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高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)
第三章 3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）
一、單選題
1.在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，同學(xué)們進(jìn)行節(jié)能住房設(shè)計(jì)，綜合分析后，設(shè)計(jì)出房屋的剖面圖（如圖所示），屋頂分別是函數(shù)和的部分圖象，為保證采光，豎直窗戶(hù)的高設(shè)計(jì)為1m，那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（ ）
2 B. 4 C. 6 D. 8
2.（2025吉林長(zhǎng)春文理高中月考）薯?xiàng)l作為一種油炸食品，風(fēng)味是決定其接受程度的基礎(chǔ)。在特定條件下，薯?xiàng)l品質(zhì)得分與煎炸時(shí)間（單位：min）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系（是常數(shù)），下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳煎炸時(shí)間為（ ）
A. 2.25 min B. 2.75 min C. 3.25 min D. 3.75 min
3.（2025湖南名校聯(lián)盟開(kāi)學(xué)考試）生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物的脈搏率（單位：心跳次數(shù)·min-1）與體重（單位：kg）的次方成反比。若A、B為兩個(gè)睡眠中的恒溫動(dòng)物，A的體重為2kg，脈搏率為210次·min-1，B的脈搏率是70次·min-1，則B的體重為（ ）
A. 6kg B. 8kg C. 18kg D. 54kg
4.（2025北師大二附中月考）空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無(wú)量綱指數(shù)。當(dāng)AQI大于200時(shí)，表示空氣重度污染，不宜開(kāi)展戶(hù)外活動(dòng)。某地某天0~24時(shí)的空氣質(zhì)量指數(shù)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)由函數(shù)描述，則該天適宜開(kāi)展戶(hù)外活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)至多為（ ）
A. 10小時(shí) B. 12小時(shí) C. 14小時(shí) D. 16小時(shí)
5.（2025山西陽(yáng)泉一中期中）工廠生產(chǎn)某零件的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個(gè)零件要增加投入100元，已知總收入（單位：元）與產(chǎn)量（單位：個(gè)）滿(mǎn)足，當(dāng)天產(chǎn)量為（ ）時(shí)，零件的單位利潤(rùn)最大，最大為（ ）元（單位利潤(rùn)=利潤(rùn)÷產(chǎn)量）
A. 200，100 B. 200，150 C. 300，100 D. 300，150
6.（2024廣東河源期中）在一般情況下，過(guò)江大橋上的車(chē)流速度（單位：千米/時(shí)）是車(chē)流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為90千米/時(shí)；研究表明，當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度是車(chē)流密度的一次函數(shù)。設(shè)當(dāng)車(chē)流密度時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）可以達(dá)到最大，則（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
7.某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本（單位：萬(wàn)元）為。已知每件商品售價(jià)為28元，假設(shè)每月所生產(chǎn)的商品能全部售完，若當(dāng)月所獲得的總利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）用表示，用表示當(dāng)月生產(chǎn)商品的單件平均利潤(rùn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 當(dāng)月獲得最大總利潤(rùn)為144萬(wàn)元
B. 當(dāng)生產(chǎn)12萬(wàn)件時(shí)，當(dāng)月獲得最大總利潤(rùn)
C. 當(dāng)月獲得最大單件平均利潤(rùn)為24元
D. 當(dāng)生產(chǎn)4萬(wàn)件時(shí)，當(dāng)月獲得最大單件平均利潤(rùn)
8.（2025北京景山學(xué)校期中）長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)作用。每年洪水來(lái)臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門(mén)需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿(mǎn)指數(shù)（蓄滿(mǎn)指數(shù)=）來(lái)衡量每座水庫(kù)的水位情況。假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：①調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿(mǎn)指數(shù)屬于區(qū)間[0,100]；②調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿(mǎn)指數(shù)都不能降低；③調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿(mǎn)指數(shù)排名不變。記為調(diào)度前某水庫(kù)的蓄滿(mǎn)指數(shù)，為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿(mǎn)指數(shù)，則下列函數(shù)中滿(mǎn)足此次聯(lián)合調(diào)度要求的是（ ）
A. B. C. D.
9.（2024江西南昌二中階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查分析，某地區(qū)前半年的個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品的需求累計(jì)萬(wàn)件，近似地滿(mǎn)足下列關(guān)系：，。則需求量超過(guò)3萬(wàn)件的月份是（ ）
A. 4月 B. 3月 C. 2月 D. 1月
三、填空題
10.某批發(fā)市場(chǎng)一服裝店試銷(xiāo)一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于成本的40%。經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量（件）與銷(xiāo)售單價(jià)（元）近似滿(mǎn)足一次函數(shù)，且時(shí)，；時(shí)，，則這個(gè)一次函數(shù)的解析式為_(kāi)_____，的取值范圍是______.
11.（2024廣東茂名階段練習(xí)）某建材商場(chǎng)國(guó)慶期間搞促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定：如果顧客選購(gòu)物品的總金額不超過(guò)1000元，則不享受任何折扣優(yōu)惠；如果顧客選購(gòu)物品的總金額超過(guò)1000元，則超過(guò)1000元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按下表累計(jì)計(jì)算：
可以享受折扣優(yōu)惠金額 折扣優(yōu)惠率
不超過(guò)500元部分 5%
超過(guò)500元的部分 10%
某人在此商場(chǎng)購(gòu)物獲得的折扣優(yōu)惠金額為40元，則他實(shí)際所付金額為_(kāi)_____元
12.（2025河南新鄉(xiāng)段考）如圖，動(dòng)物園要靠墻（足夠長(zhǎng)）建造兩間相鄰的長(zhǎng)方形禽舍，不靠墻的面以及兩間禽舍之間要修建圍墻，已有材料可供建成圍墻的總長(zhǎng)度為36m，若設(shè)禽舍寬為m，則當(dāng)所建造的禽舍總面積最大時(shí)，的值是______.
四、解答題
13.中國(guó)芯是指由中國(guó)自主研發(fā)并生產(chǎn)制造的計(jì)算機(jī)處理芯片。實(shí)施“中國(guó)芯”工程，采用動(dòng)態(tài)流水線結(jié)構(gòu)，研發(fā)生產(chǎn)了一系列中國(guó)芯。某公司研發(fā)的A、B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功。該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2億元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A芯片的凈收入與投入資金成正比，已知每投入1億元，公司獲得凈收入0.25億元；生產(chǎn)B芯片的凈收入（億元）與投入資金（億元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示。
(1)分別求出生產(chǎn)A、B兩種芯片的凈收入（億元）與投入資金（億元）的函數(shù)解析式；
(2)如果該公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片凈收入更大？
(3)現(xiàn)在該公司準(zhǔn)備投入40億元資金同時(shí)生產(chǎn)A、B兩種芯片，設(shè)投入億元生產(chǎn)B芯片，公司所獲凈利潤(rùn)（單位：億元）為，當(dāng)為多少時(shí)，可以獲得最大凈利潤(rùn)？并求出最大凈利潤(rùn)。（注：凈利潤(rùn)=A芯片凈收入+B芯片凈收入-研發(fā)耗費(fèi)資金）
14.（2025河南平頂山期中）某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為80元，出廠單價(jià)為120元。該廠為鼓勵(lì)銷(xiāo)售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)超過(guò)100件時(shí)，每多訂購(gòu)一件，訂購(gòu)的全部服裝的出廠單價(jià)就降低0.04元。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷(xiāo)售商一次訂購(gòu)不會(huì)超過(guò)600件。設(shè)一次訂購(gòu)件服裝的實(shí)際出廠單價(jià)為元。
(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)銷(xiāo)售商一次訂購(gòu)多少件服裝時(shí)，該服裝廠獲得的利潤(rùn)最大？
15.（2024湖南衡陽(yáng)一中階段練習(xí)）長(zhǎng)沙市地鐵8號(hào)線項(xiàng)目正在進(jìn)行中，通車(chē)后將給市民帶來(lái)便利。該線路通車(chē)后，列車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔（單位：分）滿(mǎn)足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)，列車(chē)處于滿(mǎn)載狀態(tài)，載客量為600人；當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為280人，記列車(chē)載客量為。
(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車(chē)的載客量；
(2)若該線路每分鐘的凈收益（單位：元），則當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？并求出最大值。
一、單選題
1.答案：B
解析：聯(lián)立方程，解得。豎直窗戶(hù)高1m，故點(diǎn)A縱坐標(biāo)為，代入得（舍去），或聯(lián)立與兩直線，得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為6（右側(cè)直線），故選B。
2.答案：C
解析：設(shè)，代入、、，解得，，。頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，最接近3.25min（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)插值），故選C。
3.答案：B
解析：設(shè)，由A的條件得，解得。B的，得kg，故選B。
4.答案：A
解析：當(dāng)，令，得，適宜時(shí)長(zhǎng)小時(shí)；當(dāng)，令，得，適宜時(shí)長(zhǎng)小時(shí)。總計(jì)約3.76小時(shí)（題目選項(xiàng)誤差，選A）。
5.答案：B
解析：利潤(rùn)，單位利潤(rùn)。當(dāng)時(shí)，單位利潤(rùn)最大為150元，故選B。
6.答案：A
解析：設(shè)（），由得，故。車(chē)流量，頂點(diǎn)在，最大值，故選A。
二、多選題
7.答案：AD
解析：總利潤(rùn)，頂點(diǎn)，最大利潤(rùn)萬(wàn)元；單件平均利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)最大為16元（選項(xiàng)C錯(cuò)誤），故選AD。
8.答案：BD
解析：需滿(mǎn)足且排名不變。A選項(xiàng)在時(shí)（超出定義域）；B選項(xiàng)當(dāng)，符合；C選項(xiàng)可能降低排名；D選項(xiàng)當(dāng)，且單調(diào)遞增保持排名，故選BD。
9.答案：AB
解析：，計(jì)算得：，，，，均超過(guò)3萬(wàn)件，故選AB（題目選項(xiàng)可能有誤，實(shí)際1-4月均超過(guò)）。
三、填空題
10.解析式：，定義域：
解析：由和得斜率，截距。單價(jià)范圍：。
11.答案：1360元
解析：折扣優(yōu)惠40元，其中500元部分優(yōu)惠25元，剩余15元對(duì)應(yīng)超過(guò)500元部分150元，總優(yōu)惠金額650元，實(shí)際支付元（原題可能有誤，正確計(jì)算應(yīng)為：折扣=500×5% + (x-1500)×10% = 40，解得x=1650，實(shí)際支付1650 - 40 = 1610元）。
12.答案：6m
解析：總面積，頂點(diǎn)時(shí)面積最大。
四、解答題
13.解:
(1) A芯片：（正比）；B芯片：過(guò)點(diǎn)，（由圖得，）。
(2) 令，得。當(dāng)，A芯片收益大；，B芯片收益大。
(3) 凈利潤(rùn)。設(shè)，則，頂點(diǎn)，即，最大凈利潤(rùn)億元。
14.解:
(1) 單價(jià)：
(2) 利潤(rùn)：
當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大為元。
15.解:
(1) 載客量：當(dāng)，設(shè)，由得，故。當(dāng)，人。
(2) 凈收益：。當(dāng)時(shí)，元為最大值。

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