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7.3.3 函數y=Asin(ωx+φ)-第2課時 函數y=Asin(ωx+φ)的性質(課件 學案 練習)高中數學蘇教版(2019)必修 第一冊

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7.3.3 函數y=Asin(ωx+φ)-第2課時 函數y=Asin(ωx+φ)的性質(課件 學案 練習)高中數學蘇教版(2019)必修 第一冊

資源簡介

(共70張PPT)
7.3 三角函數的圖象和性質
7.3.3 函數
第2課時 函數 的
性質
探究點一 已知圖象求函數
的解析式
探究點二 的圖象與性質的
綜合應用




課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
掌握函數 的圖象與性質,并能解決有關問題.
知識點 函數 的性質
定義域 ___
值域 ________
最小正周 期 _ ______
奇偶性
奇函數
偶函數
非奇非偶函數
單調性 增區間可由_ ________________________________得到;
減區間可由_ _________________________________得到
對稱性 對稱軸方程:_ _____________________; 對稱中心:
_ ________________
續表
探究點一 已知圖象求函數 的解析式
例1 函數
的圖象的一部分如圖所示,則此函數的解析式為____________________.
[解析] 方法一(逐一定參法)由題圖知 ,
, ,
點 在函數圖象上,且函數圖象在點處
上升, ,得
,, .
方法二(待定系數法):由題圖知.由圖象過點和 ,
且在點處下降,在點 處上 升,
可令解得 符合題意,
.
方法三(圖象變換法):由題圖知 ,
,則.
由點 在圖象上,可知函數圖象是由的圖象向左
平移 個單位長度得到的, ,即
.
變式(1)函數
的部分圖象
如圖所示,則下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.

[解析] 觀察題中圖,可得,函數 的最小正周期
,解得,則 .
又的圖象經過點,所以 ,
即,所以 , ,則
,,
又,所以 ,則函數 .故選B.
(2)[2025·江蘇興化中學高一月考]已知函數
的部分圖象如圖所示,
則 ____.
[解析] 由題圖可知,,函數 的最小正周期
, ,
.
將 代入函數解析式中可得,
,解得,
, ,,
則 .
[素養小結]
確定函數的解析式的難點是確定 ,常把圖象上一
個最高點或最低點的坐標代入(此時, 已知)或代入圖象與軸的
交點坐標求解(此時要注意交點的橫坐標是在增區間上還是在減區
間上).
探究點二 的圖象與性質的綜合應用
例2 已知函數 的一個對稱中心到一條對
稱軸的最小距離為 .
(1)求 的值;
解:由題意得,則,所以 .
(2)求函數 圖象的對稱中心;
解:由(1)知 ,
令 ,,解得, ,
所以函數圖象的對稱中心為, .
例2 已知函數 的一個對稱中心到一條對
稱軸的最小距離為 .
(3)求函數在 上的取值范圍.
解:當時, ,
所以當,即時, ,
當,即時, ,
所以函數在上的取值范圍為 .
變式(1)已知函數 的圖象關于直
線對稱,則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得,則 ,
,即,,
又,所以 .故選A.

(2)若函數的圖象在區間 上有且僅
有2條對稱軸,則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.

[解析] 由 ,,可得
圖象的對稱軸為,.
當時,,當 時,,當時,,
又,所以由題意得 可得 ,故選B.
(3)已知函數,若方程 在區
間內沒有實根,則 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.

[解析] 因為 , ,所以.
因為方程 在區間內沒有實根,
所以 ,解得,.
由得 .
因為,所以或.
當時,可得 ;當時,可得 .故選B.
[素養小結]
(1)對于函數,當時為奇函數,當
時為偶函數;對于函數,當
時為偶函數,當時為奇函數.
(2)與正弦、余弦型函數有關的單調性、最值、對稱性問題的求解,
可采用整體代換的思想,將中的 看成
中的,類比的性質求解.
(3)確定 的單調區間,通常采用
“換元法”整體代換,將 看作一個整體,令“ ”,
通過求的單調區間而求出函數 的單調區
間.若,則必須利用誘導公式先將 的系數轉化為正數,再求單
調區間.
函數 的性質的綜合運用
(1)函數 的性質的綜合應用,往往
涉及單調性、奇偶性、對稱性、最值等,要充分結合函數
的性質解題.此類題考查了綜合應用數學知識的能力.
(2)與正弦函數比較可知,當 時,
函數 取得最大值或最小值,因此函
數 的圖象的對稱軸方程可由
得到,對稱中心的橫坐標可由
得到.同理 的圖
象的對稱軸方程可由 得到,對稱中心的橫坐標
可由 得到.
1.已知三角函數 的部分圖象求三角
函數解析式的步驟:
(1)先由圖象的特征得到 .
(2)再由圖象求出最小正周期,根據求出 .
(3)最后根據圖象取一個特殊點的坐標代入解析式求出 .
2.函數 的性質的運用
(1)①對稱性:函數圖象與 軸的交點是對稱中心,即對稱中心是
,對稱軸與函數圖象的交點的縱坐標是函數的最值,
即對稱軸是直線 .
②對于函數 的圖象,相鄰的兩個對
稱中心或兩條對稱軸相距半個最小正周期;相鄰的一個對稱中心和
一條對稱軸相距四分之一個最小正周期.
③求函數 的性質,要善于采用整體
策略,即把 看成一個整體,將問題化歸為正弦函數的性質來
解決.
(2)函數 的性質較為綜合,在歷年
高考題中圍繞著函數的單調性、最值、奇偶性和圖象的對稱性等都
有所體現和考查.
例 (多選題)已知函數
的部分
圖象如圖所示,則下列結論中正確的是( )
A.若,則函數的取值范圍為
B.點是函數 的圖象的一個對稱中心
C.函數在區間 上單調遞增
D.將函數的圖象向右平移 個單位長度,所得的圖象對應的函數
為偶函數



[解析] 由函數 的圖象,可得
,且 ,所以 ,
又,所以,
所以 .
又 ,所以 ,,
所以 , ,
因為 ,所以 ,所以.
的取值范圍為
,故A正確;
對于B,因為,所以點 是
函數 的圖象的一個對稱中心,故B正確;
對于C,當時,,因為 在
上不單調,所以在區間 上不單調,故C錯誤;
對于D,將函數 的圖象向右平移 個單位長度,得到
的圖象,函數
為偶函數,故D正確.故選 .
練習冊
1.函數的最大值為5,則
( )
A.5 B. C.4 D.
[解析] , 函數的最大值為, .

2.函數 的圖象的一部
分如圖所示,則此函數的解析式是( )
A. B.
C. D.

[解析] 由題意知,函數的最小正周期為 ,
因為,所以,則,所以 .
由題意知,即,所以 ,
所以,
因為 ,所以 ,因此 ,故選C.
3.函數 的
部分圖象如圖所示,則 ( )
A. B.1 C. D.
[解析] 由題意知,把 代入函數解析式,
得則 .
由五點作圖法可得 ,所以,故 ,
所以 .故選A.

4.已知函數的最小正周期為,則
在 上的最小值為( )
A. B. C.0 D.
[解析] 因為函數的最小正周期為 ,所以
,解得,所以,
當 時,,由正弦函數的圖象和性質可知當
,即時,取得最小值,最小值為 .
故選C.

5.函數的圖象向左平移 個單位長度,所得圖象
經過點,則 的最小值是( )
A. B.2 C.1 D.
[解析] 依題意得,函數 的圖象經過
點,所以 ,所
以 ,,即,,因此 的最小值是1.故選C.

6.(多選題)已知函數
的部分圖象如圖所
示,則下列結論正確的有( )
A.的圖象關于點 對稱
B.的圖象關于直線 對稱
C.在區間 上單調遞減
D.在區間上的取值范圍為


[解析] 由題中圖可知, ,
,,
,.
,,
, ,
由題中圖可知,即,, , ,
,則的圖象不關于點 對稱,A錯誤;
,為的最大值,則
的圖象關于直線對稱,B正確;
當 時,,則在區間
上單調遞減,C正確;
當時, ,可得,D錯誤.
故選 .
7.[2025·江蘇無錫一中高一期末]函數
的圖象如圖所示,則 _ __.
[解析] 由函數 的圖象知,
,的最小正周期 ,
則.
由,得 ,
所以 , ,解得 ,,
因為,所以 ,則 ,
所以 .
8.在函數的一個周期上,當 時,有最
大值2,當時,有最小值,則 ___.
2
[解析] 依題意知,所以 ,所以 .
9.(13分)已知函數
的圖
象如圖所示.
(1)求函數 的解析式;
解:由題中圖知,, ,
所以,解得,所以 ,
又 ,
所以,,解得, ,
由 ,可知,所以 .
9.(13分)已知函數
的圖
象如圖所示.
(2)求函數 的減區間;
解:令, ,解得
, ,
所以函數的減區間為, .
9.(13分)已知函數
的圖
象如圖所示.
(3)求函數在區間 上的取值范圍.
解:當時, ,所以
,所以 ,
即函數在區間上的取值范圍為 .
10.[2025·江蘇泰興中學高一期末]已知函數

部分圖象如圖所示,則
等于( )
A. B.0 C. D.

[解析] 由
的圖象可知,,最小正周期,故

且,所以,故 .
根據函數圖象的對稱性可知, ,,所以,所以 ,故選A.
11.(多選題)已知,,直線和 是函數
圖象的兩條相鄰的對稱軸,將 的圖象向左平
移個單位長度得到函數 的圖象,則下列說法正確的是( )
A. 是奇函數
B.的圖象關于點 對稱
C.的圖象關于直線 對稱
D.的周期為


[解析] 直線和是函數 圖象的兩條
相鄰的對稱軸, ,, ,
直線是函數 圖象的對稱軸,
, , ,,,
.
的圖象向左平移 個單位長度得到函數的圖象,
. 易知是偶函數,選項A錯誤.
由得 的圖象關于點對稱,選項B正確.
由 得直線不是圖象的對稱軸,選項C
錯誤.
的周期為 ,選項D正確.故選 .
12.函數的最小值是 ,其
圖象相鄰的最高點與最低點橫坐標之差的絕對值是 ,又圖象過點
,則函數解析式為________________.
[解析] 由題意得, ,則 , ,,
.
把代入上式得 ,
又,, .
13.[2025·江蘇無錫輔仁中學高一月考]函數 在區
間上的取值范圍為,則實數 的取值范圍是________.
[解析] 當時,.由 ,可得

因為函數在區間 上的取值范圍為,
所以根據正弦函數的圖象得 ,解得,
所以實數的取值范圍是 .
14.(15分)[2025·江蘇鎮江高一期末] 給出以下三個條件:①函
數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為; ;③對
任意的, 恒成立.請從這三個條件中任選一個將下
面的題目補充完整,并解答該題.如果選擇多個條件分別解答,則按
第一個解答計分.
已知函數 ,且滿足________.
(1)求 的值,并用“五點法”作出函數 在一個周期內的圖象;
解:若選①:函數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為 ,
可得,可得,可得 .
若選②:,可得 , ,則
,,又,所以 .
若選③:對任意的, 恒成立,可得

則 ,,所以, ,
又,所以 .列表如下:
0
0 1 0 0
描點,連線,作出 在一個周期內的圖象,如圖所示.
14.(15分)[2025·江蘇鎮江高一期末] 給出以下三個條件:①函
數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為; ;③對
任意的, 恒成立.請從這三個條件中任選一個將下
面的題目補充完整,并解答該題.如果選擇多個條件分別解答,則按
第一個解答計分.
已知函數 ,且滿足________.
(2)將函數的圖象向右平移 個單位長度,再保持所得圖象上
各點的縱坐標不變,將橫坐標變為原來的2倍,得到函數 的圖象,
若關于的方程在區間 上有且只有一個實數解,求
實數 的取值范圍.
解:將函數的圖象向右平移 個單位長度,得
到 的圖象,
再保持所得圖象上各點的縱坐標不變,將橫坐標變
為原來的2倍,得到函數 的圖象,可得
.
因為,所以 ,
令,, ,則由題意
知的圖象與直線 有且只有一個交點.
畫出,的圖象與直線 ,
如圖所示.
因為,, ,所以當
或時滿足題意,即 的取值范圍為 .
15.[2025·江蘇南京勵志高級中學高一月考]若函數
在區間 上恰能取到兩次最大值,則
實數 的取值范圍是________.
[解析] 因為,,所以 ,
又在區間 上恰能取到兩次最大值,所
以,解得,即實數 的取值范圍是 .
16.(多選題)[2025·江蘇宿遷期末] 已知函數
,函數
的部分圖象如圖所示,則下列說法中正確的是 ( )
A.,
B.的最小正周期是
C.的圖象的對稱中心為 ,
D.若方程在 上有且只有6個根,則



[解析] 對于A,由題圖可知 ,
,得,或 ,
因為,所以,所以 .
,得,即 ,
又,所以.因為 ,
所以,,即,,
又 ,所以,所以 ,故A正確.
,因為
, ,故函數的最小正周期不是,結合圖象可知,函數 的最小正周期為 ,故B錯誤.
對于C, ,
由 可得,
因此,函數 圖象的對稱中心為 ,
故C正確.
對于D,由,得 ,
因為,所以,
令,, , ,,,
解得,,,,,,又方程 在
上有6個根,則根從小到大依次為,,,,, .再令
,解得,則由題意得 ,故D正確.
故選 .
快速核答案(導學案)
課前預習 知識點 奇函數 偶函數 非奇非偶函數


課中探究 探究點一 例1 變式 (1)B (2)
探究點二 例2 (1) (2), (3)
變式 (1)A (2) (3)B
練習冊
基礎鞏固
1.C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.BC 7. 8.2
9.(1)(2),(3)
綜合提升
10.A 11.BD 12. 13.
14.(1)選①:選②:選③:圖略(2)
15. 16.ACD第2課時 函數y=Asin(ωx+φ)的性質
【課前預習】
知識點
R [-A,A] T= 奇函數 偶函數 非奇非偶函數
2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)
2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)
x=+-(k∈Z) (k∈Z)
【課中探究】
探究點一
例1 f(x)=3sin [解析] 方法一(逐一定參法):由題圖知A=3,T=-=π,∴ω==2,∴f(x)=3sin(2x+φ).∵點在函數圖象上,且函數圖象在點處上升,∴-×2+φ=2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=3sin.
方法二(待定系數法):由題圖知A=3.由圖象過點和,且在點處下降,在點處上升,可令解得符合題意,∴f(x)=3sin.
方法三(圖象變換法):由題圖知A=3,T=-=π,則ω==2.由點在圖象上,可知函數圖象是由y=3sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到的,∴f(x)=3sin,即f(x)=3sin.
變式 (1)B (2)-1 [解析] (1)觀察題中圖,可得A=2,函數f(x)的最小正周期T=4=,解得ω=2,則f(x)=2sin(2x+φ).又f(x)的圖象經過點,所以2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,則φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,則函數f(x)=2sin.故選B.
(2)由題圖可知,A=2,函數f(x)的最小正周期T=2×=π,∴ω==2,∴f(x)=2sin(2x+φ).將代入函數解析式中可得2=2sin,∴-+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,則f=2sin=-2sin=-1.
探究點二
例2 解:(1)由題意得=,則T==6,所以ω=.
(2)由(1)知f(x)=sin,
令x+=kπ,k∈Z,解得x=3k-1,k∈Z,
所以函數f(x)圖象的對稱中心為(3k-1,0),k∈Z.
(3)當x∈[1,3]時,x+∈,
所以當x+=,即x=1時,f(x)max=sin=,
當x+=,即x=3時,f(x)min=sin=-,
所以函數f(x)在[1,3]上的取值范圍為.
變式 (1)A (2)B (3)B [解析] (1)由題意得f=sin=±1,則+φ=+kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,又-<φ<,所以φ=-.故選A.
(2)由ωx+=+kπ,k∈Z,可得f(x)=sin(ω>0)圖象的對稱軸為x=+,k∈Z.當k=0時,x=,當k=1時,x=,當k=2時,x=,又ω>0,所以由題意得可得≤ω<,故選B.
(3)因為π0,所以ωπ-<ωx-≤2ωπ-.因為方程f(x)=0在區間(π,2π]內沒有實根,所以k∈Z,解得k+≤ω<+,k∈Z.由得-【學習目標】
掌握函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質,并能解決有關問題.
◆ 知識點 函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質
定義域    
值域    
最小正周期    
奇偶性 當φ=kπ(k∈Z)時,該函數為     ;當φ=kπ+(k∈Z)時,該函數為    ;當φ≠(k∈Z)時,該函數為      
單調性 增區間可由          得到;減區間可由         得到
對稱性 對稱軸方程:       ; 對稱中心:       
◆ 探究點一 已知圖象求函數y=Asin(ωx+φ)的解析式
例1 函數f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象的一部分如圖所示,則此函數的解析式為          .
變式 (1)函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則下列結論正確的是 (  )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
(2)[2025·江蘇興化中學高一月考] 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,則f=    .
[素養小結]
確定函數y=Asin(ωx+φ)的解析式的難點是確定φ,常把圖象上一個最高點或最低點的坐標代入(此時A,ω已知)或代入圖象與x軸的交點坐標求解(此時要注意交點的橫坐標是在增區間上還是在減區間上).
◆ 探究點二 y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質的綜合應用
例2 已知函數f(x)=sin(ω>0)的一個對稱中心到一條對稱軸的最小距離為.
(1)求ω的值;
(2)求函數f(x)圖象的對稱中心;
(3)求函數f(x)在[1,3]上的取值范圍.
                 
變式 (1)已知函數f(x)=sin(2x+φ)的圖象關于直線x=對稱,則φ= (  )
A.- B. C.- D.
(2)若函數f(x)=sin(ω>0)的圖象在區間[0,π]上有且僅有2條對稱軸,則ω的取值范圍是 (  )
A. B.
C. D.
(3)已知函數f(x)=sin(ω>0),若方程f(x)=0在區間(π,2π]內沒有實根,則ω的取值范圍是 (  )
A. B.∪
C.∪ D.
[素養小結]
(1)對于函數y=Asin(ωx+φ),當φ=kπ(k∈Z)時為奇函數,當φ=kπ+(k∈Z)時為偶函數;對于函數y=Acos(ωx+φ),當φ=kπ(k∈Z)時為偶函數,當φ=kπ+(k∈Z)時為奇函數.
(2)與正弦、余弦型函數有關的單調性、最值、對稱性問題的求解,可采用整體代換的思想,將y=Asin(ωx+φ)中的ωx+φ看成y=sin x中的x,類比y=sin x的性質求解.
(3)確定y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調區間,通常采用“換元法”整體代換,將ωx+φ看作一個整體,令“z=ωx+φ”,通過求y=Asin z的單調區間而求出函數y=Asin(ωx+φ)的單調區間.若ω<0,則必須利用誘導公式先將x的系數轉化為正數,再求單調區間.第2課時 函數y=Asin(ωx+φ)的性質
1.C [解析] ∵A>0,∴函數的最大值為A+1=5,∴A=4.
2.C [解析] 由題意知A=3,函數的最小正周期為4×(6-2)=16,因為ω>0,所以16=,則ω=,所以f(x)=3sin.由題意知f(2)=3,即3sin=3,所以+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),因為0<φ<π,所以φ=,因此f(x)=3sin,故選C.
3.A [解析] 由題意知A=2,把(0,)代入函數解析式,得則φ=.由五點作圖法可得ω·+=π,所以ω=4,故f(x)=2sin,所以f=2sin=-1.故選A.
4.C [解析] 因為函數f(x)=sin的最小正周期為,所以=,解得ω=1,所以f(x)=sin,當x∈時,3x+∈,由正弦函數的圖象和性質可知當3x+=0,即x=-時,f(x)取得最小值,最小值為sin 0=0.故選C.
5.C [解析] 依題意得,函數f=sin(ω>0)的圖象經過點,所以f=sin=sin ωπ=0(ω>0),所以ωπ=kπ,k∈N*,即ω=k,k∈N*,因此ω的最小值是1.故選C.
6.BC [解析] 由題中圖可知A==2,B==3,f(0)=2sin φ+3=2,∴sin φ=-,∵|φ|<,∴φ=-.∵f=2sin+3=1,∴--=-+2kπ,k∈Z,∴ω=2-12k,k∈Z,由題中圖可知>,即T>,∴>,∴0<ω<6,∴ω=2,∴f(x)=2sin+3.f=4,則f(x)的圖象不關于點對稱,A錯誤;f=5,為f(x)的最大值,則f(x)的圖象關于直線x=對稱,B正確;當x∈時,2x-∈,則f(x)在區間上單調遞減,C正確;當x∈時,2x-∈(-π,0),可得f(x)∈[1,3),D錯誤.故選BC.
7. [解析] 由函數f(x)=Acos(ωx+φ)的圖象知,A=1,f(x)的最小正周期T=4×=π,則ω==2.由f=-1,得cos=-1,所以+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,因為|φ|<,所以φ=-,則f(x)=cos,所以f(0)=cos=cos=.
8.2 [解析] 依題意知=-=,所以T=π,所以ω==2.
9.解:(1)由題中圖知,A=2,=-=,
所以T=π=,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),
又f=2sin=2,
所以-+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z,由0<φ<π,可知φ=,所以f(x)=2sin.
(2)令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函數的減區間為,k∈Z.
(3)當x∈時,≤2x+≤π,所以0≤sin≤1,所以f(x)=2sin∈[0,2],
即函數f(x)在區間上的取值范圍為[0,2].
10.A [解析] 由f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象可知,A=2,最小正周期T=8,故ω==,又f(0)=0且|φ|<,所以 φ=0,故f(x)=2sinx.根據函數圖象的對稱性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=,f(2)=-f(6)=2,f(4)=f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]+f(1)=0+=,故選A.
11.BD [解析] ∵直線x=和x=是函數f(x)=cos(ωx+φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸,∴=-=π,∴T=2π=,∴ω=1,∴f(x)=cos(x+φ).∵直線x=是函數f(x)=cos(x+φ)圖象的對稱軸,∴f=cos=±1,∴+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=cos.∵f(x)的圖象向左平移個單位長度得到函數g(x)的圖象,∴g(x)=cos=cos x.易知g(x)是偶函數,選項A錯誤.由g=cos=0得g(x)的圖象關于點對稱,選項B正確.由g=cos=0≠±1得直線x=不是g(x)圖象的對稱軸,選項C錯誤.g(x)的周期為2π,選項D正確.故選BD.
12.y=2sin [解析] 由題意得A=2,=3π,則T=6π,∴=6π,ω=,∴y=2sin.把(0,1)代入上式得sin φ=,又|φ|<,∴φ=,∴y=2sin.
13. [解析] 當x=0時,y=2sin=-.由x∈[0,a],可得2x-∈,因為函數y=2sin在區間[0,a]上的取值范圍為[-,2],所以根據正弦函數的圖象得≤2a-≤,解得≤a≤,所以實數a的取值范圍是.
14.解:(1)若選①:函數f(x)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為,
可得=,可得T=π=,可得ω=2.
若選②:f=0,可得ω·+=kπ,k∈Z,則ω=2-6k,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
若選③:對任意的x∈R,f(x)≤f恒成立,可得f(x)max=f=sin,
則ω+=+2kπ,k∈Z,所以ω=2+24k,k∈Z,
又0<ω<3,所以ω=2.列表如下:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 1 0 -1 0
描點,連線,作出f(x)在一個周期內的圖象,如圖所示.
(2)將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度,得到y=sin=sin的圖象,
再保持所得圖象上各點的縱坐標不變,將橫坐標變為原來的2倍,得到函數g(x)的圖象,可得g(x)=sin.
因為x∈[0,π],所以x-∈,
令t=x-,h(t)=sin t,t∈,則由題意知h(t)的圖象與直線y=k有且只有一個交點.
畫出h(t)=sin t,t∈的圖象與直線y=k,如圖所示.
因為h=-,h=h=,h=1,所以當-≤k<或k=1時滿足題意,即k的取值范圍為∪{1}.
15. [解析] 因為ω>0,x∈[0,π],所以ωx+∈,又f(x)=2sin(ω>0)在區間[0,π]上恰能取到兩次最大值,所以≤ωπ+<,解得≤ω<,即實數ω的取值范圍是.
16.ACD [解析] 對于A,由題圖可知f=,f(0)+=±,得f(0)=-1,或f(0)=sin φ=0,因為-<φ<0,所以sin φ≠0,所以f(0)=-1.由f(0)=-1,得sin φ=-1,即sin φ=-,又-<φ<0,所以φ=-.因為f=sin=,所以-=2kπ+,k∈Z,即ω=k+2,k∈Z,又0<ω≤2,所以ω=2,所以f(x)=sin,故A正確.對于B,g(x)==,因為g(x+π)===g(x),g====≠g(x),故函數g(x)的最小正周期不是,結合圖象可知,函數g(x)的最小正周期為π,故B錯誤.對于C,h(x)=f(x)+1=sin+1,由2x-=kπ(k∈Z)可得x=+(k∈Z),因此,函數h(x)圖象的對稱中心為(k∈Z),故C正確.對于D,由f(x)=1,得sin=,因為x∈(0,m),所以2x-∈,令2m-=,,,,,,解得m=,,,,,,又方程f(x)=1在(0,m)上有6個根,則根從小到大依次為,,,,,.再令2m-=,解得m=,則由題意得m∈,故D正確.故選ACD.第2課時 函數y=Asin(ωx+φ)的性質
1.函數y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值為5,則A= (  )                 
A.5 B.-5
C.4 D.-4
2.函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象的一部分如圖所示,則此函數的解析式是 (  )
A.f(x)=3sin
B.f(x)=3sin
C.f(x)=3sin
D.f(x)=3sin
3.函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f= (  )
A.-1 B.1
C.- D.
4.已知函數f(x)=sin(ω>0)的最小正周期為,則f(x)在上的最小值為 (  )
A.- B.-
C.0 D.
5.函數f(x)=sin ωx(ω>0)的圖象向左平移個單位長度,所得圖象經過點,則ω的最小值是 (  )
A. B.2
C.1 D.
6.(多選題)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分圖象如圖所示,則下列結論正確的有 (  )
A.f(x)的圖象關于點對稱
B.f(x)的圖象關于直線x=對稱
C.f(x)在區間上單調遞減
D.f(x)在區間上的取值范圍為(1,3)
7.[2025·江蘇無錫一中高一期末] 函數f(x)=Acos(ωx+φ)的圖象如圖所示,則f(0)=    .
8.在函數y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的一個周期上,當x=時,有最大值2,當x=時,有最小值-2,則ω=    .
9.(13分)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象如圖所示.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)求函數f(x)的減區間;
(3)求函數f(x)在區間上的取值范圍.
10.[2025·江蘇泰興中學高一期末] 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)等于 (  )
A. B.0
C.+2 D.-2
11.(多選題)已知ω>0,|φ|<,直線x=和x=是函數f(x)=cos(ωx+φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸,將f(x)的圖象向左平移個單位長度得到函數g(x)的圖象,則下列說法正確的是 (  )
A.g(x)是奇函數
B.g(x)的圖象關于點對稱
C.g(x)的圖象關于直線x=對稱
D.g(x)的周期為2π
12.函數y=Asin(ωx+φ)的最小值是-2,其圖象相鄰的最高點與最低點橫坐標之差的絕對值是3π,又圖象過點(0,1),則函數解析式為       .
13.[2025·江蘇無錫輔仁中學高一月考] 函數y=2sin在區間[0,a]上的取值范圍為[-,2],則實數a的取值范圍是    .
14.(15分)[2025·江蘇鎮江高一期末] 給出以下三個條件:①函數f(x)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為;②f=0;③對任意的x∈R,f(x)≤f恒成立.請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整,并解答該題.如果選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.
已知函數f(x)=sin(0<ω<3),且滿足    .
(1)求ω的值,并用“五點法”作出函數f(x)在一個周期內的圖象;
(2)將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度,再保持所得圖象上各點的縱坐標不變,將橫坐標變為原來的2倍,得到函數g(x)的圖象,若關于x的方程g(x)-k=0在區間[0,π]上有且只有一個實數解,求實數k的取值范圍.
15.[2025·江蘇南京勵志高級中學高一月考] 若函數f(x)=2sin(ω>0)在區間[0,π]上恰能取到兩次最大值,則實數ω的取值范圍是     .
16.(多選題)[2025·江蘇宿遷期末] 已知函數f(x)=sin(ωx+φ),函數g(x)=的部分圖象如圖所示,則下列說法中正確的是 (  )
A.ω=2,φ=-
B.g(x)的最小正周期是
C.h(x)=f(x)+1的圖象的對稱中心為,k∈Z
D.若方程f(x)=1在(0,m)上有且只有6個根,則m∈

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