,函數取得最大值1,
當cos x=1時,函數取得最小值-3,
所以函數的值域為[-3,1].
(2)易知y=sin x在上單調遞增,在上單調遞減,
因為sin=-,sin=1,sin=,
所以原函數的值域為.
(3)易知y=sin x在上單調遞增,在上單調遞減,
因為sin=,sin=,sin=1,所以當x∈時,sin x∈.
又因為y=sin2x-sin x+1=+,sin x∈,
所以當sin x=時,y取得最小值,
當sin x=1時,y取得最大值1,
故原函數的值域為.
變式　解:(1)因為-1≤sin 2x≤1,所以-2≤-2sin 2x≤2,
所以1≤3-2sin 2x≤5,
所以函數y=3-2sin 2x的值域是[1,5].
(2)由x∈,得x+∈,
因為函數y=cos x在區間上單調遞減,
所以原函數的值域為.
(3)令t=cos x,則-1≤t≤1,
所以y=cos2x-4cos x+5=t2-4t+5=(t-2)2+1,
則當t=-1時,函數取得最大值10,
當t=1時,函數取得最小值2,
所以原函數的值域為[2,10].第2課時　正弦、余弦函數的性質
1.B　[解析] 對于A選項,函數f(x)=sin x為奇函數,不符合題意;對于B選項,函數f(x)=cos x為偶函數,符合題意;對于C選項,函數f(x)=3sin x為非奇非偶函數,不符合題意;對于D選項,函數f(x)=2x為非奇非偶函數,不符合題意.故選B.
2.B　[解析] 對于函數y=3-4cos 2x,當cos 2x=-1時,函數取得最大值7.故選B.
3.A　[解析] 函數f(x)=sin x的最小正周期為2π,故A正確;函數圖象的對稱軸方程為x=kπ+(k∈Z),故B錯誤;函數的增區間為(k∈Z),故C錯誤;函數圖象的對稱中心為(kπ,0)(k∈Z),故D錯誤.故選A.
4.C　[解析] 由函數f(x)=sin為R上的奇函數,得+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,當k=1時,φ=.故選C.
5.C　[解析] sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,由正弦函數的單調性得sin 11°6.C　[解析] y=2sin2x+2cos x-3=2(1-cos2x)+2cos x-3=-2-,∵-1≤cos x≤1,∴當cos x=時,函數有最大值,最大值為-.故選C.
7.x=　[解析] 由x∈(0,π],可得x-∈,令x-=,解得x=,即所求對稱軸方程為x=.
8.(-2,1]　[解析] 因為x∈,所以sin x∈,則y=-2sin x-1∈(-2,1].
9.解:(1)因為x∈R,f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以f(x)=cos 2x是偶函數.
(2)因為x∈R,g(x)=sin+2=cos+2,
所以g(-x)=cos+2=cos+2=g(x),
所以函數g(x)=sin+2是偶函數.
(3)因為x∈R,h(-x)=-x·cos(-x)=-x·cos x=-h(x),所以h(x)=xcos x是奇函數.
10.D　[解析] 對于A,由cos x≠0,可得x≠kπ+(k∈Z),所以函數f(x)=的定義域為,因為f(-x)==≠-f(x),所以f(x)=不是奇函數,A不滿足題意;對于B,函數f(x)=sin 2x的定義域為R,且f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),則f(x)=sin 2x是奇函數,當0≤x≤時,0≤2x≤,所以函數f(x)=sin 2x在上不單調,B不滿足題意;對于C,函數f(x)=sin|x|的定義域為R,且f(-x)=sin|-x|=sin|x|≠-f(x),則函數f(x)=sin|x|不是奇函數,C不滿足題意;對于D,函數f(x)=sinx的定義域為R,且f(-x)=sin=-sinx=-f(x),所以函數f(x)=sinx為奇函數,當0≤x≤時,0≤x≤,所以函數f(x)=sinx在上單調遞增,D滿足題意.故選D.
11.C　[解析] 設t=x+,由x∈[0,a],得t∈,畫出y=cos t的圖象,如圖所示,要使當t∈時,y∈,必須滿足π≤a+≤,所以≤a≤,所以實數a的最大值為.故選C.
12.ABD　[解析] 對于A,顯然f(x)的定義域為R,因為f(-x)=sin[cos(-x)]+cos[sin(-x)]=sin(cos x)+cos(sin x)=f(x),所以f(x)為偶函數,故選項A正確.對于B,f(2π+x)=sin[cos(2π+x)]+cos[sin(2π+x)]=sin(cos x)+cos(sin x)=f(x),則f(x)的一個周期為2π,故選項B正確.對于C,假設f(x)的最小值為-2,則f(x)取到最小值時sin(cos x)=-1,cos(sin x)=-1,因為-1≤cos x≤1,所以sin(cos x)∈[-sin 1,sin 1],即sin(cos x)取不到-1,所以假設不成立,f(x)的最小值不是-2,故選項C錯誤.對于D,因為y=cos x在上單調遞減,且cos x∈(0,1) ,y=sin x在上單調遞增,所以y=sin(cos x)在區間上單調遞減,因為y=sin x在區間上單調遞增,且sin x∈(0,1) ,y=cos x在上單調遞減,所以y=cos(sin x)在區間上單調遞減.所以f(x)=sin(cos x)+cos(sin x)在區間上單調遞減,故選項D正確.故選ABD.
13.　[解析] 因為x∈,所以πx∈,依題意可得mπ≥,解得m≥,所以m的最小值為.
14.解:(1)由0≤x≤可得0≤3x≤,
所以-≤cos 3x≤1,所以0≤-2cos 3x+2≤2+,
則函數f(x)在區間內的最大值為+2.
(2)因為不等式f(x)+m<-1當x∈時的解集為空集,
所以m<2cos 3x-3當x∈時的解集為空集.
令g(x)=2cos 3x-3,x∈,則m≥g(x)max,
當≤x≤時,≤3x≤π,
則-1≤cos 3x≤-,可得-5≤g(x)≤--3.
故m的取值范圍為[--3,+∞).
15.D　[解析] 由題意知,n要盡可能地小,則等式|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=8中,每一項要盡可能地大.因為|f(xn-1)-f(xn)|≤2,所以盡可能有更多組xn-1,xn(n≥2)滿足|f(xn-1)-f(xn)|=2時,n最小.結合f(x)=sin x,x∈[0,4π]的圖象可知最多有三組xn-1,xn(n≥2)滿足|f(xn-1)-f(xn)|=2,故另外兩組的和為2時,n最小,此時可取x1=0,x2=,x3=,x4=,x5=,x6=4π,滿足題意.故選D.
16.解:(1)f(x)=-cos2x+2acos x+a2+2=-(cos x-a)2+2a2+2,
當x∈R時,-1≤cos x≤1,令cos x=t(-1≤t≤1),g(t)=-(t-a)2+2a2+2.
①當a≤-1時,f(x)max=g(-1)=a2-2a+1,f(x)min=g(1)=a2+2a+1,
由題得a2-2a+1=4(a2+2a+1),解得a=-3或a=-,由a≤-1得a=-3.
②當a≥1時,f(x)max=g(1)=a2+2a+1,f(x)min=g(-1)=a2-2a+1,
由題得a2+2a+1=4(a2-2a+1),解得a=3或a=,由a≥1得a=3.
③當-1由題得2a2+2=4(a2+2a+1),解得a=-2±,
由-1④當0≤a<1時,f(x)max=g(a)=2a2+2,f(x)min=g(-1)=a2-2a+1,
由題得2a2+2=4(a2-2a+1),解得a=2±,
由0≤a<1得a=2-.
綜上所述a=-3或3或-2+或2-.
(2)由(1)知,a2-2a+1=(a-1)2≥0,a2+2a+1=(a+1)2≥0,2a2+2>0,
若方程f(x)=0存在實數根,則必有a=-1或1.
①當a=-1時,cos x=1,此時方程f(x)=0的實數根為x=2kπ(k∈Z);
②當a=1時,cos x=-1,此時方程f(x)=0的實數根為x=2kπ+π(k∈Z).第2課時　正弦、余弦函數的性質
【學習目標】
　　1.了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值.
　　2.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在[0,2π]上的性質.
◆ 知識點一　正弦函數、余弦函數的定義域、
值域、周期
函數 y=sin x y=cos x
圖象
定義域 R R
值域 [-1,1] [-1,1]
周期 2π 2π
◆ 知識點二　三角函數的奇偶性
y=sin x是　　　　;y=cos x是　　　　.
◆ 知識點三　正弦函數、余弦函數的單調性和最值
正弦函數 余弦函數
單調性 增區間 ,k∈Z 　　　 　　　
減區間 　　　 　　　 [2kπ,π+2kπ],k∈Z
最值 ymax=1 　　　 　　　 x=2kπ,k∈Z
ymin=-1 x=-+2kπ,k∈Z 　　　 　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)存在x∈[0,2π],使得cos x=. (　 )
(2)函數y=sin x,x∈(0,π)是奇函數. (　 )
(3)函數f(x)=cos x(x∈(-π,π])是偶函數.(　 )
(4)函數f(x)=sin x在區間[0,2π]上單調. (　 )
◆ 探究點一　正弦、余弦函數的奇偶性與周期性
例1 (1)定義在R上的函數f(x)既是偶函數又是周期函數,f(x)的最小正周期是π,且當x∈時,f(x)=sin x,則f的值為　　　　.
(2)判斷下列函數的奇偶性.
①f(x)=x2cos;
②f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x);
③f(x)=+;
④f(x)=sin(cos x).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)若函數f(x)=cos(x+φ)(φ>0)是偶函數,則φ的最小值為 (　 )
A. B.
C. D.π
(2)已知函數f(x)=2sin(2x+φ)為偶函數,其中0<φ<π,則cos=　　　　.
[素養小結]
1.解決三角函數的奇偶性與周期性綜合問題的方法:利用函數的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函數值轉化為x的函數值.利用奇偶性,可以找到-x與x的函數值之間的關系,從而解決求值問題.
2.推得函數周期的若干形式:
(1)若f(x+t)=f(x)(t>0),則函數f(x)的周期為t;
(2)若f(x+t)=-f(x)(t>0),則函數f(x)的周期為2t;
(3)若f(x+t)=(f(x)≠0且t>0),則函數f(x)的周期為2t;
(4)若f(x+t)=-(f(x)≠0且t>0),則函數f(x)的周期為2t.
◆ 探究點二　正弦、余弦函數圖象的對稱性
例2 (1)函數y=2sin圖象的一條對稱軸的方程是 (　 )
A.x= B.x=
C.x= D.x=2π
(2)函數y=2cos x的圖象的一個對稱中心為　　　　　　.
變式 若直線x=與直線x=是函數f(x)=cos ωx(ω>0)圖象的兩條相鄰的對稱軸,則f(x)的最小正周期T= (　 )
A. B.π
C. D.
[素養小結]
正弦曲線、余弦曲線的對稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高點或最低點;正弦曲線、余弦曲線的對稱中心一定是正弦曲線、余弦曲線與x軸的交點.
拓展 已知函數f(x)=sin(x+φ)的圖象關于點對稱,方程f(x)=a在[0,π]上有兩個不同的實根x1,x2,則|x1-x2|的最大值為 (　 )
A. B.
C. D.
◆ 探究點三　正弦、余弦函數的單調性及應用
角度1　比較三角函數值的大小
例3 利用三角函數的單調性,比較下列各組數的大小(在下列橫線上填“>”或“<”).
(1)sin　　　　sin;
(2)cos　　　　cos;
(3)cos 1　　　　sin 2;
(4)sin　　　　sin.
[素養小結]
利用單調性比較三角函數值大小的一般步驟:①異名函數化為同名函數;②利用誘導公式把角化到同一單調區間上;③利用函數的單調性比較大小.
角度2　求正弦型函數、余弦型函數的單調區間
例4 求下列函數的單調區間:
(1)y=cos 4x;
(2)y=-sin+1;
(3)y=sin.
變式 (1)函數f(x)=cos的減區間是 (　 )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.[2kπ-π,2kπ],k∈Z
D.[2kπ,2kπ+π],k∈Z
(2)關于函數y=-cos x,x∈[0,2π]的單調性,下列說法正確的是 (　 )
A.在[0,π]上單調遞增,在[π,2π]上單調遞減
B.在,上單調遞增,在上單調遞減
C.在[π,2π]上單調遞增,在[0,π]上單調遞減
D.在上單調遞增,在,上單調遞減
[素養小結]
1.求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調區間,通常采用“換元法”整體代換,將“ωx+φ”看成一個整體“z”,利用正(余)弦函數的單調區間,求原函數的單調區間.若ω<0,則先利用誘導公式,將x的系數轉化為正數.
2.結合正弦、余弦函數的圖象,熟記它們的單調區間是求解的關鍵.求單調區間時,需將最終結果寫成區間形式,并注意k∈Z.
◆ 探究點四　求函數的值域
例5 求下列函數的值域.
(1)y=-2cos x-1;
(2)y=sin x,x∈;
(3)y=sin2x-sin x+1,x∈.
變式 求下列函數的值域:
(1)y=3-2sin 2x;
(2)y=cos,x∈;
(3)y=cos2x-4cos x+5.
[素養小結]
解決關于三角函數的值域問題時,要特別注意角的取值范圍及三角函數的有界性.第2課時　正弦、余弦函數的性質
1.下列函數中,是偶函數的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.f(x)=sin x
B.f(x)=cos x
C.f(x)=3sin x
D.f(x)=2x
2.函數y=3-4cos 2x的最大值為 (　 )
A.4 B.7
C.-1 D.15
3.下列關于函數f(x)=sin x的圖象與性質的描述正確的是 (　 )
A.最小正周期是2π
B.圖象的對稱軸方程為x=(k∈Z)
C.增區間是(k∈Z)
D.圖象的對稱中心為(2kπ,0)(k∈Z)
4.函數f(x)=sin為R上的奇函數,則φ的值可以是　　　 (　 )
A.0 B.-
C. D.π
5.下列關系式中正確的是 (　 )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°6.函數y=2sin2x+2cos x-3的最大值是 (　 )
A.-1 B.1
C.- D.-5
7.函數y=sin的圖象在區間(0,π]上的對稱軸方程為　　　　.
8.函數y=-2sin x-1,x∈的值域是　　　　　　.
9.(13分)判斷下列函數的奇偶性.
(1)f(x)=cos 2x;
(2)g(x)=sin+2;
(3)h(x)=x·cos x.
10.[2025·河北辛集中學高一月考] 下列函數既是奇函數又在區間內單調遞增的是 (　 )
A.f(x)= B.f(x)=sin 2x
C.f(x)=sin|x| D.f(x)=sinx
11.[2025·江蘇江陰南菁高級中學高一月考] 若函數y=cos在[0,a]上的取值范圍是,則實數a的最大值為 (　 )
A. B.
C. D.
12.(多選題)[2025·南京二十九中高一月考] 已知函數f(x)=sin(cos x)+cos(sin x),則下列結論正確的是 (　 )
A.f(x)是偶函數
B.f(x)的一個周期是2π
C.f(x)的最小值是-2
D.f(x)在區間上單調遞減
13.[2025·南京師大附中高一期末] 設m為實數,若函數f(x)=sin πx在區間上既有最大值,又有最小值,則m的最小值為　　　　.
14.(15分)已知函數f(x)=-2cos 3x+2.
(1)求函數f(x)在內的最大值;
(2)若不等式f(x)+m<-1當x∈時的解集為空集,求m的取值范圍.
15.[2025·南京師大附中高一調研] 已知函數f(x)=sin x,若存在實數x1,x2,…,xn,滿足0≤x1A.3 B.4
C.5 D.6
16.(15分)已知函數f(x)=-cos2x+2acos x+a2+2(x∈R).
(1)若函數f(x)的最大值是最小值的4倍,求實數a的值;
(2)若方程f(x)=0存在實數根,求該方程的實數根.

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