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2025.8.26
2025年廣東省中學生數(shù)學夏令營數(shù)學測試2
一試試題
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.
→一
1.給定正實數(shù)k,若非零向量x,y,z滿足k·x+y+z=x·y+y·z+z·x=u,則實
數(shù)u的最小值為
2.已知正方體ABCD-A,B,CD,的邊長為16，點X,Y,Z分別在邊AB,BC,CC1上，
且滿足AX=4,BY=12,CZ=8，,則平面XYZ截正方體ABCD-AB,C,D所得截面的面
積為
x≥0
3.平面坐標系xOy上滿足
2+1-x兒N2+1-)s1的所有點(x,)構(gòu)成圖形的面
y≤3-2x
積為
4.已知n+1項正整數(shù)數(shù)列a,a,,an滿足1=a。(1≤k≤n),則當n取最大值時，滿足條件的不同的數(shù)列{an}的種數(shù)是
5.設(shè)復(fù)數(shù)u,y滿足|u+v|=2,u2+v2|=28,則川u3+v3|的最小值為
6.設(shè)非空集合T≤{-9，-8，，-1,0,1,2，，9}滿足minT.maxT=-T|,則滿足條件
的集合T的個數(shù)是
7.函數(shù)f)=sin3x-12sin2x+19sinx(x∈R)的值域是
3
12201
8.不超過二+》
=的最大整數(shù)是
4白28
二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步
驟.
2
9.(本小題滿分16分)給定整數(shù)n≥2025，數(shù)列x,}滿足，
2,七+1=x+
(k+1)2
(k∈N),實數(shù)a是方程a+a=1的根，試比較x,與a的大小并證明.
n
10.(本小題滿分20分)已知一只跳蚤在七邊形AB,B2B,CB,B的七個頂點上跳躍，
初始時跳蚤在A點處，若跳蚤未到C點前，其每次均可以跳向與所在點相鄰的兩個頂點之
一；而當其到達C點時，該跳蚤便永久停留在C處，不再跳躍.則一共有多少種不同的跳
躍方式，使得該跳蚤最終停留在C點，且總跳躍數(shù)量不超過13次？
A
B
B5
B2
B4
B3
Ⅱ.（本小題滿分20分）已知橢圓r:女+
=1,點F(3,0),F(-3,0),過點F的
2516
直線l交T于X,Y兩點.
(1)求△XYF內(nèi)心的軌跡方程；
(2)當△XYF的內(nèi)切圓半徑最大時，求1的方程.
2025年廣東省中學生數(shù)學夏令營數(shù)學測試2
加試試題
一、（本題滿分40分）
如圖，在△ABC中，BC中點為M,弧BAC的中點為N.L為CN上一點，△LMW
的外心為O.證明：△LNO的外接圓與△ABC的A-雞爪圓相切.
M
二、（本題滿分40分）
給定整數(shù)n≥3，設(shè)x,x2,,xn是正實數(shù)，對整數(shù)1≤k≤n,記Mk=max{x,},
1si≤k
mk=min{x,},證明：
M-Vma
k(k+1)
三、（本題滿分50分)
給定正整數(shù)m,試求所有整數(shù)n,滿足對任意正整數(shù)a,b,c,關(guān)于x的同余方程
ma'+nx=b(modc)均有無窮多個正整數(shù)解.
四、（本題滿分50分)
給定正整數(shù)a,若正整數(shù)m,n及存在一個恰鑲嵌a枚金幣的m×n方格表棋盤，這里每
枚金幣恰鑲嵌在不同的方格中心，使得若從該左上格至右下格按從左往右再從上往下標數(shù)
1,2,3,mn,則任意連續(xù)n個數(shù)字的方格中必有一格鑲嵌金幣；若從該表左下格至右上格按
從下往上再從左往右標數(shù)1,2,3，，mn,也滿足任意連續(xù)m個數(shù)字的方格中必有一格鑲嵌金
幣.求不同的這樣的方格表棋盤數(shù).

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