資源簡介

2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽）
暨2025全國高中數學聯合競賽
一試試題(A卷)
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.
1.若log(9x),log(27x),log2,(3x）成等差數列，則正數x的值為
2.設集合A={1,2,3,,100),B={a2+2|a∈A，則AUB的元素個數為
3.設點P在橢圓「，：
亡+上=1上，F,E為「，的兩個焦點，線段FP交橢圓
2025
下，9話
=1于點Q,若△FPQ的周長為8，則線段FQ的長度為
4.
設函數f(x)的定義域為R,g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)+x·若g(x)為奇
函數，h(x)為偶函數，則f(x)的最大值為
5.若正整數k滿足
sin20°
sin25
ER(i為虛數單位)，則k的最小值
cos25
c0s20
為
6.設「為任意四棱柱，在「的12條棱中隨機選取兩條不同的棱1，，，將事件
“I所在直線與(，所在直線平行”發生的概率記為P(T),則P(T)所有可能值為
7.平面中的3個單位向量a,b.c滿足a.b=[acH[6c](其中[
】表示不超過實
數x的最大整數)，則a+b+d的取值范圍是
8.將1,2,3，…，9排列為a,b,c,d,e,f,g,h,i,使得3個三位數abc,def,ghi之和等
于2025，則不同的排列方法數為
二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應寫出文字說明、
證明過屋或演算步驟.
9.(本題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，點集
「={xy2=2x+2
若T中的3個不同的點M,P,Q滿足：M為PQ的中點，且OP,OQ=-2,求
點M的坐標。
10.(本題滿分20分)設正四面體ABCD各棱長均為2。PQ分別是棱AB,AC上
的動點（允許位于棱的端點），AP+AQ=2,.M為棱AD的中點.在△MPQ中，
MH為PQ邊上的高.求MH長度的最小值.
B
C
11.(本題滿分20分)設a為實數，m,n為正整數，且sinma·sinna≠0
1
1
證明：
sinma
sinna
m.sinma.sinna+sinmna
2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽)
暨2025年全國高中數學聯合競賽
一試(A卷)參考答案及評分標準
說明：
1.評閱試卷時，請依據本評分標準.填空題只設8分和0分兩檔；其他各
題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不得增加其他中間檔次
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷
時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為一個檔次，
第10、11小題5分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.
1.若1og(9x),log(27x),1og2,(3x)成等差數列，則正數x的值為
答案：9.
解：設呢，x=1,則2+寧1號成等差數列，即21+專=2.3
解得1=2，故x=3'=9.
2.設集合A={L,2,3,…,100;,B={a2+2|a∈，則AUB的元素個數
為
答案：194.
解：當a∈[0，oo)時，a2+2關于a嚴格遞增，故B=4=100(X表示有
限集X的元素個數).又1P+2=3>1,62+2=100,故4∩B=6.
所以AUB=4+B-A∩B=100+100-6=194.
3.設點P在橢圓D,:云十廣=1上，F,R為T,的兩個焦點，線段FP交橢圓
2025
號+1于點Q.若△PO的周長為8，則線段F0的長度為
答案：√14+1.
解：由于√25-20=V14-9,故F,F是「，與「，的公共焦點.
由橢圓的定義知PF+PF=10,|F+QF=2W14,即
PO+PF=10-OF.OF=214-OF
所以10+214-20F=|Pg+PF+QF=8,即線段F2的長為V14+1.
4.設函數f(x)的定義域為R,g(x)=(x-l)f(x),h(x)=f(x)+x.若g(x)
為奇函數，h(x)為偶函數，則f(x)的最大值為
答案：
解：對任意xeR,有8=-8，即-D/--/
h(-x)=h(x),
If(-x)-x=f(x)+x.
所以(x-1)f(x)=(x+I)f(-x)=(x+1)f(x)+2x).

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