資源簡介

(共83張PPT)
7.4 三角函數(shù)應(yīng)用
探究點一 函數(shù)中參數(shù)的物理意義
探究點二 三角函數(shù)模型在物理學中的應(yīng)用
探究點三 三角函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
了解三角函數(shù)是刻畫周期變化的數(shù)學模型，會用三角函數(shù)解決
一些簡單的實際問題.
知識點一 函數(shù) 中各量的物理意義
簡諧運動可以用函數(shù)， 表示，其中
， .
（1） 就是這個簡諧運動的______，它是做簡諧運動的物體離開平
衡位置的__________；
（2）簡諧運動的周期是 _ __，它是做簡諧運動的物體往復運動一
次所需要的時間；
（3）簡諧運動的頻率由公式_ __________給出，它是做簡諧運動的
物體在單位時間內(nèi)往復運動的次數(shù)；
（4）________稱為相位，時的相位 稱為________.
振幅
最大距離
初相位
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數(shù)，的最大值為 .( )
×
[解析] 函數(shù)，的最大值為 .
（2）函數(shù)的初相位為 .( )
×
[解析] 函數(shù)的初相位為 .
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）一個彈簧振子做簡諧振動的周期為，振幅為 ，則該振
子在內(nèi)通過的路程為 .( )
×
[解析] 該振子在一個周期內(nèi)通過的路程為，所以該振子在
內(nèi)通過的路程為 .
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（4）單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的位移
（單位：）和時間（單位： ）的函數(shù)關(guān)系式為
，那么單擺來回擺動一次所需的時間為 .( )
√
[解析] 單擺來回擺一次所需時間為一個周期，根據(jù)
，得周期 .
知識點二 解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟
應(yīng)用三角函數(shù)模型解決實際問題時,首先要把實際問題抽象為數(shù)學問題,
通過分析它的變化趨勢確定它的周期,從而建立適當?shù)娜呛瘮?shù)模型.
解答三角函數(shù)應(yīng)用題的步驟可分為四步:審題、建模、解模、還原評價.
（1）審題:先審清楚題目條件、要求,理解數(shù)學關(guān)系.
（2）建模:在細心閱讀與深入理解題意、分析題目條件（如周期性
等）的基礎(chǔ)上,引進數(shù)學符號,將問題中的非數(shù)學語言全部轉(zhuǎn)化為數(shù)學
語言,然后根據(jù)題意,列出數(shù)量關(guān)系,即建立三角函數(shù)模型,這時要注意
三角函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題要求,這樣便將實際問題轉(zhuǎn)化成了
數(shù)學問題.
（3）解模:對建立的三角函數(shù)模型進行分析研究,運用三角函數(shù)的有
關(guān)知識進行推理、運算,使問題得到解決.
（4）還原評價:把數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的解答.
探究點一 函數(shù) 中參數(shù)的物理意義
例1 指出下列函數(shù)的振幅、周期、初相位 .
（1）， ；
解：， ， .
（2）， .
解：，則有 ，
， .
變式 函數(shù) 的部分圖象如
圖所示，則的最小正周期和初相位 分別是( )
A.2， B. ， C. ， D. ，
√
[解析] 由題圖知， ，所以
， ，則，所以 .
因為，且的圖象在點 處下降，
所以 ，，即 ，.
由 ，得 .故選B.
［素養(yǎng)小結(jié)］
首先把函數(shù)解析式化為的形式，再
求振幅、周期、初相位.應(yīng)注意，.
探究點二 三角函數(shù)模型在物理學中的應(yīng)用
例2 已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位
移（單位：）隨時間（單位： ）的變化規(guī)律為
， .用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并
回答下列問題.
解：列表如下：
0
0 1 0 0
0 4 0 0
描點、連線，可得，
的圖象如圖中實線部分所示.
（1）小球在開始振動 時的位移是多少？
解：將代入 ，
得，所以小球開始振動時的位
移是 .
例2 已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位
移（單位：）隨時間（單位： ）的變化規(guī)律為
， .用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并
回答下列問題.
例2 已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位
移（單位：）隨時間（單位： ）的變化規(guī)律為
， .用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并
回答下列問題.
（2）小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？
解：小球上升到最高點和下降到最低點時的位移
分別是 和 .
例2 已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位
移（單位：）隨時間（單位： ）的變化規(guī)律為
， .用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并
回答下列問題.
（3）經(jīng)過多長時間小球往復振動一次？
解：因為的周期是 ，
所以小球往復振動一次所用的時間是 .
例3 已知電流（單位：A）與時間（單位： ）的關(guān)系式為
.
（1）如圖是 在一個周期內(nèi)的圖象，
根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求 的解析式；
解：由題圖知 ，周期
， .
當時，，即，
又 ， .
故所求的解析式為 .
例3 已知電流（單位：A）與時間（單位： ）的關(guān)系式為
.
（2）如果在任意一段的時間內(nèi)，電流 都能取得
最大值和最小值，那么 的最小正整數(shù)值是多少？
解：依題意得周期，即 ，
，又，故 的最小正整數(shù)值為315.
［素養(yǎng)小結(jié)］
三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡諧運動、交變電流、交
變電壓等方面,其中對彈簧振子和單擺的運動等有關(guān)問題考查較多.要
弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.
探究點三 三角函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用
例4 海水受日月引力影響會產(chǎn)生潮汐，漲潮時水面升高，退潮時水
面降低.現(xiàn)測得某港口某天的時刻（單位：時）與水深 （單位：米）
的一組數(shù)據(jù)，如表（3.1時即為凌晨3點06分）
0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)知，可以用函數(shù)
來近似描述這一天內(nèi)該港口的
水深與時刻的關(guān)系，求出這個函數(shù)的解析式.
解：由表格中數(shù)據(jù)可知的最大值為，最小值為 ，所以
, ，
由表格中數(shù)據(jù)可知 ，
所以，所以 ，
將代入上式，可得 ，
所以 ,，解得 , ，
因為，所以 ，
所以, .
例4 海水受日月引力影響會產(chǎn)生潮汐，漲潮時水面升高，退潮時水
面降低.現(xiàn)測得某港口某天的時刻（單位：時）與水深 （單位：米）
的一組數(shù)據(jù)，如表（3.1時即為凌晨3點06分）
0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
（2）某條貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4.2米.安全條例
規(guī)定，在本港口進港和在港口停靠時，船底高于海底平面的安全間
隙至少為2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進
港時間及這條貨船一天最多可以在該港口中停靠的總時長.
解：貨船需要的安全水深為 （米）,所以進港條件為
.
令,得 ,
所以 , ,
解得,,
因為，所以當 時， ,
當時， .
因為時時2分,時時10分,時時26分，時 時34分，
所以貨船可以在1時2分進港，早晨5時10分出港，或在下午13時26分
進港，下午17時34分出港.
則該貨船最早進港時間為1時2分，停靠總時長最多為8小時16分鐘.
變式 心臟在跳動時,血壓會升高或降低.血壓的最大值和最小值分別
稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓,通常認為
讀數(shù) 為標準值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式
,其中為血壓（單位：）, 為時
間（單位： ）.
（1）求函數(shù) 的周期;
解：由題意可得，函數(shù)的周期 .
（2）求此人每分鐘心跳的次數(shù);
解：根據(jù)公式,可得 ,即此人每分鐘心跳的次數(shù)是80.
變式 心臟在跳動時,血壓會升高或降低.血壓的最大值和最小值分別
稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓,通常認為
讀數(shù) 為標準值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式
,其中為血壓（單位：）, 為時
間（單位： ）.
（3）求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù),并與標準值進行比較.
解：函數(shù)的最大值是 ,最小
值是 ,即此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)為
,與標準值相比較偏高一些.
［素養(yǎng)小結(jié)］
解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟
運用三角函數(shù)模型解決問題的幾種類型
（1）由圖象求解析式.首先由圖象確定解析式的基本形式,例如:
,然后根據(jù)圖象特征確定解析式中的
參數(shù),在求解過程中還要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與實際意義判斷所求參數(shù)的值
是否滿足要求.
（2）由圖象研究函數(shù)性質(zhì).觀察分析函數(shù)圖象,能解決函數(shù)的單調(diào)性、
奇偶性、對稱性、周期性、最值等問題.
（3）利用三角函數(shù)研究實際問題.首先分析、歸納實際問題,抽象概括
出數(shù)學模型,再利用圖象及性質(zhì)解答數(shù)學問題,最后得到實際問題的答案.
1.用建模方法解決函數(shù)圖象與解析式問題
函數(shù)圖象與解析式的對應(yīng)問題是高考考查的熱點之一.解決此問題的
一般方法是根據(jù)圖象所反映的函數(shù)性質(zhì)建立合適的三角函數(shù)模型,再
解決如函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、值域等問題.
例1 根據(jù)國家有關(guān)部門下發(fā)的標準，車輛駕駛?cè)藛T飲酒駕車或者醉
酒駕車對應(yīng)血液中的酒精含量如表.
駕駛行為類別
飲酒駕車
醉酒駕車
經(jīng)過反復試驗可得，一般情況下，某人喝一瓶酒后酒精在血液中的
含量單位：與時間 （單位：小時）的關(guān)系為
根據(jù)上述條件，回答以下問題：
例1 根據(jù)國家有關(guān)部門下發(fā)的標準，車輛駕駛?cè)藛T飲酒駕車或者醉
酒駕車對應(yīng)血液中的酒精含量如表.
駕駛行為類別
飲酒駕車
醉酒駕車
經(jīng)過反復試驗可得，一般情況下，某人喝一瓶酒后酒精在血液中的
含量單位：與時間 （單位：小時）的關(guān)系為
根據(jù)上述條件，回答以下問題：
（1）試計算此人喝1瓶酒后經(jīng)過多少小時血液中的酒精含量達到最
大值？最大值是多少？
解：由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在， 上
單調(diào)遞減，
又， ，
所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為 ，
故喝1瓶酒后經(jīng)過1.5小時血液中的酒精含量達到最大值，最大值是
.
例1 根據(jù)國家有關(guān)部門下發(fā)的標準，車輛駕駛?cè)藛T飲酒駕車或者醉
酒駕車對應(yīng)血液中的酒精含量如表.
駕駛行為類別
飲酒駕車
醉酒駕車
經(jīng)過反復試驗可得，一般情況下，某人喝一瓶酒后酒精在血液中的
含量單位：與時間 （單位：小時）的關(guān)系為
根據(jù)上述條件，回答以下問題：
（2）試計算此人喝1瓶酒后經(jīng)過多少小時才可以駕車？（時間 以整
小時計）參考數(shù)據(jù)：，，
解：由題意知當車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量小于
時才可以駕車，此時 ，
由即
解得 ，
因為，所以 的最小值為6，故此人喝1瓶酒后經(jīng)過6小時才可
以駕車.
2.三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題
三角函數(shù)模型是描述現(xiàn)實世界中具有周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型,在刻
畫周期變化規(guī)律等方面發(fā)揮著十分重要的作用.
例2 某游樂園內(nèi)豎立著一座摩天輪，半徑為20米，購票后可以乘坐
一圈，該摩天輪沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一圈要12分鐘，摩
天輪的最低點與地面相距1米，供游客上下摩天輪轎廂，若從小王進
入摩天輪轎廂開始計時，在運行過程中，轎廂與其中的游客看作是
摩天圓環(huán)上一個點.
（1）求出小王同學距離地面的高度（單位：米）關(guān)于時間
（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式.
解：設(shè) ，
由題意知，， .
因為摩天輪勻速轉(zhuǎn)一圈要12分鐘，即，所以 ，則
.
因為從小王同學位于最低點時開始計時，即時 ，
所以，可得,
不妨取 ，所以 .
例2 某游樂園內(nèi)豎立著一座摩天輪，半徑為20米，購票后可以乘坐
一圈，該摩天輪沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一圈要12分鐘，摩
天輪的最低點與地面相距1米，供游客上下摩天輪轎廂，若從小王進
入摩天輪轎廂開始計時，在運行過程中，轎廂與其中的游客看作是
摩天圓環(huán)上一個點.
（2）當游客距離地面高度達到31米及以上時，可以俯看到游樂場的
全景，這段時間稱為“美景期”，求摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小
王同學處于“美景期”的時間有多長？
解：由題意知，即 ，
當時，可得，
因為 ，
所以摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小王同學處于“美景期”的時間有4
分鐘.
練習冊
1.函數(shù) 的周期、振幅、初相位分別是( )
A.,2, B. ，，
C. ，2， D. ，2，
[解析] 依題意得，函數(shù)的周期 ，函數(shù)的振幅為2，初相
位為 .故選C.
√
（第2題圖）
2.某港口一天6時到18時的水深（單位：米）變
化曲線如圖所示，該曲線可近似看作函數(shù)
的圖象，據(jù)此函數(shù)可知，
這段時間水深的最大值為 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
[解析] 由題圖知，解得 ，所以這段時間水深的最大
值為 .
√
3.如圖是一個質(zhì)點做簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是 ( )
A.該質(zhì)點的振動周期為
B.該質(zhì)點的振幅為
C.該質(zhì)點在和 時的振動速度最大
D.該質(zhì)點在和時的位移為
[解析] 由題中圖及簡諧運動的有關(guān)知識知,周期 ,
振幅，
當或時,振動速度為；
當 和時的位移為 .故選D.
√
4.交變電流是指電流大小和方向隨時間進行周期性變化的電流.已知
某交變電流（單位：A）隨時間（單位： ）變化的函數(shù)關(guān)系式
為 .若該交變電流連續(xù)兩次達到方向相同的有
效值的時刻分別為,，且 ，則該交
變電流在 時的瞬時值可能為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題意知，結(jié)合對稱性得當
時，取得最大值或最小值，所以 , ，即
,，則 ，故該交變電流在
時的瞬時值為.
當 時，得；當時，；當時，
；當時，；當時，；
當 時， .故選A.
5.如圖，一個大風車的半徑為, 旋轉(zhuǎn)
一周，它的最低點距離地面 ，風車翼片
的一個端點從 開始按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則
點到地面的距離（單位：）與時間
（單位： ）之間的函數(shù)關(guān)系式是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根據(jù)題意可設(shè) ，則
,
旋轉(zhuǎn)一周， , .
大風車的半徑為 ，最低點距離地面，
， ，
.故選D.
6.水車是古代農(nóng)耕常用的灌溉引水工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類
改造自然的成果之一.如圖①是一個半徑為 的水車，以水車的中心為原點，過
水車的中心且平行于水平面的直線為 軸，建立平面直角坐標系（如圖②），
一個水斗從點 出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用
時60秒.經(jīng)過秒，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標為 ，其縱坐標滿足
，當秒時， ( )
A. B. C. D.4
√
[解析] 由題意知， ，經(jīng)過45秒，旋
轉(zhuǎn)了個周期，
因此，所以 ，故選A.
7.做簡諧運動的物體相對平衡位置的位移（單位：）與時間
（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則這個簡諧運動的周期為____ .
0.8
[解析] 由題圖知，這個簡諧運動的周期 .
8.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示
的坐標系，設(shè)秒針指向位置 ，若初始位置為
，秒針從（注：此時 ）開始沿順時
針方向走動，則點的縱坐標與時間（單位： ）
的函數(shù)關(guān)系式為__________________.
[解析] 設(shè)， 秒針沿順時針方向走動，
且每60秒轉(zhuǎn)一周， .
由 ，得，，
又由 ，可得，故點 的縱坐標與時間的函數(shù)關(guān)系
式為 .
9.（13分）已知某簡諧振動
的部分圖象如圖所示.
（1）求函數(shù) 的解析式;
解：由題中圖可知，，函數(shù) 的最小正周期
，，
.
將 代入解析式中可得 ，
，解得 ，
， ， .
9.（13分）已知某簡諧振動
的
部分圖象如圖所示.
（2）求函數(shù) 的最小正周期、頻率、振幅、初
相位.
解：由（1）知的最小正周期 ，頻率 ，振幅為2，
初相位為 .
10.（13分）如圖所示，彈簧掛著的小球做上下振動，時間
（單位：）與小球相對于平衡位置（即靜止時的位置）的高度
（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系式是， .
（1）以為橫坐標， 為縱坐標，畫出函數(shù)在一個周期上的簡圖.
解：用“五點法”作圖.①列表如下：
0
0 2 0 0
②描點并將它們用光滑的曲線連接起來，易
知函數(shù)在與 上的圖象相同，所
以 的簡圖如圖中
實線部分所示.
10.（13分）如圖所示，彈簧掛著的小球做上下振
動，時間（單位： ）與小球相對于平衡位置
（即靜止時的位置）的高度（單位： ）之間的
函數(shù)關(guān)系式是， .
（2）小球開始振動時的位置在哪里？
解：當時， ，即小球開始振動時的位
置在平衡位置上方的 處.
10.（13分）如圖所示，彈簧掛著的小球做上下振動，
時間（單位： ）與小球相對于平衡位置
（即靜止時的位置）的高度（單位： ）之間的
函數(shù)關(guān)系式是， .
（3）小球最高點、最低點的位置分別在哪里？它們到平衡位置的距
離分別是多少？
解：由題意知，最高點的位置在平衡位置上方的 處,最低點的位
置在平衡位置下方的 處，最高點、最低點到平衡位置的距離均
為 .
11.某興趣小組以某閏年之前一年的春分節(jié)氣為起始時間（已知春分節(jié)
氣時太陽直射點在赤道上），測量了一整年內(nèi)太陽直射點緯度的數(shù)據(jù)，
并通過正弦函數(shù)來模擬這一整年太陽直射點緯度值的變化.已知太陽直
射點移至最北端時緯度約為北緯 ，用 代表自春分節(jié)氣開始經(jīng)
過的天數(shù)， 代表太陽直射點緯度值，太陽直射北半球時取正值，直
射南半球時取負值，則該年太陽直射點緯度值的變化近似滿足的函數(shù)
關(guān)系式為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 設(shè)，又，所以 ，
因為太陽直射點移至最北端時緯度約為北緯 ，且太陽直射北
半球時取正值，直射南半球時取負值，所以 ，則該年太陽
直射點緯度值的變化近似滿足函數(shù) .故選B.
12.（多選題）筒車（如圖①）是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，
既經(jīng)濟又環(huán)保，假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水
筒都做勻速圓周運動.如圖②，將筒車抽象成一個半徑為 的圓，設(shè)
筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時60秒，當時，盛水筒 位于
點，經(jīng)過秒運動到點，點 的縱坐標滿足
，則下列敘述正確的
是( )
A.筒車轉(zhuǎn)動的角速度
B.當筒車旋轉(zhuǎn)10秒時，盛水筒對應(yīng)的點 的縱坐標為0
C.當筒車旋轉(zhuǎn)50秒時，盛水筒和初始點的水平距離為
D.盛水筒 第一次到達最高點需要的時間是25秒
√
√
√
[解析] 對于A，因為筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時60秒，所以
，因此A正確；
對于B，因為當 時，盛水筒位于點，所以
，所以，則，
因為，所以 ，
則 ，
所以 ，因此B正確；
對于C，由B可求得，當筒車旋轉(zhuǎn)50秒時，盛水筒的縱坐標為 ，
設(shè)它的橫坐標為，則，解得 ，因為此時筒
車旋轉(zhuǎn)了50秒，所以此時盛水筒在第三象限，故，則盛水筒
和初始點的水平距離為 ，因此C錯誤；
對于D，由，得，
所以盛水筒 第一次到達最高點所
需要的時間是25秒，因此D正確.故選 .
13.已知某地區(qū)某天的溫度（單位：）隨時間 （單位：時）的
變化趨勢近似滿足函數(shù) ，
，且這天的最大溫差為，則 ___；若溫度不低于
需要開空調(diào)降溫，則這天需要降溫的時長為___小時.
4
6
[解析] 函數(shù) ，其最小正周期
，故這天的最大溫差即為的最大值與最小值的差，
又 ，所以，解得.
令 ，得，可得，
由 ，得，所以 或
，解得 ，則一天中需要降溫
的時長為 小時).
14. 山東滕州一中高一月考］是輪子（半徑為 ）外邊
沿上的一點，若輪子從圖中位置（ 恰為輪子和地面的切點）向左勻
速無滑動滾動，當滾動的水平距離為時，點 距離地面的
高度為，若,，則 的最小
值為__.
[解析] 由題意可知，輪子的半徑 ，則輪
子滾動一周的水平距離為 ，如圖所示，
設(shè)輪子滾動了時點到達點,則的長為 ，
所以，
過點作垂直于地面，垂足為，過點 作，垂足為 ，
則 ，
所以.
由，可得 ，
所以 ,，解得, .
令, ,, ,所以
，,，且 ，所以
當時，取最小值 .
15.音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆，也可稱
為“葫蘆曲線”.該曲線的性質(zhì)是每經(jīng)過相同的時間
間隔，它的振幅就變化一次.如圖所示，某一條葫
蘆曲線的方程為, ，
A. B. C. D.
其中表示不超過的最大整數(shù).若該條曲線還滿足 ，且經(jīng)
過點，則該條葫蘆曲線與直線 交點的縱坐標為
( )
√
[解析] 將 代入葫蘆曲線的方程可得
，則 ，
.
當 時，可得
，所以交點的縱坐標為 .故選C.
16.（15分）［2025·江蘇鹽城高一期末］ 現(xiàn)有足
夠長的“”型的河道，如圖所示，寬度分別為
和，若經(jīng)過點拉一張網(wǎng) ，開辟如圖所示
的直角三角形用于養(yǎng)魚，設(shè) .
（1）求漁網(wǎng)長度，用含有 的式子表示，并
寫出定義域；
解：過點分別作,垂直于, ，垂足
分別為,，則 ,
， ，
所以， ，
所以， .
16.（15分）［2025·江蘇鹽城高一期末］ 現(xiàn)有足
夠長的“”型的河道，如圖所示，寬度分別為
和，若經(jīng)過點拉一張網(wǎng) ，開辟如圖所
示的直角三角形用于養(yǎng)魚，設(shè) .
（2）求養(yǎng)殖面積的最小值，及此時 的值；
解：，，
所以 ，
，
所以，
當且僅當，即，即 時取等號，
所以養(yǎng)殖面積的最小值為，此時 .
16.（15分）［2025·江蘇鹽城高一期末］ 現(xiàn)有
足夠長的“ ”型的河道，如圖所示，寬度分別
為和，若經(jīng)過點拉一張網(wǎng) ，開
辟如圖所示的直角三角形 用于養(yǎng)魚，設(shè)
.
（3）若分別以, 為直徑制作兩個圓形的
遮陽篷，求兩遮陽篷的面積和的最小值.
，當且僅當，
即 時取等號.故兩遮陽篷的面積和
的最小值為 .
解：由（1）知， ，設(shè)兩遮陽篷的面積和為 ，則
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 （1）振幅 最大距離 （2） （3）
（4） 初相位 【診斷分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
課中探究 探究點一 例1 （1）， ， （2）
， ， 變式 B
探究點二 例2 圖略（1） （2）小球上升到最高點和下降到最低點時的位移
分別是和 （3） 例3 （1）（2）315
探究點三 例4 （1）<,（2）8小時16分鐘
變式 （1） （2）80
（3）即此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)為,與標準值相比較偏高一些.
練習冊
基礎(chǔ)鞏固 1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.A 7.0.8 8.
9.（1）
（2）的最小正周期 ，頻率，振幅為2，初相位為.
10.（1）圖略 （2）在平衡位置上方的處 （3）最高點的位置在平衡位置
上方的處, 最低點的位置在平衡位置下方的處，最高點、最低點到平衡
位置的距離均為.
綜合提升 11.B 12.ABD 13.4 6 14.
思維探索 15.C 16.（1），的
最小值為，此時（3）【課前預習】
知識點一
(1)振幅　最大距離　(2)　(3)f==
(4)ωx+φ　初相位
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值為|A|.
(2)函數(shù)y=Asin(ωx-φ)的初相位為-φ.
(3)該振子在一個周期內(nèi)通過的路程為20 cm,所以該振子在2 s內(nèi)通過的路程為20×=100(cm).
(4)單擺來回擺一次所需時間為一個周期,根據(jù)s=6sin,得周期T== s.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)A=2,T==4π,φ=.
(2)y=-6sin=6sin,則有A=6,T==π,φ=π.
變式　B　[解析] 由題圖知f(x)min=-A=-,T=π-=,所以A=,T=π,則ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ).因為f=sin=0,且f(x)的圖象在點處下降,所以π+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.由|φ|<,得φ=.故選B.
探究點二
例2　解:列表如下:
t -
2t+ 0 π 2π
sin 0 1 0 -1 0
s 0 4 0 -4 0
描點、連線,可得s=4sin,t∈[0,+∞)的圖象如圖中實線部分所示.
(1)將t=0代入s=4sin,
得s=4sin=2,所以小球開始振動時的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4 cm和-4 cm.
(3)因為s=4sin的周期是π,所以小球往復振動一次所用的時間是π s.
例3　解:(1)由題圖知A=20,周期T=2×=,∴ω==200π.
當t=時,I=0,即sin=0,又|φ|<,∴φ=.
故所求的解析式為I=20sin(t≥0).
(2)依題意得周期T≤,即≤(ω>0),
∴ω≥100π>314,又ω∈N*,故ω的最小正整數(shù)值為315.
探究點三
例4　解:(1)由表格中數(shù)據(jù)可知y的最大值為7.4,最小值為2.6,所以A==2.4,b==5,
由表格中數(shù)據(jù)可知T=12.4-0=12.4,
所以ω===,所以y=2.4sin+5,
將(3.1,7.4)代入上式,可得7.4=2.4sin+5,
所以×3.1+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ,k∈Z,
因為|φ|<,所以φ=0,
所以y=2.4sinx+5,0≤x<24.
(2)貨船需要的安全水深為4.2+2=6.2(米),所以進港條件為y≥6.2.
令2.4sinx+5≥6.2,得sinx≥,
所以+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
解得+≤x≤+,k∈Z,因為0≤x<24,所以當k=0時,≤x≤,
當k=1時,≤x≤.
因為時=1時2分,時=5時10分,時=13時26分,時=17時34分,
所以貨船可以在1時2分進港,早晨5時10分出港,或在下午13時26分進港,下午17時34分出港.
則該貨船最早進港時間為1時2分,停靠總時長最多為8小時16分鐘.
變式　解:(1)由題意可得,函數(shù)P(t)的周期T===.
(2)根據(jù)公式f=,可得f=80,即此人每分鐘心跳的次數(shù)是80.
(3)函數(shù)P(t)=115+25sin 160πt的最大值是115+25=140,最小值是115-25=90,即此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)為140/90 mmHg,與標準值相比較偏高一些.7.4　三角函數(shù)應(yīng)用
1.C　[解析] 依題意得,函數(shù)的周期T==4π,函數(shù)的振幅為2,初相位為.故選C.
2.C　[解析] 由題圖知2=-3+k,解得k=5,所以這段時間水深的最大值為3+k=8.
3.D　[解析] 由題中圖及簡諧運動的有關(guān)知識知,周期T=0.8 s,振幅A=5 cm,當t=0.1 s或t=0.5 s時,振動速度為0 cm/s;當t=0.3 s和0.7 s時的位移為0 cm.故選D.
4.A　[解析] 由題意知S(t1)=S(t2)=S0,結(jié)合對稱性得當t==3時,S(t)取得最大值或最小值,所以3ω=+kπ,k∈Z,即ω=+,k∈Z,則S(t)=10sin,故該交變電流在t=1 s時的瞬時值為S(1)=10sin.當k=0時,得S(1)=5 A;當k=1時,S(1)=10 A;當k=2時,S(1)=5 A;當k=3時,S(1)=-5 A;當k=4時,S(1)=-10 A;當k=5時,S(1)=-5 A.故選A.
5.D　[解析] 根據(jù)題意可設(shè)h(t)=Acos ωt+B,則A<0,B>0.∵12 min旋轉(zhuǎn)一周,∴=12,∴ω=.∵大風車的半徑為6 m,最低點距離地面2 m,∴A=-6,B=|-6|+2=8,∴h(t)=-6cost+8.故選D.
6.A　[解析] 由題意知r==4,T=60,經(jīng)過45秒,旋轉(zhuǎn)了個周期,因此∠POA=×2π=,所以PA=4,故選A.
7.0.8　[解析] 由題圖知,這個簡諧運動的周期T=0.8 s.
8.y=sin　[解析] 設(shè)y=sin(ωt+φ)(0≤φ<2π),∵秒針沿順時針方向走動,且每60秒轉(zhuǎn)一周,∴ω=-=-(rad/s).由P0,得cos φ=,sin φ=,又由0≤φ<2π,可得φ=,故點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關(guān)系式為y=sin.
9.解:(1)由題中圖可知,A=2,函數(shù)f(x)的最小正周期T=2×=π,
∴ω==2,∴f(x)=2sin(2x+φ).將代入解析式中可得2=2sin,
∴-+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z),
∵0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
(2)由(1)知f(x)的最小正周期T=π,頻率f==,振幅為2,初相位為.
10.解:(1)用“五點法”作圖.①列表如下:
t -
2t+ 0 π π 2π
2sin 0 2 0 -2 0
②描點并將它們用光滑的曲線連接起來,易知函數(shù)在與上的圖象相同,所以h=2sin(t∈[0,π])的簡圖如圖中實線部分所示.
(2)當t=0時,h=2sin=,即小球開始振動時的位置在平衡位置上方的 cm處.
(3)由題意知,最高點的位置在平衡位置上方的2 cm處,最低點的位置在平衡位置下方的2 cm處,最高點、最低點到平衡位置的距離均為2 cm.
11.B　[解析] 設(shè)y=Asin ωx,又T=366,所以ω==,因為太陽直射點移至最北端時緯度約為北緯23.44°,且太陽直射北半球時取正值,直射南半球時取負值,所以A=23.44,則該年太陽直射點緯度值的變化近似滿足函數(shù)y=23.44sinx.故選B.
12.ABD　[解析] 對于A,因為筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時60秒,所以ω==(rad/s),因此A正確;對于B,因為當t=0時,盛水筒M位于點P0(3,-3),所以R==6,所以f(0)=6sin φ=-3,則sin φ=-,因為|φ|<,所以φ=-,則f(t)=6sin,所以f(10)=6sin=6sin 0=0,因此B正確;對于C,由B可求得,當筒車旋轉(zhuǎn)50秒時,盛水筒M的縱坐標為-3,設(shè)它的橫坐標為x,則=6,解得x=±3,因為此時筒車旋轉(zhuǎn)了50秒,所以此時盛水筒M在第三象限,故x=-3,則盛水筒M和初始點P0的水平距離為3-(-3)=6,因此C錯誤;對于D,由t-=,得t=25∈(0,60],所以盛水筒M第一次到達最高點所需要的時間是25秒,因此D正確.故選ABD.
13.4　6　[解析] 函數(shù)f(t)=28+Asin(A>0),其最小正周期T==16<24,故這天的最大溫差即為f(t)的最大值與最小值的差,又A>0,所以(A+28)-(-A+28)=2A=8,解得A=4.令f(t)≥30,得4sin+28≥30,可得sin≥,由t∈[0,24),得t+π∈,所以π≤t+π≤或≤t+π≤π,解得t∈∪,則一天中需要降溫的時長為+=6(小時).
14.　[解析] 由題意可知,輪子的半徑r=0.5 m,則輪子滾動一周的水平距離為2πr=π(m),如圖所示,設(shè)輪子滾動了x m時點A到達點A',則的長為x,所以∠AOA'==2x,過點A'作A'C垂直于地面,垂足為C,過點O作OB⊥A'C,垂足為B,則A'C=A'B+BC=sin+=-cos 2x,所以h(x)=-cos 2x.由h(x)=-cos 2x=0.5,可得cos 2x=0,所以2x=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z.令x1=+,k1∈N,x2=+,k2∈N,所以x2-x1=,k1,k2∈N,且k115.C　[解析] 將代入葫蘆曲線的方程可得=,則=1,由ω∈(1,3)可得ω=2,因此該葫蘆曲線方程為|y|=|sin 2x|.當x=π時,可得|y|====,所以交點的縱坐標為±.故選C.
16.解:(1)過點A分別作AB,AC垂直于OE,OF,垂足分別為B,C,則AB=OC=5,AC=OB=5,∠OEF=∠CAF=θ,所以AE==,AF==,
所以EF=AE+AF=+,θ∈.
(2)BE==,CF=ACtan θ=5tan θ,
所以O(shè)E=OB+BE=5+,OF=OC+CF=5+5tan θ,所以S△EOF=OE·OF=(5+5tan θ)==≥=(50+50)=50,
當且僅當75tan θ=,即tan θ=,即θ=時取等號,
所以養(yǎng)殖面積S△EOF的最小值為50,此時θ=.
(3)由(1)知 AE=,AF=,
設(shè)兩遮陽篷的面積和為S,則S=π+π=π+π=π=(sin2θ+cos2θ)==≥=(100+50),當且僅當=,即tan θ=時取等號.故兩遮陽篷的面積和的最小值為(100+50).7.4　三角函數(shù)應(yīng)用
【學習目標】
　　了解三角函數(shù)是刻畫周期變化的數(shù)學模型,會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題.
◆ 知識點一　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中各量的
物理意義
簡諧運動可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
(1)A就是這個簡諧運動的　　　　,它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的　　　　　;
(2)簡諧運動的周期是T=　　　　,它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間;
(3)簡諧運動的頻率由公式　　　　　　給出,它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復運動的次數(shù);
(4)　　　　稱為相位,x=0時的相位φ稱為　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值為A. (　 )
(2)函數(shù)y=Asin(ωx-φ)的初相位為φ. (　 )
(3)一個彈簧振子做簡諧振動的周期為0.4 s,振幅為5 cm,則該振子在2 s內(nèi)通過的路程為50 cm. (　 )
(4)單擺從某點開始來回擺動,離開平衡位置O的位移s(單位:cm)和時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式為s=6sin,那么單擺來回擺動一次所需的時間為 s. (　 )
◆ 知識點二　解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟
應(yīng)用三角函數(shù)模型解決實際問題時,首先要把實際問題抽象為數(shù)學問題,通過分析它的變化趨勢確定它的周期,從而建立適當?shù)娜呛瘮?shù)模型.解答三角函數(shù)應(yīng)用題的步驟可分為四步:審題、建模、解模、還原評價.
(1)審題:先審清楚題目條件、要求,理解數(shù)學關(guān)系.
(2)建模:在細心閱讀與深入理解題意、分析題目條件(如周期性等)的基礎(chǔ)上,引進數(shù)學符號,將問題中的非數(shù)學語言全部轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,然后根據(jù)題意,列出數(shù)量關(guān)系,即建立三角函數(shù)模型,這時要注意三角函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題要求,這樣便將實際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學問題.
(3)解模:對建立的三角函數(shù)模型進行分析研究,運用三角函數(shù)的有關(guān)知識進行推理、運算,使問題得到解決.
(4)還原評價:把數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的解答.
◆ 探究點一　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)的物理意義
例1 指出下列函數(shù)的振幅A、周期T、初相位φ.
(1)y=2sin,x∈R;
(2)y=-6sin,x∈R.
變式 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的最小正周期T和初相位φ分別是 (　 )
A.2,
B.π,
C.2π,
D.π,
[素養(yǎng)小結(jié)]
首先把函數(shù)解析式化為y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,再求振幅、周期、初相位.應(yīng)注意A>0,φ>0.
◆ 探究點二　三角函數(shù)模型在物理學中的應(yīng)用
例2 已知彈簧上掛著的小球做上下振動時,小球離開平衡位置的位移s(單位:cm)隨時間t(單位:s)的變化規(guī)律為s=4sin,t∈[0,+∞).用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖,并回答下列問題.
(1)小球在開始振動(t=0)時的位移是多少
(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少
(3)經(jīng)過多長時間小球往復振動一次
例3 已知電流I(單位:A)與時間t(單位:s)的關(guān)系式為I=Asin(ωt+φ).
(1)如圖是I=Asin(ωt+φ)在一個周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果在任意一段 s的時間內(nèi),電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整數(shù)值是多少
[素養(yǎng)小結(jié)]
三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡諧運動、交變電流、交變電壓等方面,其中對彈簧振子和單擺的運動等有關(guān)問題考查較多.要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.
◆ 探究點三　三角函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用
例4 海水受日月引力影響會產(chǎn)生潮汐,漲潮時水面升高,退潮時水面降低.現(xiàn)測得某港口某天的時刻x(單位:時)與水深y(單位:米)的一組數(shù)據(jù),如表(3.1時即為凌晨3點06分):
時刻x 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深y 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)知,可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b來近似描述這一天內(nèi)該港口的水深與時刻的關(guān)系,求出這個函數(shù)的解析式.
(2)某條貨船的吃水深度(船底到水面的距離)為4.2米.安全條例規(guī)定,在本港口進港和在港口停靠時,船底高于海底平面的安全間隙至少為2米,根據(jù)(1)中的解析式,求出這條貨船最早可行的進港時間及這條貨船一天最多可以在該港口中停靠的總時長.
變式 心臟在跳動時,血壓會升高或降低.血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓,通常認為讀數(shù)120/80 mmHg為標準值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式P(t)=115+25sin 160πt,其中P(t)為血壓(單位:mmHg),t為時間(單位:min).
(1)求函數(shù)P(t)的周期;
(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù);
(3)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù),并與標準值進行比較.
[素養(yǎng)小結(jié)]
解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟7.4　三角函數(shù)應(yīng)用
1.函數(shù)y=2sin的周期、振幅、初相位分別是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.,2, B.4π,-2,-
C.4π,2, D.2π,2,
2.某港口一天6時到18時的水深(單位:米)變化曲線如圖所示,該曲線可近似看作函數(shù)y=3sin+k的圖象,據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深的最大值為 (　 )
A.5 B.6
C.8 D.10
3.如圖是一個質(zhì)點做簡諧運動的圖象,則下列判斷正確的是 (　 )
A.該質(zhì)點的振動周期為0.7 s
B.該質(zhì)點的振幅為-5 cm
C.該質(zhì)點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大
D.該質(zhì)點在0.3 s和0.7 s時的位移為0 cm
4.交變電流是指電流大小和方向隨時間進行周期性變化的電流.已知某交變電流S(t)(單位:A)隨時間t(單位:s)變化的函數(shù)關(guān)系式為S(t)=10sin ωt(ω>0).若該交變電流連續(xù)兩次達到方向相同的有效值S0(-10A.5 A B.5 A
C.5 A D.2 A
5.如圖,一個大風車的半徑為6 m,12 min旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點P0距離地面2 m,風車翼片的一個端點P從P0開始按逆時針方向旋轉(zhuǎn),則點P到地面的距離h(單位:m)與時間t(單位:min)之間的函數(shù)關(guān)系式是 (　 )
A.h(t)=-6sint+6
B.h(t)=-6cost+6
C.h(t)=-6sint+8
D.h(t)=-6cost+8
6.水車是古代農(nóng)耕常用的灌溉引水工具,是人類的一項古老的發(fā)明,也是人類改造自然的成果之一.如圖①是一個半徑為r的水車,以水車的中心為原點,過水車的中心且平行于水平面的直線為x軸,建立平面直角坐標系(如圖②),一個水斗從點A(2,-2)出發(fā),沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒.經(jīng)過t秒,水斗旋轉(zhuǎn)到點P,設(shè)點P的坐標為(x,y),其縱坐標滿足y=rsin(ωt+φ),當t=45秒時,PA= (　 )
A.4 B.
C.4 D.4
7.做簡諧運動的物體相對平衡位置的位移y(單位:cm)與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則這個簡諧運動的周期為　　　　s.
8.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,建立如圖所示的坐標系,設(shè)秒針指向位置P(x,y),若初始位置為P0,秒針從P0(注:此時t=0)開始沿順時針方向走動,則點P的縱坐標y與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式為　　　　　　　　　.
9.(13分)已知某簡諧振動f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期、頻率、振幅、初相位.
10.(13分)如圖所示,彈簧掛著的小球做上下振動,時間t(單位:s)與小球相對于平衡位置(即靜止時的位置)的高度h(單位:cm)之間的函數(shù)關(guān)系式是h=2sin,t∈[0,+∞).
(1)以t為橫坐標,h為縱坐標,畫出函數(shù)在一個周期上的簡圖.
(2)小球開始振動時的位置在哪里
(3)小球最高點、最低點的位置分別在哪里 它們到平衡位置的距離分別是多少
11.某興趣小組以某閏年之前一年的春分節(jié)氣為起始時間(已知春分節(jié)氣時太陽直射點在赤道上),測量了一整年內(nèi)太陽直射點緯度的數(shù)據(jù),并通過正弦函數(shù)來模擬這一整年太陽直射點緯度值的變化.已知太陽直射點移至最北端時緯度約為北緯23.44°,用x代表自春分節(jié)氣開始經(jīng)過的天數(shù),y代表太陽直射點緯度值,太陽直射北半球時取正值,直射南半球時取負值,則該年太陽直射點緯度值的變化近似滿足的函數(shù)關(guān)系式為 (　 )
A.y=23.44sinx
B.y=23.44sinx
C.y=46.88sinx
D.y=46.88sinx
12.(多選題)筒車(如圖①)是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,既經(jīng)濟又環(huán)保,假定在水流量穩(wěn)定的情況下,筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖②,將筒車抽象成一個半徑為R的圓,設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時60秒,當t=0時,盛水筒M位于點P0(3,-3),經(jīng)過t秒運動到點P(x,y),點P的縱坐標滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),則下列敘述正確的是 (　 )
A.筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω= rad/s
B.當筒車旋轉(zhuǎn)10秒時,盛水筒M對應(yīng)的點P的縱坐標為0
C.當筒車旋轉(zhuǎn)50秒時,盛水筒M和初始點的水平距離為6
D.盛水筒M第一次到達最高點需要的時間是25秒
13.已知某地區(qū)某天的溫度f(t)(單位:℃)隨時間t(單位:時)的變化趨勢近似滿足函數(shù)f(t)=28+Asin(A>0),t∈[0,24),且這天的最大溫差為8 ℃,則A=　　　　;若溫度不低于30 ℃需要開空調(diào)降溫,則這天需要降溫的時長為　　　　小時.
14.[2025·山東滕州一中高一月考] A是輪子(半徑為0.5 m)外邊沿上的一點,若輪子從圖中位置(A恰為輪子和地面的切點)向左勻速無滑動滾動,當滾動的水平距離為x m(x≥0)時,點A距離地面的高度為h(x),若h(x1)=h(x2)=0.5,x2>x1≥0,則x2-x1的最小值為　　　　.
15.音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆,也可稱為“葫蘆曲線”.該曲線的性質(zhì)是每經(jīng)過相同的時間間隔,它的振幅就變化一次.如圖所示,某一條葫蘆曲線的方程為|y|=|sin ωx|,x≥0,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).若該條曲線還滿足ω∈(1,3),且經(jīng)過點M,則該條葫蘆曲線與直線x=π交點的縱坐標為 (　 )
A.± B.± C.± D.±1
16.(15分)[2025·江蘇鹽城高一期末] 現(xiàn)有足夠長的“L”型的河道,如圖所示,寬度分別為5 m和5 m,若經(jīng)過點A拉一張網(wǎng)EF,開辟如圖所示的直角三角形EOF用于養(yǎng)魚,設(shè)∠OEF=θ.
(1)求漁網(wǎng)長度EF,用含有θ的式子表示,并寫出定義域;
(2)求養(yǎng)殖面積S△EOF的最小值,及此時θ的值;
(3)若分別以AE,AF為直徑制作兩個圓形的遮陽篷,求兩遮陽篷的面積和的最小值.

展開更多......

收起↑