資源簡介

(共57張PPT)
2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性質
第2課時 不等式的證明方法
探究點一 用作差法證明不等式
探究點二 用綜合法證明不等式
探究點三 用反證法證明不等式
探究點四 用分析法證明不等式
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能靈活選用綜合法、分析法證明簡單不等式問題；
2.掌握反證法證明問題的一般步驟，能用反證法證明一些簡單的
命題.
知識點 證明不等式的方法
1.作差法
通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作
差法.
2.綜合法
從已知條件出發，綜合利用各種結果，經過逐步推導最后得到結論的
方法，在數學中通常稱為綜合法.綜合法又叫順推證法或由因導果法.
3.反證法
首先假設結論的否定成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出
假設不成立.這種得到數學結論的方法通常稱為反證法.
4.分析法
從需要證明的不等式出發，分析這個不等式成立的條件，進而轉化
為判定那個條件是否成立.分析法又叫逆推證法或執果索因法.
探究點一 用作差法證明不等式
例1 已知，均為正實數，證明： .
證明： .
因為，均為正實數，所以， ，
，所以 ，
當且僅當時等號成立，所以 .
變式 已知,，，，且，，求證： .
證明：，
因為，且， ，所以，
又，所以，所以 ，
又，，所以，所以 .
［素養小結］
作差法證明不等式的步驟:
①作差:對要證明的兩個代數式作差;
②變形:對差進行因式分解、配方、通分等變形為一個常數、幾個平
方和或者幾個因式的積（或商）;
③判號:結合變形的結果及題設條件判斷差的符號;
④得結論：注意等號是否能取到.
探究點二 用綜合法證明不等式
例2 已知，且，證明： ．
證明：因為，且，
所以 ，且,所以 ，
所以，即，所以 ．
變式 已知，，為實數，求證： .
證明：因為，即，
所以 ，同理， ，
所以 .
［素養小結］
綜合法證明不等式，重點是揭示出條件和結論之間的因果聯系，因
此要著力分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯
系.合理進行轉換，恰當選擇已知不等式是證明的關鍵.
探究點三 用反證法證明不等式
例3 若，求證： .
證明：方法一：假設，則 ，
，即 ，
即，這是不可能的， .
方法二：假設， ，
但取等號的條件是，顯然不可能， ，
則 .
又，， ，
， ，
，這與假設矛盾，故 .
變式 ［2025·上海閔行區高一期中］ 已知命題如果實數， 為
正數，且滿足，則和 中至少有一個成立.
判斷命題 是否為真命題.
解：命題 為真命題，用反證法證明如下：
假設和都不成立，則且 ，
因為實數，為正數，所以且 ，
所以，即，與 矛盾，
所以假設不成立，所以和 中至少有一個成立.
［素養小結］
用反證法證明不等式，其實質是從否定結論出發，通過邏輯推理，
導出與已知條件或公理相矛盾的結論，從而肯定原命題成立.
探究點四 用分析法證明不等式
例4 求證：
證明：要證 ，
只需證 ，
只需證
，只需證 ，
只需證，即 ，顯然成立，
所以 成立．
變式 已知，，用分析法證明 .
證明：要證，只需證 ，
即證，即證 ，
因為，所以 成立.
［素養小結］
（1）分析法的思路是“執果索因”，即從要證的不等式出發，不斷地
用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知不等式為止.
（2）用分析法證明數學命題時，一定要恰當地用好反推符號“”或
“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語.
1.若，，，則， 的大
小關系為( )
A. B. C. D.由 的值確定
[解析] ， ，
，，
又,, ．故選A．
√
2.用反證法證明命題“設，為實數，則方程 至多有
一個實根”時，要作出的假設是( )
A.方程 沒有實根
B.方程 至多有一個實根
C.方程 至多有兩個實根
D.方程 恰好有兩個實根
[解析] 用反證法證明，應先假設要證命題的否定成立，而要證命題的
否定為設，為實數，則方程 恰好有兩個實根.故選D.
√
3.若，，，則與 的大小關系為_______．
[解析] ，
因為，所以，，所以 ，
所以 .
4.用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以
下三個步驟：
① ，這與三角形內角和為
相矛盾，則 不成立；
②所以一個三角形中不能有兩個直角；
③假設的內角，， 中有兩個角是直角，不妨設
.
正確的順序為________.
③①②
[解析] 由反證法證明的步驟知，先反設，即③，再推出矛盾，即①，
最后進行判斷，肯定結論，即②，故正確的順序為③①②.
1.作差法
當要證明的不等式兩端是兩個代數式時，一般使用作差法.
依據：要證明，只需證明 .
比較兩個數（式）的大小可以歸納為“三步一結論”，即作差 變形
定號 結論．其中變形為關鍵，定號為目的．在變形中，因式分
解、配方、通分、有理化等是經常使用的變形手段，最后變形為一個
常數，一個或幾個平方的和或若干個因式的積等.在定號中，若為幾個
因式的積，需對每個因式均先定號，若符號不確定，需進行討論．
例1 對在直角坐標系的第一象限內的任意兩點， 作如下定
義：，那么稱點是點的“上位點”，同時點 是點
的“下位點”.
（1）試寫出點 的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標；
解：由可知，點的一個“上位點”的坐標為 ，
一個 “下位點”的坐標為 .
（2）設，，，均為正數，且點是點 的“上位點”，請
判斷點是否既是點的“下位點”又是點 的“上
位點”，如果是請證明，如果不是請說明理由.
例1 對在直角坐標系的第一象限內的任意兩點， 作如下定
義：，那么稱點是點的“上位點”，同時點 是點
的“下位點”.
解：是，證明如下：
，，，均為正數，點是點的“上位點”， ，
， ，，
點是點 的“下位點”.
，，
點是點 的“上位點”.
綜上,點既是點的“下位點”又是點 的“上位點”.
2.用綜合法證明不等式的邏輯關系
.
例2 若，，求證： .
證明：，， ，
即，兩邊同乘，得 .
例3 設，, .
求證： .
證明：要證 ，
只需證 ，即證，
也就是證 ,即證,即證 .
因為，所以就是證 ，顯然成立.
故不等式 成立.
3.用分析法證明不等式的邏輯關系
.
4.反證法
當待證命題的結論中含有“不可能”“不是”“至多”“至少”“唯一”等字眼
時，一般使用反證法.
矛盾的來源: ①與原命題的條件矛盾; ②與假設矛盾; ③與定義、公
理或者定理矛盾.
證明：假設10是集合中的元素，則存在, ，
使得，不妨設，
或或或
這四個方程組均無整數解, 假設不成立,不是集合 中的元素.
例4 設集合,, }.用反證法證明：10不
是集合 中的元素.
練習冊
1.已知，且 ，則下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為且，所以， ，
所以，即 ，故A不正確；
因為,,所以,即 ,故B正確；
有可能為0，故C不正確；
取，， ，顯然且，
但且 ，故D不正確.故選B.
√
2.分析法又叫執果索因法，若使用分析法證明“設 ，且
，求證： ”，索的因應是下列式子中的
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因為,且,
所以 ,即,.
要證,只需證 ，
只需證,只需證 ,
只需證,只需證 ,
即證 ,顯然成立.故選A.
3.利用反證法證明：若，則且 ，應假設
( )
A.，不都為0 B.， 都不為0
C.，不都為0，且 D.， 至少有一個為0
[解析] 且表示“,都為0”，其否定是“, 不都為0”.故選A.
√
4.實數，，滿足且 ，則下列關
系式成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得
（當且僅當時取等號），所以，
由 ，可得，所以，所以 ．
因為，所以 .
綜上可得， ．故選D.
√
5.已知，，若，，則與 的
大小關系為( )
A. B. C. D.不確定
[解析] 由已知得
， ，，，，
, ，即 .故選C.
√
6.已知，則 的值( )
A.為正數 B.為非正數 C.為非負數 D.不確定
[解析] 因為，所以， ，
，所以，， ，
所以，所以，
即 的值為正數.故選A.
√
7.（多選題）要證明,只需證明不等式,不等式 可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 若，則,,
,B中不等式都是的充分條件；
若，則，但 ，
故C中不等式不是的充分條件；
若，則, ，
故D中不等式是的充分條件.故選 .
√
√
√
8.設，，則， 的大小關系為______.
（用“ ”連接）
[解析] ， ，
即 ，
，，故 .
9.已知,則與的大小關系為____________.（用“ ”連接）
[解析] ,因為,所以 ,
,所以,所以 .
10.（13分）已知，，求證： .
證明：
，
, ，
（當且僅當 時等號成立），即 .
11.［2025·甘肅金昌高一期中］已知，為正實數，則“ ”是“
”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
[解析] 由,得,所以 ,則充分性成立；
由,得,則,所以 ,則必要性成立.
綜上可知,“”是“ ”的充要條件.故選C.
√
★12.（多選題）下列命題為真命題的是( )
A.,,
B.,，使得
C.“”是“ ”的充要條件
D.若，則
√
√
[解析] 對于A,當,時, ,故A為真命題.
對于B，當時， 不成立，故B為假命題.
對于C，當時，成立；
當時，若, ，則，故不成立，
所以“”是“ ”的充分不必要條件，故C為假命題.
對于D，當 時，,即，
因為, ，所以，故D為真命題.故選 .
［技巧點撥］對于與全稱量詞或存在量詞和充分必要條件結合的不
等式，要注意是全稱量詞命題還是存在量詞命題，若是有全稱量詞
的不等式，則需要證明，若是有存在量詞的不等式，則只需要舉出
特例即可.
13.若，則實數， 應滿足的條件是
_____________________.
，且
[解析] ，故,且 .
14.（15分）［2025·遼寧沈陽高一期中］
（1）已知，且，證明： .
證明：若，則，
，不符合題意， .
要證，只需證 ，
， 只需證 ，
即證，即證 ，
， 原不等式成立.
（2）已知，，且，證明：與 至少有一
個大于 .
證明： 假設
，，與 矛盾，
假設不成立，與至少有一個大于 .
15.（15分）
（1）已知,，求證： .
證明：方法一：,, ,，
， ,
.
方法二：,，, ,
，, ，
.
方法三： ，
，
,,, , ,
，
即 .
（2）已知,, ，求證：
.
證明： 方法一：
， .
,, ，,,
, , ，
，
.
方法二：,, ,
,, ,
，
，
，
，
.
快速核答案(導學案)
課中探究 探究點一 例1 略 變式 略 探究點二 例2 略 變式 略
探究點三 例3 略 變式 命題為真命題，證明略.
探究點四 例4 略 變式 略
課堂評價 1.A 2.D 3. 4.③①②
備用習題 例1（1）點的一個“上位點”的坐標為，
一個“下位點”的坐標為. （2）是，證明略.
例2 略 例3 略 例4 略
快速核答案(練習冊)
基礎鞏固
1.B 2.A 3.A 4.D 5.C 6.A 7.ABD 8. 9. 10.略
綜合提升
11.C 12.AD 13.,且 14.（1）略（2）略
思維探索
15.（1）略（2）略第2課時　不等式的證明方法
【課中探究】
例1　證明:-(+)=+=+==
.
因為a,b均為正實數,所以+>0,>0,(-)2≥0,所以≥0,
當且僅當a=b時等號成立,所以+≥+.
變式　證明:-=,因為>,且a,b∈(0,+∞),所以b>a>0,又x>y>0,所以bx>ay>0,所以bx-ay>0,又x+a>0,y+b>0,所以->0,所以>.
例2　證明:因為a0,所以<,即<,所以<.
變式　證明:因為≥0,即a2-a+≥0,所以a2≥a-,同理b2≥b-,c2≥c-,
所以a2+b2+c2≥a+b+c-.
例3　證明:方法一:假設a+b>2,則a>2-b,
∴2=a3+b3>(2-b)3+b3,即2>8-12b+6b2,
即(b-1)2<0,這是不可能的,∴a+b≤2.
方法二:假設a+b>2,∵a2-ab+b2=+b2≥0,但取等號的條件是a=b=0,顯然不可能,∴a2-ab+b2>0,則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2).
又∵a3+b3=2,∴a2-ab+b2<1,∴1+ab>a2+b2≥2ab,
∴ab<1,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=(a2-ab+b2)+3ab<4,∴a+b<2,這與假設矛盾,故a+b≤2.
變式　解:命題p為真命題,用反證法證明如下:
假設≥3和≥3都不成立,則<3且<3,因為實數a,b為正數,所以1+2b<3a且1+2a<3b,所以2+2a+2b<3a+3b,即a+b>2,與a+b=2矛盾,所以假設不成立,所以≥3和≥3中至少有一個成立.
例4　證明:要證-<-(a≥3),
只需證+<+,
只需證a+(a-3)+2<(a-1)+(a-2)+2,只需證<,
只需證a(a-3)<(a-1)(a-2),即0<2,顯然成立,
所以-<-(a≥3)成立.
變式　證明:要證≤,只需證≤,即證a2+2ab+b2≤2a2+2b2,即證a2-2ab+b2≥0,因為a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,所以≤成立.
【課堂評價】
1.A　[解析] P2=2a+5+2,Q2=2a+5+2,∵a2+5a+6>a2+5a,∴P2>Q2,又P>0,Q>0,∴P>Q.故選A.
2.D　[解析] 用反證法證明,應先假設要證命題的否定成立,而要證命題的否定為設a,b為實數,則方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根.故選D.
3.M>N　[解析] M-N=x2+x-4x+2=x2-3x+2=(x-1)(x-2),因為x<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以M>N.
4.③①②　[解析] 由反證法證明的步驟知,先反設,即③,再推出矛盾,即①,最后進行判斷,肯定結論,即②,故正確的順序為③①②.第2課時　不等式的證明方法
1.B　[解析] 因為a+b+c=0且a>b>c,所以a-b>0,c<0,所以ac-bc=(a-b)c<0,即ac0,a>0,所以ab-ac=a(b-c)>0,即ab>ac,故B正確;|b|有可能為0,故C不正確;取a=2,b=1,c=-3,顯然a>b>c且a+b+c=0,但a2>b2且b22.A　[解析] 因為a>b>c,且a+b+c=0,所以3c0,c<0.要證0,只需證(a-c)(2a+c)>0,只需證(a-c)[a+c+(-b-c)]>0,即證(a-c)(a-b)>0,顯然成立.故選A.
3.A　[解析] a=0且b=0表示“a,b都為0”,其否定是“a,b不都為0”.故選A.
4.D　[解析] 由a2=2a+c-b-1,可得(a-1)2=c-b≥0(當且僅當a=1時取等號),所以c≥b,由a+b2+1=0,可得a=-b2-1,所以a≠1,所以c>b.因為b-a=b2+b+1=+>0,所以b>a.綜上可得,c>b>a.故選D.
5.C　[解析] 由已知得P-Q=+--1==,∵a1,a2∈(1,+∞),∴1-a1<0,a2-1>0,a1a2>0,∴P-Q<0,即P6.A　[解析] 因為a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0, >0, <,所以+>0,所以++>0,即++的值為正數.故選A.
7.ABD　[解析] 若x2,故C中不等式不是x<的充分條件;若x<0,則x<0≤,∴x<,故D中不等式是x<的充分條件.故選ABD.
8.a>b　[解析] ∵2>2,∴8+2>8+2,即()2+2+()2>()2+2+()2,∴(+)2>(+)2,∴+>+,故a>b.
9.x2+2>3x　[解析] (x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因為x<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以x2+2>3x.
10.證明:x2+2y2-(2xy+2y-1)=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2,∵(x-y)2≥0,(y-1)2≥0,∴(x-y)2+(y-1)2≥0(當且僅當x=y=1時等號成立),即x2+2y2≥2xy+2y-1.
11.C　[解析] 由<,得-=<0,所以x12.AD　[解析] 對于A,當a=2,b=-1時,|a-2|+(b+1)2=0,故A為真命題.對于B,當a=0時,ax>2不成立,故B為假命題.對于C,當ab≠0時,a2+b2≠0成立;當a2+b2≠0時,若a=1,b=0,則ab=0,故ab≠0不成立,所以“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要條件,故C為假命題.對于D,當a≥b>0時,a+ab≥b+ab,即a(1+b)≥b(1+a),因為1+b>0,1+a>0,所以≥,故D為真命題.故選AD.
[技巧點撥] 對于與全稱量詞或存在量詞和充分必要條件結合的不等式,要注意是全稱量詞命題還是存在量詞命題,若是有全稱量詞的不等式,則需要證明,若是有存在量詞的不等式,則只需要舉出特例即可.
13.a≥0,b≥0且a≠b　[解析] a+b>a+b a-a>b-b a(-)>b(-) (a-b)(-)>0 (+)(-)2>0,故a≥0,b≥0且a≠b.
14.證明:(1)若z≥0,則x>y>z≥0,∴x+2y+z>0,不符合題意,∴z<0.
要證≤-,只需證2≥-z,
∵-z>0,∴只需證4x2-8yz≥3z2,
即證4x2+4z(x+z)≥3z2,即證4x2+4xz+z2≥0,
∵4x2+4xz+z2=(2x+z)2≥0,∴原不等式成立.
(2)假設∴∴3m+3n≤m+n+6,
∴m+n≤3,與m+n>3矛盾,
∴假設不成立,∴與至少有一個大于.
15.證明:(1)方法一:∵0∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1.
方法二:∵0∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1.
方法三:∵x(1-y)+y(1-x)+xy+(1-x)(1-y)=1,
∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y),
∵0即x(1-y)+y(1-x)<1.
(2)方法一:∵x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)+xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=1,∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z).
∵0∴0∴1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)<1,
∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
方法二:∵0∴0<1-x<1,0<1-y<1,0<1-z<1,
∵x(1-y)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y),
y(1-z)=y(1-z)(1-x)+yx(1-z),
z(1-x)=z(1-x)(1-y)+zy(1-x),
∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y)+yx(1-z) +y(1-z)(1-x)+z(1-x)(1-y)+zy(1-x)=x[(1-y)(1-z)+z(1-y)+y(1-z)] +(1-x)[y(1-z)+z(1-y)+zy]=x[1-y+y(1-z)]+(1-x)[y+z(1-y)] ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.第2課時　不等式的證明方法
【學習目標】
1.能靈活選用綜合法、分析法證明簡單不等式問題;
2.掌握反證法證明問題的一般步驟,能用反證法證明一些簡單的命題.
◆ 知識點　證明不等式的方法
1.作差法
通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小,這種方法通常稱為作差法.
2.綜合法
從已知條件出發,綜合利用各種結果,經過逐步推導最后得到結論的方法,在數學中通常稱為綜合法.綜合法又叫順推證法或由因導果法.
3.反證法
首先假設結論的否定成立,然后由此進行推理得到矛盾,最后得出假設不成立.這種得到數學結論的方法通常稱為反證法.
4.分析法
從需要證明的不等式出發,分析這個不等式成立的條件,進而轉化為判定那個條件是否成立.分析法又叫逆推證法或執果索因法.
◆ 探究點一　用作差法證明不等式
例1 已知a,b均為正實數,證明:+≥+.
變式 已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,求證:>.
[素養小結]
作差法證明不等式的步驟:
①作差:對要證明的兩個代數式作差;
②變形:對差進行因式分解、配方、通分等變形為一個常數、幾個平方和或者幾個因式的積(或商);
③判號:結合變形的結果及題設條件判斷差的符號;
④得結論:注意等號是否能取到.
◆ 探究點二　用綜合法證明不等式
例2 已知a變式 已知a,b,c為實數,求證:a2+b2+c2≥a+b+c-.
[素養小結]
綜合法證明不等式,重點是揭示出條件和結論之間的因果聯系,因此要著力分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯系.合理進行轉換,恰當選擇已知不等式是證明的關鍵.
◆ 探究點三　用反證法證明不等式
例3 若a3+b3=2,求證:a+b≤2.
變式 [2025·上海閔行區高一期中] 已知命題p:如果實數a,b為正數,且滿足a+b=2,則≥3和≥3中至少有一個成立.判斷命題p是否為真命題.
[素養小結]
用反證法證明不等式,其實質是從否定結論出發,通過邏輯推理,導出與已知條件或公理相矛盾的結論,從而肯定原命題成立.
◆ 探究點四　用分析法證明不等式
例4 求證:-<-(a≥3).
變式 已知a>0,b>0,用分析法證明≤.
[素養小結]
(1)分析法的思路是“執果索因”,即從要證的不等式出發,不斷地用充分條件來代替前面的不等式,直至找到已知不等式為止.
(2)用分析法證明數學命題時,一定要恰當地用好反推符號“ ”或“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語.
1.若P=+,Q=+,a≥0,則P,Q的大小關系為 (　 )
A.P>Q B.P=Q
C.P2.用反證法證明命題“設a,b為實數,則方程x2+ax+b=0至多有一個實根”時,要作出的假設是 (　 )
A.方程x2+ax+b=0沒有實根
B.方程x2+ax+b=0至多有一個實根
C.方程x2+ax+b=0至多有兩個實根
D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根
3.若x<1,M=x2+x,N=4x-2,則M與N的大小關系為　　　　.
4.用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內角和為180°相矛盾,則∠A=∠B=90°不成立;
②所以一個三角形中不能有兩個直角;
③假設△ABC的內角∠A,∠B,∠C中有兩個角是直角,不妨設∠A=∠B=90°.
正確的順序為　　　　. 第2課時　不等式的證明方法
1.已知a>b>c,且a+b+c=0,則下列不等式恒成立的是 (　 )
A.ac>bc B.ab>ac
C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2
2.分析法又叫執果索因法,若使用分析法證明“設a>b>c,且a+b+c=0,求證:A.(a-b)(a-c)>0
B.(a-b)(a-c)<0
C.(b-a)(b-c)>0
D.(b-a)(b-c)<0
3.利用反證法證明:若+b2=0,則a=0且b=0,應假設 (　 )
A.a,b不都為0
B.a,b都不為0
C.a,b不都為0,且a≠b
D.a,b至少有一個為0
4.實數a,b,c滿足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,則下列關系式成立的是 (　 )
A.b>a>c B.c>a>b
C.b>c>a D.c>b>a
5.已知a1,a2∈(1,+∞),若P=+,Q=+1,則P與Q的大小關系為 (　 )
A.P>Q B.P=Q
C.P6.已知a>b>c,則++的值 (　 )
A.為正數 B.為非正數
C.為非負數 D.不確定
7.(多選題)要證明x<,只需證明不等式M,不等式M可能是 (　 )
A.x2C.-x< D.x<0
8.設a=+,b=+,則a,b的大小關系為　　　　.(用“>”連接)
9.已知x<1,則x2+2與3x的大小關系為　　　　　　.(用“>”連接)
10.(13分)已知x,y∈R,求證:x2+2y2≥2xy+2y-1.
11.[2025·甘肅金昌高一期中] 已知x,y為正實數,則“<”是“xA.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
★12.(多選題)下列命題為真命題的是 (　 )
A. a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0
B. a∈R, x∈R,使得ax>2
C.“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充要條件
D.若a≥b>0,則≥
13.若a+b>a+b,則實數a,b應滿足的條件是　　　　　　　　.
14.(15分)[2025·遼寧沈陽高一期中] (1)已知x>y>z,且x+2y+z=0,證明:≤-.
(2)已知m>0,n>0,且m+n>3,證明:與至少有一個大于.
15.(15分)(1)已知0(2)已知0

展開更多......

收起↑