資源簡介

(共74張PPT)
2.1 等式
2.1.3 方程組的解集
探究點一 一次方程組的解法
探究點二 二元二次方程組的解法
探究點三 一元方程組的實際應用
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.會解二元一次方程組和三元一次方程組;
2.掌握二元二次方程組的解法.
知識點一 方程組解集的定義
一般地，將多個方程聯立，就能得到方程組.方程組中，每個方程的
解集的______稱為這個方程組的解集.
注意：①方程組的解集是集合，要用集合的表示方法來表示.
②方程組的解一定是方程組中每一個方程的解,但方程組中每一個方
程的解不一定是這個方程組的解，因此,要檢驗一組未知數的值是否
為一個方程組的解時，必須將這組未知數的值分別代入方程組中的
每一個方程進行檢驗.若滿足每一個方程,則這組未知數的值就是這個
方程組的解;若只滿足其中的一個方程,則這組未知數的值就不是這個
方程組的解.
交集
知識點二 方程組解集的分類
當方程組中未知數的個數大于方程的個數時，方程組的解集可能含
有__________元素，解集為無限集.此時，如果將其中一些未知數看
成常數，那么其他未知數往往能用____________表示出來.
無窮多個
這些未知數
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）方程組的解集是 .( )
×
（2）方程組的解集是 .( )
√
（3）三元一次方程組的解集是 .( )
×
（4）方程組的解集是， .( )
√
（5）方程組的解集是, ，
}.( )
√
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
探究點一 一次方程組的解法
［探索］ 如何求解多元一次方程組？
解：多元一次方程組的解法主要是應用加、減法進行減元運算.
例1（1）若關于，的方程組的解集為 ，則
( )
A.4 B. C.6 D.
[解析] 關于，的方程組的解集為 ，
解得 .故選D.
√
（2）已知，，且則 _____
_______.
[解析] 兩式相加得，
即 ，代入①式可得 ，
所以 .
變式（1）關于，的方程組 的解集，下列說法錯誤的
是( )
A.可能是空集 B.可能是無限集
C.可能是單元素集 D.可能是
[解析] 由得可得 ,即.
若，則 可取任意實數，此時解有無數個，故B中說法正確；
若,則, ，故C，D中說法正確；
解集不可能是空集，故A中說法錯誤.故選A.
√
（2）［2024·北京海淀區高一期中］若關于, 的方程組
與的解集相等，則___， ____.
4
[解析] 因為方程組與 的解集相等，
所以的解集也是它們的解集.
由得 所以解得
［素養小結］
（1）解方程組的最主要方法是代入消元法和加減消元法.
（2）解三元一次方程組在確定消去哪個未知數時，要從整體考慮，
一般選擇消去可以使計算量相對較小的未知數；消去的未知數一定
是同一未知數.
探究點二 二元二次方程組的解法
例2 求下列方程組的解集：
（1）
解： 方法一： 已知 由②得 ,
將③代入①得,
整理得 ,解得，.
把代入③，得；把 代入③，得.
所以原方程組的解是或
所以方程組的解集為 .
方法二 ： 已知
由①得，即或 .
原方程組可轉化為或
解得 或所以方程組的解集為 .
（2）
例2 求下列方程組的解集：
解：已知
由①得 ，
即，則或 .
由得或
由得或
所以原方程組的解集為，，， .
變式（1）若兩相異實數，滿足
則 的值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 兩式相減得，
因為 ，所以，所以，，
故， 是方程的兩根，由根與系數的關系得
則
.故選D.
√
（2）某人在解方程組 時，采用了 “整體代換”的方
法：將方程②變形為，即 ，
將方程①代入③得，解得，將 代入①得
，所以方程組的解為 請據此解決以下問題：
（i）應用 “整體代換”法解方程組
解：由題知方程組為
將方程②變形為，即 ，
將方程①代入③得，解得,
將 代入①得，所以方程組的解為
（2）某人在解方程組 時，采用了 “整體代換”的方
法：將方程②變形為，即 ，
將方程①代入③得，解得，將 代入①得
，所以方程組的解為 請據此解決以下問題：
（ii）已知，滿足方程組
求 的值.
解：由題知方程組為
由①得 ,即，
把③代入②得 ,解得，
將代入③得 , .
［素養小結］
二元二次方程組也可如一次方程組那樣使用代入法和加減消元法求
解，同時要注意在求解一元二次方程時，可先用判別式判斷方程是
否有解，若有解再代入求解未知數，從而求得方程組的解.
探究點三 一元方程組的實際應用
例3 《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：
“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等.交易其一，金輕十三兩.
問金、銀一枚各重幾何？”意思是：現在有黃金9枚（每枚黃金重量
相同），白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重量恰好相等，互相
交換1枚后，黃金多的部分輕了13兩，問黃金、白銀每枚各重多少兩？
設每枚黃金重兩，每枚白銀重 兩，根據題意可列方程組為
_ _________________________.
[解析] 由題意得
變式 我國古代書籍《九章算術》第七章“盈不足”專講盈虧問題及其
解法，其中有一題為：“今有（人）共買物，（每）人出八（錢），
盈（余）三（錢），人出七（錢），不足四（錢），問人數、物價
各幾何？”請你回答本題中的人數是___，物價是____（錢）.
7
53
[解析] 設人數為，物價是（錢），則解得
［素養小結］
列方程組解應用題的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目
中的相等關系，一般來說有幾個未知量就必須列出幾個方程.所列方
程需滿足：
（1）方程兩邊表示的是同類量；
（2）同類量的單位要統一；
（3）方程兩邊所表示的數量要相等.
1.方程組 的解集是( )
A. B. C. D.
√
2.我國古代數學著作有如下問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一
托.折回索子來量竿，卻比竿子短一托.”其大意為：現有一根竿和一
條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對折后再去量
竿，就比竿短5尺.設繩索長尺，竿長 尺，則符合題意的方程組是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 繩索長尺，竿長尺，由繩索比竿長5尺可得 ；
由繩索對折后再去量竿，就比竿短5尺可得 .
由此可得方程組 故選A.
3.已知關于,的方程組的解為正數，則實數 的取
值范圍為________.
[解析] 方程組的解為由題得
解得，故實數的取值范圍為 .
4.若，且，則 ____.
26
[解析] 由已知得由①得 ④，由②得
，把④⑤代入③并化簡，得，解得 .
5.方程組 的解集是______________.
[解析] 由②得 ，
代入①得，整理得 ，
即，解得或.
當時， ；當時，.
所以方程組的解集為 .
二元二次方程組的解法歸納
1.解二元二次方程組的基本思想是“轉化”，這種轉化包含“消元”和
“降次”，將二元轉化為一元是消元，將二次轉化為一次是降次，這
是轉化的基本方法.因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解
二元二次方程組的關鍵.
2.二元二次方程組通常按照兩個方程的組成分為“二·一”型和“二·二”
型，又分別稱為Ⅰ型和Ⅱ型.“二·一”型是由一個二元二次方程和一個二
元一次方程組成的方程組；“二·二”型是由兩個二元二次方程組成的
方程組.
（1）“二·一”型方程組的解法：代入消元法（即代入法）.
代入法是解“二·一”型方程組的一般方法，具體步驟是：
①把二元一次方程中的一個未知數用另一個未知數的代數式表示；
②把這個代數式代入二元二次方程，得到一個一元二次方程；
③解這個一元二次方程，求得一個未知數的值；
④把所求得的這個未知數的值代入二元一次方程，求得另一個未知
數的值（如果代入二元二次方程求另一個未知數的值，會出現“增根”
的問題）；
⑤寫出解集.
例1（1）求方程組 的解集.
解：由,得 或，
則原方程組等價于或
解得或
所以原方程組的解集為, .
（2）［2025·北京西城區高一期末］方程組 的解集是
_______________.
[解析] 由，可得，
將 代入，可得，
整理得 ，解得或.
當時，，當時， ，
所以方程組的解集為 .
（2）“二·二”型方程組的解法.
①當方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時，可將
分解得到的兩個二元一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次
方程聯立，組成兩個“二·一”型方程組，解這兩個“二·一”型方程組，
所得的解都是原方程組的解.
②當方程組中兩個二元二次方程都可以分解為兩個二元一次方程時，
將第一個二元二次方程分解所得到的每一個二元一次方程與第二個
二元二次方程分解所得的每一個二元一次方程組成新的方程組，可
以得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得的解
都是原方程組的解.
③兩個二元二次方程作差，將二次項消去，從而得到一個二元一次
方程，再將其代入兩個二元二次方程中的一個，求解一元二次方程
即可.
注意：“二·一”型方程組最多有兩個解，“二·二”型方程組最多有四個
解，解方程組時，既不要漏解，也不要增解.
例2 解方程組
解：由，可得 ，
所以或 ，
所以原方程組可化為或
解得或或或
所以原方程組的解集為,,, ， }.
練習冊
1.已知集合是關于,的方程組 的解集，
則 的值是( )
A.3 B.5 C. D.
√
[解析] 將代入方程組，得解得
所以 故選C.
2.［2025·山東日照高一期中］關于，的方程組 的解
集為，則 ( )
A.1 B.5 C.6 D.7
[解析] 將,代入方程組得
則, ，所以 .故選D.
√
3.已知關于,的方程組和 有相同
的解，則 的值為( )
A.8 B. C. D.
[解析] 由解得
代入方程組得解得
所以 .故選B.
√
4.我國明代程大位的《算法統宗》是一本流傳很廣的著作，書中許多
題目都用詩歌體敘述，讀起來朗朗上口，下面這個問題便是其中有
名的一個：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千．四文錢買苦果七，
十一文錢九個甜，甜苦兩果各幾個 請君布算莫遲延!”則所買甜果的
個數為( )
A.343 B.345 C.567 D.657
√
[解析] 設甜果、苦果的個數分別是，,
則 解得 故選D.
5.方程組 的解集可表示為( )
A.
B.
C.,, }
D.,, }
√
[解析] 由得 ，
即，即，將代入得 ，
所以 .故選D.
6.若方程組的解集為 ，則方程組
的解集為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由題意可得即 則方程組
的解集為 .故選A.
√
7.（多選題）已知集合， ，
其中，，則整數 的值可能為( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 已知①，，
由 得，解得，
把 代入①得，解得，
，或 或，解得或0或，
當或0時，為整數， 的值為1或0.故選 .
√
√
8.設,是實數，若關于,的方程組的解集為 ，則
實數, 所滿足的條件為_____________.
且
[解析] 因為方程組的解集為 ，
所以無解，所以且，
解得 且 .
9.（13分）求下列方程組的解集.
（1）
解：由得，即 ，
代入②得，所以原方程組的解集為 .
（2）
解：由①得 ,
將③代入②得,解得或 .
把代入③得;把代入③得 .
所以原方程組的解集是, .
9.（13分）求下列方程組的解集.
（3）
解：由得,即 ,
由得,即，把， 代入①，
得，即.所以原方程組的解集為 .
9.（13分）求下列方程組的解集.
10.已知則 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 由題可知
則，則，
所以 .故選A.
√
11.（多選題）給出以下說法，其中正確的是( )
A.關于的方程的解是
B.方程組 的正整數解有2組
C.已知關于，的方程組當 時，方程組的解也
是方程 的一個解
D.以方程組的解為坐標的點 在第二象限
√
√
[解析] 對于A,關于的方程的解是或 ,故A錯誤；
對于B，,,是正整數， ，
只能分解為,②式等價于, ,，
將代入原方程組可得解得 或
該方程組的正整數解為和 ，故B正確；
對于C，由解得 ，
當時，， 方程組的解也是方程
的一個解，故C正確；
對于D，由得點 在第一象限，
故D錯誤.故選 .
12.已知關于，的方程組甲因看錯了 ，求得解集為
，則___，甲把 錯看成了___.
1
8
[解析] 甲看錯了， 滿足方程②，
代入得,解得 .
再把代入方程①,得,解得 .
13.［2025·貴州遵義高一期中］已知 是方程組
的解，則方程組 的解是
_ ________.
[解析] 將代入方程組 可得
將 代入方程組可得
所以方程組的解是
14.（15分）某商店欲購進A，B兩種商品，若購進A種商品5件，B種商
品3件，共需450元；若購進A種商品10件，B種商品8件，共需1000元.
（1）購進A，B兩種商品每件各需多少元？
解：設購進A種商品每件需元，B種商品每件需 元，
則由題意得解得
故購進A種商品每件需60元，B種商品每件需50元.
（2）該商店購進足夠多的A，B兩種商品，在銷售中發現，A種商品
售價為每件80元，每天可銷售100件，現在決定對A種商品在每件80
元的基礎上降價銷售，每件每降價1元，多售出20件，且該商店對A
種商品降價銷售后每天銷量超過200件 種商品銷售狀況良好，每天
可獲利7000元.為使銷售A，B兩種商品每天總獲利為10 000元，A種
商品每件應降價多少元？
14.（15分）某商店欲購進A，B兩種商品，若購進A種商品5件，B種商
品3件，共需450元；若購進A種商品10件，B種商品8件，共需1000元.
解：設A種商品每件降價 元，
則由題意得
化簡得可得 ,故A種商品每件應降價10元.
15.（多選題）已知方程組的解集為 ,
，若 ，則( )
A.或 B.或
C.或 D.或
√
√
[解析] 由得 ，
代入方程可得 ，
則,解得或 ,故A正確；
，
當 時,,當時,,故B錯誤,C正確；
因為,所以 ，
當時,,當時， ,故D錯誤.故選 .
16.（17分）已知關于，的方程組其中 .
（1）當 時，求該方程組的解.
解：當時，消去得 ，
解得或 ，因此方程組的解為和
（2）證明：無論 為何值，該方程組總有兩組不同的解.
證明：由消去整理得 ，
顯然，且 ，故方程組總有兩組不同的解.
16.（17分）已知關于，的方程組其中 .
（3）記該方程組的兩組不同的解分別為和 判斷
是否為定值？若是定值，請求出該值；若不是定
值，請說明理由.
16.（17分）已知關于，的方程組其中 .
解：由根與系數的關系得， ，
所以 ，
，
所以，
所以 是定值，且定值為4.
快速核答案(導學案)
課前預習 知識點一 交集 知識點二 無窮多個 這些未知數
【診斷分析】（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√
課中探究 探究點一［探索］略 例1 （1）D （2） 變式 （1）A （2）4
探究點二 例2 （1） >，，，（2）（i）（ii） 探究點三 例3 變式 7 53
課堂評價 1.C 2.A 3. 4.26 5.
備用習題 例1 （1）,（2）
例2 ，，，，}
快速核答案(練習冊)
基礎鞏固 1.C 2.D 3.B 4.D 5.D 6.A 7.BC 8.且
9.（1）（2） ,
綜合提升 10.A 11.BC 12.1 8 13.
14.（1） 購進A種商品每件需60元，B種商品每件需50元
（2）A種商品每件應降價10元
思維探索 15.AC 16.（1）和（2）略（3）是，定值為42.1.3　方程組的解集
【課前預習】
知識點一
交集
知識點二
無窮多個　這些未知數
診斷分析
(1)× 　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
【課中探究】
探索 解:多元一次方程組的解法主要是應用加、減法進行減元運算.
例1　(1)D　(2)(-1)∶13∶5　[解析] (1)∵關于x,y的方程組的解集為{(1,2)},∴解得∴m-n=-6.故選D.
(2)①②兩式相加得5x+z=0,即z=-5x,代入①式可得y=-13x,所以x∶y∶z=x∶(-13x)∶(-5x)=1∶(-13)∶(-5)=(-1)∶13∶5.
變式　(1)A　(2)4　 -　[解析] (1)由得可得2ax=3x,即(2a-3)x=0.若a=,則x可取任意實數,此時解有無數個,故B中說法正確;若a≠,則x=0,y=-3,故C,D中說法正確;解集不可能是空集,故A中說法錯誤.故選A.
(2)因為方程組與的解集相等,所以的解集也是它們的解集.由得所以解得
例2　解:(1)已知
方法一:由②得x=2y+5③,將③代入①得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4,整理得3y2+10y+7=0,解得y1=-,y2=-1.把y1=-代入③,得x1=;把y2=-1代入③,得x2=3.所以原方程組的解是或所以方程組的解集為.
方法二:由①得(x+y)2=4,即x+y=2或x+y=-2.
原方程組可轉化為或解得或所以方程組的解集為.
(2)已知
由①得(3x-4y)(x+y)-(3x-4y)=0,
即(3x-4y)(x+y-1)=0,則3x-4y=0或x+y-1=0.
由得或
由得或所以原方程組的解集為{(4,3),(-4,-3),(4,-3),(-3,4)}.
變式　(1)D　[解析] 兩式相減得(a-b)(a+b-1)=0,因為a≠b,所以a+b=1,所以a2-a-1=0,b2-b-1=0,故a,b是方程x2-x-1=0的兩根,由根與系數的關系得則a3-2ab+b3=a(2-b)+2+b(2-a)=2(a+b)-2ab+2=2+2+2=6.故選D.
(2)解:(i)由題知方程組為將方程②變形為9x-6y+2y=19,即3(3x-2y)+2y=19③,
將方程①代入③得3×5+2y=19,解得y=2,將y=2代入①得x=3,所以方程組的解為
(ii)由題知方程組為
由①得3(x2+4y2)=47+2xy,
即x2+4y2=③,把③代入②得2×+xy=36,解得xy=2,將xy=2代入③得x2+4y2=17,
∴x2+4y2+xy=17+2=19.
例3　　[解析] 由題意得
變式　7　53　[解析] 設人數為x,物價是y(錢),則解得
【課堂評價】
1.C
2.A　[解析] 繩索長x尺,竿長y尺,由繩索比竿長5尺可得x=y+5;由繩索對折后再去量竿,就比竿短5尺可得x=y-5.由此可得方程組故選A.
3.(1,+∞)　[解析] 方程組的解為由題得解得a>1,故實數a的取值范圍為(1,+∞).
4.26　[解析] 由已知得由①得y=④,由②得z=⑤,把④⑤代入③并化簡,得4x-2=102,解得x=26.
5.　[解析] 由②得x=2y-2,代入①得(2y-2)2+y2=1,整理得5y2-8y+3=0,即(y-1)(5y-3)=0,解得y=1或y=.當y=1時,x=0;當y=時,x=-.所以方程組的解集為.2.1.3　方程組的解集
1.C　[解析] 將代入方程組,得解得所以a2-b2=1-4=-3.故選C.
2.D　[解析] 將x=2,y=1代入方程組得則a=1,b+c=6,所以a+b+c=7.故選D.
3.B　[解析] 由解得代入方程組得解得所以(-a)b=(-2)3=-8.故選B.
4.D　[解析] 設甜果、苦果的個數分別是x,y,則解得故選D.
5.D　[解析] 由得(x-2y-3z)+(2x-y+3z)=0,即3x-3y=0,即x=y,將x=y代入x-2y-3z=0得z=-x,所以x=y=-3z.故選D.
6.A　[解析] 由題意可得即則方程組的解集為{(x,y)|(6.3,2.2)}.故選A.
7.BC　[解析] 已知2x+y=2①,mx+y=2+m②,由②-①得(m-2)x=m,解得x=(m≠2),把x=代入①得+y=2,解得y=,∵y∈N,∴2-m=1或2-m=2或2-m=4,解得m=1或0或-2,當m=1或0時,x為整數,∴m的值為1或0.故選BC.
8.a=3且b≠2　[解析] 因為方程組的解集為 ,所以(3-a)x+2-b=0無解,所以3-a=0且2-b≠0,解得a=3且b≠2.
9.解:(1)由①×6+②得6x=18,即x=3,代入②得y=,所以原方程組的解集為.
(2)由①得y=2x③,將③代入②得x2-(2x)2+3=0,解得x=1或x=-1.
把x=1代入③得y=2;把x=-1代入③得y=-2.
所以原方程組的解集是{(1,2),(-1,-2)}.
(3)由②-①×4得7x=7,即x=1,由③-①×27得77y=77,即y=1,把x=1,y=1代入①,得-2z=-2,即z=1.所以原方程組的解集為{(1,1,1)}.
10.A　[解析] 由題可知
則(x+y)=98,則(x+y)3=8,所以x+y=2.故選A.
11.BC　[解析] 對于A,關于x的方程x+=c+的解是x=c或x=,故A錯誤;對于B,∵x,y,z是正整數,∴x+y≥2,∵23只能分解為23×1,②式等價于(x+y)z=23,∴z=1,x+y=23,將z=1代入原方程組可得解得或∴該方程組的正整數解為(2,21,1)和(20,3,1),故B正確;對于C,由解得∴x+y=2+a,當a=1時,x+y=3,∴方程組的解也是方程x+y=4-a=3的一個解,故C正確;對于D,由得點在第一象限,故D錯誤.故選BC.
12.1　8　[解析] ∵甲看錯了a,∴
滿足方程②,∴代入得2×-b×=3,解得b=1.再把代入方程①,得a×+2×=3,解得a=8.
13.　[解析] 將代入方程組
可得將代入方程組可得所以方程組的解是
14.解:(1)設購進A種商品每件需x元,B種商品每件需y元,則由題意得解得
故購進A種商品每件需60元,B種商品每件需50元.
(2)設A種商品每件降價m元,
則由題意得化簡得可得m=10,故A種商品每件應降價10元.
15.AC　[解析] 由kx-y+2=0得y=kx+2,代入方程x2+y2+2x-8=0可得(1+k2)x2+(2+4k)x-4=0,則x1+x2=-=-3,解得k=1或k=,故A正確;y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4=-3k+4,當k=1時,y1+y2=1,當k=時,y1+y2=3,故B錯誤,C正確;因為x1x2=-,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2+,當k=1時,+=13,當k=時,+=,故D錯誤.故選AC.
16.解:(1)當k=1時,消去y得3x2+2x-1=0,解得x=-1或x=,
因此方程組的解為和
(2)證明:由消去y整理得(k2+2)x2+2kx-1=0,顯然k2+2≠0,且Δ=8k2+8>0,故方程組總有兩組不同的解.
(3)由根與系數的關系得x1+x2=-,x1x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)+2=,y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=,所以3(y1+y2)-2y1y2=-=4,所以3(y1+y2)-2y1y2是定值,且定值為4.2.1.3　方程組的解集
【學習目標】
1.會解二元一次方程組和三元一次方程組;
2.掌握二元二次方程組的解法.
◆ 知識點一　方程組解集的定義
一般地,將多個方程聯立,就能得到方程組.方程組中,每個方程的解集的　　　　稱為這個方程組的解集.
注意:①方程組的解集是集合,要用集合的表示方法來表示.
②方程組的解一定是方程組中每一個方程的解,但方程組中每一個方程的解不一定是這個方程組的解,因此,要檢驗一組未知數的值是否為一個方程組的解時,必須將這組未知數的值分別代入方程組中的每一個方程進行檢驗.若滿足每一個方程,則這組未知數的值就是這個方程組的解;若只滿足其中的一個方程,則這組未知數的值就不是這個方程組的解.
◆ 知識點二　方程組解集的分類
當方程組中未知數的個數大于方程的個數時,方程組的解集可能含有　　　　　　元素,解集為無限集.此時,如果將其中一些未知數看成常數,那么其他未知數往往能用　　　　　　表示出來.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
(1)方程組的解集是{5,1}. (　 )
(2)方程組的解集是{(6,4)}. (　 )
(3)三元一次方程組的解集是{(1,0,-1)}.(　 )
(4)方程組的解集是{(5,7),(7,5)}.(　 )
(5)方程組的解集是{(x,y,z)|y=x-6,z=5-3x,x∈R}.(　 )
◆ 探究點一　一次方程組的解法
[探索] 如何求解多元一次方程組
例1 (1)若關于x,y的方程組的解集為{(1,2)},則m-n= (　 )
A.4 B.-4
C.6 D.-6
(2)已知x≠0,y≠0,z≠0且則x∶y∶z=　　　　.
變式 (1)關于x,y的方程組的解集,下列說法錯誤的是 (　 )
A.可能是空集
B.可能是無限集
C.可能是單元素集
D.可能是{(0,-3)}
(2)[2024·北京海淀區高一期中] 若關于x,y的方程組與的解集相等,則a=　　　　,b=　　　　.
[素養小結]
(1)解方程組的最主要方法是代入消元法和加減消元法.
(2)解三元一次方程組在確定消去哪個未知數時,要從整體考慮,一般選擇消去可以使計算量相對較小的未知數;消去的未知數一定是同一未知數.
◆ 探究點二　二元二次方程組的解法
例2 求下列方程組的解集:
(1)
(2)
變式 (1)若兩相異實數a,b滿足
則a3-2ab+b3的值為 (　 )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)某人在解方程組時,采用了 “整體代換”的方法:將方程②變形為4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③,將方程①代入③得2×3+y=5,解得y=-1,將y=-1代入①得x=4,所以方程組的解為請據此解決以下問題:
(i)應用 “整體代換”法解方程組
(ii)已知x,y滿足方程組
求x2+4y2+xy的值.
[素養小結]
二元二次方程組也可如一次方程組那樣使用代入法和加減消元法求解,同時要注意在求解一元二次方程時,可先用判別式判斷方程是否有解,若有解再代入求解未知數,從而求得方程組的解.
◆ 探究點三　一元方程組的實際應用
例3 《九章算術》是我國古代數學的經典著作,書中有一個問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何 ”意思是:現在有黃金9枚(每枚黃金重量相同),白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重量恰好相等,互相交換1枚后,黃金多的部分輕了13兩,問黃金、白銀每枚各重多少兩 設每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據題意可列方程組為　　　　　　　.
變式 我國古代書籍《九章算術》第七章“盈不足”專講盈虧問題及其解法,其中有一題為:“今有(人)共買物,(每)人出八(錢),盈(余)三(錢),人出七(錢),不足四(錢),問人數、物價各幾何 ”請你回答本題中的人數是　　　　,物價是　　　　(錢).
[素養小結]
列方程組解應用題的關鍵是把已知量和未知量聯系起來,找出題目中的相等關系,一般來說有幾個未知量就必須列出幾個方程.所列方程需滿足:
(1)方程兩邊表示的是同類量;
(2)同類量的單位要統一;
(3)方程兩邊所表示的數量要相等.
1.方程組的解集是 (　 )
A.{(1,0,-1)}
B.{(1,1,-1)}
C.{(-1,1,0)}
D.{(-1,0,1)}
2.我國古代數學著作有如下問題:“一條竿子一條索,索比竿子長一托.折回索子來量竿,卻比竿子短一托.”其大意為:現有一根竿和一條繩索,用繩索去量竿,繩索比竿長5尺;如果將繩索對折后再去量竿,就比竿短5尺.設繩索長x尺,竿長y尺,則符合題意的方程組是 (　 )
A. B.
C. D.
3.已知關于x,y的方程組的解為正數,則實數a的取值范圍為　　　　.
4.若==,且x+y+z=102,則x=　　　　.
5.方程組的解集是　　　　　　　. 2.1.3　方程組的解集
1.已知集合A={(3,-2)}是關于x,y的方程組的解集,則a2-b2的值是 (　 )
A.3 B.5 C.-3 D.-5
2.[2025·山東日照高一期中] 關于x,y的方程組的解集為{(2,1)},則a+b+c=(　 )
A.1 B.5 C.6 D.7
3.已知關于x,y的方程組和有相同的解,則(-a)b的值為(　 )
A.8 B.-8 C. D.-
4.我國明代程大位的《算法統宗》是一本流傳很廣的著作,書中許多題目都用詩歌體敘述,讀起來朗朗上口,下面這個問題便是其中有名的一個:“九百九十九文錢,甜果苦果買一千.四文錢買苦果七,十一文錢九個甜,甜苦兩果各幾個 請君布算莫遲延!”則所買甜果的個數為 (　 )
A.343 B.345 C.567 D.657
5.方程組的解集可表示為 (　 )
A.
B.
C.{(x,y,z)|x=3z,y=3z,z∈R}
D.{(x,y,z)|x=-3z,y=-3z,z∈R}
6.若方程組的解集為{(a,b)|(8.3,1.2)},則方程組的解集為 (　 )
A.{(x,y)|(6.3,2.2)}
B.{(x,y)|(8.3,1.2)}
C.{(x,y)|(10.3,2.2)}
D.{(x,y)|(10.3,0.2)}
7.(多選題)已知集合{(x,y)|2x+y=2,mx+y=2+m}≠ ,其中x∈Z,y∈N,則整數m的值可能為(　 )
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.設a,b是實數,若關于x,y的方程組的解集為 ,則實數a,b所滿足的條件為　　　　.
9.(13分)求下列方程組的解集.
(1)(2)
(3)
10.已知則x+y= (　 )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.(多選題)給出以下說法,其中正確的是 (　 )
A.關于x的方程x+=c+的解是x=c
B.方程組的正整數解有2組
C.已知關于x,y的方程組當a=1時,方程組的解也是方程x+y=4-a的一個解
D.以方程組的解為坐標的點(x,y)在第二象限
12.已知關于x,y的方程組甲因看錯了a,求得解集為,則b=　　　　,甲把a錯看成了　　　　.
13.[2025·貴州遵義高一期中] 已知是方程組的解,則方程組的解是　　　　.
14.(15分)某商店欲購進A,B兩種商品,若購進A種商品5件,B種商品3件,共需450元;若購進A種商品10件,B種商品8件,共需1000元.
(1)購進A,B兩種商品每件各需多少元
(2)該商店購進足夠多的A,B兩種商品,在銷售中發現,A種商品售價為每件80元,每天可銷售100件,現在決定對A種商品在每件80元的基礎上降價銷售,每件每降價1元,多售出20件,且該商店對A種商品降價銷售后每天銷量超過200件.B種商品銷售狀況良好,每天可獲利7000元.為使銷售A,B兩種商品每天總獲利為10 000元,A種商品每件應降價多少元
15.(多選題)已知方程組的解集為{(x1,y1),(x2,y2)},若x1+x2=-3,則 (　 )
A.k=1或k=
B.y1+y2=-3或y1+y2=-1
C.y1+y2=1或y1+y2=3
D.+=12或+=15
16.(17分)已知關于x,y的方程組其中k∈R.
(1)當k=1時,求該方程組的解.
(2)證明:無論k為何值,該方程組總有兩組不同的解.
(3)記該方程組的兩組不同的解分別為和判斷3(y1+y2)-2y1y2是否為定值 若是定值,請求出該值;若不是定值,請說明理由.

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