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(共88張PPT)
2.1 等式
2.1.2 一元二次方程的解集及其
根與系數(shù)的關(guān)系
探究點一 一元二次方程判別式的應(yīng)用
探究點二 一元二次方程的解集
探究點三 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
探究點四 利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的
值或范圍
◆
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
課堂評價
備課素材
練習(xí)冊
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集;
2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟練應(yīng)用;
3.理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并會用根與系數(shù)的關(guān)系解
決一元二次方程問題.
知識點一 一元二次方程的解集
通過配方法將一元二次方程 化為
_______，即 _______.
_ ______________________
___
一般地，稱為一元二次方程 根
的________.由此可知，一元二次方程解集的情況完全由它的______
決定.
注意：運用判別式解題時，特別注意一元二次方程
的隱含條件 .
判別式
系數(shù)
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）方程的解集的情況由 決定.( )
×
[解析] 當(dāng)時,方程解集的情況由 決定，故錯誤.
（2）方程滿足 .( )
×
[解析] 當(dāng)時， ，故錯誤.
（3）方程的解集是 .( )
√
[解析] 因為，所以方程的解集是 ，故正確.
（4）方程 一定有實數(shù)解. ( )
√
[解析] 因為 ，所以方程一定有實數(shù)解.
知識點二 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
1.對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程 ，常用以下關(guān)
系：若，是此方程的兩根，則， ，反過來
可得， ，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，
后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).
2.對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，若，
是此方程的兩根，則， ，反過來也成立，即
， .
3.常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：
（1）不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.
（2）已知含參數(shù)的方程及方程的一個根，求另一個根及方程中的參數(shù).
（3）不解方程求關(guān)于根的式子的值.
（4）判斷兩根的符號.
（5）求作新方程.
（6）由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，
解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮， 這兩
個前提條件.
給出下列幾種變形：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ .
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）方程的解分別為，，則 .( )
×
[解析] ,故錯誤.
（2）若一元二次方程滿足, ,則
該方程有一個正實數(shù)根，一個負(fù)實數(shù)根，且負(fù)實數(shù)根的絕對值大于
正實數(shù)根的絕對值.( )
√
[解析] 因為 ，所以該方程有兩個不等的實數(shù)根.
因為,所以 ,
即該方程有一個正實數(shù)根，一個負(fù)實數(shù)根，
又因為,所以 ，
所以該方程的負(fù)實數(shù)根的絕對值大于正實數(shù)根的絕對值.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）給定方程，若， ，則
， 是該方程的根.( )
×
[解析] 對于， ，
故該方程無解.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
探究點一 一元二次方程判別式的應(yīng)用
例1（1）下列四個結(jié)論中正確的是( )
A.方程 有兩個不相等的實數(shù)根
B.方程 有兩個不相等的實數(shù)根
C.方程 有兩個不相等的實數(shù)根
D.方程（其中為常數(shù)，且 ）有兩個不相等的實數(shù)根
√
[解析] 對于A，由，得，，
原方程有兩個相等的實數(shù)根，故A錯誤；
對于B，由 ，得，，
原方程沒有實數(shù)根，故B錯誤；
對于C，由，得，，
原方程有兩個相等的實數(shù)根，故C錯誤；
對于D，由，得，，
原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故D正確.故選D.
（2）若關(guān)于的方程 的解集為非空
集合，則實數(shù) 的取值范圍是________.
[解析] 當(dāng)，即時，
方程為，解得 ，滿足題意；
當(dāng)，即時，若關(guān)于 的方程的解集為非空集合，
則,解得， .
綜上，實數(shù)的取值范圍是 .
（3）若關(guān)于的一元二次方程 有兩個不相等
的實數(shù)根，則實數(shù) 的取值范圍是_______________．
[解析] 因為關(guān)于的一元二次方程 有兩個不
相等的實數(shù)根，所以解得且 ，故
實數(shù)的取值范圍為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
一元二次方程的解的情況分為“無實數(shù)根”“有兩個相等的實數(shù)根”“有
兩個不相等的實數(shù)根”三種情況，注意與判別式的對應(yīng)關(guān)系．
探究點二 一元二次方程的解集
［探索］ 如何求一元二次方程,,為常數(shù),
的解
解：判斷的符號.
若 ,則方程無解;
若 ,則方程有解,求解方法有:
①應(yīng)用求根公式 求解;
②配方法,由 ,
得 ,然后進行開平方運算;
③因式分解法,由十字相乘法得
,
則原方程可化為,故方程的解為或 .
例2 求下列方程的解集.
（1） ；
解：因為 ，
所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根.
由求根公式可得， ，
故該方程的解集為 .
（2） ；
解：設(shè)，則原方程為 ，
因為,且 ，
所以（舍去）或，即,解得或 ，
故該方程的解集為 .
（3） .
解：原方程可化為，
解得 或，所以原方程的解集為, .
例2 求下列方程的解集.
變式 求下列方程的解集.
（1） ；
解：原方程可化為 , ,
由求根公式得, ，故該方程的解集為 .
（2） ；
解：設(shè)，則,原方程等價于 ，
，
由求根公式得, （舍去）,
則,故該方程的解集為 .
變式 求下列方程的解集.
（3） .
解：設(shè),則,原方程可化為 ,
即,所以,.
當(dāng) 時，,經(jīng)檢驗，是原方程的實數(shù)根；
當(dāng) 時，此方程無實數(shù)根.故該方程的解集為 .
變式 求下列方程的解集.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）求一元二次方程的解集時要注意，當(dāng)時,可應(yīng)用因式分解
法、配方法或求根公式法求出方程的解集.
（2）若方程能夠進行因式分解，則其必滿足，故此時可不用
判斷與0的大小關(guān)系，可直接根據(jù)因式寫出解集.
探究點三 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
例3 若和是一元二次方程 的兩個根，試用根與
系數(shù)的關(guān)系求下列各式的值.
（1） ；
解：因為和是一元二次方程 的兩個根，
所以， ，
所以 .
（2） .
解：由（1）知，，
所以
.
變式（1）［2025·河北邯鄲高一期中］甲、乙兩位同學(xué)解關(guān)于 的方
程，甲同學(xué)寫錯了常數(shù)，得到的根為 或
，乙同學(xué)寫錯了常數(shù)，得到的根為或，則 的
值為( )
A.17 B.7 C. D.
[解析] 由題意知，則，由題意知 ，
則,所以 .故選D.
√
（2）已知實數(shù),滿足條件, ，
則 ___.
[解析] 實數(shù),滿足條件, ,
且， 可把,看成是方程 的兩個根，
,, .
（3）已知關(guān)于的方程,, 是此方程的
兩個根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：
;； .
其中正確結(jié)論的序號是______.
①②
[解析] ,
，故①正確；
,故②正確；
,即,
,即 ，故③錯誤.
綜上所述,正確結(jié)論的序號是①②.
［素養(yǎng)小結(jié)］
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用需滿足根存在，常見的轉(zhuǎn)化關(guān)
系有，
，，
.
探究點四 利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或范圍
例4（1）［2025·江西贛州高一期中］若關(guān)于 的方程
的解為,，且 ，則實數(shù)
的值為( )
A. B. C.1 D.4
[解析] 因為關(guān)于的方程的解為, ，
所以,，因為 ，
所以，可得 .故選B.
√
（2）已知關(guān)于的方程 有兩個不相等的
實數(shù)根，且兩個根均大于0，則實數(shù) 的取值范圍為______________
___.
[解析] 由題得,即，
解得 或.
設(shè)關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根為， ，
則解得.
綜上，實數(shù) 的取值范圍為 .
變式 已知關(guān)于的方程 有兩個不相等
的實數(shù)根.
（1）求實數(shù) 的取值范圍；
解：因為關(guān)于的方程 有兩個不相等的
實數(shù)根,所以，即 ，
解得，故實數(shù)的取值范圍為 .
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根為, ，且
，求實數(shù) 的值.
解：由（1）知，由方程
的兩個實數(shù)根為,，可得 ，
因為 ，
所以，
解得或 （舍去），所以實數(shù) 的值為1.
變式 已知關(guān)于的方程 有兩個不相等
的實數(shù)根.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求待定字母的值時，務(wù)必注
意根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用的前提條件，即.
（2）利用根與系數(shù)關(guān)系,能夠建立根與系數(shù)的
方程，進而求解有關(guān)參數(shù)問題.
1.已知，是方程的兩個根，則 的值為
( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因為，是方程 的兩個根，
所以，，所以 故選D.
√
2.若關(guān)于的方程無實數(shù)根，則實數(shù) 的取值范圍
為( )
A. B.
C.且 D.
[解析] 當(dāng)時，原方程的根是，不符合題意；
當(dāng) 時，由題意知，解得 .故選B.
√
3.一元二次方程 有一個正根和一個負(fù)根的一
個充分不必要條件是( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)方程的兩個根分別為， ，
若一元二次方程 有一個正根和一個負(fù)根，
則解得 .
結(jié)合選項知，一元二次方程 有一個正根
和一個負(fù)根的一個充分不必要條件是 .故選C．
√
4.［2025·浙江嘉興高一期中］已知，若關(guān)于 的方程
有兩個不相等的實數(shù)根，，則 的取值
范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 關(guān)于的方程 有兩個不相等的實數(shù)根，
解得 ，
.故選C.
√
5.若關(guān)于的方程中 為實數(shù)，則該方程
( )
A.沒有實根 B.有兩相等實根 C.有兩不等實根 D.無法判斷
[解析] 因為
，所以該方程有兩不等實根.故選C.
√
弗朗索瓦·韋達1540年生于法國的普瓦圖，1603年12月13日卒于
巴黎.他早年的時候是法律專業(yè)的學(xué)生，當(dāng)過律師，后從事政治活動，
當(dāng)過議會的議員，不過，他將自己的業(yè)余時間都奉獻給了有魅力的
數(shù)學(xué)，并且一生保有這個愛好.在法國與西班牙戰(zhàn)爭期間，他曾破譯
西班牙作戰(zhàn)機密，首次嶄露數(shù)學(xué)才能，但卻遭受西班牙宗教裁判所
判決處以焚燒致死的極刑，幸未能執(zhí)行.因為韋達的這一次立功，他
之后得到了更為重要的職位，如法國檢察官、法國最高律師等.雖然
數(shù)學(xué)只是韋達的業(yè)余愛好，但是他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得的成就使其成為
法國十六世紀(jì)最有影響力的數(shù)學(xué)家，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”.
他出版了多部數(shù)學(xué)專著，其中《論方程的識別與訂正》一書中討論
了方程根的多種有理變換，記載了著名的韋達定理，即方程的根與
系數(shù)的關(guān)系.
1.一元二次方程的解法
直接開 平方法
配方法
公式法
因式分 解法
2.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用
（1）不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是否為一元二
次方程的兩個根.
（2）已知方程的一個根，求方程的另一個根及未知系數(shù).
（3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于，的式子的值.
此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形，如：
①；
②；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ ；
⑩ .
（4）已知方程的兩根，寫出一個一元二次方程.
以兩個數(shù),為根的一元二次方程是 .
（5）已知一元二次方程的兩個根滿足某種關(guān)系，確定方程中未知系
數(shù)的值或取值范圍.
（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進一步討論根的符號.
例1 （多選題）早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程.16世
紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家們得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.設(shè)
實系數(shù)一元三次方程的根為， ，
，則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.
C.
D.若 ，則1是原方程的一個根
√
√
√
[解析] 由題知
，
，， ，
當(dāng)時，.故選 .
例2 已知關(guān)于的方程 ，根據(jù)下列條件，
分別求出 的值.
（1）方程兩個實數(shù)根的積為5；
解： 方程兩個實數(shù)根的積為5,
解得 ,
當(dāng) 時，方程兩個實數(shù)根的積為5.
（2）方程的兩個實數(shù)根,滿足 .
解：①當(dāng)時，， 方程有兩個相等的非負(fù)實數(shù)根，
故，解得 ，經(jīng)驗證，滿足題意；
②當(dāng)時，，則，即 ，
解得，由得，故 不符合題意，舍去.
綜上可得，當(dāng)時，方程的兩個實數(shù)根,滿足 .
練習(xí)冊
1.用配方法解一元二次方程 時，方程變形正確的是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，移項得 ，
兩邊都加上1得，即 .故選B.
2.已知關(guān)于的方程 的一個根為2，則另一個根是
( )
A. B. C.3 D.6
[解析] 關(guān)于的方程的一個根為2，
設(shè)方程的另一個根為 ，可得，解得 故選A.
√
3.已知集合, ，若
，則實數(shù) 的取值集合為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由題得.
若 ，則 且，解得.
若中只有一個元素， 中的方程為一元二次方程，
則解得 ，此時,不符合題意；
中的方程為一元一次方程，則 ，
此時，不符合題意.
當(dāng)時， ，符合題意.
綜上，實數(shù)的取值集合為 .故選D.
4.若關(guān)于的方程的兩根分別是,，則
( )
A.6 B.7 C.8 D.9
√
因為,是方程的兩根，所以, ,
所以 .故選C.
5.已知關(guān)于的方程 有兩個不相等的實
數(shù)根，且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，則 的值為
( )
A.17 B. C.17或 D. 或1
√
[解析] 設(shè)關(guān)于的方程 的兩個根
分別為,，則, ，
由題可知 ，即
，解得或.
因為關(guān)于 的方程 有兩個不相等的
實數(shù)根，所以，
解得，所以 .故選B.
6.［2025·貴州遵義高一期中］若,是一元二次方程
的兩個實數(shù)根，且，則 的值為( )
A. B.3 C.2 D.1
[解析] 因為,是一元二次方程 的兩個實數(shù)根，
所以，解得，
由根與系數(shù)的關(guān)系得 ，，
因為 ，
所以，解得 .故選A.
√
7.設(shè)實數(shù),分別滿足, 且
，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知,由，得 ,
因為,,
所以, 是方程的兩個根,
所以,,所以
.故選B.
8.（多選題）已知等腰三角形的三邊長分別為,,3，且,是關(guān)于
的方程的兩根，則 的值可能為( )
A.15 B.16 C.17 D.18
√
√
[解析] 若3為等腰三角形的底邊長，則，因為,是關(guān)于 的
方程的兩根，所以，解得 ，
此時三角形的三邊長分別為3，4，4，這樣的三角形存在，
所以，解得.
若3為等腰三角形的腰長，則, 中有一個為3，不妨設(shè)，
因為,是關(guān)于 的方程的兩根，
所以，所以 ，
此時三角形的三邊長分別為3，3，5，這樣的三角形存在，
所以，解得.綜上，或.故選 .
9.若關(guān)于的方程 的兩個不等實根的平方和為
1，則實數(shù) 的值為_______.
0或
[解析] 設(shè)關(guān)于的方程的兩根為, ，
則, ，
所以，
解得 或,又,所以或 .
10.（13分）若,是方程 的兩個根，試求下列
各式的值：
解：由題意得, .
.
（1） ；
（2） ；
解： .
（3） ；
解：
.
（4） .
解： .
10.（13分）若,是方程 的兩個根，試求下列
各式的值：
11.（多選題）已知關(guān)于的方程 ，下列說法
正確的是( )
A.若方程有兩個互為相反數(shù)的實數(shù)根，則
B.若方程沒有實數(shù)根，則方程 必
有兩個不相等的實數(shù)根
C.若二次三項式是完全平方式，則
D.若 ，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根
√
√
√
[解析] 對于A，若方程有兩個互為相反數(shù)的實數(shù)根, ，
則，即 ，故A正確；
對于B，若方程沒有實數(shù)根，
則，即 ，又，所以，
則方程 的判別式，
所以方程 必有兩個不相等的實數(shù)根，故B正確；
對于C，若二次三項式 是完全平方式，
則，故C正確；
對于D，若 ，則，
解得，故D錯誤.故選 .
12.方程 的解集是____________．
[解析] ,.
令 ,可得,,或.
由 ,可得,無解.
由,可得 ,解得.
故原方程的解集為 .
13.已知,,,是關(guān)于的方程 的兩個實根，
,是關(guān)于的方程的兩個實根，則 ___.
3
[解析] 因為,,,是關(guān)于的方程 的兩個實根，
所以由根與系數(shù)的關(guān)系得,，
因為, 是關(guān)于的方程 的兩個實根，
所以,，
即 ，，
所以解得
經(jīng)驗證可得 所以所以 .
14.（15分）已知 ，一個二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個
不等實根分別為和，且滿足
（1）直接寫出該一元二次方程；
解：因為
所以 ，
所以 ，所以這個一元二次方程為 ，
即，即 .
（2）若，求 的取值范圍.
14.（15分）已知 ，一個二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個
不等實根分別為和，且滿足
解：由
,可得 ,
由,可得,則 ,
對于方程 ,,
可得 ,所以,解得或 ,
因此實數(shù)的取值范圍是 .
15.［2025·遼寧大連高一期中］“實數(shù) ”是“集合
中恰有一個元素”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
[解析] 方程等價于且， .
對于方程，當(dāng)，
即時，解得 ，符合題意；
當(dāng)，即時，
若其中一個根為 ，由根與系數(shù)的關(guān)系可知另一根為，
有 ，符合方程只有一個實數(shù)根；
若其中一個根為 ，由根與系數(shù)的關(guān)系可知另一根為，
有，符合方程 只有一個實數(shù)根.
所以“實數(shù)”是“集合 中恰有一個元
素”的充分不必要條件.故選A.
16.（15分）已知，是關(guān)于 的一元二次方程
的兩個實數(shù)根.
（1）若，求實數(shù) 的值.
解：因為，是關(guān)于的一元二次方程
的兩個實數(shù)根，所以解得，
則 ， .
因為，所以，即 ，
即 ，即，解得 .
（2）是否存在實數(shù)，使 成立？若存在，
求出 的值；若不存在，請說明理由.
16.（15分）已知，是關(guān)于 的一元二次方程
的兩個實數(shù)根.
解：由（1）知，，，
假設(shè)存在實數(shù) ，使 成立，
則 成立，
解得，因為，所以不存在實數(shù) ，
使 成立.
（3）若，求整數(shù) 的值.
解：由（1）知，， ，
則 ，
因為，所以，又為整數(shù)，
所以 ，，，又，所以或或 .
16.（15分）已知，是關(guān)于 的一元二次方程
的兩個實數(shù)根.
快速核答案(導(dǎo)學(xué)案)
課前預(yù)習(xí) 知識點一 判別式 系數(shù)
【診斷分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）√ 知識點二 【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）×
課中探究 探究點一 例1 （1）D （2） （3）
探究點二［探索］略 例2 （1） （2） （3）,
變式 （1） （3）
探究點三 例3 （1）（2） 變式 （1）D （2） （3）①②
探究點四 例4 （1）B （2） 變式 （1） （2）1
課堂評價 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C
備用習(xí)題 例1 ACD 例2 （1）（2）
快速核答案(練習(xí)冊)
基礎(chǔ)鞏固 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.BC 9.0或
10.（1） （2） （3）（4）
綜合提升 11.ABC 12. 13.3
14.（1） （2）
思維探索 15.A 16.（1） （2）不存在（3） 或或2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
　　
　判別式　系數(shù)
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)當(dāng)a≠0時,方程解集的情況由Δ=b2-4ac決定,故錯誤.
(2)當(dāng)n=m時,Δ=0,故錯誤.
(3)因為Δ=-3<0,所以方程的解集是 ,故正確.
(4)因為Δ=a2+4a2=5a2≥0,所以方程一定有實數(shù)解.
知識點二
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)x1+x2=-=-2,故錯誤.
(2)因為Δ=b2-4ac>0,所以該方程有兩個不等的實數(shù)根.因為ac<0,所以x1x2=<0,即該方程有一個正實數(shù)根,一個負(fù)實數(shù)根,又因為ab>0,所以x1+x2=-<0,所以該方程的負(fù)實數(shù)根的絕對值大于正實數(shù)根的絕對值.
(3)對于x2-2x+3=0,Δ=(-2)2-4×3=-8<0,故該方程無解.
【課中探究】
例1　(1)D　(2)　(3)(-∞,1)∪(1,2)
[解析] (1)對于A,由x≠0,得x2+2x+1=0,∵Δ=0,∴原方程有兩個相等的實數(shù)根,故A錯誤;對于B,由x≠0,得x2-x+1=0,∵Δ<0,∴原方程沒有實數(shù)根,故B錯誤;對于C,由x≠0,得x2-2x+1=0,∵Δ=0,∴原方程有兩個相等的實數(shù)根,故C錯誤;對于D,由x≠0,得x2-ax+1=0,∵Δ>0,∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根,故D正確.故選D.
(2)當(dāng)k-2=0,即k=2時,方程為5x+1=0,解得x=-,滿足題意;當(dāng)k-2≠0,即k≠2時,若關(guān)于x的方程的解集為非空集合,則Δ=(2k+1)2-4(k-2)2×1≥0,解得k≥,k≠2.綜上,實數(shù)k的取值范圍是.
(3)因為關(guān)于x的一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,所以解得k<2且k≠1,故實數(shù)k的取值范圍為(-∞,1)∪(1,2).
探索 解:判斷Δ=b2-4ac的符號.若Δ<0,則方程無解;
若Δ≥0,則方程有解,求解方法有:
①應(yīng)用求根公式x=求解;
②配方法,由ax2+bx+c=a+=0,
得=,然后進行開平方運算;
③因式分解法,由十字相乘法得ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),則原方程可化為a(x-x1)(x-x2)=0,故方程的解為x=x1或x=x2.
例2　解:(1)因為Δ=36-4×3×(-2)=60>0,所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根.由求根公式可得x1=1-,x2=1+,故該方程的解集為.
(2)設(shè)x2=t(t≥0),則原方程為t2-5t-6=0,因為Δ=25-4×(-6)=49>0,且t2-5t-6=(t-6)(t+1)=0,所以t=-1(舍去)或t=6,即x2=6,解得x=或x=-,故該方程的解集為.
(3)原方程可化為[x-(m+1)][x-(m-1)]=0,解得x=m+1或x=m-1,所以原方程的解集為{m+1,m-1}.
變式　解:(1)原方程可化為9x2+6x-8=0,Δ=62-4×9×(-8)=324>0,由求根公式得x1=,x2=-,故該方程的解集為.
(2)設(shè)=t(t≥0),則x=t2,原方程等價于4t2-t-1=0,Δ=(-1)2-4×4×(-1)=17>0,
由求根公式得t1=,t2=(舍去),
則x==,故該方程的解集為.
(3)設(shè)x+=y,則x2+=y2-2,原方程可化為y2+y-2=0,即(y+2)(y-1)=0,所以y1=-2,y2=1.當(dāng)x+=-2時,x1=x2=-1,經(jīng)檢驗,-1是原方程的實數(shù)根;當(dāng)x+=1時,此方程無實數(shù)根.故該方程的解集為{-1}.
例3　解:(1)因為x1和x2是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩個根,所以x1+x2=-,x1x2=-,所以+====.
(2)由(1)知x1+x2=-,x1x2=-,所以+=(x1+x2)(+-x1x2)=-=-×=-.
變式　(1)D　(2)　(3)①②　[解析] (1)由題意知-1+=-,則b=-5,由題意知6×=,則c=-12,所以b+c=-5-12=-17.故選D.
(2)∵實數(shù)a,b滿足條件a2-7a+2=0,b2-7b+2=0,且a≠b,∴可把a,b看成是方程x2-7x+2=0的兩個根,∴a+b=7,ab=2,∴+====.
(3)∵Δ=[-(a+b)]2-4(ab-1)=(a-b)2+4>0,∴x1≠x2,故①正確;x1x2=ab-1a2+b2,即+>a2+b2,故③錯誤.綜上所述,正確結(jié)論的序號是①②.
例4　(1)B　(2)(-∞,-2)∪　[解析] (1)因為關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0的解為x1,x2,所以x1+x2=-2(m-1),x1x2=m2-m,因為+==2,所以=2,可得m=-1.故選B.
(2)由題得Δ=(m-4)2-4(5-2m)>0,即m2>4,解得m>2或m<-2.設(shè)關(guān)于x的方程的兩個不相等的實數(shù)根為x1,x2,則解得m<.綜上,實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2)∪.
變式　解:(1)因為關(guān)于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有兩個不相等的實數(shù)根,所以Δ=4(m+1)2-4(m2-3)>0,即8m+16>0,解得m>-2,故實數(shù)m的取值范圍為(-2,+∞).
(2)由(1)知m>-2,由方程x2-2(m+1)x+m2-3=0的兩個實數(shù)根為x1,x2,可得x1+x2=2(m+1),因為(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,所以4(m+1)2-2(m+1)-12=0,解得m=1或m=-(舍去),所以實數(shù)m的值為1.
【課堂評價】
1.D　[解析] 因為x1,x2是方程x2-2x-1=0的兩個根,所以x1+x2=2,x1x2=-1,所以+===-2.故選D.
2.B　[解析] 當(dāng)m=0時,原方程的根是-,不符合題意;當(dāng)m≠0時,由題意知Δ=22-4×m×1<0,解得m>1.故選B.
3.C　[解析] 設(shè)方程ax2+5x+4=0(a≠0)的兩個根分別為x1,x2,若一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一個正根和一個負(fù)根,則解得a<0.結(jié)合選項知,一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一個正根和一個負(fù)根的一個充分不必要條件是a<-2.故選C.
4.C　[解析] ∵關(guān)于x的方程mx2-4x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根,∴解得05.C　[解析] 因為Δ=(m-1)2+4(m+2)=m2+2m+9=(m+1)2+8>0,所以該方程有兩不等實根.故選C.2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系
1.B　[解析] x2-2x-3=0,移項得x2-2x=3,兩邊都加上1得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4.故選B.
2.A　[解析] 關(guān)于x的方程x2+x-a=0的一個根為2,設(shè)方程的另一個根為t,可得2+t=-1,解得t=-3.故選A.
3.D　[解析] 由題得A={x|2x2-x-3=0}=.若B= ,則a≠0且Δ=1+12a<0,解得a<-.若B中只有一個元素,①B中的方程為一元二次方程,則解得a=-,此時B={-6},不符合題意;②B中的方程為一元一次方程,則a=0,此時B={-3},不符合題意.當(dāng)B=A時,a=2,符合題意.綜上,實數(shù)a的取值集合為{2}∪.故選D.
4.C　[解析] 因為x1,x2是方程x2-6x+2=0的兩根,所以x1+x2=6,x1x2=2,所以+====8.故選C.
5.B　[解析] 設(shè)關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0的兩個根分別為x1,x2,則x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4,由題可知+-x1x2=21,即(x1+x2)2-3x1x2=4(m-2)2-3(m2+4)=m2-16m+4=21,解得m=-1或m=17.因為關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個不相等的實數(shù)根,所以Δ=4(m-2)2-4(m2+4)>0,解得m<0,所以m=-1.故選B.
6.A　[解析] 因為x1,x2是一元二次方程x2+x+a=0的兩個實數(shù)根,所以Δ=1-4a≥0,解得a≤,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-1,x1·x2=a,因為+=(x1+x2)2-2x1·x2=3,所以1-2a=3,解得a=-1.故選A.
7.B　[解析] 易知n≠0,由n2+20n+19=0,得19+20·+1=0,因為19m2+20m+1=0,mn≠1,所以m,是方程19x2+20x+1=0的兩個根,所以m+=-,=,所以=2m++=2+3×=2×+=-.故選B.
8.BC　[解析] 若3為等腰三角形的底邊長,則a=b,因為a,b是關(guān)于x的方程x2-8x-1+m=0的兩根,所以a+b=8,解得a=b=4,此時三角形的三邊長分別為3,4,4,這樣的三角形存在,所以ab=m-1=16,解得m=17.若3為等腰三角形的腰長,則a,b中有一個為3,不妨設(shè)a=3,因為a,b是關(guān)于x的方程x2-8x-1+m=0的兩根,所以a+b=8,所以b=8-3=5,此時三角形的三邊長分別為3,3,5,這樣的三角形存在,所以ab=m-1=15,解得m=16.綜上,m=17或m=16.故選BC.
9.0或-　[解析] 設(shè)關(guān)于x的方程x2-(2a+1)x+a=0的兩根為x1,x2,則x1+x2=2a+1,x1x2=a,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(2a+1)2-2a=1,解得a=0或a=-,又Δ=(2a+1)2-4a>0,所以a=0或a=-.
10.解:由題意得x1+x2=-2,x1x2=-2023.
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-2023)=4050.
(2)+===.
(3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-2023-5×(-2)+25=-1988.
(4)|x1-x2|====4.
11.ABC　[解析] 對于A,若方程有兩個互為相反數(shù)的實數(shù)根x1,x2,則x1+x2=-=0,即b=0,故A正確;對于B,若方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根,則b2-4ac<0,即b2<4ac,又b2≥0,所以4ac>0,則方程ax2+bx-c=0的判別式Δ=b2+4ac>4ac>0,所以方程ax2+bx-c=0必有兩個不相等的實數(shù)根,故B正確;對于C,若二次三項式ax2+bx+c是完全平方式,則b2-4ac=0,故C正確;對于D,若b=c=0,則ax2+bx+c=ax2=0,解得x=0,故D錯誤.故選ABC.
12.　[解析] ∵+=,∴ +=.令t=,可得t+=,∴ 3t2-10t+3=0,∴ t=3或t=.由=3,可得3x2-x+3=0,無解.由=,可得x2-3x+1=0,解得x=.故原方程的解集為.
13.3　[解析] 因為p,q∈R,x1,x2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩個實根,所以由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-p,x1x2=q,因為x1+1,x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩個實根,所以x1+1+x2+1=-q,(x1+1)(x2+1)=p,即x1+x2=-q-2,x1+x2+x1x2=p-1,所以解得經(jīng)驗證可得
所以所以pq=3.
14.解:(1)因為所以(x1+x2)2=++2x1x2=2m2-4+2x1x2=m2,所以x1x2=2-,
所以這個一元二次方程為(x-x1)(x-x2)=0,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0,即x2-mx+2-=0.
(2)由(3x1-x2)(3x2-x1)=10x1x2-3(+)=10-3(2m2-4)=32-11m2≥-1,可得m2≤3,
由+=2m2-4>0,可得m2>2,則2對于方程x2-mx+2-=0,Δ=m2-4=3m2-8>0,可得m2>,
所以因此實數(shù)m的取值范圍是.
15.A　[解析] 方程=等價于x2+x-k=0且x≠0,x≠2.對于方程x2+x-k=0,當(dāng)Δ=1+4k=0,即k=-時,解得x=-,符合題意;當(dāng)Δ=1+4k>0,即k>-時,若其中一個根為x=0,由根與系數(shù)的關(guān)系可知另一根為x=-1,有k=0,符合方程=只有一個實數(shù)根;若其中一個根為x=2,由根與系數(shù)的關(guān)系可知另一根為x=-3,有k=6,符合方程=只有一個實數(shù)根.所以“實數(shù)k=-”是“集合A=中恰有一個元素”的充分不必要條件.故選A.
16.解:(1)因為x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根,
所以解得k<0,則x1x2=,x1+x2=-=1.
因為|x1-x2|=,所以(x1-x2)2=,即(x1+x2)2-4x1x2=,即1-4×=,
即=,解得k=-16.
(2)由(1)知k<0,x1x2=,x1+x2=1,假設(shè)存在實數(shù)k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立,則(2x1-x2)(x1-2x2)=2(x1+x2)2-9x1x2=2-=-成立,解得k=,因為k<0,所以不存在實數(shù)k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立.
(3)由(1)知k<0,x1x2=,x1+x2=1,則+-2=-2=-4=-4=-,因為+-2∈Z,所以-∈Z,又k為整數(shù),所以k+1=±1,±2,±4,又k<0,所以k=-2或-3或-5.2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解一元二次方程的概念,能用配方法求一元二次方程的解集;
2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟練應(yīng)用;
3.理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,并會用根與系數(shù)的關(guān)系解決一元二次方程問題.
◆ 知識點一　一元二次方程的解集
通過配方法將一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化為a+　　　　=0,即=　　　　　.
Δ=b2-4ac 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集
b2-4ac>0 　　　　　　　　　　　
b2-4ac=0
b2-4ac<0 　　　
一般地,Δ=b2-4ac稱為一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的　　　　　.由此可知,一元二次方程解集的情況完全由它的　　　　　決定.
注意:運用判別式解題時,特別注意一元二次方程ax2+bx+c=0的隱含條件a≠0.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程ax2+bx+c=0的解集的情況由Δ=b2-4ac決定. (　 )
(2)方程(x-m)(x-n)=0滿足Δ>0. (　 )
(3)方程x2-x+1=0的解集是 . (　 )
(4)方程x2+ax-a2=0一定有實數(shù)解. (　 )
◆ 知識點二　一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
1.對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,常用以下關(guān)系:若x1,x2是此方程的兩根,則x1+x2=-p,x1x2=q,反過來可得p=-(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題,后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).
2.對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程ax2+bx+c=0,若x1,x2是此方程的兩根,則x1+x2=-,x1x2=,反過來也成立,即=-(x1+x2),=x1x2.
3.常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題:
(1)不解方程,判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.
(2)已知含參數(shù)的方程及方程的一個根,求另一個根及方程中的參數(shù).
(3)不解方程求關(guān)于根的式子的值.
(4)判斷兩根的符號.
(5)求作新方程.
(6)由給出的兩根滿足的條件,確定字母的取值.這類問題比較綜合,解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系,同時還要考慮a≠0,Δ≥0這兩個前提條件.
給出下列幾種變形:
①+=(+2x1x2+)-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2;
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
③|x1-x2|==;
④+=;
⑤+==;
⑥(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程x2+2x-1=0的解分別為x1,x2,則x1+x2=2. (　 )
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足ac<0,ab>0,則該方程有一個正實數(shù)根,一個負(fù)實數(shù)根,且負(fù)實數(shù)根的絕對值大于正實數(shù)根的絕對值. (　 )
(3)給定方程x2-2x+3=0,若x1+x2=2,x1·x2=3,則x1,x2是該方程的根. (　 )
◆ 探究點一　一元二次方程判別式的應(yīng)用
例1 (1)下列四個結(jié)論中正確的是 (　 )
A.方程x+=-2有兩個不相等的實數(shù)根
B.方程x+=1有兩個不相等的實數(shù)根
C.方程x+=2有兩個不相等的實數(shù)根
D.方程x+=a(其中a為常數(shù),且|a|>2)有兩個不相等的實數(shù)根
(2)若關(guān)于x的方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0的解集為非空集合,則實數(shù)k的取值范圍是　　　　.
(3)若關(guān)于x的一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是　　　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
一元二次方程的解的情況分為“無實數(shù)根”“有兩個相等的實數(shù)根”“有兩個不相等的實數(shù)根”三種情況,注意與判別式的對應(yīng)關(guān)系.
◆ 探究點二　一元二次方程的解集
[探索] 如何求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的解
例2 求下列方程的解集.
(1)3x2-6x-2=0;
(2)x4-5x2-6=0;
(3)x2-2mx+m2-1=0.
變式 求下列方程的解集.
(1)9x2+6x=8;
(2)4x--1=0;
(3)x2+++x=0.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)求一元二次方程的解集時要注意,當(dāng)Δ≥0時,可應(yīng)用因式分解法、配方法或求根公式法求出方程的解集.
(2)若方程能夠進行因式分解,則其必滿足Δ≥0,故此時可不用判斷Δ與0的大小關(guān)系,可直接根據(jù)因式寫出解集.
◆ 探究點三　一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
例3 若x1和x2是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩個根,試用根與系數(shù)的關(guān)系求下列各式的值.
(1)+;(2)+.
變式 (1)[2025·河北邯鄲高一期中] 甲、乙兩位同學(xué)解關(guān)于x的方程3x2+bx+c=0,甲同學(xué)寫錯了常數(shù)c,得到的根為x=-1或x=,乙同學(xué)寫錯了常數(shù)b,得到的根為x=6或x=-,則b+c的值為 (　 )
A.17 B.7
C.-7 D.-17
(2)已知實數(shù)a,b滿足條件a2-7a+2=0,b2-7b+2=0(a≠b),則+=　　　　.
(3)已知關(guān)于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的兩個根,現(xiàn)給出三個結(jié)論:
①x1≠x2;②x1x2其中正確結(jié)論的序號是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用需滿足根存在,常見的轉(zhuǎn)化關(guān)系有|x1-x2|==,+=(x1+x2)2-2x1x2,+=,+=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2].
◆ 探究點四　利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或范圍
例4 (1)[2025·江西贛州高一期中] 若關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0的解為x1,x2,且+=2,則實數(shù)m的值為 (　 )
A.-4 B.-1
C.1 D.4
(2)已知關(guān)于x的方程x2+(m-4)x+5-2m=0有兩個不相等的實數(shù)根,且兩個根均大于0,則實數(shù)m的取值范圍為　　　　　　　　.
變式 已知關(guān)于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根為x1,x2,且(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,求實數(shù)m的值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求待定字母的值時,務(wù)必注意根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用的前提條件,即Δ≥0.
(2)利用根與系數(shù)關(guān)系x1+x2=-,x1x2= 能夠建立根與系數(shù)的方程,進而求解有關(guān)參數(shù)問題.
1.已知x1,x2是方程x2-2x-1=0的兩個根,則+的值為 (　 )
A.- B.2
C. D.-2
2.若關(guān)于x的方程mx2+2x+1=0無實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍為 (　 )
A.m≠0
B.m>1
C.m<1且m≠0
D.m>-1
3.一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一個正根和一個負(fù)根的一個充分不必要條件是(　 )
A.a<0 B.a>0
C.a<-2 D.a>1
4.[2025·浙江嘉興高一期中] 已知m>0,若關(guān)于x的方程mx2-4x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2,則x1+x2的取值范圍是 (　 )
A.(0,2) B.(0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
5.若關(guān)于x的方程x2-(m-1)x-m-2=0中m為實數(shù),則該方程 (　 )
A.沒有實根
B.有兩相等實根
C.有兩不等實根
D.無法判斷2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系
1.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0時,方程變形正確的是 (　 )
A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=4
C.(x-1)2=1 D.(x-1)2=7
2.已知關(guān)于x的方程x2+x-a=0的一個根為2,則另一個根是 (　 )
A.-3 B.-2
C.3 D.6
3.已知集合A={x|2x2-x-3=0},B={x|ax2-x-3=0},若B A,則實數(shù)a的取值集合為 (　 )
A.{2}
B.{2,0}
C.
D.{2}∪
4.若關(guān)于x的方程x2-6x+2=0的兩根分別是x1,x2,則+= (　 )
A.6 B.7
C.8 D.9
5.已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個不相等的實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,則m的值為 (　 )
A.17 B.-1
C.17或-1 D.-17或1
6.[2025·貴州遵義高一期中] 若x1,x2是一元二次方程x2+x+a=0的兩個實數(shù)根,且+=3,則a的值為 (　 )
A.-1 B.3
C.2 D.1
7.設(shè)實數(shù)m,n分別滿足19m2+20m+1=0,n2+20n+19=0且mn≠1,則= (　 )
A. B.- C. D.-
8.(多選題)已知等腰三角形的三邊長分別為a,b,3,且a,b是關(guān)于x的方程x2-8x-1+m=0的兩根,則m的值可能為 (　 )
A.15 B.16
C.17 D.18
9.若關(guān)于x的方程x2-(2a+1)x+a=0的兩個不等實根的平方和為1,則實數(shù)a的值為　　　　.
10.(13分)若x1,x2是方程x2+2x-2023=0的兩個根,試求下列各式的值:
(1)+;
(2)+;
(3)(x1-5)(x2-5);
(4)|x1-x2|.
11.(多選題)已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列說法正確的是 (　 )
A.若方程有兩個互為相反數(shù)的實數(shù)根,則b=0
B.若方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根,則方程ax2+bx-c=0必有兩個不相等的實數(shù)根
C.若二次三項式ax2+bx+c是完全平方式,則b2-4ac=0
D.若c=0,則方程必有兩個不相等的實數(shù)根
12.方程+=的解集是　　　　　　　　.
13.已知p,q∈R,x1,x2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩個實根,x1+1,x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩個實根,則pq=　　　　.
14.(15分)已知m∈R,一個二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個不等實根分別為x1和x2(x1(1)直接寫出該一元二次方程;
(2)若(3x1-x2)(3x2-x1)≥-1,求m的取值范圍.
15.[2025·遼寧大連高一期中] “實數(shù)k=-”是“集合A=中恰有一個元素”的(　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
16.(15分)已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根.
(1)若|x1-x2|=,求實數(shù)k的值.
(2)是否存在實數(shù)k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立 若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
(3)若+-2∈Z,求整數(shù)k的值.

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