資源簡介

(共79張PPT)
2.2 不等式
2.2.3 一元二次不等式的解法
探究點一 不含參數的一元二次不等式的解法
探究點二 簡單的分式不等式的解法
探究點三 求解含參數的一元二次不等式問題
探究點四 一元二次不等式與一元二次方程的關系
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能從實際情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式
的現實意義；
2.會用因式分解法和配方法解一元二次不等式；
3.會解簡單的分式不等式.
知識點一 一元二次不等式的概念
一般地，形如________________的不等式稱為一元二次不等式，其
中，，是常數，而且 .一元二次不等式中的不等號也可以是
“___”“___”“___”等.
知識點二 一元二次不等式的解法
1.因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果，則不等式 的解集是
________，不等式 的解集是_________________
__.
2.配方法解一元二次不等式
（1） _________________；
（2） ______________；
或
（3）若函數
，則
_ ________________ _ ___________________
或_ ______________; __________________
_ _________________________.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）是關于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 當 時，該不等式不是一元二次不等式.
（2）不等式是關于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 因為的最高次數是1，所以不是關于 的一
元二次不等式.
（3）若，則一元二次不等式 無解.( )
×
[解析] 當時，任意實數都能使不等式 成立，
所以不等式的解集是 .
（4）不等式的解集為 .( )
√
[解析] 因為 ，
所以不等式的解集為 .
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（5）所有的一元二次不等式都能應用配方法求解.( )
√
[解析] 易知正確.
（6）不等式 ( )
×
[解析] 或
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
知識點三 分式不等式的解法
解分式不等式的實質就是將分式不等式轉化為整式不等式.
設，均為含 的多項式
（1）;（2） ;
（3）（4）
注意：當分式右側不為0時，可通過移項、通分合并的手段將右側變
為0；當分母符號確定時，可利用不等式的形式直接去分母.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
×
探究點一 不含參數的一元二次不等式的解法
例1（1）用因式分解法求下列不等式的解集.
① ；
解：因為 ，
所以原不等式等價于，解得或 ，
所以所求解集為 .
② .
解：原不等式等價于，即 ，
解得,所以所求解集為 .
（2）用配方法求解下列不等式的解集.
① ；
解：原不等式可化為 ,因為，
所以原不等式等價于 ，即，
解得 ，所以不等式的解集為 .
② .
解： 原不等式可化為 ，因為
,所以原不等式等價于 ，
顯然恒成立，所以不等式的解集為 .
（2）用配方法求解下列不等式的解集.
變式 求下列不等式的解集.
（1） ；
解：因為 ，
所以原不等式等價于 ，
所以原不等式的解集為 .
（2） .
解：原不等式可化為 ，
所以原不等式的解集為 .
［素養小結］
解不含參數的一元二次不等式的方法：
（1）若不等式對應的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉化為幾
個代數式的乘積的形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號
方向得到不等式的解集.
（2）若不等式對應的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何
值，完全平方式始終大于或等于零，則不等式的解集易得.
（3）若上述兩種方法均不易解決，則應采用求一元二次不等式的解
集的通法，即判別式法.
探究點二 簡單的分式不等式的解法
例2 求下列不等式的解集.
（1） ；
解：不等式等價于解得或 .
故原不等式的解集為或 ．
（2） .
解：由題意知,則，不等式 兩邊同時乘
，整理可得且 ，
解得.故原不等式的解集為 .
變式（1）已知關于的不等式的解集為 ，則關
于的不等式 的解集為( )
A.或 B.或
C.或 D.或
[解析] 因為關于的不等式的解集為 ，
所以則，
則 ，則 ，
所以所求不等式的解集為或 .故選A.
√
（2）若關于的不等式的解集是 ，
則關于的不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由題意可得 ，
即，，則 ，
即，
解得 或，
即關于的不等式的解集是 .故選B.
（3）不等式 的解集為___________________.
[解析] 因為 ，
所以原不等式可化為，即，
解得或 ，所以不等式的解集為 .
［素養小結］
求解分式不等式時，應首先判斷分母的符號，然后考慮是否直接去
分母；若分母符號無法直接判斷，則要移項后通分，最終都要轉化
為整式不等式進行求解.
探究點三 求解含參數的一元二次不等式問題
例3 設，求關于的不等式 的解集.
解：（1）當時，不等式可化為，解得 ，
故原不等式的解集為 ．
（2）當時， .
①當時，解不等式得 ，
故原不等式的解集為 ；
②當時，不等式無解，故原不等式的解集為 ；
③當時，解不等式得 ，
故原不等式的解集為 ；
④當時，解不等式得或 ，
故原不等式的解集為 .
變式 ［2025·江蘇揚州高一期中］ 已知非空集合
，.若，則
的值為____.
[解析] 由為非空集合可知 ，
故.
因為 ，所以,即，
且,是關于 的方程的兩個不相等的實數根，
所以 且，
解得,或, （舍去），所以 .
［素養小結］
（1）如果二次項系數含參，則要對其與0的大小關系進行比較，其
正負值決定了解集的形式是封閉型還是開放型的，常常也可以根據
解集的形式判斷二次項系數的正負.
（2）如果一次項系數或常數項含參數，要對兩個根的大小或 與0
的關系進行分類討論.
（3）明確一元二次方程的根與一元二次不等式的解集的關系.
探究點四 一元二次不等式與一元二次方程的關系
例4 已知關于的不等式的解集為, .
（1）求, 的值；
解：由題意知，一元二次方程的解為 ，
，由根與系數的關系得解得
（2）當時，求關于 的一元二次不等式
的解集.
解：由（1）知， ，
則原不等式可化為.
即 ，即 ，
因為，所以 .
例4 已知關于的不等式的解集為, .
當時，，解得或 ；
當時，不等式可化為，解得 ；
當時，，解得或 .
綜上，當時，不等式的解集為；
當 時，不等式的解集為；
當 時，不等式的解集為 .
變式 （多選題）已知不等式 的解集為
，其中 ，則以下結論正確的有( )
A.
B.
C.的解集為
D.的解集為
√
√
[解析] 因為不等式的解集為 ，
所以,是方程的兩個根，且 ，故A正確；
由得,，因為，
所以 ，所以，故B錯誤；
不等式 可化為，
即 ，即，
因為，所以 ，所以該不等式的解集為
，故C錯誤，D正確.故選 .
［素養小結］
（1）已知一元二次不等式的解集求另一個一元二次不等式的解集的
方法：將已知不等式的解集轉化為一元二次方程的兩根，從而由根
與系數的關系，找出系數，，之間的關系，寫出不等式的解集.
（2）不等式在上恒成立問題的解決方法:
在上恒成立或
在上恒成立或
拓展 若關于的不等式在上恒成立，求實數 的
取值范圍.
解：當時，原不等式可化為，
其解集不為 ，故不滿足題意；
當時，要使原不等式的解集為 ，
只需解得 .
綜上，實數的取值范圍為 .
1.不等式 的解集為( )
A.或 B.或
C. D.
[解析] 不等式可以化為 ，
即，解得或 .故選A.
√
2.已知，均為正實數，則“”是“ ”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
[解析] 因為，均為正實數，所以由得 .
若，則，
即 或.
所以“”是“ ”的既不充分也不必要條件．故選D.
√
3.已知關于的不等式對任意 恒成立，
則 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
[解析] 當時,不等式可化為 ,恒成立；
當時,要使關于的不等式 對任意
恒成立，只需 解得.
綜上，的取值范圍是 .故選A.
√
4.不等式 的解集是________.
[解析] 原不等式等價于且 ,
解得,故原不等式的解集為 .
5.［2025· 四川綿陽高一期末］已知關于 的一元二次不等式
有且僅有3個正整數解，則實數 的取值范圍是
______.
[解析] 由，可得，
當 時，不等式的解集為，不符合題意；
當 時，不等式的解集為，
其正整數解至多有1個，不符合題意；
當 時，不等式的解集為 ，
因為有且僅有3個正整數解，所以正整數解為1,2,3，所以.
綜上，實數的取值范圍是 .
對含參一元二次不等式常用的分類方法
1.按的系數的符號分類，即,,.
例1 （多選題）解關于的不等式 ，下列說
法正確的是( )
A.當時，不等式的解集為
B.當時，不等式的解集為
C.當時，不等式的解集為
D.當時，不等式的解集為
√
√
√
[解析] 不等式可化為 .
當時，不等式的解集為，故A正確．
當 時，不等式的解集為，故B正確.
當 時，不等式可化為，
因為 ，所以不等式的解集為空集，故C錯誤．
當 時，不等式可化為，
不等式的解集為 ，故D正確．故選 .
2.按判別式 的符號分類，即,, .
例2 解不等式 .
分析：本題中由于的系數大于0,故只需對 進行分類討論.
解：， 當，即時，解集為 ；
當，即時，解集為；
當或 ，即時,方程的兩根分別為
，，顯然,
不等式的解集為 .
3.按方程的兩根, 的大小來分類，即
,, .
例3 解不等式 .
分析：原不等式可化為 ，故對應的方程必有兩根.
本題只需討論兩根的大小.
解：原不等式可化為，令，可得，
當或時，，不等式的解集為 ；
當或時，,不等式的解集為 ；
當 或時,,不等式的解集為 .
練習冊
1.“”是“ ”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
[解析] 由，解得，由，解得 .
因為是的真子集，
所以“”是“ ”的必要不充分條件.故選B.
√
2.若集合，， ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
則，由題知，2，3，4， ，
.故選B.
√
3.已知當時，恒成立，則實數 的取值范圍是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 設的解集為，因為當時，
恒成立，所以.
由，可得 ，即.
當時，，可得 ；
當時，，不符合題意；
當 時，無解，不符合題意.
綜上所述，實數的取值范圍是 .故選C.
4.［2024· 福建福州高一期末］已知關于 的一元二次不等式
的解集中有且僅有4個正整數，則 的取值范圍
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，因為關于
的一元二次不等式 的解集中有且僅有4個正整數，
所以，所以不等式的解為，所以 .故選D.
√
★5.已知關于的一元二次不等式的解集為 ，
則關于的不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 關于的一元二次不等式 的解集為，
，且，3是一元二次方程 的兩個實數根，
，，，
不等式可化為，
即 ，解得，
關于的不等式的解集為 . 故選D.
［點睛］ 解決此類參數問題的思路：首先根據所給解集判斷二次項
系數的符號，再由根與系數的關系求出， ，將所求不等式中的參
數消去，求不等式即可.
6.若不等式對任意的 恒成立，
則實數 的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 當，即時，
不等式為 ，恒成立，滿足題意；
當，即 時，
若不等式對任意的 恒成立，
則，
即 ，解得；
當，即 時，顯然不滿足題意.
綜上所述，實數的取值范圍是 .故選C.
7.（多選題）已知關于的不等式 的解集為
或 ，則( )
A.
B.關于的不等式的解集為
C.
D.關于的不等式的解集為
√
√
√
[解析] 因為關于的不等式的解集為
或，所以，故A選項正確；
由題知和4是關于 的方程的兩根，
由根與系數的關系，得 則
所以 ，故C選項錯誤；
不等式即，解得 ，故B選項正確；
不等式，即，
即 ，解得或，故D選項正確．故選 .
8.對于，不等式恒成立，則實數 的
取值范圍是_______.
[解析] 對于，不等式 恒成立，
等價于 .
因為 ，
當且僅當時，等號成立，所以，
解得 ，故實數的取值范圍是 .
9.（13分）［2025·江蘇淮安高一期中］ 解下列不等式.
（1） ;
解：，
解得 ，所以不等式的解集為 .
（2） ;
解：，
解得 ，所以不等式的解集為 .
（3） .
解：原不等式可轉化為，且 ，
解得，所以不等式的解集為 .
9.（13分）［2025·江蘇淮安高一期中］ 解下列不等式.
10.如圖，據氣象部門預報，在距離某碼頭南
偏東 方向 處的熱帶風暴中心正以
的速度向正北方向移動，距風暴中
心 以內的地區都將受到影響，據以上
預報估計，該碼頭將受到熱帶風暴的影響時
長大約為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 記現在熱帶風暴中心的位置為點，
小時后熱帶風暴中心到達點位置，
過點 作的垂線，垂足為.
由題意， ，
則， ，
若該碼頭受到熱帶風暴的影響，則 ，
即 ，即 ，
整理得，
解得 ，
所以該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間
大約為 .
故選D.
11.（多選題）已知關于的不等式 的
解集是 ，則( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因為關于的不等式
的解集是，所以，
且，是關于 的方程，
即 的兩根，所以，故A，B正確；
因為 ，所以
，故C正確；
函數的圖象與軸的交點坐標為
， ，因為函數 的圖象是將
函數 的圖象向上平移一個單位得到的，
所以的圖象與軸的交點的橫坐標
，，故D錯誤.故選 .
12.已知是不等式的一個解，則 的
取值范圍是_______________________.
[解析] 由已知得，
即 ，解得或，
又，所以 的取值范圍是 .
13.不等式 的解集為___________________________.
或
[解析] 原不等式可化為 ,
此不等式等價于或
解得 或 即或，
故原不等式的解集為 或 .
14.（15分）已知關于的不等式 的解集為
.
（1）求, 的值；
解： 關于的不等式的解集為，
和是關于的方程 的兩個根，
根據根與系數的關系可知解得
（2）求關于的不等式 的解集.
解：由（1）可知, ，
即, .
①當，即時，
的解集為且 ;
②當，即時，
的解集為或 ;
14.（15分）已知關于的不等式 的解集為
.
③當，即時，
的解集為或 .
綜上,當時，原不等式的解集為且;
當 時,原不等式的解集為或;
當 時,原不等式的解集為或 .
15.已知關于的不等式組的整數解恰好有兩個，則實數
的取值范圍是______．
[解析] 由可得
當時， ，原不等式組無解，不符合題意；
當時， ，原不等式組的解集為
，沒有兩個整數解，不符合題意；
當時， ，原不等式組的解集為
，沒有兩個整數解，不符合題意；
當 時，，原不等式組的解集為
，因為原不等式組的解集中恰好有兩個整數解，
所以這兩個整數解為0,1，所以解得.
綜上所述，實數 的取值范圍是.
16.（15分）［2024·吉林通化高一期末］ 已知一元二次不等式
的解集為，關于 的不等式
的解集為（其中 ）.
（1）求集合 .
解：，即 .
①當時，解得 ；②當時，解得或 ；
③當時，解得 ；④當 時，不等式無解；
⑤當時，解得 .
綜上所述，當時，；當 時，
；當時， ；
當時， ；當時， .
（2）是否存在實數，使得 ？若存在，求 的取值范圍；
若不存在，請說明理由.
16.（15分）［2024·吉林通化高一期末］ 已知一元二次不等式
的解集為，關于 的不等式
的解集為（其中 ）.
解：由，得或，
所以 或 .
由（1）可知，當，，時，都滿足 ，
當時，，
若 ，則 ，所以 .
綜上，實數的取值范圍是或 .
快速核答案(導學案)
課前預習 知識點一
知識點二 1. 2.（1）或 （2）
（3）
【診斷分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ （6）×
知識點三【診斷分析】 （1）√ （2）×
課中探究 探究點一 例1（1）① ② （2）① ②
變式 （1）（2）
探究點二 例2（1）或（2） 變式（1）A（2）B（3）
探究點三 例3 略 變式 探究點四 例4 （1）（2）略 變式 AD 拓展
課堂評價 1.A 2.D 3.A 4. 5.
備用習題 例1 ABD 例2 例3 略
快速核答案(練習冊)
基礎鞏固 1.B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.ABD 8.
9.（1） （2）（3）
綜合提升 10.D 11.ABC 12. 13.或
14.（1）（2）當時，原不等式的解集為且;當時,原不等式的
解集為或;當時,原不等式的解集為或.
思維探索 15. 16.（1）當時，；當時，；
當時，；當時， ；當時，.
（2）存在， >或2.2.3　一元二次不等式的解法
【課前預習】
知識點一
ax2+bx+c>0　<　≥　≤
知識點二
1.(x1,x2)　(-∞,x1)∪(x2,+∞)
2.(1)x>或x<-　(2)-(3)>　x>
x<　<
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
[解析] (1)當k=0時,該不等式不是一元二次不等式.
(2)因為x的最高次數是1,所以m2x+2x-3<0不是關于x的一元二次不等式.
(3)當a>0時,任意實數x都能使不等式ax2+1>0成立,所以不等式ax2+1>0的解集是R.
(4)因為x2+x+1=+≥,所以不等式x2+x+1<0的解集為 .
(5)易知正確.
(6)(x-a)(x-b)>0 或
知識點三
診斷分析
(1)√　(2)×
【課中探究】
例1　解:(1)①因為(x-1)2-(3x-3)=(x-1)(x-1-3)=(x-1)(x-4),所以原不等式等價于(x-1)(x-4)>0,解得x>4或x<1,所以所求解集為(-∞,1)∪(4,+∞).
②原不等式等價于x2-7x+6<0,即(x-6)(x-1)<0,解得1(2)①原不等式可化為x2-5x+5<0,因為x2-5x+5=-,所以原不等式等價于<,即<,解得②原不等式可化為x2-x+1>0,因為x2-x+1=+,所以原不等式等價于+>0,
顯然恒成立,所以不等式的解集為R.
變式　解:(1)因為2x2+7x+3=(2x+1)(x+3),
所以原不等式等價于(2x+1)(x+3)>0,
所以原不等式的解集為.
(2)原不等式可化為≤0,
所以原不等式的解集為.
例2　解:(1)不等式≥0等價于解得x≤-1或x>3.故原不等式的解集為{x|x≤-1或x>3}.
(2)由題意知x+1≠0,則(x+1)2>0,不等式<3兩邊同時乘(x+1)2,整理可得2(x-1)(x+1)<0且x+1≠0,解得-1變式　(1)A　(2)B　(3)(-∞,-1)∪(3,+∞)
[解析] (1)因為關于x的不等式ax+b>0的解集為{x|x>1},所以則=>0,則>0,則(x-6)(x+1)(x-1)>0,所以所求不等式的解集為{x|-16}.故選A.
(2)由題意可得x2+px+q=(x+1)(x-2)=x2-x-2,即p=-1,q=-2,則=>0,即(x2-x-12)(x-2)=(x+3)(x-4)(x-2)>0,解得-34,即關于x的不等式>0的解集是(-3,2)∪(4,+∞).故選B.
(3)因為x2+x+1=+>0,所以原不等式可化為2x2-x-2>x2+x+1,即x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3,所以不等式的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).
例3　解:(1)當a=0時,不等式可化為x-2>0,解得x>2,故原不等式的解集為{x|x>2}.
(2)當a≠0時,ax2+(1-2a)x-2=(ax+1)(x-2).
①當a<-時,解不等式得-故原不等式的解集為;
②當a=-時,不等式無解,故原不等式的解集為 ;
③當-故原不等式的解集為;
④當a>0時,解不等式得x<-或x>2,
故原不等式的解集為.
變式　-3　[解析] 由A={x|m例4　解:(1)由題意知,一元二次方程ax2+4x-3=0的解為x1=1,x2=b,
由根與系數的關系得解得
(2)由(1)知a=-1,b=3,則原不等式可化為cx2-(3c+1)x+3≥0.即(cx-1)(x-3)≥0,即c(x-3)≥0,
因為c>0,所以(x-3)≥0.
當03,解得x≤3或x≥;
當c=時,不等式可化為(x-3)2≥0,解得x∈R;
當c>時,<3,解得x≤或x≥3.
綜上,當0時,不等式的解集為∪[3,+∞).
變式　AD　[解析] 因為不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|m0,所以n>0,所以c=mna<0,故B錯誤;不等式cx2+bx+a<0可化為mnax2-(m+n)ax+a<0,即mnx2-(m+n)x+1>0,即(mx-1)(nx-1)>0,因為0,所以該不等式的解集為,故C錯誤,D正確.故選AD.
拓展　解:當a=0時,原不等式可化為2x+2>0,其解集不為R,故a=0不滿足題意;當a≠0時,要使原不等式的解集為R,只需解得a>.
綜上,實數a的取值范圍為.
【課堂評價】
1.A　[解析] 不等式x(4-x)<3可以化為x2-4x+3>0,即(x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3.故選A.
2.D　[解析] 因為a,b均為正實數,所以由<得a>b>0.若a2+2b2>3ab,則(a-b)(a-2b)>0,即a>2b>0或b>a>0.所以“<”是“a2+2b2>3ab”的既不充分也不必要條件.故選D.
3.A　[解析] 當k=0時,不等式kx2-3kx+2k+1≥0可化為1≥0,恒成立;當k≠0時,要使關于x的不等式kx2-3kx+2k+1≥0對任意x∈R恒成立,只需
解得04.　[解析] 原不等式等價于(x-1)(2x+1)≤0且x≠-,解得-5.[3,4)　[解析] 由x2-(a+1)x+a≤0,可得(x-1)(x-a)≤0,當a=1時,不等式的解集為{1},不符合題意;當a<1時,不等式的解集為{x|a≤x≤1},其正整數解至多有1個,不符合題意;當a>1時,不等式的解集為{x|1≤x≤a},因為有且僅有3個正整數解,所以正整數解為1,2,3,所以3≤a<4.綜上,實數a的取值范圍是[3,4).2.2.3　一元二次不等式的解法
1.B　[解析] 由|x|<3,解得-32.B　[解析] ∵(2x+1)(x-3)<0,∴-3.C　[解析] 設>0的解集為A,因為當x∈(-1,5]時,>0恒成立,所以(-1,5] A.由>0,可得(1+x)(a-x)>0,即(1+x)(x-a)<0.當a>-1時,A=(-1,a),可得a>5;當a<-1時,A=(a,-1),不符合題意;當a=-1時,無解,不符合題意.綜上所述,實數a的取值范圍是(5,+∞).故選C.
4.D　[解析] 由x2-(a+1)x+a≤0,得(x-a)(x-1)≤0,因為關于x的一元二次不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且僅有4個正整數,所以a>1,所以不等式的解為1≤x≤a,所以4≤a<5.故選D.
5.D　[解析] ∵關于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,3),∴a<0,且-2,3是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數根,∴=-(-2+3)=-1,=-6,a<0,∴不等式cx2-bx+a<0可化為-6x2+x+1>0,即6x2-x-1<0,解得-[點睛] 解決此類參數問題的思路:首先根據所給解集判斷二次項系數的符號,再由根與系數的關系求出,,將所求不等式中的參數消去,求不等式即可.
6.C　[解析] 當m-1=0,即m=1時,不等式為-1<0,恒成立,滿足題意;當m-1<0,即m<1時,若不等式(m-1)x2+3(m-1)x-m<0對任意的x∈R恒成立,則Δ=[3(m-1)]2-4(m-1)·(-m)<0,即(m-1)(13m-9)<0,解得0,即m>1時,顯然不滿足題意.綜上所述,實數m的取值范圍是.故選C.
7.ABD　[解析] 因為關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>4},所以a>0,故A選項正確;由題知-2和4是關于x的方程ax2+bx+c=0的兩根,由根與系數的關系,得則所以a+b+c=-9a<0,故C選項錯誤;不等式bx+c>0即-2ax-8a>0,解得x<-4,故B選項正確;不等式cx2-bx+a<0,即-8ax2+2ax+a<0,即8x2-2x-1>0,解得x<-或x>,故D選項正確.故選ABD.
8.[-1,3]　[解析] 對于x∈R,不等式|x-2|+|x+1|≥a2-2a恒成立,等價于a2-2a≤(|x-2|+|x+1|)min.因為|x-2|+|x+1|=|2-x|+|x+1|≥|2-x+x+1|=3,當且僅當-1≤x≤2時,等號成立,所以a2-2a≤3,解得-1≤a≤3,故實數a的取值范圍是[-1,3].
9.解:(1)x2+4x-5=(x+5)(x-1)<0,解得-5(2)x2-x+=>0,解得x≠,
所以不等式的解集為.
(3)原不等式可轉化為(x-2)(2x+3)≤0,且x≠-,
解得-10.D　[解析] 記現在熱帶風暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風暴中心到達B點位置,過點B作OC的垂線,垂足為C.由題意,OA=600 km,則OC=AC=300 km,AB=30t km,若該碼頭受到熱帶風暴的影響,則OB≤450 km,即≤450,即≤450,整理得t2-20t+175≤0,解得10-5≤t≤10+5,所以該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間大約為(10+5)-(10-5)=10(h).故選D.
11.ABC　[解析] 因為關于x的不等式a(x-1)(x-2)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1=>1,故C正確;函數y=a(x-1)(x-2)(a<0)的圖象與x軸的交點坐標為(1,0),(2,0),因為函數y=a(x-1)(x-2)+1的圖象是將函數y=a(x-1)(x-2)的圖象向上平移一個單位得到的,所以y=a(x-1)(x-2)+1的圖象與x軸的交點的橫坐標x1<1,x2>2,故D錯誤.故選ABC.
12.(-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞)　[解析] 由已知得k2-6k+8≥0,即(k-2)(k-4)≥0,解得k≤2或k≥4,又k≠0,所以k的取值范圍是(-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞).
13.{x|1即114.解:(1)∵關于x的不等式ax2-3x+2<0的解集為{x|1(2)由(1)可知a=1,∴ax2-mx+m-a>0,即x2-mx+m-1>0,∴(x-1)[x-(m-1)]>0.
①當m-1=1,即m=2時,(x-1)[x-(m-1)]=(x-1)2>0的解集為{x|x∈R且x≠1};
②當m-1>1,即m>2時,(x-1)[x-(m-1)]>0的解集為{x|x<1或x>m-1};
③當m-1<1,即m<2時,(x-1)[x-(m-1)]>0的解集為{x|x1}.
綜上,當m=2時,原不等式的解集為{x|x∈R且x≠1};當m>2時,原不等式的解集為{x|x<1或x>m-1};當m<2時,原不等式的解集為{x|x1}.
15.(1,2]　[解析] 由可得
當a≤0時,a<1-a≤1-3a,原不等式組無解,不符合題意;當0時,1-3a<1-a16.解:(1)mx2-(m+2)x+2<0,即(mx-2)(x-1)<0.
①當m=0時,解得x>1;
②當m<0時,解得x>1或x<;
③當0④當m=2時,不等式無解;
⑤當m>2時,解得綜上所述,當m=0時,B={x|x>1};當m<0時,B=;當02時,B=.
(2)由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,所以A={x|x<1或x>2}.
由(1)可知,當m=0,m<0,m>2時,都滿足A∩B≠ ,
當02,所以0綜上,實數m的取值范圍是{m|m<1或m>2}.2.2.3　一元二次不等式的解法
【學習目標】
1.能從實際情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的現實意義;
2.會用因式分解法和配方法解一元二次不等式;
3.會解簡單的分式不等式.
◆ 知識點一　一元二次不等式的概念
一般地,形如　　　　　　　的不等式稱為一元二次不等式,其中a,b,c是常數,而且a≠0.一元二次不等式中的不等號也可以是“　　　　”“　　　　”“　　　　”等.
◆ 知識點二　一元二次不等式的解法
1.因式分解法解一元二次不等式
一般地,如果x10的解集是　　　　　　　　　.
2.配方法解一元二次不等式
(1)x2>a(a>0) |x|> 　　　　　　　;
(2)x20) |x|< 　　　　　　;
(3)若函數y=ax2+bx+c=a-+c(a>0,b2-4ac>0),則ax2+bx+c>0 　　　　　　　 　　　　　　　或　　　　　　　;ax2+bx+c<0 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)kx2-x+1≥0是關于x的一元二次不等式. (　 )
(2)不等式m2x+2x-3<0是關于x的一元二次不等式. (　 )
(3)若a>0,則一元二次不等式ax2+1>0無解.(　 )
(4)不等式x2+x+1<0的解集為 . (　 )
(5)所有的一元二次不等式都能應用配方法求解.(　 )
(6)不等式(x-a)(x-b)>0 (　 )
◆ 知識點三　分式不等式的解法
解分式不等式的實質就是將分式不等式轉化為整式不等式.
設A,B均為含x的多項式
(1)>0 AB>0;(2)<0 AB<0;
(3)≥0 (4)≤0
注意:當分式右側不為0時,可通過移項、通分合并的手段將右側變為0;當分母符號確定時,可利用不等式的形式直接去分母.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)>0 x(x+1)>0. (　 )
(2)≤0 x(x+1)≤0. (　 )
◆ 探究點一　不含參數的一元二次不等式的解法
例1 (1)用因式分解法求下列不等式的解集.
①(x-1)2>3x-3;②-x2+7x>6.
(2)用配方法求解下列不等式的解集.
①(x-1)2<3x-4;②-2x2+3x-2<0.
變式 求下列不等式的解集.
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-≥0.
[素養小結]
解不含參數的一元二次不等式的方法:
(1)若不等式對應的一元二次方程能夠因式分解,即能夠轉化為幾個代數式的乘積的形式,則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集.
(2)若不等式對應的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值,完全平方式始終大于或等于零,則不等式的解集易得.
(3)若上述兩種方法均不易解決,則應采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法.
◆ 探究點二　簡單的分式不等式的解法
例2 求下列不等式的解集.
(1)≥0;(2)<3.
變式 (1)已知關于x的不等式ax+b>0的解集為{x|x>1},則關于x的不等式>0的解集為 (　 )
A.{x|-16}
B.{x|x<-1或1C.{x|x<-1或2D.{x|-13}
(2)若關于x的不等式x2+px+q<0的解集是{x|-10的解集是(　 )
A.(-3,-2)∪(4,+∞)
B.(-3,2)∪(4,+∞)
C.(-3,0)∪(2,4)
D.(-∞,-2)∪(3,4)
(3)不等式>1的解集為　　　　　　　.
[素養小結]
求解分式不等式時,應首先判斷分母的符號,然后考慮是否直接去分母;若分母符號無法直接判斷,則要移項后通分,最終都要轉化為整式不等式進行求解.
◆ 探究點三　求解含參數的一元二次不等式問題
例3 設a∈R,求關于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集.
變式 [2025·江蘇揚州高一期中] 已知非空集合A={x|m[素養小結]
(1)如果二次項系數含參,則要對其與0的大小關系進行比較,其正負值決定了解集的形式是封閉型還是開放型的,常常也可以根據解集的形式判斷二次項系數的正負.
(2)如果一次項系數或常數項含參數,要對兩個根的大小或Δ與0的關系進行分類討論.
(3)明確一元二次方程的根與一元二次不等式的解集的關系.
◆ 探究點四　一元二次不等式與一元二次方程的關系
例4 已知關于x的不等式ax2+4x-3>0的解集為{x|11}.
(1)求a,b的值;
(2)當c>0時,求關于x的一元二次不等式cx2-(bc-a)x+b≥0的解集.
變式 (多選題)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|m0,則以下結論正確的有 (　 )
A.a<0
B.c>0
C.cx2+bx+a<0的解集為
D.cx2+bx+a<0的解集為
[素養小結]
(1)已知一元二次不等式的解集求另一個一元二次不等式的解集的方法:將已知不等式的解集轉化為一元二次方程的兩根,從而由根與系數的關系,找出系數a,b,c之間的關系,寫出不等式的解集.
(2)不等式在R上恒成立問題的解決方法:
①ax2+bx+c>0在R上恒成立 或
②ax2+bx+c<0在R上恒成立 或
拓展 若關于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求實數a的取值范圍.
1.不等式x(4-x)<3的解集為 (　 )
A.{x|x<1或x>3}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|1D.{x|02.已知a,b均為正實數,則“<”是“a2+2b2>3ab”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.已知關于x的不等式kx2-3kx+2k+1≥0對任意x∈R恒成立,則k的取值范圍是 (　 )
A.[0,4]
B.[0,3]
C.(-∞,0]∪[3,+∞)
D.(-∞,0]∪[4,+∞)
4.不等式≤0的解集是　　　　.
5.[2025·四川綿陽高一期末] 已知關于x的一元二次不等式x2-(a+1)x+a≤0有且僅有3個正整數解,則實數a的取值范圍是　　　　. 2.2.3　一元二次不等式的解法
1.“|x|<3”是“x2A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N*,x≤5},則A∩B= (　 )
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
3.已知當x∈(-1,5]時,>0恒成立,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
4.[2024·福建福州高一期末] 已知關于x的一元二次不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且僅有4個正整數,則a的取值范圍是 (　 )
A.-3≤a<-2
B.-3C.4D.4≤a<5
★5.已知關于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,3),則關于x的不等式cx2-bx+a<0的解集是 (　 )
A.∪
B.∪
C.
D.
6.若不等式(m-1)x2+3(m-1)x-m<0對任意的x∈R恒成立,則實數m的取值范圍為 (　 )
A.∪(1,+∞) B.
C. D.
7.(多選題)已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>4},則 (　 )
A.a>0
B.關于x的不等式bx+c>0的解集為{x|x<-4}
C.a+b+c>0
D.關于x的不等式cx2-bx+a<0的解集為
8.對于x∈R,不等式|x-2|+|x+1|≥a2-2a恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　.
9.(13分)[2025·江蘇淮安高一期中] 解下列不等式.
(1)x2+4x-5<0;
(2)x2-x+>0;
(3)≤0.
10.如圖,據氣象部門預報,在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風暴中心正以30 km/h的速度向正北方向移動,距風暴中心450 km以內的地區都將受到影響,據以上預報估計,該碼頭將受到熱帶風暴的影響時長大約為 (　 )
A.10 h B.(10-5)h
C.(10+5)h D.10 h
11.(多選題)已知關于x的不等式a(x-1)(x-2)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1A.a<0 B.x1+x2=3
C.x2-x1>1 D.112.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的一個解,則k的取值范圍是　　　 　　　.
13.不等式≥0的解集為　　　　.
14.(15分)已知關于x的不等式ax2-3x+2<0的解集為{x|1(1)求a,b的值;
(2)求關于x的不等式ax2-mx+m-a>0的解集.
15.已知關于x的不等式組的整數解恰好有兩個,則實數a的取值范圍是　　　　.
16.(15分)[2024·吉林通化高一期末] 已知一元二次不等式x2-3x+2>0的解集為A,關于x的不等式mx2-(m+2)x+2<0的解集為B(其中m∈R).
(1)求集合B.
(2)是否存在實數m,使得A∩B≠ 若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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