資源簡介

(共81張PPT)
2.1 等式
2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集
探究點(diǎn)一 等式的性質(zhì)的應(yīng)用
探究點(diǎn)二 化簡、證明
探究點(diǎn)三 十字相乘法的應(yīng)用
探究點(diǎn)四 方程的解集
◆
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
課堂評價(jià)
備課素材
練習(xí)冊
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.熟練掌握等式的性質(zhì),會(huì)用等式性質(zhì)解決恒等式問題,會(huì)求方程
的解；
2.了解恒等式,熟練掌握分解因式的一般步驟;
3.能利用等式的性質(zhì)和有關(guān)恒等式進(jìn)行代數(shù)變形，求方程的解集.
知識點(diǎn)一 等式的性質(zhì)
性質(zhì) 符號語言
對稱性
傳遞性
可加減性
可乘性
可除性
【診斷分析】
判斷正誤.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?br/>（1）由，得 .( )
√
[解析] 等式兩邊同加2，得 ，所以正確.
（2）由，得 .( )
×
[解析] 等式兩邊同乘2，得 ，所以錯(cuò)誤.
（3）由,得 .( )
√
[解析] 當(dāng)時(shí)，,則 ，所以正確.
（4）由，得 .( )
√
[解析] 等式兩邊同加2，得，
兩邊同加 ，得，兩邊同加，得，
兩邊同除以3，得 ，所以正確.
判斷正誤.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?br/>（5）由,得， .( )
√
[解析] 等式兩邊同加，得 ，
兩邊同時(shí)乘個(gè)，得 ，
又因?yàn)?，所?，所以正確.
判斷正誤.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?br/>知識點(diǎn)二 恒等式
1.定義
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取__________時(shí)等式都
成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等.恒等式是進(jìn)行_________
__的依據(jù)之一.
任意實(shí)數(shù)
代數(shù)變形
2.常用恒等式
①對任意的，，，都有 __________________;
②平方差公式： ______________;
③完全平方公式： ______________；
④立方和、立方差公式： _____________________.
【診斷分析】
（1）化簡 _________.
（2） ____________________.
（3）多項(xiàng)式 分解因式的結(jié)果是____________________.
知識點(diǎn)三 十字相乘法
（1）給定式子，如果能找到和，使得____且
______,則 ，如圖所示，其中兩條交叉
的線表示對應(yīng)數(shù)相乘后相加要等于___，因此，這種因式分解的方法
稱為“十字相乘法”.
（2）形如 的二次三項(xiàng)式十字相乘法：
因?yàn)?，所以
二次項(xiàng)系數(shù)可分解成，常數(shù)項(xiàng)可分解成 ，把二次項(xiàng)系數(shù)
分解得到的寫到第一列，常數(shù)項(xiàng)分解得到的 寫到第二列，
寫成 的形式，按斜線交叉相乘再相加，就得到 ，
如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么 就
可以分解成 .
十字相乘要遵循“拆兩頭，湊中間”的原則.
①當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)把它分解為兩個(gè)同號因子的積，因子的符
號與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同.
②當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)把它分解為兩個(gè)異號因子的積，使十字連
線上絕對值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同.
③當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號，使二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，
然后再按照上述方法求解即可.
【診斷分析】
（1）因式分解： ______________.
（2）因式分解： _______________.
（3）因式分解： _________________.
知識點(diǎn)四 方程的解集
1.方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的________的值.一
般地，把一個(gè)方程所有解組成的______稱為這個(gè)方程的解集.
2.方程，當(dāng) 時(shí)解集為_________,當(dāng)
時(shí)解集為_____.
未知數(shù)
集合
，
【診斷分析】
判斷正誤.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?br/>（1）方程的解集為 .( )
√
[解析] 方程無實(shí)數(shù)解，所以解集為 .
（2）方程的解集為 .( )
√
[解析] 由十字相乘法得 ，
所以方程的解集為 .
（3）方程的解集為 .( )
√
[解析] ，即，所以 ,
所以方程的解集為 .
判斷正誤.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?br/>探究點(diǎn)一 等式的性質(zhì)的應(yīng)用
例1（1）下列說法正確的是( )
A.在等式的兩邊同時(shí)除以，可得
B.在等式的兩邊同時(shí)除以2，可得
C.在等式的兩邊同時(shí)除以，可得
D.在等式的兩邊同時(shí)除以，可得
√
[解析] 對于A，在等式的兩邊同時(shí)乘，可得 ，故A錯(cuò)誤；
對于B，在等式的兩邊同時(shí)除以2，
可得 ，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，則, 不一定相等，故C錯(cuò)誤；
對于D，在等式的兩邊同時(shí)除以 ，
可得 ，故D正確.故選D.
（2）如果，那么 __.
[解析] 由兩邊同減去，得，將 兩邊同乘6，
得，因?yàn)椋詢蛇呁裕?，
所以 .
變式 已知,,, ，則下列命題中為假命題的是( )
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
√
[解析] 對于A，若，則 ，故A為真命題；
對于B，因?yàn)?，所以 ，
故B為真命題；
對于C，當(dāng)時(shí)， 無意義，故C為假命題；
對于D，若，則 ，故D為真命題.故選C.
［素養(yǎng)小結(jié)］
在運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)要注意:（1）等式兩邊都要參加運(yùn)算,并且是作
同一種運(yùn)算;（2）等式兩邊加或減、乘或除以的一定是同一個(gè)數(shù)或
同一個(gè)式子;（3）等式兩邊不能同除以0,即0不能作除數(shù)或分母.
探究點(diǎn)二 化簡、證明
例2（1）化簡下列各式.
① ；
解：方法一：原式
.
方法二：原式
.
例2（1）化簡下列各式.
② .
解：方法一：原式 .
方法二：原式 .
（2）證明下面各個(gè)公式.
①三數(shù)和平方公式： ；
證明： .
②兩數(shù)和立方公式： ；
證明： .
（2）證明下面各個(gè)公式.
③兩數(shù)差立方公式： .
證明： .
［素養(yǎng)小結(jié)］
化簡的步驟為“一提”“二套”“三檢查”“四檢驗(yàn)”：
（1）先看是否能提取公因式；
（2）再看能否套用公式；
（3）再檢查因式分解是否徹底；
（4）最后用多項(xiàng)式乘法檢驗(yàn)分解是否正確.
探究點(diǎn)三 十字相乘法的應(yīng)用
例3 用十字相乘法分解因式.
（1） ；
解：由圖①，得 .
例3 用十字相乘法分解因式.
（2） ；
解：由圖②，得 .
例3 用十字相乘法分解因式.
（3）,為常數(shù) ；
解：由圖③，得 .
例3 用十字相乘法分解因式.
（4） ;
解：由圖④，得 .
例3 用十字相乘法分解因式.
（5） .
解：先以 為主元，由圖⑤，
得
；
再以 為主元，在 中應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解，
得；
最后用求根公式法對 進(jìn)行因式分解，
得 .
故
&11
變式 用十字相乘法分解因式.
（1） ；
解：由圖①，得 .
變式 用十字相乘法分解因式.
（2） ；
解：由圖②，得 .
變式 用十字相乘法分解因式.
（3） ；
解：由圖③，得 .
變式 用十字相乘法分解因式.
（4） ．
解：先以 為主元，由圖④，
得 ，
再由平方差公式得 ,
故 ．
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）十字相乘法本質(zhì)是一種針對二次三項(xiàng)式因式分解的方法，其核
心在于將二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)拆分為兩組數(shù)的乘積，通過交叉相乘
驗(yàn)證中間項(xiàng)系數(shù)的匹配性.（2）十字相乘法的局限性：當(dāng)二次項(xiàng)或常
數(shù)項(xiàng)系數(shù)為質(zhì)數(shù)且無法滿足交叉相乘條件時(shí)需用求根公式.
探究點(diǎn)四 方程的解集
例4（1）求下列方程的解集.
① ；
解：原方程可化為，
整理得，解得 ，故其解集為 .
② ；
解：因?yàn)?，所以原方程可化為
，解得或，故其解集為, .
例4（1）求下列方程的解集.
③ .
解：因?yàn)?,所以原方程可化為
，解得或，故其解集為 .
（2）［2025·上海普陀區(qū)高一期中］已知為實(shí)數(shù)，求關(guān)于 的方程
的解集.
解： 原方程可化為，
當(dāng) 時(shí)，.
若，則方程為 ，顯然不成立，方程無解；
若，則方程為，方程的解為；
若 ，解方程得 .
綜上，當(dāng)時(shí)，方程的解集為 ；當(dāng) 時(shí)，方程的解集為；
當(dāng)時(shí)，方程的解集為 .
變式（1）一元二次方程 的解集是( )
A. B. C., D.,
[解析] 由題得 ，
即，所以或 ，
解得或，所以所求解集為, .故選C.
√
（2）已知關(guān)于的方程的解集為 ，則實(shí)數(shù) 的值為
( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] 由，得，
因?yàn)殛P(guān)于的方程 的解集為 ，
所以，解得 .故選C.
√
（3）如果關(guān)于的方程 的解集為單元素集，那么該方程
的解集是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意可知且，則原方程可化為 ，
即，由題意可得，解得 ，
故，解得，所以所求解集為 .故選A.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）求解方程問題的關(guān)鍵是通過同解變形，得到滿足等式成立時(shí)對
應(yīng)的的值，一些變形過程要注意對等式性質(zhì)的應(yīng)用；
（2）求解一元一次方程，若一次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，則要對其是否為0
進(jìn)行討論，求解一元二次方程，可采用十字相乘法將其因式分解，
要注意方程中各個(gè)系數(shù)是否滿足應(yīng)用十字相乘法的條件，否則采用
求根公式法或配方法進(jìn)行求解.
1.下列說法中正確的是( )
A.如果，那么 B.如果 ，那么
C.如果，那么 D.如果，那么
[解析] 如果，那么當(dāng)時(shí)， 不成立，故A錯(cuò)誤；
由 ，可知，則，即 ，故B正確；
如果,那么當(dāng)時(shí)，，無意義，故C錯(cuò)誤；
如果 ，那么或 ，故D錯(cuò)誤.故選B.
√
2.下列因式分解正確的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 對于A，應(yīng)該是 ，故A錯(cuò)誤;
對于B，應(yīng)該是 ，故B錯(cuò)誤；
對于C，D， ，故C錯(cuò)誤，D正確.故選D.
√
3.［2025·上海青浦區(qū)高一期中］已知 ，則方程
的解集為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 當(dāng)時(shí),原方程可化為 ,解得；
當(dāng)時(shí),原方程可化為 ,解得,舍去；
當(dāng) 時(shí),原方程可化為,解得,舍去；
當(dāng) 時(shí)，原方程可化為，解得 .
綜上，方程的解集為 .
故選D.
4.分解因式時(shí)，甲看錯(cuò) 的值，分解的結(jié)果是
，乙看錯(cuò)的值，分解的結(jié)果是 ，則
____.
[解析] 由，甲看錯(cuò)的值，得 .
由，乙看錯(cuò)的值，得 ，
.
因式分解的方法
1.提取公因式法
利用提取公因式法進(jìn)行因式分解的一般步驟可概括為“一找、二提、
三去除”.“一找”就是第一步要找出多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式；“二提”就
是第二步將所找出的公因式提出來；“三去除”就是第三步提出公因式
后，可直接觀察得出提公因式后剩下的另一個(gè)因式，也可以用原多項(xiàng)
式去除以公因式，所得的商即為提出公因式后剩下的另一個(gè)因式.
例1 分解因式： .
解： .
2.分組法、公式法
我們常見的一些乘法公式：
（1）平方差公式： ；
（2）完全平方公式： ；
（3）立方和公式： ；
（4）立方差公式： ；
（5）三數(shù)和平方公式：
；
（6）兩數(shù)和立方公式： ；
（7）兩數(shù)差立方公式： .
上述公式的逆過程，即為因式分解，所以一些多項(xiàng)式往往都是先分
組，而后應(yīng)用提取公因式法、十字相乘法、公式法進(jìn)行因式分解.
例2 把下列各式因式分解：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解：
.
例2 把下列各式因式分解：
（4） .
解：.
練習(xí)冊
1.下列等式中，屬于恒等式的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 對于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對于B，取 , ，則 ，故B錯(cuò)誤；
對于C，，故C正確；
對于D，取 ,可得,與 無意義，故D錯(cuò)誤.故選C.
√
2.已知多項(xiàng)式分解因式為 ，則( )
A., B.,
C., D.,
[解析] ,
， .故選D.
√
3.將分別加上下列各項(xiàng)，其中不能化成 的形式的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A， ，故A不符合題意；
對于B， ，故B不符合題意；
對于C， ，故C不符合題意；
對于D， 不能運(yùn)用完全平方公式分解因式，
故D符合題意.故選D.
√
4.已知關(guān)于的方程的解集為 ，則實(shí)數(shù) 的值為( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] 由，得，因?yàn)殛P(guān)于的方程
的解集為 ，所以，解得 .故選C.
√
5.若，則 的值為( )
A. B. C. D.
[解析] ,
解得 .故選A.
√
6.已知，其中, ,則符合條件的
整數(shù) 的個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.4 C.6 D.8
[解析] , 整數(shù)的值可以為,, ，共6個(gè).故選C.
√
7.（多選題）已知關(guān)于的方程 的解集為單元素集，則該
方程的解集可以是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由題意可知且，則原方程可化為 ，
即.
當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)原方程可化為，
解得（舍去），符合題意；
當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)原方程可化為，
解得（ 舍去），符合題意；
當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)原方程可化為，
解得.故選 .
8.［2024·云南楚雄高一期中］能夠說明“存在不相等的正實(shí)數(shù)， ，
使得”是真命題的一組有序數(shù)對 為________
_______________.
（答案不唯一）
[解析] 由，得.
因?yàn)?，，所以，則.
當(dāng)時(shí)， ，故能夠說明“存在不相等的正實(shí)數(shù)，，
使得 ”是真命題的，只要滿足 即可.
9.（13分）
（1）已知關(guān)于的方程的解集為 ，求
的值.
解：由題知2是方程的解，所以 ，解得
，所以 .
（2）求關(guān)于的方程 的解集.
解：原方程可以化為 ,即.
當(dāng)時(shí),方程的解集為 ；當(dāng)時(shí)，方程的解集為 .
10.［2025·上海普陀區(qū)高一期末］下列說法正確的是( )
A.解方程時(shí)，可以在方程兩邊同時(shí)除以 ，
得，解得
B.解方程時(shí)，對比方程兩邊知 ，
，解得
C.解方程 時(shí)，只要將兩邊開平方，方程就變形
為，從而解得
D.若一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則0必為它的一個(gè)根
√
[解析] 對于A，在解方程的過程中，兩邊同時(shí)除以 ，
就產(chǎn)生失根即，所以原方程的根為或 ，
故A錯(cuò)誤；
對于B，對比方程可知 或
可得或 ，故B錯(cuò)誤；
對于C，對方程，兩邊開平方，
可得 ，解得或 ，故C錯(cuò)誤；
對于D，若一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，
則方程為，即 ，
解得或，則 必為方程的一個(gè)根，故D正確.故選D.
11.（多選題）下列分解因式正確的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 對于A，根據(jù)十字相乘法分解因式可知A正確；
對于B， ，故B錯(cuò)誤；
對于C，根據(jù)平方差公式可知C正確；
對于D，根據(jù)完全平方公式可知D正確.故選 .
√
√
√
12.方程 的解集為_______.
,
[解析] 設(shè)，則原方程可化為 ，
即，所以或.
當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)方程無解；
當(dāng)時(shí)，，解得 .
綜上，該方程的解集為， .
13.已知等式對任意的實(shí)數(shù) 恒成立，
則所有實(shí)數(shù)對 的集合為____________________________．
,,,
[解析] 由題得對任意的實(shí)數(shù) 恒成立，
所以所以或或或
所以所有實(shí)數(shù)對的集合為,,, ．
14.（15分）將下列各式應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解.
（1） ；
解：由十字相乘法，得
（2） ；
解：由十字相乘法，得
（3） ；
解：先提取，得 ，
再由十字相乘法，得 ,
故 .
（4） ；
解：先提取 ,再由十字相乘法，得
.
（5） .
解：將 看作一個(gè)整體，應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解，
而后在每個(gè)因式里應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解，所以原式
.
14.（15分）將下列各式應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解.
15.在邊長為的正方形中挖去一個(gè)邊長為的小正方形
（如圖①），將余下的部分剪接拼成一個(gè)長方形（如圖②），根據(jù)
兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證的等式為( )
①
②
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 圖①中陰影部分的面積為 ，圖②中陰影部分的面積
為 ，因?yàn)閮蓚€(gè)圖形中陰影部分的面積相等，
所以 .故選B.
①
②
16.（15分）已知關(guān)于的分式方程 .
（1）當(dāng) 時(shí)，請判斷這個(gè)方程是否有解，并說明理由；
解：這個(gè)方程無解.理由如下:
由題意知且.
當(dāng) 時(shí), 方程為,去分母，
得,即 ，此方程無解.
故當(dāng) 時(shí)，這個(gè)方程無解.
（2）若這個(gè)分式方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解：由，得且,
這個(gè)分式方程有實(shí)數(shù)解，且，
且 ，故實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
16.（15分）已知關(guān)于的分式方程 .
快速核答案(導(dǎo)學(xué)案)
課前預(yù)習(xí) 知識點(diǎn)一 【診斷分析】（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）√
知識點(diǎn)二 1.任意實(shí)數(shù) 代數(shù)變形 2. 【診斷分析】（1） （2）（3）
知識點(diǎn)三 【診斷分析】（1） （2）（3）
知識點(diǎn)四 1.未知數(shù) 集合 2.， 【診斷分析】（1）√ （2）√ （3）√
課中探究 探究點(diǎn)一 例1 （1）D （2） 變式 C 探究點(diǎn)二 （1）①② （2）略
探究點(diǎn)三 例3 （1） /. .（2） .（3）（4）.
（5） 變式 （1）..（2）..（3）.
（4）探究點(diǎn)四（1）① ②m>,③（2） 變式（1）C（2）C（3）A
課堂評價(jià)1.B 2.D 3.D 4.
備用習(xí)題 例1 例2 （1） （2）
（3） （4）
快速核答案(練習(xí)冊)
基礎(chǔ)鞏固 1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.ABC 8.（答案不唯一）
9.（1）（2）
綜合提升 10.D 11.ACD 12., 13.,,,
14.（1） （2） （3）
（4） （5）
思維探索 15.B 16.（1）無解（2）第二章　等式與不等式
2.1　等式
2.1.1　等式的性質(zhì)與方程的解集
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)一
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　[解析] (1)等式3a-2=2b兩邊同加2,得3a=2b+2,所以正確.
(2)等式-1=2y-3兩邊同乘2,得x-2=4y-6,所以錯(cuò)誤.
(3)當(dāng)a-c≠0時(shí),≠0,則=,所以正確.
(4)等式x-2=4x+7兩邊同加2,得x=4x+9,兩邊同加-x,得0=3x+9,兩邊同加-9,得3x=-9,兩邊同除以3,得x=-3,所以正確.
(5)等式a=b兩邊同加-c,得a-c=b-c,兩邊同時(shí)乘(n-1)個(gè)(a-c),得(a-c)n=(b-c)(a-c)n-1,又因?yàn)閍-c=b-c,所以(a-c)n=(b-c)n,所以正確.
知識點(diǎn)二
1.任意實(shí)數(shù)　代數(shù)變形
2.①x2+(a+b)x+ab?、?a+b)(a-b)?、踑2±2ab+b2
④(a±b)(a2 ab+b2)
診斷分析
(1)(x-2)2　(2)9x2+3(a-b)x-ab
(3)(3-a)(9+3a+a2)
知識點(diǎn)三
(1)ab　a+b　C
診斷分析
(1)(x-2)(x-3)　(2)(2x-1)(x-3)
(3)(5x-4y)(x+2y)
知識點(diǎn)四
1.未知數(shù)　集合　2.{x1,x2}　{x1}
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　[解析] (1)方程x2+2=0無實(shí)數(shù)解,所以解集為 .
(2)由十字相乘法得x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,所以方程的解集為{2,3}.
(3)x2-x+==0,即x-=0,所以x=,所以方程x2-x+=0的解集為.
【課中探究】
例1　(1)D　(2)　[解析] (1)對于A,在等式=的兩邊同時(shí)乘a,可得b=c,故A錯(cuò)誤;對于B,在等式2x=2a-b的兩邊同時(shí)除以2,可得x=a-,故B錯(cuò)誤;對于C,若a=0,則b,c不一定相等,故C錯(cuò)誤;對于D,在等式a=b的兩邊同時(shí)除以c2+1 ,可得=,故D正確.故選D.
(2)由x=+兩邊同減去,得=,將=兩邊同乘6,得3x=2y,因?yàn)閤≠0,所以3x=2y兩邊同除以2x,得=,所以=1+=.
變式　C　[解析] 對于A,若=,則a=b,故A為真命題;對于B,因?yàn)閍=b,c2+2≥2,所以a(c2+2)=b(c2+2),故B為真命題;對于C,當(dāng)d=0時(shí),無意義,故C為假命題;對于D,若a2n+1=b2n+1(n∈N),則a=b,故D為真命題.故選C.
例2　解:(1)①方法一:原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2]=(x2-1)(x4+x2+1)=x6-1.
方法二:原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-1.
②方法一:原式=(x+x-1)(x-x+1)=2x-1.
方法二:原式=x2-(x2-2x+1)=2x-1.
(2)證明:①(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac).
②(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.
③(a-b)3=(a-b)2(a-b)=(a2-2ab+b2)(a-b)=a3-a2b-2a2b+2ab2+ab2-b3=a3-3a2b+3ab2-b3.
例3　解:(1)由圖①,得x2-3x+2=(x-1)(x-2).
(2)由圖②,得x2+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)由圖③,得x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by).
(4)由圖④,得6x2+xy-2y2=(2x-y)(3x+2y).
(5)先以(x2-2x)為主元,由圖⑤,得(x2-2x)2-7(x2-2x)+12=(x2-2x-3)(x2-2x-4);再以x為主元,在x2-2x-3中應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解,得x2-2x-3=(x-3)(x+1);最后用求根公式法對x2-2x-4進(jìn)行因式分解,得x2-2x-4=(x-1-)(x-1+).
故(x2-2x)2-7(x2-2x)+12=(x-3)(x+1)(x-1-)(x-1+).
變式　解:(1)由圖①,得x2+7x+12=(x+3)(x+4).
(2)由圖②,得3x2+7x-6=(x+3)(3x-2).
(3)由圖③,得2x2-xy-3y2=(x+y)(2x-3y).
(4)先以x2y2為主元,由圖④,得x4y4-3x2y2-4=(x2y2-4)(x2y2+1),再由平方差公式得x2y2-4=(xy+2)(xy-2),故x4y4-3x2y2-4=(xy+2)(xy-2)(x2y2+1).
例4　(1)解:①原方程可化為4(2x+1)=3(x+2),整理得5x=2,解得x=,故其解集為.
②因?yàn)閤2-2x-48=(x+6)(x-8),所以原方程可化為(x+6)(x-8)=0,解得x=8或x=-6,故其解集為{-6,8}.
③因?yàn)?x2-7x+4=(x-1)(3x-4),所以原方程可化為(x-1)(3x-4)=0,解得x=1或x=,故其解集為.
(2)原方程可化為(m2-4)x=m2-m-6,當(dāng)m2-4=0時(shí),m=±2.若m=2,則方程為0=-4,顯然不成立,方程無解;
若m=-2,則方程為0=0,方程的解為R;若m≠±2,解方程得x===.
綜上,當(dāng)m=2時(shí),方程的解集為 ;當(dāng)m=-2時(shí),方程的解集為R;當(dāng)m≠±2時(shí),方程的解集為.
變式　(1)C　(2)C　(3)A　[解析] (1)由題得(x+3)(x-3)-3(x+3)=0,即(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x-3-3=0,解得x=-3或x=6,所以所求解集為{-3,6}.故選C.
(2)由=+1,得x=1,因?yàn)殛P(guān)于x的方程=+1的解集為 ,所以-=0,解得a=.故選C.
(3)由題意可知x≠-1且x≠0,則原方程可化為x=,即x2-2x-m=0,由題意可得Δ=4+4m=0,解得m=-1,故x2-2x+1=0,解得x=1,所以所求解集為{1}.故選A.
【課堂評價(jià)】
1.B　[解析] 如果a=b,那么當(dāng)c≠0時(shí),a+c=b-c不成立,故A錯(cuò)誤;由 =,可知c≠0,則·c=·c,即a=b,故B正確;如果a=b,那么當(dāng)c=0時(shí),,無意義,故C錯(cuò)誤;如果a2=3a,那么a=3或a=0,故D錯(cuò)誤.故選B.
2.D　[解析] 對于A,應(yīng)該是x2-x=x(x-1),故A錯(cuò)誤;對于B,應(yīng)該是2x2-x-1=(2x+1)(x-1),故B錯(cuò)誤;對于C,D,5x2-2x-3=(x-1)(5x+3),故C錯(cuò)誤,D正確.故選D.
3.D　[解析] 當(dāng)x≤時(shí),原方程可化為2-x+3-2x=5-3x,解得x≤;當(dāng)4.-7　[解析] 由(x+6)(x-1)=x2+5x-6,甲看錯(cuò)a的值,得b=-6.由(x-2)(x+1)=x2-x-2,乙看錯(cuò)b的值,得a=-1,∴a+b=-7.第二章　等式與不等式
2.1　等式
2.1.1　等式的性質(zhì)與方程的解集
1.C　[解析] 對于A,當(dāng)x=1時(shí),x2≠0,故A錯(cuò)誤;對于B,取x=0,y=1,則x+y=1≠0,故B錯(cuò)誤;對于C,=·(x≠0,y≠0),故C正確;對于D,取x=y=-1,可得=1,與無意義,故D錯(cuò)誤.故選C.
2.D　[解析] ∵2(x-3)(x+1)=2(x2+x-3x-3)=2x2-4x-6,∴b=-4,c=-6.故選D.
3.D　[解析] 對于A,4x2+1+4x=(2x+1)2,故A不符合題意;對于B,4x2+1-4x=(2x-1)2,故B不符合題意;對于C,4x4+4x2+1=(2x2+1)2,故C不符合題意;對于D,4x2+1+16x不能運(yùn)用完全平方公式分解因式,故D符合題意.故選D.
4.C　[解析] 由=+1,得x=1,因?yàn)殛P(guān)于x的方程=+1的解集為 ,所以-=0,解得a=.故選C.
5.A　[解析] ∵+===,∴ 解得∴=.故選A.
6.C　[解析] ∵-12=(-1)×12=1×(-12)=(-2)×6=2×(-6)=(-3)×4=3×(-4),∴整數(shù)a的值可以為±11,±4,±1,共6個(gè).故選C.
7.ABC　[解析] 由題意可知x≠-1且x≠0,則原方程可化為x=,即x2-2x-m=0.當(dāng)x=0時(shí),m=0,此時(shí)原方程可化為x2-2x=0,解得x=2(x=0舍去),符合題意;當(dāng)x=-1時(shí),m=3,此時(shí)原方程可化為x2-2x-3=0,解得x=3(x=-1舍去),符合題意;當(dāng)Δ=4+4m=0時(shí),m=-1,此時(shí)原方程可化為x2-2x+1=0,解得x=1.故選ABC.
8.(3,1)(答案不唯一)　[解析] 由x2-2xy-3y2=0,得(x+y)(x-3y)=0.因?yàn)閤>0,y>0,所以x+y>0,則x=3y.當(dāng)x=3時(shí),y=1,故能夠說明“存在不相等的正實(shí)數(shù)x,y,使得x2-2xy-3y2=0”是真命題的x,y只要滿足x=3y即可.
9.解:(1)由題知2是方程3a-x=+3的解,所以3a-2=1+3,解得a=2,所以(-a)2-2a+1=a2-2a+1=22-2×2+1=1.
(2)原方程可以化為(a+b)x=a2-b2,即(a+b)x=(a+b)(a-b).當(dāng)a+b≠0時(shí),方程的解集為{a-b};當(dāng)a+b=0時(shí),方程的解集為R.
10.D　[解析] 對于A,在解方程的過程中,兩邊同時(shí)除以(x+2),就產(chǎn)生失根x+2=0即x=-2,所以原方程的根為x=-2或x=,故A錯(cuò)誤;對于B,對比方程可知
或可得x=1或x=-6,故B錯(cuò)誤;對于C,對方程(3y+2)2=4(y-3)2,兩邊開平方,可得3y+2=±2(y-3),解得y=-8或y=,故C錯(cuò)誤;對于D,若一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0,則方程為ax2+bx=0(a≠0),即x(ax+b)=0(a≠0),解得x=0或x=-,則x=0必為方程的一個(gè)根,故D正確.故選D.
11.ACD　[解析] 對于A,根據(jù)十字相乘法分解因式可知A正確;對于B,(1-2m)2=1+4m2-4m,故B錯(cuò)誤;對于C,根據(jù)平方差公式可知C正確;對于D,根據(jù)完全平方公式可知D正確.故選ACD.
12.{-1,1}　[解析] 設(shè)x2+3=y,則原方程可化為y2-4y=0,即y(y-4)=0,所以y=0或y=4.當(dāng)y=0時(shí),x2+3=0,此時(shí)方程無解;當(dāng)y=4時(shí),x2+3=4,解得x=±1.綜上,該方程的解集為{-1,1}.
13.{(3,0),(3,-2),(-1,0),(-1,-2)}　[解析] 由題得k(x2-2x-3)+y2+2y=0對任意的實(shí)數(shù)k恒成立,所以所以或或或所以所有實(shí)數(shù)對(x,y)的集合為{(3,0),(3,-2),(-1,0),(-1,-2)}.
14.解:(1)由十字相乘法,得x2-6x-7=(x-7)(x+1).
(2)由十字相乘法,得6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).
(3)先提取-a,得-a3-4a2+12a=-a(a2+4a-12),再由十字相乘法,得a2+4a-12=(a+6)(a-2),故-a3-4a2+12a=-a(a+6)(a-2).
(4)先提取x2,再由十字相乘法,得x2y2-5x2y-6x2=x2(y2-5y-6)=x2(y-6)(y+1).
(5)將x2-4x看作一個(gè)整體,應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解,而后在每個(gè)因式里應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解,所以原式=(x2-4x+3)(x2-4x-5)=(x-1)(x-3)(x-5)(x+1).
15.B　[解析] 圖①中陰影部分的面積為a2-b2,圖②中陰影部分的面積為(a+b)(a-b),因?yàn)閮蓚€(gè)圖形中陰影部分的面積相等,所以a2-b2=(a+b)(a-b).故選B.
16.解:(1)這個(gè)方程無解.理由如下:由題意知x≠0且x≠-1.當(dāng)m=-1時(shí),方程為-=1,去分母,得x2-x-2+2x=x2+x,即-2=0,此方程無解.故當(dāng)m=-1時(shí),這個(gè)方程無解.
(2)由-=1,得x=(x≠0且x≠-1),∵這個(gè)分式方程有實(shí)數(shù)解,∴m≠-1.∵x≠0且x≠-1,∴m≠1且m≠-,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.第二章　等式與不等式
2.1　等式
2.1.1　等式的性質(zhì)與方程的解集
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.熟練掌握等式的性質(zhì),會(huì)用等式性質(zhì)解決恒等式問題,會(huì)求方程的解;
2.了解恒等式,熟練掌握分解因式的一般步驟;
3.能利用等式的性質(zhì)和有關(guān)恒等式進(jìn)行代數(shù)變形,求方程的解集.
◆ 知識點(diǎn)一　等式的性質(zhì)
性質(zhì) 符號語言
對稱性 a=b b=a
傳遞性 a=b,b=c a=c
可加減性 a=b a±c=b±c
可乘性 a=b ac=bc
可除性 a=b,c≠0 =
【診斷分析】 判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)由3a-2=2b,得3a=2b+2. (　 )
(2)由-1=2y-3,得x-1=4y-6. (　 )
(3)由a+c=b+c(a-c≠0),得=. (　 )
(4)由x-2=4x+7,得x=-3. (　 )
(5)由a=b,得(a-c)n=(b-c)n,n∈N*. (　 )
◆ 知識點(diǎn)二　恒等式
1.定義
一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取　　　　　　　時(shí)等式都成立,則稱其為恒等式,也稱等式兩邊恒等.恒等式是進(jìn)行　　　　的依據(jù)之一.
2.常用恒等式
①對任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=　　　　　　　　;
②平方差公式:a2-b2=　　　　　　　　;
③完全平方公式:(a±b)2=　　　　　　　　;
④立方和、立方差公式:a3±b3=　　　　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 (1)化簡x2-4x+4=　　　　　.
(2)(3x+a)(3x-b)=　　　　　　　　.
(3)多項(xiàng)式27-a3分解因式的結(jié)果是　　　　　.
◆ 知識點(diǎn)三　十字相乘法
(1)給定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=　　　　且C=　　　　,則x2+Cx+D=(x+a)(x+b),如圖所示,其中兩條交叉的線表示對應(yīng)數(shù)相乘后相加要等于　　　　,因此,這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”.
(2)形如ax2+bx+c(a>0)的二次三項(xiàng)式十字相乘法:
因?yàn)?a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2,所以二次項(xiàng)系數(shù)a可分解成a1a2,常數(shù)項(xiàng)c可分解成c1c2,把二次項(xiàng)系數(shù)分解得到的a1a2寫到第一列,常數(shù)項(xiàng)分解得到的c1c2寫到第二列,寫成的形式,按斜線交叉相乘再相加,就得到a1c2+a2c1,如果它正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b,那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2).
十字相乘要遵循“拆兩頭,湊中間”的原則.
①當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí),應(yīng)把它分解為兩個(gè)同號因子的積,因子的符號與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同.
②當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí),應(yīng)把它分解為兩個(gè)異號因子的積,使十字連線上絕對值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同.
③當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),先提出負(fù)號,使二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),然后再按照上述方法求解即可.
【診斷分析】 (1)因式分解:x2-5x+6=　　　　　.
(2)因式分解:2x2-7x+3=　　　　　　　.
(3)因式分解:5x2+6xy-8y2=　　　　　　　.
◆ 知識點(diǎn)四　方程的解集
1.方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的　　　　　的值.一般地,把一個(gè)方程所有解組成的　　　　　稱為這個(gè)方程的解集.
2.方程(x-x1)(x-x2)=0,當(dāng)x1≠x2時(shí)解集為　　　　,當(dāng)x1=x2時(shí)解集為　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)方程x2+2=0的解集為 . (　 )
(2)方程x2-5x+6=0的解集為{2,3}. (　 )
(3)方程x2-x+=0的解集為. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　等式的性質(zhì)的應(yīng)用
例1 (1)下列說法正確的是 (　 )
A.在等式=的兩邊同時(shí)除以a,可得b=c
B.在等式2x=2a-b的兩邊同時(shí)除以2,可得x=a-b
C.在等式ab=ac的兩邊同時(shí)除以a,可得b=c
D.在等式a=b的兩邊同時(shí)除以c2+1,可得=
(2)如果x=+(x≠0),那么=　　　　.
變式 已知a,b,c,d∈R,則下列命題中為假命題的是 (　 )
A.若=,則a=b
B.若a=b,則a(c2+2)=b(c2+2)
C.若=,則=
D.若a2n+1=b2n+1(n∈N),則a=b
[素養(yǎng)小結(jié)]
在運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)要注意:(1)等式兩邊都要參加運(yùn)算,并且是作同一種運(yùn)算;(2)等式兩邊加或減、乘或除以的一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子;(3)等式兩邊不能同除以0,即0不能作除數(shù)或分母.
◆ 探究點(diǎn)二　化簡、證明
例2 (1)化簡下列各式.
①(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1);
②x2-(x-1)2.
(2)證明下面各個(gè)公式.
①三數(shù)和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac);
②兩數(shù)和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
③兩數(shù)差立方公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
[素養(yǎng)小結(jié)]
化簡的步驟為“一提”“二套”“三檢查”“四檢驗(yàn)”:
(1)先看是否能提取公因式;
(2)再看能否套用公式;
(3)再檢查因式分解是否徹底;
(4)最后用多項(xiàng)式乘法檢驗(yàn)分解是否正確.
◆ 探究點(diǎn)三　十字相乘法的應(yīng)用
例3 用十字相乘法分解因式.
(1)x2-3x+2;
(2)x2+4x-12;
(3)x2-(a+b)xy+aby2(a,b為常數(shù));
(4)6x2+xy-2y2;
(5)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12.
變式 用十字相乘法分解因式.
(1)x2+7x+12;(2)3x2+7x-6;
(3)2x2-xy-3y2;(4)x4y4-3x2y2-4.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)十字相乘法本質(zhì)是一種針對二次三項(xiàng)式因式分解的方法,其核心在于將二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)拆分為兩組數(shù)的乘積,通過交叉相乘驗(yàn)證中間項(xiàng)系數(shù)的匹配性.(2)十字相乘法的局限性:當(dāng)二次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為質(zhì)數(shù)且無法滿足交叉相乘條件時(shí)需用求根公式.
◆ 探究點(diǎn)四　方程的解集
例4 (1)求下列方程的解集.
①=;②x2-2x-48=0;
③3x2-7x+4=0.
(2)[2025·上海普陀區(qū)高一期中] 已知m為實(shí)數(shù),求關(guān)于x的方程m2x-m2=4x-m-6的解集.
變式 (1)一元二次方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的解集是 (　 )
A.{3} B.{6}
C.{-3,6} D.{-6,3}
(2)已知關(guān)于x的方程=+1的解集為 ,則實(shí)數(shù)a的值為 (　 )
A.0 B.1 C. D.
(3)如果關(guān)于x的方程=的解集為單元素集,那么該方程的解集是 (　 )
A.{1} B.{2}
C.{3} D.{4}
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)求解方程問題的關(guān)鍵是通過同解變形,得到滿足等式成立時(shí)對應(yīng)的x的值,一些變形過程要注意對等式性質(zhì)的應(yīng)用;
(2)求解一元一次方程,若一次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù),則要對其是否為0進(jìn)行討論,求解一元二次方程,可采用十字相乘法將其因式分解,要注意方程中各個(gè)系數(shù)是否滿足應(yīng)用十字相乘法的條件,否則采用求根公式法或配方法進(jìn)行求解.
1.下列說法中正確的是 (　 )
A.如果a=b,那么a+c=b-c
B.如果 =,那么a=b
C.如果a=b,那么 =
D.如果a2=3a,那么a=3
2.下列因式分解正確的是 (　 )
A.x(x-1)=x2-x
B.(2x+1)(x-1)=2x2-x-1
C.5x2-2x-3=(x+1)(5x-3)
D.5x2-2x-3=(x-1)(5x+3)
3.[2025·上海青浦區(qū)高一期中] 已知x∈R,則方程|x-2|+|2x-3|=|3x-5|的解集為 (　 )
A.
B.∪(2,+∞)
C.
D.∪[2,+∞)
4.分解因式x2+ax+b時(shí),甲看錯(cuò)a的值,分解的結(jié)果是(x+6)(x-1),乙看錯(cuò)b的值,分解的結(jié)果是(x-2)(x+1),則a+b=　　　　. 第二章　等式與不等式
2.1　等式
2.1.1　等式的性質(zhì)與方程的解集
1.下列等式中,屬于恒等式的是 (　 )
A.x2=0
B.x+y=0
C.=·
D.=·
2.已知多項(xiàng)式2x2+bx+c分解因式為2(x-3)(x+1),則 (　 )
A.b=3,c=-1
B.b=-6,c=2
C.b=-6,c=-4
D.b=-4,c=-6
3.將4x2+1分別加上下列各項(xiàng),其中不能化成(a+b)2的形式的是 (　 )
A.4x B.-4x
C.4x4 D.16x
4.已知關(guān)于x的方程=+1的解集為 ,則實(shí)數(shù)a的值為 (　 )
A.0 B.1
C. D.
5.若=+,則的值為 (　 )
A. B.-
C. D.-
6.已知x2-ax-12=(x+m)(x+n),其中m,n∈Z,則符合條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為 (　 )
A.3 B.4
C.6 D.8
7.(多選題)已知關(guān)于x的方程=的解集為單元素集,則該方程的解集可以是 (　 )
A.{1} B.{2}
C.{3} D.{4}
8.[2024·云南楚雄高一期中] 能夠說明“存在不相等的正實(shí)數(shù)x,y,使得x2-2xy-3y2=0”是真命題的一組有序數(shù)對(x,y)為　　　　.
9.(13分)(1)已知關(guān)于x的方程3a-x=+3的解集為{2},求(-a)2-2a+1的值.
(2)求關(guān)于x的方程a(x-a)+b(x+b)=0的解集.
10.[2025·上海普陀區(qū)高一期末] 下列說法正確的是 (　 )
A.解方程3x(x+2)=5(x+2)時(shí),可以在方程兩邊同時(shí)除以(x+2),得3x=5,解得x=
B.解方程(x+2)(x+3)=3×4時(shí),對比方程兩邊知x+2=3,x+3=4,解得x=1
C.解方程(3y+2)2=4(y-3)2時(shí),只要將兩邊開平方,方程就變形為3y+2=2(y-3),從而解得y=-8
D.若一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0,則0必為它的一個(gè)根
11.(多選題)下列分解因式正確的是 (　 )
A.a2-5a+6=(a-2)(a-3)
B.1-4m2+4m=(1-2m)2
C.-4x2+y2=-(2x+y)(2x-y)
D.3ab+a2b2+9=
12.方程(x2+3)2-4(x2+3)=0的解集為　　　　.
13.已知等式kx2+y2-2kx+2y-3k=0對任意的實(shí)數(shù)k恒成立,則所有實(shí)數(shù)對(x,y)的集合為　　　　　　　　　　　　.
14.(15分)將下列各式應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解.
(1)x2-6x-7;
(2)6x2-7x-5;
(3)-a3-4a2+12a;
(4)x2y2-5x2y-6x2;
(5)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15.
15.在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形(a>b)(如圖①),將余下的部分剪接拼成一個(gè)長方形(如圖②),根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等,可以驗(yàn)證的等式為(　 )
① ②
A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
16.(15分)已知關(guān)于x的分式方程-=1.
(1)當(dāng)m=-1時(shí),請判斷這個(gè)方程是否有解,并說明理由;
(2)若這個(gè)分式方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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