資源簡介

(共68張PPT)
2.2 不等式
2.2.2 不等式的解集
探究點一 求一元一次不等式組的解集
探究點二 解絕對值不等式
探究點三 含兩個絕對值的不等式的解法
探究點四 求數軸上點的坐標或范圍
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.了解不等式（組）解集的概念，會求簡單的一元一次不等式
（組）的解；
2.會解含有一個或者兩個絕對值號的絕對值不等式，能借助數軸
解含有絕對值的不等式；
3.掌握數軸上兩點之間的距離公式及中點坐標公式.
知識點一 不等式的解集與不等式組的解集
1.定義：一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.對
于由若干個不等式聯立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的
______稱為不等式組的解集.
交集
2.解一元一次不等式的一般步驟
（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）
化系數為1，注意系數為負數時不等號方向改變.
3.不等式組的解集的確定方法可以歸納為以下四種類型（其中
）：
不等式組 圖示 解集
__________________________________________________ ________（同大取大）
____________________________________________________ ________（同小取小）
__________________________________________________ ______（大小交叉取中間）
___________________________________________________ ___（大小分離解為空）
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）不等式組的解集為 .( )
√
（2）不等式組的解集為 .( )
×
[解析] 不等式組的解集為 .
（3）不等式的解集為 .( )
[解析] 要考慮與0的大小關系，當時，解集為空集，
當 時，解集為，當時，解集為 .
×
（4）不等式的解集為 .( )
√
（5）不等式組的解集為或 .( )
×
[解析] 不等式組的解集為 .
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
知識點二 絕對值不等式
1.絕對值的幾何意義
是指數軸上_________________________； 是指數軸上
____________________________.
表示數的點與原點的距離
表示數，的兩點間的距離
2.絕對值不等式的解集
當時，關于的不等式的解為或 ，因此
解集為____________________；
關于的不等式的解為 ，因此解集為_________.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若,則或 .( )
√
（2）若，則 .( )
×
[解析] 或 ，故錯誤.
（3）若，則 .( )
×
[解析] 時等式也成立，故錯誤.
（4）若,則 .( )
×
[解析] 當時成立，當 時無解，故錯誤.
知識點三 數軸上兩點之間的距離公式和中點坐標公式
1.數軸上兩點之間的距離公式:一般地,如果實數, 在數軸上對應的點
分別為,,即,,則線段的長為 _______.
2.中點坐標公式：若線段的中點對應的數為,則 ____.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若,，則 .( )
√
（2）若,，則線段 的中點對應的數為5.( )
√
探究點一 求一元一次不等式組的解集
例1（1）［2024·重慶萬州區高一期中］已知不等式組 的
解集為，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得因為不等式組的解集為 ，
所以，即的取值范圍是 .故選C.
√
（2）求下列不等式組的解集,并在數軸上表示出來.
①
解：由①得，由②得 ，
所以不等式組的解集為 ,在數軸上表示如圖所示.
②
解：由①得，由②得 ，
所以不等式組的解集為 ，在數軸上表示如圖所示.
（2）求下列不等式組的解集,并在數軸上表示出來.
變式（1）若，則關于的不等式組 的整數
解的個數是___.
6
[解析] 由得，因為 ，
所以不等式組的整數解有1,2,3,4,5,6，所以不等式組的整數解有6個.
（2）關于的不等式組的解集為，那么 ____.
[解析] 由題意知,，解得,則 .
［素養小結］
（1）一元一次不等式組的解法：
①分開解：分別解每個不等式，求出其解集.
②集中判：根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小
無解了”確定不等式組的解集（或把不等式的解集在數軸上表示出來，
數形結合確定不等式組的解集）.
（2）求解含參不等式時，要注意:①變量的系數的符號是否確定，
不然要對其分等于0，大于0，小于0三種情況討論；②不等式組對應
的方程的根的大小關系是否確定，不然要對兩個根之間的大小關系
進行討論.
探究點二 解絕對值不等式
例2（1）不等式 的解集為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得或，
解得 或 .故選B.
√
（2）不等式 的解集為________．
[解析] 當時，即為 ，
此時不等式無解；
當時，即為，
解得 ，所以不等式的解集為 .
變式（1）不等式 的解集為( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 當,即時,有 ,解得；
當,即時,有 ,解得.
綜上,原不等式的解集為 .故選D.
（2）若不等式的解集為，且，則 的取值范圍是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以，所以 ，
即解得 .故選B.
√
［素養小結］
形如與的不等式的解法:
（1）當時，不等式的解集是或
,不等式的解集是;
（2）當時，不等式的解集是},不等式
的解集是 .
探究點三 含兩個絕對值的不等式的解法
例3（1）不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
[解析] 當時，原不等式可化為，無解；
當 時，原不等式可化為，可得；
當 時，原不等式可化為，可得.
綜上，原不等式的解集為 .故選D.
√
（2）若“”是“ ”的充分不必要條件，則實
數 的取值范圍是_______．
[解析] 當時,,解得 ,所以；
當時， ，無解；
當時，，解得，
所以 ，故的解集為.
由 ，得或.
因為“”是“ ”的充分不必要條件，
所以，解得，即實數 的取值范圍是 .
變式 ［2025·上海黃浦區高一期中］ 已知不等式
對所有實數均成立，當等號成立時 的取值
范圍是__________.
[解析] 令，
①當 時，等式可化為，無解；
②當 時，等式可化為，
則，無解；
③當 時，等式可化為，可得 .
綜上所述，的取值范圍是 .
［素養小結］
不等式和的兩種解法：
（1）利用絕對值不等式的幾何意義.
（2）利用，的解，將數軸分成三個區間，然后在
每個區間上將原不等式轉化為不含絕對值的不等式（組），再求解.
探究點四 求數軸上點的坐標或范圍
例4 已知數軸上,，，，若線段的中點到點
的距離等于4，則 ( )
A.5 B. C.5或 D.5或
[解析] 由，，可得,又點到點 的距離等于4，
所以，解得或 .故選D.
√
變式 已知數軸上,，，，若線段的中點到點 的距
離小于5，則 的取值范圍是_______.
[解析] 設的中點為，則，由點到點 的距離小于5，
得,解得.故的取值范圍為 .
［素養小結］
解決數軸上點的坐標問題的關鍵是正確運用兩點的中點坐標公式與
距離公式.根據絕對值不等式的解法可以求解某個參數的取值范圍.
1.若不等式組無解，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得
因為不等式組無解，所以 .故選A.
√
2.平流層是指地球表面以上到的區域，下列不等式中 能
表示平流層高度的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由題意知，即 .故選D.
√
3.若不等式的解集為，則實數 等于( )
A.8 B.2 C. D.
[解析] 由，得.
當 時，可得，則無解；
當 時，不等式恒成立，不符合題意；
當時，可得，則解得 .故選C.
√
4.不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 當時,可得,即 ,無解；
當時,可得,解得 ,所以；
當時,可得,即 ,所以.
綜上,不等式的解集為 .
√
絕對值不等式的解法歸納
解含絕對值的不等式的基本思想是“等價轉化”，即采用正確的方法
去掉絕對值符號轉化為不含絕對值的不等式來解，常用的方法有公
式法、定義法、平方法、分類討論法、幾何法.
1.公式法：利用與的解集求解.
例1 解不等式 .
分析：這類題可直接利用上面的公式求解，這種解法還運用了整體
思想，即把“ ”看作一個整體.答案為解析略).
2.定義法:利用 去掉絕對值符號后再求解.
例2 解不等式 .
解：原不等式等價于，即，
解得 ，故原不等式的解集為 .
3.平方法:解形如 的不等式.
例3 解不等式 .
解：原不等式等價于 ,
即 ,即 ,
即,解得 ,故原不等式的解集為 .
4.幾何法：轉化為幾何知識求解.
例4 對任意實數，若不等式恒成立，則實數
的取值范圍為( )
A. B. C. D.
分析：設，則原不等式對任意實數 恒成立的充
要條件是，于是原問題轉化為求 的最小值.
[解析] 的幾何意義為數軸上表示數的點到表示
和2的點的距離之差，如圖，可得其最小值為 ，故選B.
√
5.分類討論法與絕對值幾何意義法
例5 不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一:當時, 不成立,排除A,B;
當時, 成立,排除C.故選D.
方法二:當時，不等式 可化為
，解得.
當 時，不等式可化為
，無解.
當時，不等式 可化為
，解得.
故不等式 的解集為 .故選D.
練習冊
1.不等式組 的解集是( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得即 ，
所以原不等式組的解集為 .故選D.
√
2.已知集合,，，若，則實數 的值
可以是( )
A.1 B.0 C. D.3
[解析] 由，解得 ，
所以，
又,且 ，所以或 .故選B.
√
3.［2024·湖南長沙高一期中］設，則“ ”是“
”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
[解析] 由，得,即 ，
由，得，
所以“”是“ ”的必要不充分條件.故選B.
√
4.關于的不等式 的解集，下列說法不正確的是( )
A.可能為 B.可能為
C.可能為 D.可能為
[解析] 若，不等式的左邊為0，
所以 ，故B中說法正確；
若，則，故D中說法正確；
若，則 ，故C中說法正確.故選A.
√
5.已知，則“”是“ ”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
[解析] 對于，
當 時，，則，此時解集為 ；
當 時，，則，此時解集為；
當 時，，則，此時解集為 .
故當成立時,.當 成立時,，
所以“”是“ ”的必要不充分條件. 故選B.
6.已知關于的不等式組的整數解共有4個，則 的最小值
為( )
A.1 B.2 C.2.1 D.3
[解析] 由解得 ，因為不等式組有4個整數解，
所以整數解是,0,1,2，所以，所以 的最小值為2.故選B.
√
★7.（多選題）若不等式 成立的一個充分不必要條件是
，則實數 的值可以是( )
A. B. C. D.0
√
√
√
[解析] 由可得 ，
由題知集合是的真子集，
則 且等號不同時成立，解得.故選 .
［技巧點撥］ 與充分必要條件有關的絕對值不等式的參數問題，
可以轉化為集合間的包含關系求解.
8.已知數軸上與關于對稱，則 ____.
[解析] 由數軸上的中點坐標公式得，所以 .
9.（13分）解下列不等式（組）:
（1）
解：原不等式組可化為所以原不等式組的解集為 .
（2） ；
解：原不等式可化為或,解得或 ,
所以原不等式的解集為 .
（3） .
解：當時,原不等式可化為,
解得 ，此時;
當時,原不等式可化為 ,
解得，此時無解;
當 時,原不等式可化為,
解得,此時 .綜上,原不等式的解集為 .
9.（13分）解下列不等式（組）:
10.已知不等式 成立的一個必要不充分條件是
，則實數 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，得，即 .
當時，不等式為，顯然不成立；當 時，
不等式的解為；當時，不等式的解為 .
因為不等式成立的一個必要不充分條件是 ，
所以或是
的真子集，所以或，解得或
，即實數的取值范圍是 .故選C.
11.（多選題）當時，不等式組 的解集可能為
( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 原不等式組可化為
當時， ，
此時原不等式組的解集為；
當時， ，
此時原不等式組的解集為；
當時， ，
此時原不等式組的解集為 .故選 .
12.已知關于的不等式恰有3個整數解，則實數
的取值范圍是______.
[解析] 因為，
所以 ，即 ，
由于不等式恰有3個整數解，則這三個整數解分別是2，3，4，
所以解得，故實數 的取值范圍是 .
13.若存在，使得成立（其中 ），
則實數 的取值范圍為______.
[解析] 當時，，
即 ，恒成立，故；
當時， ，
即，即，不成立；
當時， ，即，
解得，不成立.綜上，實數的取值范圍為 .
14.（15分）
（1）當時，解不等式 ；
解：當時，原式可化為 .
①當時，不等式為，解得，所以 ；
②當時，不等式為，解得，所以 ；
③當時，不等式為，解得，所以 .
綜上，原不等式的解集為 .
（2）若的解集包含，求 的取值范圍.
解：因為的解集包含 ,
所以不等式可化為，即 ，
解得 ，所以解得 .
故的取值范圍為 .
15.（15分）已知數軸上三點，， .
（1）若其中一點到另外兩點的距離相等，求實數 的值；
解：若是線段的中點，則，解得；
若 是線段的中點，則 ；
若是線段的中點，則，解得 .
（2）若的中點到線段的中點的距離大于1，求實數 的取值范圍.
解：由題意知，即 ，
即或，解得或 ，
所以實數的取值范圍是 .
15.（15分）已知數軸上三點，， .
16.（15分）已知，解關于的不等式組
解：由，得 ，由，得 .
當 時，顯然不等式無解.
當時，可化為 ，
當，即時， 不等式無解；
當，即時，不等式的解集為 .
當時，可化為 ，
此時，則不等式的解集為 .
綜上所述，當 時，不等式無解；
當時，不等式的解集為 ；
當時，不等式的解集為 .
快速核答案(導學案)
課前預習 知識點一 1.交集 3.
【診斷分析】（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）×
知識點二 1.表示數的點與原點的距離 表示數，的兩點間的距離
2. 【診斷分析】（1）√（2）×（3）×（4）×
知識點三 1. 2. 【診斷分析】 （1）√ （2）√
課中探究 探究點一 例1 （1）C （2）① > ②
變式 （1）6 （2） 探究點二 例2 （1）B （2） 變式 （1）D （2）B
探究點三 例3 （1）D （2） 變式 探究點四 例4 D 變式
課堂評價 1.A 2.D 3.C 4.A
備用習題 例1 例2 例3 例4 B 例5 D
快速核答案(練習冊)
基礎鞏固 1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.BCD 8.
9.（1）解 （2） （3）
綜合提升 10.C 11.ABC 12. 13.
14.（1） （2） 思維探索 15.（1） （2） >
16. 當時，不等式無解；當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.2.2.2　不等式的解集
【課前預習】
知識點一
1.交集　3.(a,+∞)　(-∞,b)　(b,a)　
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (2)不等式組的解集為(-3,-1).
(3)要考慮a與0的大小關系,當a=0時,解集為空集,當a>0時,解集為,當a<0時,解集為.
(5)不等式組的解集為 .
知識點二
1.表示數x的點與原點的距離
表示數x1,x2的兩點間的距離
2.(-∞,-m)∪(m,+∞)　[-m,m]
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (2)x=1或x=-1,故錯誤.
(3)a=0時等式也成立,故錯誤.
(4)當a>0時成立,當a≤0時無解,故錯誤.
知識點三
1.|a-b|　2.
診斷分析
(1)√　(2)√
【課中探究】
例1　(1)C　[解析] 由得因為不等式組的解集為{x|x>a},所以a≥2,即a的取值范圍是{a|a≥2}.故選C.
(2)解:①由①得x≤3,由②得x≥-1,
所以不等式組的解集為[-1,3],在數軸上表示如圖所示.
②由①得x>5,由②得x≤-2,
所以不等式組的解集為 ,在數軸上表示如圖所示.
變式　(1)6　(2)-2　[解析] (1)由得3m(2)由題意知a=1,b+2=-1,解得b=-3,則a+b=-2.
例2　(1)B　(2)(-∞,1)　[解析] (1)由|2x-1|>1,得2x-1>1或2x-1<-1,解得x>1或x<0.故選B.
(2)當x≥1時,|x-1|>x-1即為x-1>x-1,此時不等式無解;當x<1時,|x-1|>x-1即為1-x>x-1,解得x<1,所以不等式的解集為(-∞,1).
變式　(1)D　(2)B　[解析] (1)當2x-1≥0,即x≥時,有1≤2x-1<2,解得1≤x<;當2x-1<0,即x<時,有1≤1-2x<2,解得-(2)因為2 M,所以2∈ RM,所以≤a,即解得a≥.故選B.
例3　(1)D　(2)(-2,2)　[解析] (1)當x≥1時,原不等式可化為x-1≥x,無解;當0(2)當x≥1時,|x-1|+|x+1|=2x>4,解得x>2,所以x>2;當-14,無解;當x≤-1時,|x-1|+|x+1|=-2x>4,解得x<-2,所以x<-2,故|x-1|+|x+1|>4的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞).由x2>a2,得x>|a|或x<-|a|.因為“|x-1|+|x+1|>4”是“x2>a2”的充分不必要條件,所以|a|<2,解得-2變式　(-∞,-2]　[解析] 令|x+2|-|x-1|=-3,①當x>1時,等式可化為(x+2)-(x-1)=3≠-3,無解;②當1≥x>-2時,等式可化為(x+2)-(1-x)=2x+1=-3,則x=-2,無解;③當x≤-2時,等式可化為-(x+2)+(x-1)=-3,可得x≤-2.綜上所述,x的取值范圍是(-∞,-2].
例4　D　[解析] 由A(5),B(-1),可得D(2),又點D到點C的距離等于4,所以|x+1-2|=4,解得x=5或x=-3.故選D.
變式　(3,23)　[解析] 設AB的中點為D,則D,由點D到點C的距離小于5,得<5,解得3【課堂評價】
1.A　[解析] 由得因為不等式組無解,所以m≤2.故選A.
2.D　[解析] 由題意知103.C　[解析] 由|ax+2|<6,得-80時,可得-4.A　[解析] 當x≤-3時,可得-(x+3)+(x-3)>3,即-6>3,無解;當-33,解得x>,所以3,即6>3,所以x≥3.綜上,不等式的解集為.2.2.2　不等式的解集
1.D　[解析] 由可得即x<-2,所以原不等式組的解集為(-∞,-2).故選D.
2.B　[解析] 由|x-1|<2,解得-13.B　[解析] 由≤2,得0≤x+1≤4,即-1≤x≤3,由|x-1|<2,得-14.A　[解析] 若a=0,不等式ax<1的左邊為0,所以x∈R,故B中說法正確;若a>0,則x<,故D中說法正確;若a<0,則x>,故C中說法正確.故選A.
5.B　[解析] 對于|x+1|+|x-1|≤2,當x<-1時,-x-1-x+1≤2,則x≥-1,此時解集為 ;當-1≤x≤1時,x+1-x+1≤2,則2≤2,此時解集為[-1,1];當x>1時,x+1+x-1≤2,則x≤1,此時解集為 .故當|x+1|+|x-1|≤2成立時,-1≤x≤1.當>1成立時,01”的必要不充分條件.故選B.
6.B　[解析] 由解得-27.BCD　[解析] 由|x-a|<1可得a-1[技巧點撥] 與充分必要條件有關的絕對值不等式的參數問題,可以轉化為集合間的包含關系求解.
8.-4　[解析] 由數軸上的中點坐標公式得=-1,所以x=-4.
9.解:(1)原不等式組可化為所以原不等式組的解集為(-∞,1].
(2)原不等式可化為2x-1>2或2x-1<-2,解得x>或x<-,所以原不等式的解集為∪.
(3)當x<1時,原不等式可化為1-x+2-x>x+3,解得x<0,此時x<0;當1≤x≤2時,原不等式可化為x-1+2-x>x+3,解得x<-2,此時無解;當x>2時,原不等式可化為x-1+x-2>x+3,解得x>6,此時x>6.綜上,原不等式的解集為(-∞,0)∪(6,+∞).
10.C　[解析] 由|2mx-1|<1,得-1<2mx-1<1,即00時,不等式的解為00),解得m≤-3或m≥2,即實數m的取值范圍是(-∞,-3]∪[2,+∞).故選C.
11.ABC　[解析] 原不等式組可化為當0時,-a<-a+112.[2,4)　[解析] 因為|x-3|≤(a>0),所以-≤x-3≤,即3-≤x≤3+,由于不等式恰有3個整數解,則這三個整數解分別是2,3,4,所以解得2≤a<4,故實數a的取值范圍是[2,4).
13.(0,2]　[解析] 當x≥a時,|x+a|+|x-a|=|2x|,即2x=2x,恒成立,故014.解:(1)當a=1時,原式可化為|x+1|+|2x-1|≥3.
①當x≥時,不等式為3x≥3,解得x≥1,所以x≥1;
②當-1≤x<時,不等式為2-x≥3,解得x≤-1,所以x=-1;
③當x<-1時,不等式為-3x≥3,解得x≤-1,所以x<-1.綜上,原不等式的解集為(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)因為|x+a|+|2x-1|≤2x的解集包含,
所以不等式可化為|x+a|+2x-1≤2x,即|x+a|≤1,
解得-a-1≤x≤-a+1,
所以解得-≤a≤0.
故a的取值范圍為.
15.解:(1)若P是線段QR的中點,則-8=,解得m=-18;若Q是線段PR的中點,則m==-3;
若R是線段PQ的中點,則2=,解得m=12.
(2)由題意知>1,即>1,
即-1>1或-1<-1,解得m>4或m<0,
所以實數m的取值范圍是(-∞,0)∪(4,+∞).
16.解:由2x-a>0,得x>,
由ax-a2+2a<0,得 ax當a=0時,顯然不等式無解.
當a>0時,ax當≥a-2,即0當4時,不等式的解集為.
當a<0時,axa-2,
此時>a-2,則不等式的解集為.
綜上所述,當0≤a≤4時,不等式無解;
當a>4時,不等式的解集為;
當a<0時,不等式的解集為.2.2.2　不等式的解集
【學習目標】
1.了解不等式(組)解集的概念,會求簡單的一元一次不等式(組)的解;
2.會解含有一個或者兩個絕對值號的絕對值不等式,能借助數軸解含有絕對值的不等式;
3.掌握數軸上兩點之間的距離公式及中點坐標公式.
◆ 知識點一　不等式的解集與不等式組的解集
1.定義:一般地,不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.對于由若干個不等式聯立得到的不等式組來說,這些不等式的解集的　　　　稱為不等式組的解集.
2.解一元一次不等式的一般步驟
(1)去分母;(2)去括號;(3)移項;(4)合并同類項;(5)化系數為1,注意系數為負數時不等號方向改變.
3.不等式組的解集的確定方法可以歸納為以下四種類型(其中a>b):
不等式組 圖示 解集
　　　　(同大取大)
　　　　(同小取小)
　　　　　(大小交叉取中間)
　　　　(大小分離解為空)
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)不等式組的解集為(2,+∞). (　 )
(2)不等式組的解集為(1,2).(　 )
(3)不等式ax>1的解集為. (　 )
(4)不等式3x>1的解集為. (　 )
(5)不等式組的解集為{x|x≤-2或x>3}. (　 )
◆ 知識點二　絕對值不等式
1.絕對值的幾何意義
|x|是指數軸上　　　　　　　　　　　　;|x1-x2|是指數軸上　　　　　　　　　　.|a|=
2.絕對值不等式的解集
當m>0時,關于x的不等式|x|>m的解為x>m或x<-m,因此解集為　　　　　　　　;
關于x的不等式|x|≤m的解為-m≤x≤m,因此解集為　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若|x|>1,則x>1或x<-1. (　 )
(2)若|x|=1,則x=1. (　 )
(3)若|a|=a,則a>0. (　 )
(4)若|x|◆ 知識點三　數軸上兩點之間的距離公式和中點坐標公式
1.數軸上兩點之間的距離公式:一般地,如果實數a,b在數軸上對應的點分別為A,B,即A(a),B(b),則線段AB的長為AB=　　　　.
2.中點坐標公式:若線段AB的中點M對應的數為x,則x=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若A(-1),B(2),則AB=3. (　 )
(2)若A(2),B(8),則線段AB的中點對應的數為5. (　 )
◆ 探究點一　求一元一次不等式組的解集
例1 (1)[2024·重慶萬州區高一期中] 已知不等式組的解集為{x|x>a},則a的取值范圍是 (　 )
A.{a|a≤2} B.{a|a<2}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
(2)求下列不等式組的解集,并在數軸上表示出來.
①②
變式 (1)若0≤m<,則關于x的不等式組的整數解的個數是　　　　.
(2)關于x的不等式組的解集為(-1,1),那么a+b=　　　　.
[素養小結]
(1)一元一次不等式組的解法:
①分開解:分別解每個不等式,求出其解集.
②集中判:根據“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小無解了”確定不等式組的解集(或把不等式的解集在數軸上表示出來,數形結合確定不等式組的解集).
(2)求解含參不等式時,要注意:①變量的系數的符號是否確定,不然要對其分等于0,大于0,小于0三種情況討論;②不等式組對應的方程的根的大小關系是否確定,不然要對兩個根之間的大小關系進行討論.
◆ 探究點二　解絕對值不等式
例2 (1)不等式|2x-1|>1的解集為 (　 )
A.(0,1)
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)不等式|x-1|>x-1的解集為　　　　　　.
變式 (1)不等式1≤|2x-1|<2的解集為 (　 )
A.
B.
C.
D.
(2)若不等式>a的解集為M,且2 M,則a的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
[素養小結]
形如|ax+b|>c(c≠0)與|ax+b|(1)當c>0時,不等式|ax+b|>c的解集是{x|ax+b>c或ax+b<-c},不等式|ax+b|(2)當c<0時,不等式|ax+b|>c的解集是{x|x∈R},不等式|ax+b|◆ 探究點三　含兩個絕對值的不等式的解法
例3 (1)不等式|x-1|≥|x|的解集為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)若“|x-1|+|x+1|>4”是“x2>a2”的充分不必要條件,則實數a的取值范圍是　　　　.
變式 [2025·上海黃浦區高一期中] 已知不等式|x+2|-|x-1|≥-3對所有實數x均成立,當等號成立時x的取值范圍是　　　　.
[素養小結]
不等式|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c的兩種解法:
(1)利用絕對值不等式的幾何意義.
(2)利用x-a=0,x-b=0的解,將數軸分成三個區間,然后在每個區間上將原不等式轉化為不含絕對值的不等式(組),再求解.
◆ 探究點四　求數軸上點的坐標或范圍
例4 已知數軸上,A(5),B(-1),C(x+1),若線段AB的中點D到點C的距離等于4,則x=(　 )
A.5 B.-3
C.5或-2 D.5或-3
變式 已知數軸上,A(-1),B(x),C(6),若線段AB的中點到點C的距離小于5,則x的取值范圍是　　　　.
[素養小結]
解決數軸上點的坐標問題的關鍵是正確運用兩點的中點坐標公式與距離公式.根據絕對值不等式的解法可以求解某個參數的取值范圍.
1.若不等式組無解,則實數m的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
2.平流層是指地球表面以上10 km到50 km的區域,下列不等式中x能表示平流層高度的是 (　 )
A.|x+10|<50 B.|x-10|<50
C.|x+30|<20 D.|x-30|<20
3.若不等式|ax+2|<6的解集為(-1,2),則實數a等于 (　 )
A.8 B.2 C.-4 D.-8
4.不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是 (　 )
A. B.
C.{x|x≥3} D.{x|-31.不等式組的解集是 (　 )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)
2.已知集合A={1,a},B={x||x-1|<2},若A B,則實數a的值可以是 (　 )
A.1 B.0
C.-2 D.3
3.[2024·湖南長沙高一期中] 設x∈R,則“≤2”是“|x-1|<2”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.關于x的不等式ax<1的解集,下列說法不正確的是 (　 )
A.可能為 B.可能為R
C.可能為 D.可能為
5.已知x∈R,則“|x+1|+|x-1|≤2”是“>1”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
6.已知關于x的不等式組的整數解共有4個,則a的最小值為 (　 )
A.1 B.2
C.2.1 D.3
★7.(多選題)若不等式|x-a|<1成立的一個充分不必要條件是A.- B.
C. D.0
8.已知數軸上A(2)與C(x)關于B(-1)對稱,則x=　　　　.
9.(13分)解下列不等式(組):
(1)
(2)|2x-1|>2;
(3)|x-1|+|x-2|>x+3.
10.已知不等式|2mx-1|<1成立的一個必要不充分條件是-≤x<,則實數m的取值范圍是(　 )
A.(-3,2]
B.[-3,2)
C.(-∞,-3]∪[2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(2,+∞)
11.(多選題)當a>0時,不等式組的解集可能為 (　 )
A. B.
C.[a,1-a] D.[-a,1+a]
12.已知關于x的不等式|x-3|≤(a>0)恰有3個整數解,則實數a的取值范圍是　　　　.
13.若存在x∈[1,2],使得|x+a|+|x-a|=|2x|成立(其中a>0),則實數a的取值范圍為　　　　.
14.(15分)(1)當a=1時,解不等式|x+a|+|2x-1|≥3;
(2)若|x+a|+|2x-1|≤2x的解集包含,求a的取值范圍.
15.(15分)已知數軸上三點P(-8),Q(m),R(2).
(1)若其中一點到另外兩點的距離相等,求實數m的值;
(2)若PQ的中點到線段PR的中點的距離大于1,求實數m的取值范圍.
16.(15分)已知a∈R,解關于x的不等式組

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