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高中數學人教A版（2019）必修第一冊
第三章 3.3 冪函數
一、單選題
1.現有下列函數：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)。其中冪函數的個數為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.（2025河北唐山期中）已知冪函數的圖象經過點，則（ ）
A. B. 2 C. 16 D.
3.（2024湖北仙桃中學階段練習）“”是“函數（為常數）為冪函數”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
4.（2025江蘇泰州期中）下列函數中，是奇函數且在區間上單調遞減的是（ ）
A. B. C. D.
5.（2025陜西渭南期中）下列函數既是冪函數，又在上單調遞減的是（ ）
A. B. C. D.
6.（2024甘肅天水一中月考）已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
7.（2025廣東佛山一中期中）已知冪函數，下列說法正確的是（ ）
A. 的圖象恒過點
B. 存在，使得的圖象過第四象限
C. 存在使得的圖象既不關于原點對稱也不關于軸對稱
D. 當時的圖象恒在軸上方
8.（2024河南新鄉月考）關于冪函數，下列描述錯誤的有（ ）
A. 當時，函數在其定義域上單調遞減
B. 當時，函數不是冪函數
C. 當時，函數是偶函數
D. 當時，函數圖象與軸有且只有一個交點
9.（2024吉林四平一中月考）下列說法正確的是（ ）
A. 所有冪函數的圖象均過點
B. 若冪函數在區間上單調遞減，則
C. 冪函數一定具有奇偶性
D. 任何冪函數的圖象都不經過第四象限
三、填空題
10.已知函數為冪函數，則實數的值為______.
11.（2025重慶名校聯盟聯合考試）已知函數是冪函數，且該函數是偶函數，則的值是______.
12.（2025黑龍江大慶期末）已知冪函數同時具有以下三個性質：(1)的定義域為；(2)是偶函數；(3)當時，。函數的解析式可以為______.
四、解答題
13.已知冪函數（為常數），且滿足。
(1)求的解析式；
(2)若，求實數的取值范圍。
14.（2024吉林長春市實驗中學期中）已知點在冪函數的圖象上，點在冪函數的圖象上。
(1)求出冪函數及的解析式；
(2)在同一坐標系中畫出及的圖象；
(3)觀察(2)中的圖象，寫出當時，的取值范圍（不用說明理由）。
15.（2025河南周口四校期中聯考）已知冪函數為奇函數，。
(1)若，求；
(2)已知，若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍。
一、單選題
1.答案：B
解析：冪函數需滿足形如（系數為1，底數為自變量）。
(1)、(6)符合，共2個；
其余為指數函數或多項式函數，不符合。
2.答案：B
解析：設，代入點得，故。
3.答案：A
解析：冪函數要求系數為1，即或。
是解之一，故為充分不必要條件。
4.答案：D
解析：
是奇函數，且在單調遞減。
5.答案：D
解析：
是冪函數，在單調遞減（開口向上，左半部分遞減）。
6.答案：C
解析：
，，，故。
二、多選題
7.答案：CD
解析：
A錯誤（如不過）；
B錯誤（冪函數不過第四象限）；
C正確（如非奇非偶）；
D正確（時，）。
8.答案：AB
解析：
A錯誤（在定義域不單調）；
B錯誤（時（）是冪函數）；
C正確（是偶函數）；
D正確（與軸交于）。
9.答案：BD
解析：
A錯誤（時不過）；
B正確（冪函數在遞減需）；
C錯誤（如非奇非偶）；
D正確（冪函數圖象不過第四象限）。
三、填空題
10.答案：
解析：冪函數系數或，但指數需有意義，故。
11.答案：4
解析：系數或。
時，（偶函數），。
12.答案：（或類似形式）
解析：滿足定義域、偶函數、時，如。
四、解答題
13.解:
(1) 冪函數系數或。
時，指數，（但不成立）；
時，指數，（遞增，符合）。
(2) 定義域為且遞增，故：
14.解:
(1) 設，過得，故；
設，過得，故。
(2)
(3) 圖象交點為，當時，。
15.解:
(1) 冪函數系數或。
時，（奇函數），。
(2) 在恒成立。
當時，在遞增（導數），故最小值。
結合，得。

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