資源簡介

(共73張PPT)
7.3 三角函數的圖象和性質
7.3.3 函數
第1課時 函數 的
圖象
探究點一 圖象變換問題
探究點二 五點法作圖
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.了解 的實際意義.
2.能用五點法畫出 的圖象，能借助圖象理解參數
, , 的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響.
知識點一 , ,對 的圖象
的作用
1. 對， 的圖象的影響
如圖所示，對于函數 的圖象，可以看作是將
的圖象上所有的點向____（當 時）或向____
（當 時）平移____個單位長度得到的.
左
右
2.對， 的圖象的影響
如圖所示，對于函數 的圖象，可以看作是將
的圖象上所有點的____坐標縮短（當 時）或伸
長（當 時）到原來的___倍（____坐標不變）而得到的.
橫
縱
3.對， 的圖象
的影響
如圖所示，對于函數 的圖象，
可以看作是將 的圖象上所有點
縱
橫
的____坐標伸長（當時）或縮短（當 時）到原來的
___倍（____坐標不變）而得到的.
4.由函數 的圖象通過變換得到
的圖象，有兩種方法：“先平移后伸
縮”與“先伸縮后平移”.
（1）先平移后伸縮
的圖象
___________的圖象
____________的圖象
_____________的圖象.
（2）先伸縮后平移
的圖象
_______的圖象
____________的圖象
_____________的圖象.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）將函數的圖象向左平移 個單位長度，得到函數
的圖象.( )
√
[解析] 將函數的圖象向左平移 個單位長度得到
的圖象.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（2）把函數 圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍
（縱坐標不變）就得到函數 的圖象.( )
×
[解析] 把函數 圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍
（縱坐標不變）得到函數 的圖象.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）把函數的圖象向左平移 個單位長度所得圖象對應的
函數解析式是 .( )
×
[解析] 把函數的圖象向左平移 個單位長度得到
的圖象.
知識點二 用“五點法”作函數 的圖象
用“五點法”作 的簡圖，主要是通過變量代換，設
,由取___，__，___，_____，____來求出相應的 的值,
然后列表、描點，再用平滑的曲線連接各點，就可得到一個周期內
的函數簡圖，最后將簡圖向左、右平移，就得到
， 的圖象.
0
探究點一 圖象變換問題
角度1 平移變換
例1（1）函數的圖象可以看作是由 的圖象經
過怎樣的變換而得到的？
解：函數的圖象，可以看作是由 圖象上所有
的點向右平移 個單位長度而得到的.
（2）函數的圖象可以看作是由 的圖象經過怎
樣的變換而得到的？
解：函數的圖象，可以看作是由 圖象上所有
的點向左平移 個單位長度而得到的.
變式（1）將函數的圖象向左平移 個單位長度,所得
圖象對應的函數解析式為( )
A. B.
C. D.
[解析] 將函數的圖象向左平移 個單位長度,可得
的圖象.故選B.
√
（2）要得到函數的圖象,可以將函數 的圖
象( )
A.向左平移個單位長度 B.向右平移 個單位長度
C.向左平移個單位長度 D.向右平移 個單位長度
[解析] 因為,所以將
的圖象向右平移個單位長度可得到函數 的圖象,故選D.
√
［素養小結］
對左右平移變換應先觀察函數名是否相同,若函數名不同則先化為同
名函數;再觀察的系數,當的系數不為1時,應提取系數以確定平移的
單位長度和方向.平移方向遵循左加右減的原則,且從
的平移量為個單位長度.
角度2 伸縮變換
例2（1）為了得到函數 的圖象,只需將函數
的圖象上( )
A.所有點的縱坐標伸長為原來的3倍,橫坐標不變
B.所有點的橫坐標伸長為原來的3倍,縱坐標不變
C.所有點的橫坐標縮短為原來的 ,縱坐標不變
D.所有點的縱坐標縮短為原來的 ,橫坐標不變
√
[解析] 將函數 的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
,縱坐標不變,便可得到函數 的圖象,故選C.
（2）將函數 的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標
______（填“伸長”或“縮短”）為原來的__，就會得到函數
的圖象.
縮短
[解析] 將函數 的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐
標縮短為原來的，就會得到函數 的圖象.
變式 把函數 的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，
縱坐標變為原來的3倍，得到____________的圖象.
[解析] 把函數 的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍
（縱坐標不變），得函數的圖象，
把函數 的圖象上所有的點的縱坐標變為原來的3倍（橫坐
標不變），得函數 的圖象.
［素養小結］
解決圖象伸縮變換的關注點
（1）兩個弄清：弄清是橫向還是縱向，弄清是伸長還是縮短.
（2）兩個規律：當時，橫向伸縮的規律為“ 乘伸縮倍數的
倒數”；當時，縱向伸縮的規律為“乘伸縮的倍數”.
角度3 圖象的綜合變換
例3（1）將函數的圖象向右平移 個單位長度，
再將所得圖象上的每個點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變），
得到函數的圖象，則 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 將函數的圖象向右平移 個單位長度，可
得函數 的圖象，
將函數 的圖象上的每個點的縱坐標變為原來的2倍，
橫坐標保持不變，可得函數 的圖象，所以
.故選A.
（2）［2025·天津濱海新區高一期末］將 的圖象變換為
的圖象，下列變換正確的是( )
A.將圖象向左平移個單位長度 B.將圖象向右平移 個單位長度
C.將圖象向左平移個單位長度 D.將圖象向右平移 個單位長度
√
[解析] 對于A，將圖象向左平移 個單位長度，可得
的圖象，故A錯誤；
對于B，將圖象向右平移個單位長度，可得
的圖象，故B正確；
對于C，將圖象向左平移 個單位長度，可得
的圖象，故C錯誤；
對于D，將圖象向右平移 個單位長度，可得
的圖象，故D錯誤.故選B.
［素養小結］
由函數的圖象得到的圖象的兩種途
徑如圖所示.
探究點二 五點法作圖
例4 已知函數.利用“五點法”畫出函數 在一個
周期內的圖象.
解：（1）列表：
0
0 8 0 0
描點連線，可得 在一個周期內的圖象，如圖所示.
［素養小結］
利用“五點法”作函數的圖象，其實質是利用函數的
三個零點及兩個最值點（函數取得最值時，對應自變量的值）畫出
函數在一個周期內的圖象.
兩種變換的區別
在圖象變換時，運用“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”兩種途徑，
向左或向右平移的量一般不同.由函數 的圖象變換到
的圖象，若先平移變換后伸縮變換，則平移 個
單位長度，若先伸縮變換后平移變換，則平移 個單位長度．因此
在用這樣的變換法作圖象時一定要注意平移與伸縮的先后順序，否
則會出現錯誤．
1.異名函數圖象之間的變換法
三角函數圖象的各種變換往往都是同名三角函數之間進行的變換,但
是實際中會遇到異名函數圖象之間的變換,這時需要用誘導公式將正
弦函數化為余弦函數或將余弦函數化為正弦函數,使問題得到解決.
例1 ［2025·甘肅武威一中高一期末］ 要得到函數
的圖象，可以將函數 的圖象
( )
A.向右平移個單位長度 B.向左平移 個單位長度
C.向右平移個單位長度 D.向左平移 個單位長度
√
[解析] 因為 ，
，所以將的圖象向左平移 個單位長度可得到 的圖象.故選B.
2.類比法
函數 的圖象變換,可類比函數
的圖象變換,由 的圖象變換得到.
例2 （多選題）［2025·天津西青區高一期末］ 已知曲線
, ，則下列說法正確的是( )
A.把向左平移 個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原
來的2倍，得到
B.把向左平移 個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來
的，得到
C.把上所有點的橫坐標變為原來的，再將所得圖象向左平移 個單位
長度，得到
D.把上所有點的橫坐標變為原來的，再將所得圖象向左平移 個單位
長度，得到 ，
√
√
[解析] 將函數的圖象向左平移 個單位長度，得到
的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的
，得到曲線 ，故A錯誤，B正確；
因為，所以將函數 的圖象上
所有點的橫坐標變為原來的，得到 的圖象，再將所得圖象
向左平移個單位長度，得到曲線，故C錯誤，D正確.故選 .
練習冊
1.為了得到函數的圖象，可以將函數 的圖象
( )
A.向左平移個單位長度 B.向右平移 個單位長度
C.向左平移個單位長度 D.向右平移 個單位長度
[解析] 為了得到函數的圖象，可以將函數 的
圖象向右平移 個單位長度，故選B.
√
2.［2025·江蘇南京高一期末］將函數 圖象上每個點的
橫坐標變為原來的 （縱坐標不變），所得圖象對應的函數解析式為
( )
A. B.
C. D.
[解析] 將函數圖象上每個點的橫坐標變為原來的
（縱坐標不變），所得圖象對應的函數解析式為 .故
選B.
√
3.［2025·天津南開區高一段考］要得到函數 的圖象，只
要把函數 的圖象( )
A.向右平移個單位長度 B.向左平移 個單位長度
C.向右平移個單位長度 D.向左平移 個單位長度
√
[解析] 對于A，平移后得到函數
的圖象，A不滿足題意；
對于B，平移后得到函數
的圖象，B不滿足題意；
對于C，平移后得到函數 的圖象，
C滿足題意；
對于D，平移后得到函數 的
圖象，D不滿足題意.故選C.
4.函數在區間 上的簡圖是( )
A. B. C. D.
[解析] 當時,,故可排除B,D;
當 時, ,排除C.故選A.
√
5.將函數圖象上所有的點都向左平移 個單位長度，再將所得圖
象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數
的圖象，則 是( )
A.偶函數 B.奇函數
C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
√
[解析] 將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的
（縱坐標不變），得到函數 的圖象，再將所得圖象
上所有的點都向右平移個單位長度，得到 的圖象.
因為，所以 是偶函數.故選A.
6.將函數（其中的圖象向右平移 個單位長度，
所得圖象經過點，則 的最小值是( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 將函數的圖象向右平移 個單位長度，得到函數
的圖象，
因為點在 的圖象上，所以，所以，
即，由得 的最小值是2.故選D.
√
7.某同學用“五點法”畫函數
在一個周期內的簡圖時,列表如下:
0
0 2 0 0
則根據表格中數據，可得出___,___, ____.
[解析] 由表格中數據得,最小正周期 ,
, 當時, ,
.
8.將函數的圖象上所有的點向右平移 個最小正周期，
所得圖象對應的函數解析式為 ______________.
[解析] 函數的最小正周期為，將函數 的圖象上所
有的點向右平移 個單位長度，得到函數
的圖象.
9.（13分）已知函數 .
（1）利用“五點法”畫出函數 在一個周期內的圖象；
解：列表如下：
0
0 3 0 0
描點連線，可得 在一個周期內的圖象，如圖所示.
9.（13分）已知函數 .
（2）將函數的圖象向左平移 個單位長度，再將所得圖象上各
點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標變為原來的，得到函數 的
圖象，求函數 的解析式.
解：將函數的圖象向左平移 個單位長度，得到
的圖象，
再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，得到
的圖象，
最后將所得圖象上各點的縱坐標變為原來的，得到
的圖象，即 .
10.（13分）函數
的
圖象過點 ，如圖所示.
（1）求函數 的解析式；
解：由題圖知，的最小正周期 ，于是 .
將的圖象上所有的點向左平移 個單位長度，得到
的圖象，于是.
將 代入,得 .
故 .
10.（13分）函數
的
圖象過點 ，如圖所示.
（2）將函數圖象上所有的點向右平移 個單位長度，得到函數
的圖象，求的最大值，并求出此時自變量 的取值集合.
解：依題意得， ,當
,即時， 取得最大值2，
此時的取值集合為 .
11.將函數圖象上的點向左平移 個單位
長度得到點，若在函數 的圖象上，則( )
A.，的最小值為 B.，的最小值為
C.，的最小值為 D.，的最小值為
√
[解析] 由題意得.
由點 向左平移個單位長度得到點，可得 ，
將其坐標代入，可得，則
，或 ，，所以 ，
或 ，.
又,所以的最小值為 .故選A.
12.（多選題）［2025·江蘇淮陰中學高一月考］ 為了得到函數
的圖象，只需( )
A.將函數的圖象向左平移 個單位長度
B.將函數的圖象向左平移 個單位長度
C.將函數的圖象向左平移 個單位長度
D.將函數的圖象向右平移 個單位長度
√
√
√
[解析] 對于選項A，將的圖象向左平移 個單位長度，可
得 的圖象,故A正確;
對于選項B，將的圖象向左平移 個單位長度，可得
的圖象，故B錯誤；
對于選項C，將的圖象向左平移 個單位長度，可得
的圖象，故C正確；
對于選項D，將的圖象向右平移 個單位長度，可得
的圖象，故D正確.故選 .
13.把函數 圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再
把所得圖象向右平移個單位長度,得到函數 的圖象,則
_____.
[解析] 把函數的圖象向左平移 個單位長度,得到
的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐
標縮短到原來的,縱坐標不變,得到函數 的圖象,
所以,故 .
14.將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，
縱坐標不變，再將所得圖象向左平移 個單位長度，得到函
數的圖象，若，則 的一個可能取值為
_______________.
（答案不唯一）
[解析] 將函數 圖象上所有點的橫坐標縮短為原來
的，縱坐標不變，得到函數 的圖象，再將所得圖象
向左平移個單位長度，得到函數 的
圖象.
因為，所以 為偶函數，所以，
解得，取 ，可得 .
15.已知函數,將的圖象向左平移
個單位長度可以得到一個奇函數的圖象,將 的圖象向右平移
個單位長度可以得到一個偶函數的圖象,則 的最小值
為( )
A.0 B. C. D.
√
[解析] 函數,將函數 的圖象向左平移
個單位長度，所得圖象對應的函數解析式為,
因為 為奇函數,所以,得,
又,所以 .
將函數的圖象向右平移 個單位長度，所得圖象對應的函
數解析式為,
因為 為偶函數,所以,解得,
又 ,所以,所以 的最小值為0,故選A.
16.（15分）［2025·江蘇太倉中學高一月考］ 已知函
數 的部分圖象
如圖所示.該圖象與軸交于點，與 軸的兩個
（1）求 的解析式；
交點為，，圖象的最高點為，且的面積為 .
解：由題意得的邊上的高為2，
因為 的面積為，所以，
可得 ，則，所以，
解得 .
因為圖象與軸交于點 ，所以，即，
又因為 ，所以，故 .
16.（15分）［2025·江蘇太倉中學高一月考］ 已知函
數 的部分圖象
如圖所示.該圖象與軸交于點，與 軸的兩個
交點為，，圖象的最高點為，且的面積為 .
（2）若將的圖象向右平移 個單位長度，再將所得圖象上所有
點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數 的圖象，
若，求 的值.
解：將的圖象向右平移 個單位長度，得到
的圖象，再將所
得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不
變），得到函數 的圖象，所以.
由可得 ，所以 ，
因為 ，所以 ，
所以 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1.左 右 2.橫 縱 3.縱 橫
4.（1） （2）
【診斷分析】 （1）√ （2）× （3）×
知識點二 0
課中探究 探究點一 角度1 例1 （1）由圖象上所有的點向右平移個單
位長度而得到的 （2）由圖象上所有的點向左平移個單位長度而
得到的 變式 （1）B （2）D
角度2 例2 （1）C （2）縮短 變式
角度3 例3 （1）A （2）B
探究點二 例4 略
練習冊
基礎鞏固 1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7. 8.
9.（1）略 （2）
10.（1）
（2）m>取得最大值2，此時的取值集合為
綜合提升
11.A 12.ACD 13. 14.（答案不唯一）
思維探索 15.A 16.（1） （2）7.3.3　函數y=Asin(ωx+φ)
第1課時　函數y=Asin(ωx+φ)的圖象
【課前預習】
知識點一
1.左　右　|φ|
2.橫　　縱
3.縱　A　橫
4.(1)sin(x+φ)　sin(ωx+φ)　Asin(ωx+φ)　(2)sin ωx　sin(ωx+φ)　Asin(ωx+φ)
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (1)將函數y=sin x的圖象向左平移個單位長度得到y=sin=cos x的圖象.
(2)把函數y=cos x圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)得到函數y=cosx的圖象.
(3)把函數y=sin 3x的圖象向左平移個單位長度得到y=sin=sin的圖象.
知識點二
0　　π　π　2π
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)函數y=sin的圖象,可以看作是由y=sin x圖象上所有的點向右平移個單位長度而得到的.
(2)函數y=sin x的圖象,可以看作是由y=sin圖象上所有的點向左平移個單位長度而得到的.
變式　(1)B　(2)D　[解析] (1)將函數y=2sin的圖象向左平移個單位長度,可得y=2sin=2sin的圖象.故選B.
(2)因為y=cos=cos 2,所以將y=cos的圖象向右平移個單位長度可得到函數y=cos 2x的圖象,故選D.
例2　(1)C　(2)縮短　　[解析] (1)將函數y=sin的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,便可得到函數y=sin的圖象,故選C.
(2)將函數y=sin的圖象上所有點的橫坐標不變,縱坐標縮短為原來的,就會得到函數y=sin的圖象.
變式　y=6sinx　[解析] 把函數y=2sin 3x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變),得函數y=2sinx的圖象,把函數y=2sinx的圖象上所有的點的縱坐標變為原來的3倍(橫坐標不變),得函數y=6sinx的圖象.
例3　(1)A　(2)B　[解析] (1)將函數f(x)=cos的圖象向右平移個單位長度,可得函數y=cos=cos的圖象,將函數y=cos的圖象上的每個點的縱坐標變為原來的2倍,橫坐標保持不變,可得函數y=2cos的圖象,所以g(x)=2cos.故選A.
(2)對于A,將圖象向左平移個單位長度,可得y=sin 3=sin的圖象,故A錯誤;對于B,將圖象向右平移個單位長度,可得y=sin 3=sin的圖象,故B正確;對于C,將圖象向左平移個單位長度,可得y=sin 3=sin=cos 3x的圖象,故C錯誤;對于D,將圖象向右平移個單位長度,可得y=sin 3=sin=-cos 3x的圖象,故D錯誤.故選B.
探究點二
例4　(1)列表:
- 0 π 2π
x
f(x) 0 8 0 -8 0
描點連線,可得f(x)在一個周期內的圖象,如圖所示.7.3.3　函數y=Asin(ωx+φ)
第1課時　函數y=Asin(ωx+φ)的圖象
【學習目標】
　　1.了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義.
　　2.能用五點法畫出y=Asin(ωx+φ)的圖象,能借助圖象理解參數ω,φ,A的意義,了解參數的變化對函數圖象的影響.
◆ 知識點一　φ,ω,A對y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的作用
1.φ對y=sin(x+φ),x∈R的圖象的影響
如圖所示,對于函數y=sin(x+φ)(φ≠0)的圖象,可以看作是將y=sin x的圖象上所有的點向　　　　(當φ>0時)或向　　　　(當φ<0時)平移　　　個單位長度得到的.
2.ω(ω>0)對y=sin(ωx+φ),x∈R的圖象的影響
如圖所示,對于函數y=sin(ωx+φ)的圖象,可以看作是將y=sin(x+φ)的圖象上所有點的　　　　坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的　　　　倍(　　　　坐標不變)而得到的.
3.A(A>0)對y=Asin(ωx+φ),x∈R的圖象的影響
如圖所示,對于函數y=Asin(ωx+φ)的圖象,可以看作是將y=sin(ωx+φ)的圖象上所有點的　　　　坐標伸長(當A>1時)或縮短(當04.由函數y=sin x的圖象通過變換得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象,有兩種方法:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
(1)先平移后伸縮
y=sin x的圖象y=　　　　的圖象
y=　　　　　的圖象
y=　　　　　　　　的圖象.
(2)先伸縮后平移
y=sin x的圖象y=　　　　的圖象
y=　　　　　的圖象
y=　　　　　　　　的圖象.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)將函數y=sin x的圖象向左平移個單位長度,得到函數y=cos x的圖象. (　 )
(2)把函數y=cos x圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)就得到函數y=cos 3x的圖象. (　 )
(3) 把函數y=sin 3x的圖象向左平移個單位長度所得圖象對應的函數解析式是y=sin. (　 )
◆ 知識點二　用“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)的圖象
用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)的簡圖,主要是通過變量代換,設z=ωx+φ,由z取　　　　,　　　　,　　　　,　　　　,　　　　來求出相應的x的值,然后列表、描點,再用平滑的曲線連接各點,就可得到一個周期內的函數簡圖,最后將簡圖向左、右平移,就得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的圖象.
◆ 探究點一　圖象變換問題
角度1　平移變換
例1 (1)函數y=sin的圖象可以看作是由y=sin x的圖象經過怎樣的變換而得到的
(2)函數y=sin x的圖象可以看作是由y=sin的圖象經過怎樣的變換而得到的
變式 (1)將函數y=2sin的圖象向左平移個單位長度,所得圖象對應的函數解析式為 (　 )
A.y=2sin x
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
(2)要得到函數y=cos 2x的圖象,可以將函數y=cos的圖象 (　 )
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
[素養小結]
對左右平移變換應先觀察函數名是否相同,若函數名不同則先化為同名函數;再觀察x的系數,當x的系數不為1時,應提取系數以確定平移的單位長度和方向.平移方向遵循左加右減的原則,且從ωx→ωx+φ的平移量為個單位長度.
角度2　伸縮變換
例2 (1)為了得到函數y=sin的圖象,只需將函數y=sin的圖象上 (　 )
A.所有點的縱坐標伸長為原來的3倍,橫坐標不變
B.所有點的橫坐標伸長為原來的3倍,縱坐標不變
C.所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變
D.所有點的縱坐標縮短為原來的,橫坐標不變
(2)將函數y=sin的圖象上所有點的橫坐標不變,縱坐標　　　　(填“伸長”或“縮短”)為原來的　　　　,就會得到函數y=sin的圖象.
變式 把函數y=2sin 3x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍,縱坐標變為原來的3倍,得到　　　　的圖象.
[素養小結]
解決圖象伸縮變換的關注點
(1)兩個弄清:弄清是橫向還是縱向,弄清是伸長還是縮短.
(2)兩個規律:當ω>0時,橫向伸縮的規律為“ω乘伸縮倍數的倒數”;當A>0時,縱向伸縮的規律為“A乘伸縮的倍數”.
角度3　圖象的綜合變換
例3 (1)將函數f(x)=cos的圖象向右平移個單位長度,再將所得圖象上的每個點的縱坐標變為原來的2倍(橫坐標不變),得到函數g(x)的圖象,則g(x)= (　 )
A.2cos
B.cos
C.2cos
D.cos
(2)[2025·天津濱海新區高一期末] 將y=sin 3x的圖象變換為y=sin的圖象,下列變換正確的是 (　 )
A.將圖象向左平移個單位長度
B.將圖象向右平移個單位長度
C.將圖象向左平移個單位長度
D.將圖象向右平移個單位長度
[素養小結]
由函數y=sin x的圖象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象的兩種途徑如圖所示.
◆ 探究點二　五點法作圖
例4 已知函數f(x)=8sin.利用“五點法”畫出函數f(x)在一個周期內的圖象.
[素養小結]
利用“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)的圖象,其實質是利用函數的三個零點及兩個最值點(函數取得最值時,對應自變量的值)畫出函數在一個周期內的圖象.7.3.3　函數y=Asin(ωx+φ)
第1課時　函數y=Asin(ωx+φ)的圖象
1.為了得到函數y=sin x的圖象,可以將函數y=sin的圖象 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
2.[2025·江蘇南京高一期末] 將函數y=sin圖象上每個點的橫坐標變為原來的(縱坐標不變),所得圖象對應的函數解析式為 (　 )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
3.[2025·天津南開區高一段考] 要得到函數y=3cos 2x的圖象,只要把函數y=3cos的圖象 (　 )
A.向右平移個單位長度
B.向左平移個單位長度
C.向右平移個單位長度
D.向左平移個單位長度
4.函數y=sin在區間上的簡圖是 (　 )
A B C D
5.將函數f(x)圖象上所有的點都向左平移個單位長度,再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變),得到函數g(x)=cos的圖象,則f(x)是 (　 )
A.偶函數
B.奇函數
C.非奇非偶函數
D.既是奇函數又是偶函數
6.將函數f(x)=sin ωx(其中ω>0)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象經過點,則ω的最小值是 (　 )
A. B.1 C. D.2
7.某同學用“五點法”畫函數y=Asin(ωx+φ)在一個周期內的簡圖時,列表如下:
ωx+φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
則根據表格中數據,可得出A=　　　　,ω=　　　　,φ=　　　　.
8.將函數y=3cos的圖象上所有的點向右平移個最小正周期,所得圖象對應的函數解析式為y=　　　　　　　.
9.(13分)已知函數f(x)=3sin.
(1)利用“五點法”畫出函數f(x)在一個周期內的圖象;
(2)將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度,再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍,縱坐標變為原來的,得到函數g(x)的圖象,求函數g(x)的解析式.
10.(13分)函數f1(x)=Asin(ωx+φ)的圖象過點(0,1),如圖所示.
(1)求函數f1(x)的解析式;
(2)將函數f1(x)圖象上所有的點向右平移個單位長度,得到函數f2(x)的圖象,求f2(x)的最大值,并求出此時自變量x的取值集合.
11.將函數y=sin圖象上的點P向左平移s(s>0)個單位長度得到點P',若P'在函數y=cos 2x的圖象上,則 (　 )
A.t=,s的最小值為
B.t=,s的最小值為
C.t=,s的最小值為
D.t=,s的最小值為
12.(多選題)[2025·江蘇淮陰中學高一月考] 為了得到函數f(x)=2cos的圖象,只需 (　 )
A.將函數y=2cos 3x的圖象向左平移個單位長度
B.將函數y=2cos 3x的圖象向左平移個單位長度
C.將函數y=2sin 3x的圖象向左平移個單位長度
D.將函數y=2sin 3x的圖象向右平移個單位長度
13.把函數f(x)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把所得圖象向右平移個單位長度,得到函數y=sin的圖象,則f=　　　　.
14.將函數f(x)=cos圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,再將所得圖象向左平移a(a>0)個單位長度,得到函數g(x)的圖象,若g(-x)-g(x)=0,則a的一個可能取值為　　　　.
15.已知函數f(x)=cos,將f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度可以得到一個奇函數的圖象,將f(x)的圖象向右平移b(b>0)個單位長度可以得到一個偶函數的圖象,則|a-b|的最小值為 (　 )
A.0 B.
C. D.
16.(15分)[2025·江蘇太倉中學高一月考] 已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.該圖象與y軸交于點A(0,),與x軸的兩個交點為B,C,圖象的最高點為D,且△BCD的面積為.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位長度,再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),得到函數g(x)的圖象,若g(α)=,求cos的值.7.3.3　函數y=Asin(ωx+φ)
第1課時　函數y=Asin(ωx+φ)的圖象
1.B　[解析] 為了得到函數y=sin x的圖象,可以將函數y=sin的圖象向右平移個單位長度,故選B.
2.B　[解析] 將函數y=sin圖象上每個點的橫坐標變為原來的(縱坐標不變),所得圖象對應的函數解析式為y=sin.故選B.
3.C　[解析] 對于A,平移后得到函數y=3cos=3cos的圖象,A不滿足題意;對于B,平移后得到函數y=3cos=3cos(2x+π)=-3cos 2x的圖象,B不滿足題意;對于C,平移后得到函數y=3cos=3cos 2x的圖象,C滿足題意;對于D,平移后得到函數y=3cos=3cos的圖象,D不滿足題意.故選C.
4.A　[解析] 當x=0時,y=sin=-<0,故可排除B,D;當x=時,y=sin=sin 0=0,排除C.故選A.
5.A　[解析] 將g(x)=cos圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),得到函數y=cos的圖象,再將所得圖象上所有的點都向右平移個單位長度,得到f(x)=cos 2x的圖象.因為f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以f(x)是偶函數.故選A.
6.D　[解析] 將函數f(x)=sin ωx的圖象向右平移個單位長度,得到函數g(x)=sin ω的圖象,因為點在g(x)的圖象上,所以sin=0,所以=kπ(k∈Z),即ω=2k(k∈Z),由ω>0得ω的最小值是2.故選D.
7.2　3　-　[解析] 由表格中數據得A=2,最小正周期T=π-==,∴ω=3,∴ωx+φ=3x+φ.∵當x=時,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.
8.3cos　[解析] 函數的最小正周期為,將函數y=3cos的圖象上所有的點向右平移個單位長度,得到函數y=3cos=3cos的圖象.
9.解:(1)列表如下:
4x- 0 π 2π
x
f(x)=3sin 0 3 0 -3 0
描點連線,可得f(x)在一個周期內的圖象,如圖所示.
(2)將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度,得到y=3sin=3sin的圖象,再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍,得到y=3sin的圖象,最后將所得圖象上各點的縱坐標變為原來的,得到g(x)=sin的圖象,即g(x)=sin.
10.解:(1)由題圖知,f1(x)的最小正周期T=π,于是ω==2.將y=Asin 2x的圖象上所有的點向左平移個單位長度,得到y=Asin(2x+φ)的圖象,于是φ=2×=.將(0,1)代入y=Asin,得A=2.
故f1(x)=2sin.
(2)依題意得,f2(x)=2sin=-2cos,當2x+=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)時,f2(x)取得最大值2,
此時x的取值集合為.
11.A　[解析] 由題意得t=sin=cos=.由點P向左平移s(s>0)個單位長度得到點P',可得P',將其坐標代入y=cos 2x,可得cos 2=sin 2s=,則2s=+2kπ,k∈Z或2s=+2kπ,k∈Z,所以s=+kπ,k∈Z或s=+kπ,k∈Z.又s>0,所以s的最小值為.故選A.
12.ACD　[解析] 對于選項A,將y=2cos 3x的圖象向左平移個單位長度,可得y=2cos 3=2cos的圖象,故A正確;對于選項B,將y=2cos 3x的圖象向左平移個單位長度,可得y=2cos 3=2cos(3x+π)=-2cos 3x的圖象,故B錯誤;對于選項C,將y=2sin 3x的圖象向左平移個單位長度,可得y=2sin 3=2sin=2cos的圖象,故C正確;對于選項D,將y=2sin 3x的圖象向右平移個單位長度,可得y=2sin 3=2sin=2sin=2cos的圖象,故D正確.故選ACD.
13.-　[解析] 把函數y=sin的圖象向左平移個單位長度,得到y=sin=sin的圖象,再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,得到函數f(x)的圖象,所以f(x)=sin,故f=sin=-sin=-.
14.(答案不唯一)　[解析] 將函數f(x)=cos圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,得到函數y=cos的圖象,再將所得圖象向左平移a(a>0)個單位長度,得到函數g(x)=cos的圖象.因為g(-x)-g(x)=0,所以g(x)為偶函數,所以4a-=kπ(k∈Z),解得a=+(k∈Z),取k=0,可得a=.
15.A　[解析] 函數f(x)=cos,將函數f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度,所得圖象對應的函數解析式為g(x)=cos,因為g(x)為奇函數,所以2a+=kπ+(k∈Z),得a=+(k∈Z),又a>0,所以k∈N.將函數f(x)的圖象向右平移b(b>0)個單位長度,所得圖象對應的函數解析式為h(x)=cos,因為h(x)為偶函數,所以-2b+=nπ(n∈Z),解得b=-+(n∈Z),又b>0,所以b=+(m∈N),所以|a-b|的最小值為0,故選A.
16.解:(1)由題意得△BCD的BC邊上的高為2,因為△BCD的面積為,所以×2×BC=,可得BC=,則BC==,所以T=π=,解得ω=2.
因為圖象與y軸交于點A(0,),
所以2sin φ=,即sin φ=,又因為0<φ<,所以φ=,故f(x)=2sin.
(2)將f(x)的圖象向右平移個單位長度,得到y=2sin=2sin的圖象,再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),得到函數y=2sin的圖象,
所以g(x)=2sin.由g(α)=可得2sin=,所以sin=>0,
因為<α<π,所以<α+<,
所以cos=-=-.

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