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(共73張PPT)
2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性質
第1課時 不等式及其性質
探究點一 用不等式（組）表示不等關系
探究點二 作差法比較大小
探究點三 不等式性質的簡單應用
探究點四 利用不等式性質求取值范圍
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.會用作差法比較兩實數（代數式）的大小；
2.通過對比,理解等式和不等式的共性與差異，掌握不等式的基
本性質，并能運用性質解決相關問題.
知識點一 不等式的概念
1.不等式的定義
用數學符號“”“ ”“ ”“ ”“ ”連接兩個數或代數式，以表示它
們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，稱為不等式.
2.文字語言與數學符號間的常見轉換
文字 語言 大于、高 于、超過 小于、低 于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、
不多于、不超過
數學 符號
知識點二 比較實數大小
1. ______或______；
______或______.
2.實數大小的依據
__________；
__________；
__________.
知識點三 不等式的性質
1.不等式的性質
性質 別名 內容
性質1 可加性
性質2 可乘性
性質3
性質4 傳遞性
性質5 對稱性
2.不等式性質的推論
推論 別名 內容
推論1 移項法則
推論2 同向不等式相加
推論3 同向不等式相乘
推論4 可乘方性
推論5 可開方性
（1）推論1表明不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的
符號后，從不等式的一邊移到另一邊；
（2）推論2表明兩個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式
與原不等式同向；
（3）推論3表明兩個兩邊都是正數的同向不等式分別相乘，所得到
的不等式與原不等式同向.
3.不等式性質的拓展——倒數法則
（1）如果，，那么； .
（2）如果，那么 .
（3）如果，那么 .
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若，則 一定成立.( )
×
[解析] 由不等式的可乘性知，當不等式兩端同乘一個負數時，不等
號方向改變，因此若，則 不一定成立，故此說法錯誤.
（2）若，則 .( )
[解析] 在不等式兩邊同時加上，
可得 ，故此說法正確.
√
（3）若，則， .( )
[解析] 取，，，，
滿足 ，但不滿足 ，故此說法錯誤．
×
（4）若，，則 .( )
[解析] 取，，，，
滿足， ，但 不成立，故此說法錯誤.
（5）若，則 .( )
[解析] 根據推論5，將不等式兩邊同時開 次方即可.
×
√
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
探究點一 用不等式（組）表示不等關系
例1 （多選題）［2025·河北石家莊高一期末］ 火車站有某公司待
運的甲種貨物306噸，乙種貨物230噸.現計劃用， 兩種型號的貨箱
共50節運送這批貨物.已知7噸甲種貨物和3噸乙種貨物可裝滿一節
型貨箱，5噸甲種貨物和7噸乙種貨物可裝滿一節 型貨箱，據此安排
， 兩種貨箱的節數，下列方案可以滿足題意的是( )
A.貨箱28節，貨箱22節 B.貨箱29節， 貨箱21節
C.貨箱31節，貨箱19節 D.貨箱30節， 貨箱20節
√
√
√
[解析] 設安排種型號的貨箱節，種型號的貨箱 節，
則則 ，
解得， ，
解得，所以，
所以或或 故選 .
變式 某物品的外部尺寸長、寬、高之和不超過 ，體積不超過
，設該物品外部尺寸長、寬、高分別為，，
（單位： ），則下列數學關系式正確的是( )
A.且
B.且
C.且
D.且
[解析] 由長、寬、高之和不超過得 ，
由體積不超過得 .故選C.
√
探究點二 作差法比較大小
例2 比較下列各題中兩個代數式的大小.
（1）與 ；
解：， .
（2）與 .
解： ，
，,,, ，
則， .
例2 比較下列各題中兩個代數式的大小.
變式 設，，則___（填“ ”或“ ”）.
[解析] , ,
故,即 .
［素養小結］
（1）作差法比較兩個實數（或代數式）大小的一般步驟：作差、變
形、判斷差的符號、得出結論.
（2）代數式如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時一定要注
意代數式的符號.
（3）作差時應該對差式進行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、
通分等），直到能明顯看出其正負號為止.
常見的比較兩個實數（或代數式）大小的方法還有作商法：如上述
變式題也可運用以下方法求解：
，即.又因為 ，
所以 .
探究點三 不等式性質的簡單應用
例3（1）給出下列說法：
①若，，則 ；
②若，，則 ；
③對于正數，，，若，則 .
其中正確說法的序號是______．
①③
[解析] 對于①，若，則，
又，所以 ，所以，故①正確；
對于②，若，，， ，
則，故②錯誤；
對于③，對于正數，， ，若，則，
所以 ，所以，
又，所以 ，故③正確．
綜上可得，正確說法的序號是①③.
（2）已知，，求證： .
證明：因為，所以，所以 .
又因為，所以，所以 ，
即，所以 .
變式 （多選題）已知,, ，那么下列說法中正確的是( )
A.若，則 B.若且，則
C.若且，則 D.若，則
[解析] 對于A,若,當時, ,故A錯誤；
對于B,若,,當,時, ,故B錯誤；
對于C,若,,則或,所以 ,故C正確；
對于D,若,則,所以,故D正確.故選 .
√
√
［素養小結］
（1）運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱
化條件，尤其是不能隨意捏造性質.
（2）解有關不等式的選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意
取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，
便于驗證計算.
（3）在研究不等式時,需要特別注意“符號問題”,即在作乘（除）法
運算時,符號會影響不等式中的不等號方向.
探究點四 利用不等式性質求取值范圍
例4（1）已知，，設，則 的取值
范圍是_______.
[解析] 因為，，所以 ，
，所以，即的取值范圍是 .
（2）若且，則 的最大值
是___.
7
[解析] 設 ，
則解得即 .
因為且，所以 ，
所以，故 的最大值為7.
變式（1）（多選題）［2024·四川成都高一期末］ 若實數， 滿足
則下列敘述正確的是( )
A.的取值范圍是
B.的取值范圍是
C.的取值范圍是
D.的取值范圍是
√
√
√
[解析] 實數,滿足
由不等式的可加性可得，則，故A正確；
由題意可得
由不等式的可加性可得，則 ，故B正確；
設 ，
則解得所以 ，
易知
由不等式的可加性可得 ,故C正確,D錯誤.故選 .
（2）設，，則 的取值范圍是_______，
的取值范圍是_______， 的取值范圍是______.
[解析] ，，
， ，，，
， ， .
［素養小結］
利用不等式的性質求取值范圍的策略：
（1）建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，然后利用一次
不等式的性質進行運算，求得待求的范圍.
（2）同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉化不是
等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其
取值范圍.
（3）求解不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范
圍，再去求其他式子的范圍.
1.設實數,, ，則( )
A. B. C. D.
[解析] ,, ,
,,
即 .故選A.
√
2.［2025·浙江溫州高一期中］十六世紀中葉，英國數學家雷科德在
《礪智石》一書中首先把“ ”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧
特首次使用“ ”和“ ”符號表示不等關系，并逐漸被數學界接受，
不等號的引入對不等式的發展影響深遠.已知，，滿足 ，
且 ，則下列選項中一定成立的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 對于A，當時， ，故A錯誤；
對于B，由，，得，
由，得 ，所以，故B正確；
對于C，由B可知，
由 ，得，所以，故C錯誤；
對于D，由 ，，得，，
所以 ，故D錯誤.故選B.
3.已知，，，， ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] ，， ，
， .故選B.
√
4.已知 ，給出下列不等式：
； ；
； .
其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
√
[解析] 對于①， ，
因為，所以,，
所以 ，即，故①正確；
對于②，
，因為 ，所以,
，所以，即 ，故②正確；
對于③，當,時， ，
，所以 ，故③錯誤；
對于④，
，因為，所以,，
所以 ，即 ，故④正確.故選C.
5.已知 ， 滿足則 的取值范圍是______.
[解析] 設 ，
則解得 ，
又，， ，
故 的取值范圍是 .
數學符號的發明和使用比數字晚，但是數量卻超過了數字，現
在常用的數學符號有200多個，它們都有一段有趣的經歷.例如，現在
通用的加號“”是由拉丁文“ ”（“和”的意思）演變而來的，減號“-”
是由拉丁文“”（“減”的意思）演變而來的，一開始簡寫為 ，
之后為了書寫快速而簡化為“-”.十六世紀中葉，英國數學家雷科德在
《礪智石》一書中首次把“ ”作為等號使用.十七世紀，德國數學家
萊布尼茨在幾何學中用“ ”表示相似，用“ ”表示全等.1631年，英
國數學家哈里奧特首次使用大于號“ ”和小于號“ ”，并逐漸被數
學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.至于“ ”“ ”“
”這三個符號的出現，是很晚很晚的事了.
1.準確記憶各性質成立的條件，是正確應用的前提.在不等式的判斷
中，特殊值法也是非常有效的方法，尤其是對于選擇題或填空題，
特殊值法可以節省時間．在不等式的各性質中，乘法的性質極易出
錯，即在不等式兩邊同乘或除以一個數時，必須要確定該數是正數、
負數，還是零，否則結論就不確定．
例1 適當增加條件，使下列各結論成立：
（1）若，則 ；
解：若，則，對兩端同乘正數，
可得結論 成立，即只需增加條件 .
（2）若，則 ；
解：若，則要使成立，只需增加條件 .
（3）若，則 ；
解：， ，
則 ，因為，所以增加條件或 .
（4）若，，則 .
解：不等式，為同向不等式，則要使 成立，
只需增加條件， .
例1 適當增加條件，使下列各結論成立：
2.求含字母的數或式的取值范圍時，一要注意題設中的條件，二要正
確使用不等式的性質求解．
例2 已知，求， 的取值范圍．
解：因為，所以， ，
兩式相加得 .
因為，所以，所以，
又 ，所以，故 .
綜上，， .
例3 已知，，則 的最小值是__.
[解析] 設 ，
則解得
因為，，所以， ，
所以，
所以 的最小值是 .
練習冊
1..若 ，則下列不等式不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 利用不等式的性質可得A，B，D中不等式一定成立，
當， 時，C中不等式不成立.故選C.
√
2.已知，，那么，，， 的大小關系為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得，由得 ，
所以，，所以 .故選B.
√
3.［2025·山東臨沂高一期中］已知, ，
則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 設 ，
則解得所以 ，
又,，所以 .故選A.
√
4.［2024·浙江湖州高一期末］已知，且 ，
，則， 的大小關系是( )
A. B. C. D.不能確定
[解析] 因為，所以，
所以，所以 .故選A.
√
5.甲、乙兩人都分兩次到同一水果店購買同一種水果，甲每次購買3
千克，乙每次消費50元，若此種水果兩次的單價不同，則甲、乙兩
次購買此種水果的平均單價( )
A.一樣多 B.甲比乙低 C.乙比甲低 D.無法比較
[解析] 設這種水果兩次的單價分別為, ，則甲兩次購買的
平均單價是，乙兩次購買的平均單價是 ，
因為，所以 ，
所以乙兩次購買的平均單價比甲低.故選C.
√
6.如圖，數軸上給出了表示實數，， 的三個點，下列判斷正確的
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題圖可得,, ,
所以,,所以 ,故A錯誤；
,故B錯誤；
因為,所以 ,又,
所以,又 ,所以,故C錯誤；
因為, ,且由圖可知,即,
所以,又 ,所以 ,故D正確.故選D.
7.（多選題）已知 ，則下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由,可得 ,故選項A不成立；
因為,所以,,所以 ,故選項B成立；
因為,所以,即 ,故選項C成立；
因為,所以,,所以 ,
即,故選項D不成立.故選 .
√
√
8.若，，則與 的大小關系為______．
[解析] ,,
,又,, ,即 .
9.（13分）已知，均為正實數．試利用作差法比較 與
的大小．
解：
．
當 時， ，則；
當時， ，，則.
綜上所述， .
10.若條件，則下列條件中是條件 的必要條件的有
( )
條件；條件；條件 ；
條件 .
A.條件和條件 B.條件和條件
C.條件和條件 D.條件和條件
√
[解析] 對于條件,因為,所以, ,
所以,所以條件是條件的必要條件；
對于條件,若,則,所以條件不是條件 的必要條件；
對于條件,因為,所以,所以 ,
即,所以條件不是條件的必要條件；
對于條件 ,,因為,所以, ,所以,
所以,所以,所以條件是條件 的必要條件. 故選B.
11.（多選題）［2024·貴州貴陽高一期末］ 已知 ，
，則下列不等式正確的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 對于A,,,即 ,
,,故A正確;
對于B, ,,,故B正確;
對于C, ,,,
,故C錯誤;
對于D,,,又 ,,
, ,故D正確.故選 .
12.若關于的不等式只有一個整數解2，則實數
的取值范圍為______．
[解析] 由，得，
因為關于 的不等式只有一個整數解2，所以
解得 ，故實數的取值范圍為 .
13.設，，為非零實數，且 ，則下列判斷正確的有
_______.（填序號）
;;;; .
③④
[解析] 對于①，取,,滿足 ，
但不成立，故①錯誤；
對于②，取,, 滿足，
但不成立，故②錯誤；
對于③， ，，，，故③正確；
對于④， , ，，故④正確；
對于⑤，取,, 滿足，
但 不成立，故⑤錯誤.故答案為③④.
14.（15分）
（1）已知，求證： .
證明：，，且，
， ．
（2）已知，求證： ．
證明： 對正數和 有 ，
，，
， .
15.［2025·江蘇南通高一期末］設,,表示，， 中最大的
數.若，且，則,, 的最
小值為__.
[解析] 令,,,則,, ，
，，因為 ，
所以，所以 .
令,,,,，則
所以,即，
所以,, 的最小值為 .
16.（15分）［2025·河北邯鄲高一期中］
（1）已知，，求 的取值范圍；
解：令，， ，
即，
則解得 所以 .
又， ，
所以， ，
所以，即 .
（2）已知，都是正實數，比較與 的大小.
解： .
因為，，所以， .
當時，，即 ；
當時，，即 .
綜上所述，當時，；
當 時， .
快速核答案(導學案)
課前預習 知識點二 1. 2.
知識點三 1. 2.
【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）× （5）√
課中探究 探究點一 例1 ABD 變式 C 探究點二 例2 （1）
（2） 變式 探究點三 例3 （1）①③ （2）略 變式 CD
探究點四 例4 （1） （2）7 變式 （1）ABC （2）
課堂評價 1.A 2.B 3.B 4.C 5.
備用習題 例1 （1） （2）（3） 或（4），例2 m>， 例3
m>
快速核答案(練習冊)
基礎鞏固
1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.BC 8. 9.
綜合提升
10.B 11.ABD 12. 13.③④ 14.（1）略（2）略
思維探索
15. 16.（1）
（2） 當時，；當時，.2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性質
第1課時　不等式及其性質
【課前預習】
知識點二
1.a>b　a=b　a2.a-b>0　a-b=0　a-b<0
知識點三
1.>　>　 <　a>c　2.a+c>b+d　ac>bd　an>bn
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　[解析] (1)由不等式的可乘性知,當不等式兩端同乘一個負數時,不等號方向改變,因此若a>b,則ac>bc不一定成立,故此說法錯誤.
(2)在不等式a-c(3)取a=4,c=5,b=7,d=1,滿足a+c>b+d,但不滿足a>b,故此說法錯誤.
(4)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足a>b,c>d,但>不成立,故此說法錯誤.
(5)根據推論5,將不等式兩邊同時開n次方即可.
【課中探究】
例1　ABD　[解析] 設安排A種型號的貨箱x節,B種型號的貨箱y節,則則7x+5y=7x+5(50-x)=2x+250≥306,解得x≥28,3x+7y=3x+7(50-x)=350-4x≥230,解得x≤30,所以28≤x≤30,所以或或故選ABD.
變式　C　[解析] 由長、寬、高之和不超過130 cm得a+b+c≤130,由體積不超過72 000 cm3得abc≤72 000.故選C.
例2　解:(1)(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-(x4+x2+1)=x2≥0,∴(x2+1)2≥x4+x2+1.
(2)-=-=,∵a>b>0,∴2ab>0,a-b>0,a+b>0,a2+b2>0,則>0,∴>.
變式　>　[解析] a-b=(+)-3,(+)2=10+2>32,故+>3,即a>b.
例3　(1)①③　[解析] 對于①,若ab>0,則>0,又a>b,所以>,所以<,故①正確;對于②,若a=7,b=6,c=0,d=-10,則7-0<6-(-10),故②錯誤;對于③,對于正數a,b,m,若a0,所以<,故③正確.綜上可得,正確說法的序號是①③.
(2)證明:因為c-d>0,所以0<-<-.又因為a>b>0,所以->->0,所以>,即->-,所以<.
變式　CD　[解析] 對于A,若ac3>bc3,當c<0時,ab2,ab>0,當a<0,b<0時,>,故B錯誤;對于C,若a3>b3,ab>0,則a>b>0或b,則c2>0,所以a>b,故D正確.故選CD.
例4　(1)[-5,4]　(2)7　[解析] (1)因為-1≤x≤2,0≤y≤1,所以-2≤2x≤4,-3≤-3y≤0,所以-5≤2x-3y≤4,即z的取值范圍是[-5,4].
(2)設4x+2y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,則解得即4x+2y=3(x+y)+(x-y).因為-2變式　(1)ABC　(2)(5,13)　(2,13)　(1,7)　[解析] (1)實數a,b滿足由不等式的可加性可得0≤2a≤8,則0≤a≤4,故A正確;由題意可得由不等式的可加性可得-2≤2b≤6,則-1≤b≤3,故B正確;設3a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,則解得所以3a-2b=(a+b)+(a-b),易知由不等式的可加性可得-2≤3a-2b≤10,故C正確,D錯誤.故選ABC.
(2)∵2【課堂評價】
1.A　[解析] -=,-1=,-=,∵+1<+<+,∴>>,即b>a>c.故選A.
2.B　[解析] 對于A,當b=0時,cb2=ab2=0,故A錯誤;對于B,由a+c=0,c0,所以ac(a-c)<0,故C錯誤;對于D,由a+c=0,c3.B　[解析] ∵x>1,-10,a-b=-y(1+y)>0,∴c>a>b.故選B.
4.C　[解析] 對于①,-===,因為a>b>1,所以a-b>0,a+1>0,所以-=>0,即>,故①正確;對于②,a+-=a-b+-=a-b+=(a-b)=(a-b)·,因為a>b>1,所以a-b>0,ab>1,所以a+->0,即a+>b+,故②正確;對于③,當a=3,b=2時,a3+b3=33+23=35,2a2b=2×32×2=36,所以a3+b3<2a2b,故③錯誤;對于④,a+-=a-b+-=a-b+=(a-b),因為a>b>1,所以a-b>0,ab>1,所以a+->0,即a+>b+,故④正確.故選C.
5.[1,7]　[解析] 設α+3β=λ(α+β)+μ(α+2β)=(λ+μ)α+(λ+2μ)β,則解得∴α+3β=-(α+β)+2(α+2β),又-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,∴1≤α+3β≤7,故α+3β的取值范圍是[1,7].2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性質
第1課時　不等式及其性質
1.C　[解析] 利用不等式的性質可得A,B,D中不等式一定成立,當x=2,y=-3時,C中不等式不成立.故選C.
2.B　[解析] 由a+b>0,得a>-b,由b<0得-b>0,所以a>-b>0,-a-b>b>-a.故選B.
3.A　[解析] 設4x-8y=m(x+y)+n(x-3y)=(m+n)x+(m-3n)y,則解得所以4x-8y=(x+y)+3(x-3y),又-1≤x+y≤4,2≤x-3y≤3,所以5≤4x-8y≤13.故選A.
4.A　[解析] 因為00,所以M>N.故選A.
5.C　[解析] 設這種水果兩次的單價分別為a,b(a≠b),則甲兩次購買的平均單價是=,乙兩次購買的平均單價是=,因為-==>0,所以>,所以乙兩次購買的平均單價比甲低.故選C.
6.D　[解析] 由題圖可得-1a,故C錯誤;因為-12b,故D正確.故選D.
7.BC　[解析] 由<<0,可得b0,a+b<0,所以ab>a+b,故選項B成立;因為b|a|,即|a|<|b|,故選項C成立;因為b0,所以ab-b2=b(a-b)<0,即 ab8.a0,1618>0,∴1816<1618,即a9.解:∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).當a=b時,a-b=0,則a3+b3=a2b+ab2;當a≠b時,(a-b)2>0,a+b>0,則a3+b3>a2b+ab2.綜上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
10.B　[解析] 對于條件q,因為b0,所以a+b<00,所以<0,所以-<0,所以<,所以條件t是條件p的必要條件.故選B.
11.ABD　[解析] 對于A,∵312.　[解析] 由a-2<2a-x<,得2a-13.③④　[解析] 對于①,取a=-1,b=-2,c=-3滿足a>b>c,但a+b>c不成立,故①錯誤;對于②,取a=1,b=-2,c=-3滿足a>b>c,但ab>c2不成立,故②錯誤;對于③,∵a>c,b>c,∴a+b>2c,∴>c,故③正確;對于④,∵a>b,c2>0,∴ac2>bc2,故④正確;對于⑤,取a=,b=,c=-1滿足a>b>c,但+<不成立,故⑤錯誤.故答案為③④.
14.證明:(1)∵a>b>0,∴>1,且a-b>0,∴=>1,∴aabb>(ab.
(2)對正數A和B有(1+A)(1+B)=1+A+B+AB>1+A+B,∴(1+h)2>1+2h,∴(1+h)3>(1+2h)(1+h)>1+3h,∴(1+h)10>[(1+h)2(1+h)3]2>[(1+2h)(1+3h)]2>(1+5h)2>1+10h,∴(1+h)100>(1+10h)10>1+100h.
15.　[解析] 令b-a=m,c-b=n,1-c=p,則m,n,p>0,b=1-n-p,a=1-m-n-p,因為b≥2a,所以1-n-p≥2(1-m-n-p),所以2m+n+p≥1.令M=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},則所以4M≥2m+n+p≥1,即M≥,所以max{b-a,c-b,1-c}的最小值為.
16.解:(1)令3a+b=m(a+b)+n(b-a),m,n∈R,即(m-n)a+(m+n)b=3a+b,則解得所以3a+b=2(a+b)-(b-a).
又0所以0<2(a+b)<4,-1<-(b-a)<2,
所以-1<2(a+b)-(b-a)<6,即-1<3a+b<6.
(2)+-(a+b)==.
因為a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0.
當a=b時,+-(a+b)=0,即+=a+b;
當a≠b時,+-(a+b)>0,即+>a+b.
綜上所述,當a=b時,+=a+b;當a≠b時,+>a+b.2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性質
第1課時　不等式及其性質
【學習目標】
1.會用作差法比較兩實數(代數式)的大小;
2.通過對比,理解等式和不等式的共性與差異,掌握不等式的基本性質,并能運用性質解決相關問題.
◆ 知識點一　不等式的概念
1.不等式的定義
用數學符號“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個數或代數式,以表示它們之間的不等關系,含有這些不等號的式子,稱為不等式.
2.文字語言與數學符號間的常見轉換
文字 語言 大于、高 于、超過 小于、低 于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超過
數學 符號 > < ≥ ≤
◆ 知識點二　比較實數大小
1.a≥b 　　　　或　　　　;
a≤b 　　　　或　　　　.
2.實數大小的依據
a>b 　　　　;
a=b 　　　　;
a◆ 知識點三　不等式的性質
1.不等式的性質
性質 別名 內容
性質1 可加性 如果a>b,那么a+c　　　　b+c
性質2 可乘性 如果a>b,c>0,那么ac　　　　bc
性質3 如果a>b,c<0,那么ac　　　　bc
性質4 傳遞性 如果a>b,b>c,那么　　　
性質5 對稱性 a>b b2.不等式性質的推論
推論 別名 內容
推論1 移項法則 如果a+b>c,那么a>c-b
推論2 同向不等 式相加 如果a>b,c>d, 那么　　　　　
推論3 同向不等 式相乘 如果a>b>0,c>d>0, 那么　　　　　
推論4 可乘方性 如果a>b>0,那么　　　　 (n∈N,n>1)
推論5 可開方性 如果a>b>0,那么>
(1)推論1表明不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后,從不等式的一邊移到另一邊;
(2)推論2表明兩個同向不等式的兩邊分別相加,所得到的不等式與原不等式同向;
(3)推論3表明兩個兩邊都是正數的同向不等式分別相乘,所得到的不等式與原不等式同向.
3.不等式性質的拓展——倒數法則
(1)如果a>b>0,m>0,那么<;>(b-m>0).
(2)如果a>b>0,那么<.
(3)如果0>a>b,那么<.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若a>b,則ac>bc一定成立. (　 )
(2)若a-c(3)若a+c>b+d,則a>b,c>d. (　 )
(4)若a>b,c>d,則>. (　 )
(5)若a>b>0,則>(n∈N,n>1). (　 )
◆ 探究點一　用不等式(組)表示不等關系
例1 (多選題)[2025·河北石家莊高一期末] 火車站有某公司待運的甲種貨物306噸,乙種貨物230噸.現計劃用A,B兩種型號的貨箱共50節運送這批貨物.已知7噸甲種貨物和3噸乙種貨物可裝滿一節A型貨箱,5噸甲種貨物和7噸乙種貨物可裝滿一節B型貨箱,據此安排A,B兩種貨箱的節數,下列方案可以滿足題意的是 (　 )
A.A貨箱28節,B貨箱22節
B.A貨箱29節,B貨箱21節
C.A貨箱31節,B貨箱19節
D.A貨箱30節,B貨箱20節
變式 某物品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130 cm,體積不超過72 000 cm3,設該物品外部尺寸長、寬、高分別為a,b,c(單位: cm),則下列數學關系式正確的是 (　 )
A.a+b+c<130且abc<72 000
B.a+b+c>130且abc>72 000
C.a+b+c≤130且abc≤72 000
D.a+b+c≥130且abc≥72 000
◆ 探究點二　作差法比較大小
例2 比較下列各題中兩個代數式的大小.
(1)(x2+1)2與x4+x2+1;
(2)與(a>b>0).
變式 設a=,b=3-,則a　　　　b(填“>”或“<”).
[素養小結]
(1)作差法比較兩個實數(或代數式)大小的一般步驟:作差、變形、判斷差的符號、得出結論.
(2)代數式如果含有根式,也可以先平方再作差,但此時一定要注意代數式的符號.
(3)作差時應該對差式進行恒等變形(如配方、因式分解、有理化、通分等),直到能明顯看出其正負號為止.
常見的比較兩個實數(或代數式)大小的方法還有作商法:如上述變式題也可運用以下方法求解:===>=1,即>1.又因為b>0,所以a>b.
◆ 探究點三　不等式性質的簡單應用
例3 (1)給出下列說法:
①若ab>0,a>b,則<;
②若a>b,c>d,則a-c>b-d;
③對于正數a,b,m,若a其中正確說法的序號是　　　　.
(2)已知a>b>0,c變式 (多選題)已知a,b,c∈R,那么下列說法中正確的是 (　 )
A.若ac3>bc3,則a>b
B.若a2>b2且ab>0,則<
C.若a3>b3且ab>0,則<
D.若>,則a>b
[素養小結]
(1)運用不等式的性質判斷時,要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能隨意捏造性質.
(2)解有關不等式的選擇題時,也可采用特殊值法進行排除,注意取值一定要遵循如下原則:一是滿足題設條件;二是取值要簡單,便于驗證計算.
(3)在研究不等式時,需要特別注意“符號問題”,即在作乘(除)法運算時,符號會影響不等式中的不等號方向.
◆ 探究點四　利用不等式性質求取值范圍
例4 (1)已知-1≤x≤2,0≤y≤1,設z=2x-3y,則z的取值范圍是　　　　　　.
(2)若-2變式 (1)(多選題)[2024·四川成都高一期末] 若實數a,b滿足則下列敘述正確的是 (　 )
A.a的取值范圍是0≤a≤4
B.b的取值范圍是-1≤b≤3
C.3a-2b的取值范圍是-2≤3a-2b≤10
D.3a-2b的取值范圍是-6≤3a-2b≤14
(2)設2[素養小結]
利用不等式的性質求取值范圍的策略:
(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系,然后利用一次不等式的性質進行運算,求得待求的范圍.
(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減),這種轉化不是等價變形,如果在解題過程中多次使用這種轉化,就有可能擴大其取值范圍.
(3)求解不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范圍,再去求其他式子的范圍.
1.設實數a=-,b=-1,c=-,則 (　 )
A.b>a>c B.c>b>a
C.a>b>c D.c>a>b
2.[2025·浙江溫州高一期中] 十六世紀中葉,英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用,后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號表示不等關系,并逐漸被數學界接受,不等號的引入對不等式的發展影響深遠.已知a,b,c滿足cA.cb2C.ac(a-c)>0 D.ab>c2
3.已知x>1,-1A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.c>b>a
4.已知a>b>1,給出下列不等式:
①>;②a+>b+;
③a3+b3>2a2b;④a+>b+.
其中正確的有 (　 )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
5.已知α,β滿足則α+3β的取值范圍是　　　　. 2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性質
第1課時　不等式及其性質
1.若x>1>y,則下列不等式不一定成立的是 (　 )
A.x-y>1-y B.x-1>y-1
C.x-1>1-y D.1-x>y-x
2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小關系為 (　 )
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>b>-a
C.a>-b>-a>b
D.a>b>-a>-b
3.[2025·山東臨沂高一期中] 已知-1≤x+y≤4,2≤x-3y≤3,則4x-8y的取值范圍是 (　 )
A.[5,13] B.[-5,23]
C.[0,22] D.[2,20]
4.[2024·浙江湖州高一期末] 已知0A.M>N B.MC.M=N D.不能確定
5.甲、乙兩人都分兩次到同一水果店購買同一種水果,甲每次購買3千克,乙每次消費50元,若此種水果兩次的單價不同,則甲、乙兩次購買此種水果的平均單價 (　 )
A.一樣多 B.甲比乙低
C.乙比甲低 D.無法比較
6.如圖,數軸上給出了表示實數a,b,c的三個點,下列判斷正確的是 (　 )
A.ab> c B.abc>
C.c+2b2b
7.(多選題)已知<<0,則下列不等式成立的是 (　 )
A.aa+b
C.|a|<|b| D.ab>b2
8.若a=1816,b=1618,則a與b的大小關系為　　　　.
9.(13分)已知a,b均為正實數.試利用作差法比較a3+b3與a2b+ab2的大小.
10.若條件p:b條件q:a+bbc2(c∈R);條件s:b2A.條件q和條件r B.條件q和條件t
C.條件s和條件t D.條件r和條件t
11.(多選題)[2024·貴州貴陽高一期末] 已知3A.<<10 B.11<2a+b<50
C.212.若關于x的不等式a-2<2a-x<只有一個整數解2,則實數a的取值范圍為　　　　　　.
13.設a,b,c為非零實數,且a>b>c,則下列判斷正確的有　　　　.(填序號)
①a+b>c;②ab>c2;③>c;④ac2>bc2;⑤+<.
14.(15分)(1)已知a>b>0,求證:aabb>(ab.
(2)已知h>0,求證:(1+h)100>1+100h.
15.[2025·江蘇南通高一期末] 設max{a,b,c}表示a,b,c中最大的數.若016.(15分)[2025·河北邯鄲高一期中] (1)已知0(2)已知a,b都是正實數,比較+與a+b的大小.

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