資源簡介

(共66張PPT)
7.3 三角函數的圖象和性質
7.3.2 三角函數的圖象與性質
第3課時 正切函數的圖象與性質
探究點一 正切函數的定義域、值域
探究點二 正切函數的奇偶性、周期性與對稱性
探究點三 正切函數的單調性及應用
探究點四 正切函數圖象與性質的綜合應用
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.借助單位圓能畫出正切函數的圖象，了解正切函數的周期性、單調
性、奇偶性、最大（小）值.
2.借助圖象理解正切函數在 上的性質.
知識點一 正切函數的圖象
如圖所示,正切函數的圖象是被與 軸平行的一系列直線___________
_________所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）直線與正切函數 的圖象相鄰兩個交點之間的距
離為 .( )
√
（2）函數圖象的所有對稱中心是 .( )
×
（3）正切函數的圖象有無數條對稱軸，對稱軸方程是 ，
.( )
×
（4）正切函數在定義域內的圖象是連續不斷的.( )
×
知識點二 正切函數的性質
定義域:___________________________;
值域:___;
周期:___;
奇偶性:由 知,正切函數是________;
單調性:每個開區間______________________都是正切函數的增區間.
奇函數
,
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）正切函數的定義域和值域都是 .( )
×
（2）正切函數在定義域內無最大值和最小值.( )
√
（3）正切函數在整個定義域內是增函數.( )
×
（4）函數與的最小正周期相等,都是 .( )
√
探究點一 正切函數的定義域、值域
例1（1）［2025·江蘇鎮江實驗高級中學高一期末］函數
的定義域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由 ,,得, ，故函數
的定義域為 .故選C.
√
（2）函數 的值域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 當時，， ；
當時，， .
故函數的值域是 .
√
變式（1）函數 的定義域為( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 令，,則函數 的定義域為
，函數的定義域為 ，
則，可得 , ，所以
的定義域為 .故選A.
（2）函數 的值域是__________.
[解析] 令，則 ，所以
，故所求函數的值域為
.
［素養小結］
（1）求函數的定義域時，要將
視為一個整體，令，，求解即可.
（2）求與正切函數有關的函數值域的方法：
①對于的值域，可以把 看
成整體，結合圖象，利用單調性求值域；
②對于與相關的二次函數，可以把看成整體，利用配方法
求值域.
探究點二 正切函數的奇偶性、周期性與對稱性
例2（1） ( )
A.是奇函數 B.是偶函數
C.既是奇函數也是偶函數 D.既不是奇函數也不是偶函數
[解析] 由題意可知, 的定義域關于原點對稱，且
,所以 是偶函數.
√
（2）函數 的最小正周期為( )
A. B. C. D.
[解析] 函數的最小正周期 .故選A.
√
（3）［2025·天津河東區高一期末］已知函數
的圖象的一個對稱中心為 ，則
的最小正周期可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為函數的圖象的一個對稱中心為 ，
所以,，解得,，且 ，所以函
數的最小正周期,.
當時， ；當時，；當時，；
當時， ；….故選C.
√
變式（1）函數 ( )
A.是奇函數 B.是偶函數
C.既是奇函數也是偶函數 D.既不是奇函數也不是偶函數
[解析] 要使有意義,必須滿足即 且
,所以函數 的定義域關于原點對稱.
又,所以 是奇函數.
√
（2）［2025·江蘇金壇一中高一月考］已知函數
的一個周期為，則實數 的最
小值是__.
[解析] 由題可知，是該函數的最小正周期的正整數倍， ，即
,，解得,，則 的最小值為 .
［素養小結］
（1）形如的函數的最小正周期，
也可以用定義法求周期，還可以利用函數圖象判斷.
（2）正切曲線的對稱中心為，解關于曲線
的對稱中心的題目時需要把 看成
一個整體，從整體性入手求解.
拓展 已知函數,若 ,則
____.
11
[解析] 令,則 .
因為 ,
所以是奇函數.
因為,所以 ,則,
故 .
探究點三 正切函數的單調性及應用
角度1 求正切函數的單調區間
例3 函數 的增區間為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由 ,可得
,所以函數 的增區間為
.故選C.
√
變式 函數 的減區間是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，令
， ，解得
,，所以函數 的減區間
是 .故選D.
√
［素養小結］
求的單調區間,只需令
,解出.當時,應先用誘導公式
將的系數化為正數,還要注意的正負對單調性的影響.
角度2 比較大小
例4 不通過求值，比較下列各組中兩個三角函數值的大小.
（1）與 ；
解：因為， ，
且，在 上單調遞增，
所以，即 .
例4 不通過求值，比較下列各組中兩個三角函數值的大小.
（2）與 .
解：因為， ，
且，在 上單調遞增，
所以，
所以 ，即 .
變式 將，，， 按從小到大的順序排列為_______
_____________________.
[解析] 因為在區間 上單調遞增，且
， ，所以
.
［素養小結］
比較兩個三角函數值的大小時,若所給的兩個角不在同一單調區間內,
要用誘導公式將它們化到同一單調區間內,不是同名函數的要利用誘
導公式化成同名函數.
探究點四 正切函數圖象與性質的綜合應用
例5 觀察正切曲線,寫出滿足下列條件的 的取值范圍.
（1） ;
解：觀察正切曲線,可知 .
在區間內,滿足的的取值范圍是 ,
又正切函數的最小正周期為 ,所以滿足的 的取值范圍是
.
例5 觀察正切曲線,寫出滿足下列條件的 的取值范圍.
（2） .
解：觀察正切曲線,可知,.
在區間 內,滿足的的取值范圍是 ,
又正切函數的最小正周期為 ,所以滿足的 的取值
范圍是 .
變式 方程， 的實數解有___個.
1
[解析] 因為當時,，函數與
都是奇函數,所以的圖象與的圖象在 上只有
一個交點,即方程， 只有1個實數解.
［素養小結］
熟練掌握正切函數的圖象和性質是解決與正切函數有關的綜合問題
的關鍵，需注意的是正切曲線是被相互平行的直線 ，
隔開的無窮多支曲線組成的.
（1）求函數 的定義域、最小正周期和單調區間；
解：根據函數，可得， ，
解得， ，故函數的定義域為
，它的最小正周期為 .
令，，得 ，
.
故函數的增區間為， ，無減區間.
拓展 設函數 .
拓展 設函數 .
（2）求不等式 的解集.
解：,即 ,
由正切曲線可得, ,解得
, ,
故不等式的解集為, .
1.正切函數的圖象與性質
（1）正切函數的圖象是被與 軸平行的一系列直線
分割而成的平行曲線.把直線 稱
為正切曲線的漸近線，正切曲線無限接近漸近線.
（2）正切函數的圖象關于原點對稱，正切曲線是中心對稱圖形，其
對稱中心是 .正切曲線不是軸對稱圖形，不存在對稱軸.
2.在每一個區間， 內都單調遞增，在
整個定義域內不具有單調性，它不會在某一個區間內單調遞減.
1.利用正切函數的圖象解不等式
解含有正切函數的不等式時,可先畫出正切函數在一個周期內的圖象,
由圖象可得到在一個周期內滿足不等式的解,然后再加上周期的整數
倍,即可得到滿足不等式的解.
例1 觀察正切曲線，寫出滿足下列條件的 的取值范圍.
（1） ；
解：在區間內，可知，此時滿足 的
的取值范圍是 ，
又正切函數的最小正周期為 ，所以滿足的 的取值范圍
是 .
例1 觀察正切曲線，寫出滿足下列條件的 的取值范圍.
（2） .
解：在區間內，可知， ，
此時滿足的的取值范圍是 ，
又正切函數的最小正周期為 ，所以滿足的 的取
值范圍是 .
2.含正切函數的復合函數的單調性
要注意正切函數在每一個區間， 上單調遞增，
對每一個由正切函數構成的復合函數的單調性利用“同增異減”的法
則求解．其方法如下：從定義域出發，先確定內層函數的單調性，
再判斷外層函數的單調性，最后利用“同增異減”的法則得到復合函
數的單調性．
例2 討論函數且 的單調性．
解：，，設 .
當時，是增函數， 在區間
上單調遞增，
函數在區間 上單調遞增；
當時，是減函數， 在區間
上單調遞增，
函數在區間 上單調遞減.
練習冊
1.函數 的最小正周期為( )
A.16 B.8 C. D.
[解析] 的最小正周期 .故選B.
√
2.函數 是( )
A.最小正周期為 的奇函數 B.最小正周期為 的奇函數
C.最小正周期為 的偶函數 D.最小正周期為 的偶函數
[解析] 函數，定義域為 , ，且
，所以函數 為奇函數，其最
小正周期 .故選B.
√
3.函數 的定義域為( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為函數有意義，所以 ，
所以，可得，因此 ,
，所以原函數的定義域為 .故選A.
√
4.函數， 的值域為( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，所以
，則 ，所以所求函數
的值域為 .故選A.
√
5.函數 的圖象的一個對稱中心是( )
A. B. C. D.
[解析] 令,，解得, ，故函數圖象的
對稱中心為,，故A，B錯誤；
當時， ，故圖象的一個對稱中心為 ，D正確；
經檢驗，C不滿足題意.故選D.
√
6.與函數 的圖象不相交的一條直線的方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 當時，；
當 時，；
當 時，；
當時， .故選D.
√
7.函數 的增區間為______________________.
，
[解析] 由 ， ，解得
，，故函數 的增區間為
， .
8.不等式 的解集為_________________________.
[解析] 由不等式，得 ，
，解得 ， ，所以不等式
的解集為 .
9.（13分）畫出函數 的圖象，并根據圖象判斷其單調區間、
奇偶性、最小正周期.
解：由 ，得
，
可作出該函數的圖象如圖所示，
由圖可知，函數 是偶函數，增區間為，
減區間為 ，最小正周期為 .
10.（13分）已知函數, .
（1）若，求函數 的定義域及最小正周期；
解：當時，，則函數 的最小正周期
.
由 ,，解得 ,，所以函數
的定義域為 .
10.（13分）已知函數, .
（2）若函數在區間內單調遞增，求 的取值范圍.
解：由，得，
因為函數 在區間內單調遞增，所以，解得，
又 ，所以 的取值范圍為 .
11. 山東泰安期中］ “函數的圖象關于 對
稱”是“ ， ”的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
√
[解析] 當 ， 時，，
.
令, ，解得,，則函數圖象的對稱中心為
， ，當時，圖象的對稱中心為，必要性成立.
當 的圖象關于對稱時，可得,，解
得 , ，充分性不成立，故選B.
12.（多選題）下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ,且,在
上單調遞增，，即 ,選項A中不等
式成立;
,
, 由 的單調性可知
, 即 ,選項B中不等式不成立;
√
√
,在上單調遞增， ,
選項C中不等式成立;
,選項D中不等式不成立.故選 .
13.（多選題）若函數 的圖象經過點
，則( )
A.點為函數 圖象的一個對稱中心
B.函數的最小正周期為
C.函數在區間上的取值范圍為
D.函數的增區間為
√
√
[解析] 由題知，又 ，
所以，所以 .
對于A，令,，則, ，
所以圖象的對稱中心為, ，當時， ，
故點為函數圖象的一個對稱中心，故A正確.
對于B， 的最小正周期，故B錯誤.
對于C，當 時， ，
則 ，故C正確.
對于D，令, ，
所以, ，所以函數的增區間為
, ，無減區間.令，即 ，所以
,，則, ，作出函數 的大
致圖象，如圖所示，所以函數 的增區間為
，故D錯誤.故選 .
14.設定義在區間上的函數的圖象與 的圖象
交于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線與函數
的圖象交于點，則線段 的長為__.
[解析] 設點的坐標為，則可得點的坐標為，點 的
坐標為，
由消去得 ，整理得，
則 ，即，所以
或 （舍去），即，所以點的縱坐標
，所以線段的長為 .
15. 江蘇徐州高一期末］ 已知函數
在區間上單調遞減，則 的取值集
合為_________.（用列舉法表示）
,
[解析] 由在區間上單調遞減，得，且 ，
解得,
又因為，,所以或或 或.
當時，，當 時，
，當，即時，函數 無意義，
故不滿足題意.
當時， ,當時，
，因為在 上單調遞增，所以在區間
上單調遞減，故 滿足題意.
當時，,當時， ，
因為在上單調遞增，
所以在區間 上單調遞減，故滿足題意.
當時， ,當時，，
當，即時，函數 無意義，故不滿足題意.
故的取值集合為， .
16.（15分）已知函數，其中 ,
.
（1）當時，求在區間上的最值及取得最值時 的值；
解：當 時， ，
令，由得 ，則
，所以當 ，即時，取得最小值，
最小值為 ，當，即時， 取得最大值，最大值為42.
所以在上的最小值為，此時 ，最大值為42，此
時 .
16.（15分）已知函數，其中 ,
.
（2）若的最小值為，求 .
解：因為 的最小值為 ，
所以，且,所以 ，
又，所以 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 【診斷分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）×
知識點二 奇函數 ,
【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）√
課中探究 探究點一 例1 （1）C （2）B 變式 （1）A （2）
探究點二 例2 （1）B （2）A （3）C 變式 （1）A （2） 拓展 11
探究點三 角度1 例3 C 變式 D 角度2 例4 （1）（2）
變式
探究點四 例5 （1）（2）< 變式 1
拓展 （1）函數的定義域為，最小正周期為 ，函數的
增區間為，，無減區間（2）,
練習冊
基礎鞏固 1.B 2.B 3.A 4.A 5.D 6.D 7.，
8.
9.圖略，函數是偶函數，增區間為，減區間為
，最小正周期為
10.（1）最小正周期 ，定義域為（2）
綜合提升 11.B 12.AC 13.AC 14.
思維探索 15.,
16.（1）最小值為，此時，最大值為42，此時 （2）第3課時　正切函數的圖象與性質
【課前預習】
知識點一
x=+kπ(k∈Z)
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
知識點二
　R　π　奇函數
,k∈Z
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)B　[解析] (1)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故函數f(x)=tan的定義域為.故選C.
(2)當-1.故函數y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
變式　(1)A　(2)[-5,+∞)　[解析] (1)令y=lg t,t=tan x-1,則函數t=tan x-1的定義域為,函數y=lg t的定義域為{t|t>0},則tan x-1>0,可得+kπ>x>+kπ,k∈Z,所以y=lg(tan x-1)的定義域為.故選A.
(2)令t=tan x,則t∈R,所以y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5,故所求函數的值域為[-5,+∞).
探究點二
例2　(1)B　(2)A　(3)C　[解析] (1)由題意可知,f(x)=tan2x的定義域關于原點對稱,且f(-x)=tan2(-x)=tan2x=f(x),所以f(x)是偶函數.
(2)函數y=tan的最小正周期T=.故選A.
(3)因為函數f(x)=2tan的圖象的一個對稱中心為,所以ω-=,k∈Z,解得ω=3k+2,k∈Z,且ω>0,所以函數f(x)的最小正周期T==,k∈N.當k=0時,T=;當k=1時,T=;當k=2時,T=;當k=3時,T=;….故選C.
變式　(1)A　(2)　[解析] (1)要使f(x)有意義,必須滿足即x≠kπ+且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函數f(x)的定義域關于原點對稱.又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=是奇函數.
(2)由題可知,是該函數的最小正周期的正整數倍,ω>0,即=×k,k∈N*,解得ω=,k∈N*,則ω的最小值為.
拓展　11　[解析] 令g(x)=asin x+btan x,則f(x)=g(x)+5.因為g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),所以g(x)是奇函數.因為f(10)=g(10)+5=-1,所以g(10)=-6,則g(-10)=6,故f(-10)=g(-10)+5=6+5=11.
探究點三
例3　C　[解析] 由kπ-變式　D　[解析] y=tan=-tan,令kπ-π<3x-例4　解:(1)因為tan=tan,tan=tan,
且0<<<,y=tan x在上單調遞增,
所以tan(2)因為tan=-tan,tan=-tan,
且0<<<,y=tan x在上單調遞增,
所以tan>tan,所以-tan<-tan,
即tan變式　tan 2探究點四
例5　解:(1)觀察正切曲線,可知tan=1.
在區間內,滿足tan x>1的x的取值范圍是,
又正切函數的最小正周期為π,所以滿足tan x>1的x的取值范圍是(k∈Z).
(2)觀察正切曲線,可知tan=-,tan=.在區間內,滿足-又正切函數的最小正周期為π,所以滿足-變式　1　[解析] 因為當0sin x,函數y=tan x與y=sin x都是奇函數,所以y=tan x的圖象與y=sin x的圖象在上只有一個交點(0, 0),即方程sin x=tan x,x∈只有1個實數解.
拓展　解:(1)根據函數 f(x)=tan,可得-≠kπ+,k∈Z,解得x≠2kπ+,k∈Z,
故函數f(x)的定義域為,它的最小正周期為=2π.
令 kπ-<-故函數f(x)的增區間為,k∈Z,無減區間.
(2)f(x)≤,即tan≤,
由正切曲線可得kπ-<-≤kπ+,k∈Z,解得2kπ-故不等式的解集為,k∈Z.第3課時　正切函數的圖象與性質
1.B　[解析] f(x)的最小正周期T==8.故選B.
2.B　[解析] 函數f(x)=tan,定義域為{x|x≠π+2kπ,k∈Z},且f(-x)=tan=-tan=-f(x),所以函數f(x)為奇函數,其最小正周期T==2π.故選B.
3.A　[解析] 因為函數y=有意義,所以tan≠0,所以n∈Z,可得n∈Z,因此x≠+,k∈Z,所以原函數的定義域為.故選A.
4.A　[解析] 由05.D　[解析] 令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,故函數圖象的對稱中心為,k∈Z,故A,B錯誤;當k=1時,x=,故圖象的一個對稱中心為,D正確;經檢驗,C不滿足題意.故選D.
6.D　[解析] 當x=時,y=tan=tan=1;當x=-時,y=tan=tan=1;當x=時,y=tan=tan=-1;當x=時,2x+=.故選D.
7.(6k-3,6k+3),k∈Z　[解析] 由-+kπ8.　[解析] 由不等式tan≤,得kπ-9.解:由y=|tan x|,得y=k∈Z,可作出該函數的圖象如圖所示,由圖可知,函數y=|tan x|是偶函數,增區間為(k∈Z),減區間為(k∈Z),最小正周期為π.
10.解:(1)當ω=時,f(x)=2tan,則函數f(x)的最小正周期T==3π.
由x+≠+kπ,k∈Z,解得x≠+3kπ,k∈Z,所以函數f(x)的定義域為.
(2)由x∈,得ωx+∈,因為函數f(x)在區間內單調遞增,所以ω+≤,解得ω≤,又ω>0,所以ω的取值范圍為.
11.B　[解析] 當φ=+kπ,k∈Z時,y=tan=tan,k∈Z.令-=,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,則函數圖象的對稱中心為,k∈Z,當k=0時,圖象的對稱中心為,必要性成立.當y=tan的圖象關于對稱時,可得-φ=,k∈Z,解得φ=-+,k∈Z,充分性不成立,故選B.
12.AC　[解析] ∵-tan 2=tan(π-2),且0<1<π-2<,y=tan x在上單調遞增,∴tan 1tan,選項C中不等式成立;tan=tan=tan13.AC　[解析] 由題知f(0)=tan φ=1,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=tan.對于A,令2x+=,k∈Z,則x=-,k∈Z,所以f(x)圖象的對稱中心為,k∈Z,當k=1時,x=,故點為函數f(x)圖象的一個對稱中心,故A正確.對于B,f(x)的最小正周期T=,故B錯誤.對于C,當x∈時,2x+∈,則f(x)=tan∈[1,+∞),故C正確.對于D,令kπ-<2x+14.　[解析] 設點P的坐標為(x1,y1),則可得點P1的坐標為(x1,0),點P2的坐標為(x1,sin x1),由消去y得6cos x=5tan x,整理得6cos2x=5sin x,則6sin2x+5sin x-6=0,即(3sin x-2)(2sin x+3)=0,所以sin x=或sin x=-(舍去),即sin x1=,所以點P2的縱坐標sin x1=,所以線段P1P2的長為.
15.{-3,-2}　[解析] 由f(x)在區間上單調遞減,得n<0,且-≤,解得|n|≤4,又因為n∈Z,n<0,所以n=-4或n=-3或n=-2或n=-1.當n=-4時,f(x)=-tan,當x∈時,<4x+<,當4x+=,即x=時,函數f(x)無意義,故n=-4不滿足題意.當n=-3時,f(x)=-tan,當x∈時,<3x+<,因為y=tan x在上單調遞增,所以f(x)在區間上單調遞減,故n=-3滿足題意.當n=-2時,f(x)=-tan,當x∈時,<2x+<π,因為y=tan x在上單調遞增,所以f(x)在區間上單調遞減,故n=-2滿足題意.當n=-1時,f(x)=-tan,當x∈時,16.解:(1)當θ=時,f(x)==(2x-2)(2x-1),
令2x=t,由x∈[0,3]得t∈[1,8],則g(t)=(t-2)(t-1)=t2-3t+2=-,所以當t=,
即x=log2時,f(x)取得最小值,最小值為-,
當t=8,即x=3時,f(x)取得最大值,最大值為42.
所以f(x)在[0,3]上的最小值為-,此時x=log2,最大值為42,此時x=3.
(2)因為f(x)=(2x-2tan θ)(2x-tan θ)=-(3tan θ)·2x+2tan2θ=-tan2θ的最小值為-,
所以-tan2θ=-,且tan θ>0,所以tan θ=,又-<θ<,所以θ=.第3課時　正切函數的圖象與性質
【學習目標】
　　1.借助單位圓能畫出正切函數的圖象,了解正切函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值.
　　2.借助圖象理解正切函數在上的性質.
◆ 知識點一　正切函數的圖象
如圖所示,正切函數的圖象是被與y軸平行的一系列直線　　　　　　　　　所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)直線y=a與正切函數y=tan x的圖象相鄰兩個交點之間的距離為π. (　 )
(2)函數y=tan x圖象的所有對稱中心是(kπ,0)(k∈Z). (　 )
(3)正切函數的圖象有無數條對稱軸,對稱軸方程是x=kπ±,k∈Z. (　 )
(4)正切函數在定義域內的圖象是連續不斷的. (　 )
◆ 知識點二　正切函數的性質
定義域:　　　　　　　　　　　　　;
值域:　　　　;
周期:　　　　;
奇偶性:由tan(-x)=-tan x知,正切函數是　　　　;
單調性:每個開區間　　　　　　　　　都是正切函數的增區間.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)正切函數的定義域和值域都是R. (　 )
(2)正切函數在定義域內無最大值和最小值. (　 )
(3)正切函數在整個定義域內是增函數. (　 )
(4)函數y=|tan x|與y=tan x的最小正周期相等,都是π. (　 )
◆ 探究點一　正切函數的定義域、值域
例1 (1)[2025·江蘇鎮江實驗高級中學高一期末] 函數f(x)=tan的定義域是 (　 )
A.
B.
C.
D.
(2)函數y=的值域是 (　 )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-1,+∞)
變式 (1)函數y=lg(tan x-1)的定義域為 (　 )
A.
B.
C.
D.
(2)函數y=tan2x+4tan x-1的值域是　　　　.
[素養小結]
(1)求函數y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定義域時,要將ωx+φ視為一個整體,令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,求解x即可.
(2)求與正切函數有關的函數值域的方法:
①對于y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的值域,可以把ωx+φ看成整體,結合圖象,利用單調性求值域;
②對于與tan x相關的二次函數,可以把tan x看成整體,利用配方法求值域.
◆ 探究點二　正切函數的奇偶性、周期性與對稱性
例2 (1)f(x)=tan2x (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.是奇函數
B.是偶函數
C.既是奇函數也是偶函數
D.既不是奇函數也不是偶函數
(2)函數y=tan的最小正周期為 (　 )
A. B.
C. D.π
(3)[2025·天津河東區高一期末] 已知函數f(x)=2tan(ω>0)的圖象的一個對稱中心為,則f(x)的最小正周期可能是 (　 )
A. B. C. D.
變式 (1)函數f(x)= (　 )
A.是奇函數
B.是偶函數
C.既是奇函數也是偶函數
D.既不是奇函數也不是偶函數
(2)[2025·江蘇金壇一中高一月考] 已知函數f(x)=Atan(A>0,ω>0)的一個周期為,則實數ω的最小值是　　　　.
[素養小結]
(1)形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的函數的最小正周期T=,也可以用定義法求周期,還可以利用函數圖象判斷.
(2)正切曲線的對稱中心為(k∈Z),解關于曲線y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的對稱中心的題目時需要把ωx+φ看成一個整體,從整體性入手求解.
拓展 已知函數f(x)=asin x+btan x+5(ab≠0),若f(10)=-1,則f(-10)=　　　　.
◆ 探究點三　正切函數的單調性及應用
角度1　求正切函數的單調區間
例3 函數y=tan的增區間為 (　 )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
變式 函數y=tan的減區間是 (　 )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
[素養小結]
求y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的單調區間,只需令kπ-<ωx+φ角度2　比較大小
例4 不通過求值,比較下列各組中兩個三角函數值的大小.
(1)tan與tan ;
(2)tan與tan.
變式 將tan 1,tan 2,tan 3,tan 4按從小到大的順序排列為　　　　　　　　　　.
[素養小結]
比較兩個三角函數值的大小時,若所給的兩個角不在同一單調區間內,要用誘導公式將它們化到同一單調區間內,不是同名函數的要利用誘導公式化成同名函數.
◆ 探究點四　正切函數圖象與性質的綜合應用
例5 觀察正切曲線,寫出滿足下列條件的x的取值范圍.
(1)tan x>1;
(2)-變式 方程sin x=tan x,x∈的實數解有　　　　個.
[素養小結]
熟練掌握正切函數的圖象和性質是解決與正切函數有關的綜合問題的關鍵,需注意的是正切曲線是被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z隔開的無窮多支曲線組成的.
拓展 設函數 f(x)=tan.
(1)求函數f(x)的定義域、最小正周期和單調區間;
(2)求不等式f(x)≤的解集.第3課時　正切函數的圖象與性質
1.函數f(x)=tanx的最小正周期為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.16 B.8
C.16π D.8π
2.函數y=tan是 (　 )
A.最小正周期為4π的奇函數
B.最小正周期為2π的奇函數
C.最小正周期為4π的偶函數
D.最小正周期為2π的偶函數
3.函數y=的定義域為 (　 )
A.
B.
C.
D.
4.函數y=tan,x∈的值域為 (　 )
A.(1,] B.[1,]
C.[1,) D.(1,)
5.函數f(x)=tan+1的圖象的一個對稱中心是 (　 )
A. B.
C.(0,1) D.
6.與函數y=tan的圖象不相交的一條直線的方程是 (　 )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=
7.函數f(x)=tanx的增區間為　　　　　　.
8.不等式tan≤的解集為　　　　　　　　　　　.
9.(13分)畫出函數y=|tan x|的圖象,并根據圖象判斷其單調區間、奇偶性、最小正周期.
10.(13分)已知函數f(x)=2tan,ω>0.
(1)若ω=,求函數f(x)的定義域及最小正周期;
(2)若函數f(x)在區間內單調遞增,求ω的取值范圍.
11.[2025·山東泰安期中] “函數y=tan的圖象關于對稱”是“φ=+kπ,k∈Z”的 (　 )
A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
12.(多選題)下列不等式成立的是 (　 )
A.tan 1<-tan 2
B.tan 375°>tan 800°
C.tan>tan
D.tan>tan
13.(多選題)若函數f(x)=tan(2x+φ)的圖象經過點P(0,1),則 (　 )
A.點為函數f(x)圖象的一個對稱中心
B.函數f(x)的最小正周期為π
C.函數f(x)在區間上的取值范圍為[1,+∞)
D.函數y=|f(x)|的增區間為(k∈Z)
14.設定義在區間上的函數y=6cos x的圖象與y=5tan x的圖象交于點P,過點P作x軸的垂線,垂足為P1,直線PP1與函數y=sin x的圖象交于點P2,則線段P1P2的長為　　　　.
15.[2024·江蘇徐州高一期末] 已知函數f(x)=tan(n∈Z)在區間上單調遞減,則n的取值集合為　　　　.(用列舉法表示)
16.(15分)已知函數f(x)=(2x-2tan θ)(2x-tan θ),其中x∈R,θ∈.
(1)當θ=時,求f(x)在區間[0,3]上的最值及取得最值時x的值;
(2)若f(x)的最小值為-,求θ.

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