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絕密★啟用前
2025年祁縣中學高三年級開學測試數學試題
姓名： 班級： 得分：
時長：120分鐘；總分：150
一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.下列命題中正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，，則 D. 若，，則
3.命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是( )
A. B. C. D.
4.已知函數的導函數為，且滿足，則( )
A. B. C. D.
5.已知，則( )
A. B. C. D.
6.已知函數，若、、均不相等且，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
7.設函數，若，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.已知函數若函數恰有個零點，則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分。）
9.下列命題中為真命題的是( )
A. 命題：，有，則的否定：，有
B. 若，則
C. 當時，則，使得成立
D. 函數的定義域為，則函數的定義域為
10.下列結論中，錯誤的結論有( )
A. 取得最大值時的值為
B. 若，則的最大值為
C. 函數的最小值為
D. 若，，且，那么的最小值為
11.已知函數，則( )
A. 為周期函數
B. 存在，使得的圖象關于對稱
C. 在區間上單調遞減
D. 的最大值為
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12.若對任意且，函數的圖象都過定點，且點在角的終邊上，則______．
13.已知曲線在處的切線方程是，則與分別為 ， ．
14.已知函數，，若使關于的不等式成立，則實數的范圍為 ．
四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.本小題13分
設全集，集合，集合．
若“”是““的充分條件，求實數的取值范圍；
若命題“，則“是真命題，求實數的取值范圍．
16.本小題15分
已知函數是定義在上的奇函數，且當時，．
求函數的解析式
函數，求函數的最小值．
17.本小題15分
摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，該摩天輪輪盤直徑為米，設置有個座艙．游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當到達最高點時距離地面米，勻速轉動一周大約需要分鐘．當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．
經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足其中，求摩天輪轉動一周的解析式；
游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達到米？
若游客乙在游客甲之后進入座艙，且中間間隔個座艙，在摩天輪轉動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值．
18.本小題17分
已知函數，
若函數有兩個不同的極值點，求的取值范圍
求函數的單調遞減區間．
19.本小題17分
已知函數，已知是函數的極值點．
求；
設函數證明：．
答案
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故選：．
2.【答案】
【解答】
解：對于，若，當時，，故A錯誤；
對于，若，，滿足，但，故B錯誤；
對于，因為，，所以，可得，故C錯誤；
對于，由，得，又，所以，故D正確．
故選：．
3.【答案】
【解答】
解：命題“，”為真命題，可化為，，恒成立，
即只需，即“，”為真命題的充要條件為，
而要找的一個充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項可知符合題意．
故選：．
4.【答案】
【解答】
解：，
，
，解得．
故選：．
5.【答案】
【解析】解：，
等式兩邊平方，可得，
即，
．
故選：．
6.【答案】
【解答】
解：作出函數的圖象如圖，
不妨設，則
，
則．
故選C．
7.【答案】
【解答】
解：函數的定義域為，
若，
時，，即需成立
時，，恒成立
時，，即需成立
對于函數在上，在上，
，解得，
所以的最小值為．
故選B．
8.【答案】
【解答】
解：若函數恰有個零點，
則有四個根，
即與有四個交點，
當時，與圖象如下：
兩圖象有個交點，不符合題意，
當時，與軸交于兩點，
圖象如圖所示，
兩圖象有個交點，符合題意，
當時，
與軸交于兩點，
在內兩函數圖象有兩個交點，所以若有四個交點，
只需與在還有兩個交點，即可，
即在還有兩個根，
即在還有兩個根，
函數，當且僅當時，取等號，
所以，且，
所以，
綜上所述，的取值范圍為．
故選：．
9.【答案】
【解答】
解：選項，的否定：，有，故A正確；
選項，當時，
，，故B錯誤；
選項，當時，，
故，使得，故C正確；
選項，函數的定義域為，
則需滿足，得，
故定義域為，故D錯誤．
故選：．
10.【答案】
【解答】
解：對于，的對稱軸為，
所以取得最大值時的值為，故A錯誤；
對于，令，
因為，則，
所以，當時，取等號，
所以，則，
即最大值為，故B錯誤；
對于，函數，
令，當時，，不滿足題意，故C錯誤；
對于，若，，且，
，
當且，即時取等號，
所以的最小值為，故D正確．
故選：．
11.【答案】
【解析】 解：對于，因為，
所以為周期函數，故 A正確；
對于假設關于對稱，則．
展開得：，
要求恒成立，
即無解，不存在這樣的所以B錯誤；
對于， ．
令，當時，，
函數，其對稱軸為，
當時，單調遞減
當時，單調遞增，
且當時，
當時，當時，，
所以在上恒為負，
即在上單調遞減，選項正確；
對于，因為的最小正周期為，故在內研究函數的最值即可，
由于，當時取到最大值，，當或時，取到最大值，
顯然和取最大值的時候，的值不相等，
故與不能同時取到，
所以函數的最大值不能取到，
故D錯誤．
故選AC．
12.【答案】
【解析】解：令，求得，，
可得函數的圖象經過定點，
所以點在角的終邊上，則．
故答案為：．
13.【答案】
【解答】
解：因為曲線在處的切線方程是，所以，
，
故答案為；．
14.【答案】
【解析】解：令，
則，
而，
所以是奇函數，而在上單調遞增，在上單調遞增，
所以是在上的單調遞增函數且為奇函數，
而可變形成，
即，
由是在上的單調遞增函數，則使關于的不等式
成立，
即，
設，，則，，
令，，則的最大值為，
所以即．
綜上所述：實數的范圍為．
故答案為：．
15.【答案】解：因為“”是““的充分條件，所以．
故，解得．
所以實數的取值范圍是．
因為命題“，則“是真命題，所以．
當時，，解得；
當時，，解得，所以．
綜上所述，實數的取值范圍是
16.【答案】解： 當時，此時，
又當時，，
所以，
因為函數是定義在上的奇函數，
，
，
函數的解析式為
函數，
二次函數對稱軸為：，
當時，即時，函數在上單調遞減，所以
當時，即時，函數在上單調遞增，所以
當時，即時，根據二次函數的性質可得，．
綜上，當時，，
當時，，
當時，．

17.【答案】解：因為關于的函數關系式為其中，
且摩天輪的最高點距離地面為米，最低點距離地面為米，
所以，解得，，
又因為函數周期為分鐘，所以，，
又因為，
所以，因為，所以．
所以．
因為，
所以，解得，
又因為，所以當第一次到達米時，，解得，
所以第一次達到米用時分鐘．
經過分鐘后甲距離地面的高度為，
乙與甲間隔的時間為分鐘，
所以乙距離地面的高度為，
所以兩人離地面的高度差，，
因為，所以當或時，得或分鐘時，取最大值為米，
所以的最大值為米．
18.【答案】解：，
在上有兩個不等的實根，
設，
在上單調遞減，在上單調遞增，
故只需
，
的取值范圍為；
，
，
當時，，由，得，的單調遞減區間為
當時，，，在上單調遞增，無遞減區間
當時，，由，得，的單減區間為
當時，，由，得，的單減區間為，
綜上所述，
當時，的單調遞減區間為
當時，無遞減區間
當時，的單減區間為
當時，的單減區間為．
19.【答案】解：由題意，的定義域為，
令，則，，
則，
因為是函數的極值點，則有，即，所以，
當時，，且，
令，
因為，
則在上單調遞減，
所以當時，，
當時，，
所以時，是函數的一個極大值點．
綜上所述，；
證明：由可知，，
要證函數，即需證明，
因為當時，，
當時，，
所以需證明，即，
令，
則，
所以，當時，，
當時，，
所以為的極小值點，
所以，即，
故，
所以，即函數．
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