資源簡介

(共63張PPT)
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其應用
第1課時 均值不等式
探究點一 對均值不等式的理解
探究點二 利用均值不等式求最值
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.掌握均值不等式 及其推導過程、幾何
意義；
2.能運用均值不等式證明不等式和求最值.
知識點一 基本概念
1.算術平均值與幾何平均值
給定兩個正數，，數稱為，的____________；數 稱為
， 的____________.
算術平均值
幾何平均值
2.均值不等式
如果，都是正數，那么___________，當且僅當 時，等號成
立.均值不等式也稱為基本不等式，其實質是：兩個正實數的______
平均值不小于它們的______平均值.
算術
幾何
3.均值不等式的一個幾何意義
如果矩形的長和寬分別為和，那么矩形的面積為， 可以
看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個幾何
意義為所有周長一定的矩形中，________的面積最大.
正方形
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）和成立的條件都是， .
( )
×
[解析] 成立的條件是,，
成立的條件是， .
【診斷分析】
（2）若，則 .( )
[解析] 只有當時，才有不等式 成立．
（3）若，，則 .( )
[解析] 因為，所以 .
×
√
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
知識點二 均值不等式與最值
1.已知， 都是正數.
（1）如果和等于定值，那么當時，積有最____值 .
（2）如果積等于定值，那么當時，和 有最____值
.
大
小
2.利用均值不等式求積的最大值或和的最小值時，需注意：
（1）， 必須是______.
（2）求積的最大值時，應看和是否為______；求和 的
最小值時，應看積 是否為______.
（3）______成立的條件是否滿足.
正數
定值
定值
等號
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）兩個正數的積為定值，它們的平方和有最小值.( )
√
[解析] 若,,則,當且僅當 時取等號，
故該說法正確．
（2）當時， .( )
[解析] 當時，，因為 ，
所以 ，故該說法正確.
√
（3）當時，函數，所以 的最小值是
.( )
×
[解析] 因為當時， ，
所以 ，
當且僅當，即時取等號，所以 的最小值是3.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（4）當時， 的最小值為2.( )
×
[解析] ，當且僅當時取等號，與 矛盾，
所以該說法錯誤．
（5）兩個負數的和為定值，則它們的積有最大值.( )
√
[解析] 設，，， 為定值，
則，當且僅當 時取等號，
所以，所以 .
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
探究點一 對均值不等式的理解
例1（1）已知，則，， 這三個數的大小關系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 當，均是正數時，由均值不等式得 ，
當且僅當時取等號,令，得，
又 ，所以 ，故等號不能取到.故選C.
√
（2）（多選題）下列式子中正確的有( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 對于A,, ,故A錯誤；
對于B，當時，，當且僅當 時取等號，
當時,,當且僅當 時取等號,故B正確；
對于C,若,則 ,故C錯誤；
對于D,,當且僅當 時取等號,
故D正確.故選 .
變式 給出下面三個推導過程：
①若，為正實數，則 ;
②若,,則 ;
③若，， ，則
.
其中正確的為( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
√
[解析] 根據均值不等式的定義可知①正確.
對于②，當 時， ，所以②錯誤.
對于③，根據均值不等式的知識可知③正確. 故選B.
［素養小結］
（1）在理解均值不等式時，要從形式到內涵中理解，特別要關注條件.
（2）運用均值不等式比較大小時應注意成立的條件，即
成立的條件是，，等號成立的條件是
；成立的條件是，，等號成立的條件是
.
探究點二 利用均值不等式求最值
角度1 直接應用均值不等式求解最值
例2（1）當時，求 的最小值；
解：，,， ，
當且僅當，即時，等號成立，
故當時， 的最小值為 .
（2）當時，求 的最大值；
解：，，則 ，
當且僅當，即時，等號成立， ，
故當時，的最大值為 .
（3）已知在時取得最小值，求 的值．
解： ，當且僅當，
即時，等號成立，故 .
變式 已知點在曲線上，求 的取值范圍.
解： ，
因為點在曲線上，其中，
當 時， .
當時，，當且僅當，即 時等號成立，
又，所以，此時 .
當時，同理可得 ，
則，所以.
綜上， 的取值范圍是 .
［素養小結］
在利用均值不等式求最值時要注意三點：
一是各項均為正；二是尋求定值，求和式最小值時應使積為定值，
求積式最大值時應使和為定值；三是考慮等號成立的條件是否具備.
角度2 拼湊法求最值
例3（1）當時， 的最大值為___．
[解析] 因為，所以， ，
則 ，
當且僅當，即時，等號成立．
故的最大值為 .
（2）當時，求 的最小值.
解：，，
，，
當且僅當，即 時，等號成立．
故 的最小值為10.
變式（1）已知，則 的最大值為___.
[解析] ， ，
,
當且僅當，即時，等號成立.
故當時， 取得最大值 .
（2）已知，則 的最大值為___.
1
[解析] 因為，所以 ，
則 ,
當且僅當，即時，等號成立.
故 的最大值為1.
（3） 的最小值為_________.
[解析] , 當且僅當，即時，等號成立.
故 的最小值為 .
［素養小結］
通過拼湊法利用均值不等式求最值的策略：
（1）拼湊時注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價
變形.
（2）代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標.
（3）拆項、添項應注意檢驗利用均值不等式的前提.
1.下列不等式中恒成立的個數是( )
（1）；（2） ；
（3）；（4） .
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 對于（3）,，（當且僅當 時，
等號成立），故（3）恒成立.其余3個不等式都不恒成立.故選A.
√
2.［2025·云南昆明高一期中］已知，則函數 有( )
A.最大值 B.最大值 C.最小值6 D.最小值8
[解析] .
因為 ，所以， ，
所以 ，
當且僅當，即 時，等號成立.
所以，所以函數有最大值 .故選B.
√
3.下列式子的最小值為4的是( )
A. B. C. D.
[解析] 在A中，當時，；
在B中，當 時，；
在C中， ，當且僅當時，等號成立；
在D中，當時， .故選C.
√
4.（多選題）若,，且 ，則下列不等式恒成立的
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，當且僅當時取等號，
得 ，則，故D中不等式不恒成立；
,故A中不等式恒成立；
由，可得 ，故B中不等式恒成立；
由,可得 ,故C中不等式恒成立.故選 .
√
√
√
5.已知，，且，則 的最小值為___，此時
___.
4
3
[解析] ,，且，
，
當且僅當,時取等號，
的最小值為4,此時 .
比較大小除了用作差比較法,也可利用均值不等式.在應用定理時應特
別注意定理成立的條件,避免因條件遺漏導致解題結果錯誤,例如
就要求,,而等號成立的充要條件是 .
例1 已知，是不相等的正數，， ，試比較
， 的大小．
解：因為，是不相等的正數，所以，，
由 得，
又因為 ，所以，所以，故 .
例2 數學里有一種證明方法為無字證明，是指僅用圖形而無需文字
解釋就能不證自明的數學命題.在同一平面內有形狀、大小相同的圖
①和圖②，其中四邊形為矩形， 為等腰直角三角形，設
， ，則借助這兩個圖形可以直接無字
證明的不等式是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 為等腰直角三角形,
且 ,，
圖①中圖形的面積為
，四邊形的面積為 .
觀察圖形，顯然圖①的陰影部分面積不小于圖②的陰影部分面積，
，當且僅當 時，取等號.故選A.
例3 （多選題）早在公元前6世紀，畢達哥拉斯學派就已經知道算術
中項、幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在
《論音樂》中定義了上述三類中項，后人在此基礎上推導出一個基
本不等式鏈，即已知正實數,，有 ，當
且僅當時等號成立.已知,，且 ，則
下列說法正確的是( )
A.的最小值為2 B.的最大值為
C.的最大值為6 D.的最小值為
√
√
√
[解析] 對于A，因為，所以 ，
當且僅當時，等號成立，所以 的最小值為2，故A正確；
對于B，因為，所以，所以 ，
當且僅當時，等號成立，所以的最大值為 ，故B正確；
對于C，因為
，當且僅當 時，等號成立，
所以 的最小值為6，故C錯誤；
對于D,因為,所以,當且僅當
時,等號成立,所以的最小值為,故D正確.故選 .
練習冊
1.在不等式中，, 需滿足( )
A., B., C. D.
[解析] 在均值不等式中，我們規定,,
但當, 時也滿足 .故選B.
√
2.已知，均為正數，且滿足，則 的最大值為( )
A. B.2 C. D.
[解析] ,均為正數,,
（當且僅當 時等號成立）.故選B.
√
3.若，則 的最小值為( )
A.3 B. C.4 D.
[解析] ，
，當且僅當，即時等號成立，
的最小值為4.故選C.
√
4.［2025·江蘇南通高一期中］當時， 的最小值為
( )
A.6 B.8 C.10 D.12
[解析] 因為，所以 ,
所以 ，
當且僅當，即 時等號成立.故選B.
√
5.已知，則 的最大值為( )
A. B. C. D.1
[解析] 由，得 ，
則 ，
當且僅當，即時取等號，
故的最大值為 .故選A.
√
6.下列函數中，最小值是 的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 對于A，當時， ，故A不符合題意;
對于B，當時,，故B不符合題意;
對于C，當 時, ，故C不符合題意;
對于D，由均值不等式知
（當且僅當 時取等號），故D符合題意.故選D.
7.（多選題）以下結論中正確的是( )
A. 的最小值為2
B.當,時，
C.,的最大值為
D.當且僅當，均為正數時， 恒成立
√
√
[解析] 對于A,當時，，故A錯誤；
對于B,當, 時,
,當且僅當 時取等號,故B正確；
對于C，,
當且僅當 時取等號，故的最大值為，故C正確；
對于D，當， 同號時，，
當且僅當時取等號，故D錯誤.故選 .
8.已知正數，滿足，則 的最小值為__.
[解析] 因為，為正數，所以，所以 ，
當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為 .
9.若對任意，不等式恒成立，則 的最小值是
__.
[解析] 因為，所以 恒成立，
又，當且僅當時，等號成立，
所以 .所以的最小值是 .
10.（13分）已知,，且 .
（1）求 的取值范圍;
解：因為,,且 ，
所以，當且僅當 時取等號，
可得，所以 ，故的取值范圍是 .
（2）求 的取值范圍.
解：因為，當且僅當 時取等號，
所以 ，故的取值范圍是 .
11.已知，，且，則 的最大值為
( )
A.36 B.4 C.16 D.9
[解析] 由題意得，,, ,
所以，當且僅當 ，
即， 時取等號.故選D.
√
12.（多選題）［2025·廣東廣州高一期中］ 若實數， 滿足
，則( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，
所以，所以 ，故A正確，B錯誤；
因為 ，所以，
所以，所以 ，故C正確，D錯誤.故選 .
√
√
13.若，，則 的最小值為___.
8
[解析] .
因為，
當且僅當 ，即時等號成立，
，當且僅當 ，即時等號成立，
所以，當且僅當 ，，
即，時等號成立，所以 的最小值為8.
14.（15分）（1）若，求 的最大值.
解：因為，所以 .
，
由均值不等式可得 ，
當且僅當，即 時，等號成立，
所以 ，
所以，故的最大值是 .
（2）已知，求 的最大值.
解：因為，所以 ，又，
當且僅當，即 時，等號成立，
所以，故 的最大值為1.
15.規定，為正實數.若，則 的值
為___，此時 的最小值為___．
1
3
[解析] 由題意得，即 ，
可得，則 ，
當且僅當，即時，等號成立.
綜上可得，， 的最小值為3.
16.（15分）［2025·遼寧沈陽高一期中］ 若不等式
對一切正數，恒成立，求實數 的取值
范圍.
解：因為不等式對一切正數， 恒成立，
所以不等式對一切正數， 恒成立.
令，則 ，
不妨讓 ，
則
，
當且僅當 時，等號成立.
綜上所述，當時，取得最大值1，
所以 的取值范圍為 .
快速核答案(導學案)
課前預習 知識點一 1.算術平均值 幾何平均值 2. 算術 幾何
3.正方形 【診斷分析】 （1）× （2）× （3）√
知識點二 1.（1）大 （2）小 2.（1）正數 （2）定值 定值 （3）等號
【診斷分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）× （5）√
課中探究 探究點一 例1 （1）C （2）BD 變式 B
探究點二 角度1 例2 （1）（2） （3） 變式 >角度2 例3 （1） （2）10 變式 （1） （2）1 （3）
課堂評價 1.A 2.B 3.C 4.ABC 5.4 3
備用習題 例1 例2 A 例3 ABD
快速核答案(練習冊)
基礎鞏固
1.B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D 7.BC 8. 9. 10.（1）（2）
綜合提升
11.D 12.AC 13.8 14.（1） （2）1
思維探索
15.1 3 16. 第1課時　均值不等式
【課前預習】
知識點一
1.算術平均值　幾何平均值
2.≥　算術　幾何　3.正方形
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,a+b≥2成立的條件是a>0,b>0.
(2)只有當a>0時,才有不等式a+≥2=6成立.
(3)因為≤,所以ab≤.
知識點二
1.(1)大　(2)小　2.(1)正數　(2)定值　定值　(3)等號
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　[解析] (1)若x,y>0,則x2+y2≥2xy,當且僅當x=y時取等號,故該說法正確.
(2)當n∈N*時,n+>2=2,因為n∈N*,所以n≠,故該說法正確.
(3)因為當x>1時,x-1>0,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=3,當且僅當x-1=,即x=2時取等號,所以y的最小值是3.
(4)a+≥2,當且僅當a=1時取等號,與a≥2矛盾,所以該說法錯誤.
(5)設x<0,y<0,x+y=s(s<0),s為定值,則(-x)+(-y)≥2=2,當且僅當x=y時取等號,所以2≤-s(-s>0),所以xy≤.
【課中探究】
例1　(1)C　(2)BD　[解析] (1)當a,b均是正數時,由均值不等式得≤≤,當且僅當a=b時取等號,令b=1,得≤≤,又a>1,所以a≠b,故等號不能取到.故選C.
(2)對于A,∵a2-2a+1=(a-1)2≥0,∴a2+1≥2a,故A錯誤;對于B,當x>0時,=x+≥2,當且僅當x=1時取等號,當x<0時,=-x-≥2,當且僅當x=-1時取等號,故B正確;對于C,若a=b=-1,則=-2<2,故C錯誤;對于D,x2+=x2+1+-1≥1,當且僅當x=0時取等號,故D正確.故選BD.
變式　B　[解析] 根據均值不等式的定義可知①正確.對于②,當a<0時,+a<0,所以②錯誤.對于③,根據均值不等式的知識可知③正確.故選B.
例2　解:(1)∵x>0,∴>0,4x>0,∴+4x≥2=8,當且僅當=4x,即x=時,等號成立,故當x>0時,+4x的最小值為8.
(2)∵x<0,∴-x>0,則+(-4x)≥2=8,當且僅當=-4x,即x=-時,等號成立,∴+4x≤-8,故當x<0時,+4x的最大值為-8.
(3)4x+≥2=4,
當且僅當4x=,即a=4x2=36時,等號成立,故a=36.
變式　解:====,因為點P(x,y)在曲線y=+1上,其中y=+1≥1,當x=0時,=1.
當x>0時, +≥2,當且僅當=,即x=y時等號成立,又y=+1,所以x=y=2,此時=∈(1,].
當x<0時,同理可得0<=≤1,則-1≤=<0,所以=∈[0,1).綜上,的取值范圍是[0,].
例3　(1)　[解析] 因為00,則x(5-2x)=×2x·(5-2x)≤=×=,當且僅當2x=5-2x,即x=時,等號成立.故x(5-2x)的最大值為.
(2)解:2x+=2+2,∵x>1,∴x-1>0,∴2x+≥2×2+2=10,當且僅當x-1=,即x=3時,等號成立.故2x+的最小值為10.
變式　(1)　(2)1　(3)2+2　[解析] (1)∵00,∴x(1-5x)=×5x·(1-5x)≤=,當且僅當5x=1-5x,即x=時,等號成立.故當x=時,x(1-5x)取得最大值.
(2)因為x<,所以5-4x>0,則4x-2+=-+3≤-2+3=1,當且僅當5-4x=,即x=1時,等號成立.故4x-2+的最大值為1.
(3)==
=(x-1)++2≥2+2,
當且僅當x-1=,即x=+1時,等號成立.故(x>1)的最小值為2+2.
【課堂評價】
1.A　[解析] 對于(3),∵a2>0,∴a2+≥2(當且僅當a=±1時,等號成立),故(3)恒成立.其余3個不等式都不恒成立.故選A.
2.B　[解析] y===x-1++2.因為x<0,所以x-1<0,<0,所以x-1+=-≤-6,當且僅當-(x-1)=-,即x=-2時,等號成立.所以x-1++2≤-4,所以函數y=有最大值-4.故選B.
3.C　[解析] 在A中,當t=-1時,t+=-5<4;在B中,當t=-1時,2t+=-3<4;在C中,4t+≥2=4,當且僅當t=時,等號成立;在D中,當t=-1時,t+=-2<4.故選C.
4.ABC　[解析] 由a+b≥2,當且僅當a=b時取等號,得05.4　3　[解析] ∵a>0,b>0,且ab=2,∴2a+b≥2=2=4,當且僅當a=1,b=2時取等號,∴2a+b的最小值為4,此時a+b=3.2.2.4　均值不等式及其應用
第1課時　均值不等式
1.B　[解析] 在均值不等式中,我們規定a>0,b>0,但當a=0,b=0時也滿足≥.故選B.
2.B　[解析] ∵x,y均為正數,x+2y=4,∴xy=×2xy≤×=2(當且僅當x=2y=2時等號成立).故選B.
3.C　[解析] ∵x>1,∴y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,當且僅當=x-1,即x=2時等號成立,∴y=的最小值為4.故選C.
4.B　[解析] 因為x>-1,所以x+1>0,所以4x+=4(x+1)+-4≥2-4=8,當且僅當4(x+1)=,即x=時等號成立.故選B.
5.A　[解析] 由x>1,得x-1>0,則==≤=,當且僅當x-1=,即x=1+時取等號,故的最大值為.故選A.
6.D　[解析] 對于A,當x<0時,y=x+<0,故A不符合題意;對于B,當x<0時,y=x3+<0,故B不符合題意;對于C,當x=0時,y=x2+=,故C不符合題意;對于D,由均值不等式知y=+≥2=2(當且僅當x=2時取等號),故D符合題意.故選D.
7.BC　[解析] 對于A,當x<0時,y<0,故A錯誤;對于B,當a>0,b>0時,++2≥2+2=+2≥2·=4,當且僅當a=b=1時取等號,故B正確;對于C,y=x(1-2x)=×2x(1-2x)≤=,當且僅當x=時取等號,故y的最大值為,故C正確;對于D,當a,b同號時,+≥2=2,當且僅當a=b時取等號,故D錯誤.故選BC.
8.　[解析] 因為x,y為正數,所以2=x+≥2=,所以≥,當且僅當x=,即x=4y=1時,等號成立,故的最小值為.
9.　[解析] 因為x>0,所以a≥=恒成立,又≤=,當且僅當x=2時,等號成立,所以a≥.所以a的最小值是.
10.解:(1)因為a>0,b>0,且a+b+ab=3,所以a+b=3-ab≥2,當且僅當a=b=1時取等號,可得0<≤1,所以0故ab的取值范圍是(0,1].
(2)因為a+b=3-ab≥3-,當且僅當a=b=1時取等號,所以a+b≥2,
故a+b的取值范圍是[2,+∞).
11.D　[解析] 由題意得,(1+x)+(1+2y)=6,1+x>1,1+2y>1,所以(1+x)(1+2y)≤=9,當且僅當1+x=1+2y,即x=2,y=1時取等號.故選D.
12.AC　[解析] 因為(x+y)2≥4xy,所以+3xy≥4xy,所以xy≤,故A正確,B錯誤;因為+3xy≤+3,所以(x+y)2≤+3,所以(x+y)2≤3,所以|x+y|≤,故C正確,D錯誤.故選AC.
13.8　[解析] +=+=++.因為+≥2=4x,當且僅當=,即2(y-1)=x2時等號成立,4x+≥2=8,當且僅當4x=,即x=1時等號成立,所以+≥8,當且僅當2(y-1)=x2,x=1,即x=1,y=時等號成立,所以+的最小值為8.
14.解:(1)因為x<3,所以3-x>0.
y=2(x-3)++7=-+7,由均值不等式可得2(3-x)+≥2=2,
當且僅當2(3-x)=,即x=3-時,等號成立,所以-≤-2,
所以y=-+7≤7-2,故y的最大值是7-2.
(2)因為x>0,所以y==,
又x+≥2=2,當且僅當x=,即x=1時,等號成立,
所以015.1　3　[解析] 由題意得1☉k=+1+k=3,即k+-2=0,可得k=1,則y===1++≥1+2=3,當且僅當=,即x=1時,等號成立.綜上可得,k=1,y=的最小值為3.
16.解:因為不等式x2+2xy≤t(3x2+y2)對一切正數x,y恒成立,所以不等式t≥對一切正數x,y恒成立.
令a=>0,則t≥==+,不妨讓2a->0,
則+=+=+=+
≤+
=1,當且僅當a==時,等號成立.綜上所述,當y=x>0時,取得最大值1,所以t的取值范圍為[1,+∞).2.2.4　均值不等式及其應用
第1課時　均值不等式
【學習目標】
1.掌握均值不等式≤(a>0,b>0)及其推導過程、幾何意義;
2.能運用均值不等式證明不等式和求最值.
◆ 知識點一　基本概念
1.算術平均值與幾何平均值
給定兩個正數a,b,數稱為a,b的　　　　　;數稱為a,b的　　　　　　　.
2.均值不等式
如果a,b都是正數,那么　　　　　　,當且僅當a=b時,等號成立.均值不等式也稱為基本不等式,其實質是:兩個正實數的　　　　平均值不小于它們的　　　　平均值.
3.均值不等式的一個幾何意義
如果矩形的長和寬分別為a和b,那么矩形的面積為ab,可以看成與矩形周長相等的正方形的面積,因此均值不等式的一個幾何意義為所有周長一定的矩形中,　　　　　的面積最大.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)a2+b2≥2ab和a+b≥2成立的條件都是a>0,b>0. (　 )
(2)若a≠0,則a+≥2=6. (　 )
(3)若a>0,b>0,則ab≤. (　 )
◆ 知識點二　均值不等式與最值
1.已知x,y都是正數.
(1)如果和x+y等于定值S,那么當x=y時,積xy有最　　　　值.
(2)如果積xy等于定值P,那么當x=y時,和x+y有最　　　　值2.
2.利用均值不等式求積的最大值或和的最小值時,需注意:
(1)x,y必須是　　　　.
(2)求積xy的最大值時,應看和x+y是否為　　　　;求和x+y的最小值時,應看積xy是否為　　　　.
(3)　　　　成立的條件是否滿足.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個正數的積為定值,它們的平方和有最小值.(　 )
(2)當n∈N*時,n+>2. (　 )
(3)當x>1時,函數y=x+≥2,所以y的最小值是2. (　 )
(4)當a≥2時,a+的最小值為2. (　 )
(5)兩個負數的和為定值,則它們的積有最大值.(　 )
◆ 探究點一　對均值不等式的理解
例1 (1)已知a>1,則,,這三個數的大小關系是 (　 )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<≤
(2)(多選題)下列式子中正確的有 (　 )
A.a2+1>2a B.≥2
C.≥2 D.x2+≥1
變式 給出下面三個推導過程:
①若a,b為正實數,則+≥2=2;
②若a∈R,a≠0,則+a≥2=4;
③若x,y∈R,xy<0,則+=-≤-2=-2.
其中正確的為 (　 )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
[素養小結]
(1)在理解均值不等式時,要從形式到內涵中理解,特別要關注條件.
(2)運用均值不等式比較大小時應注意成立的條件,即a+b≥2成立的條件是a>0,b>0,等號成立的條件是a=b;a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,等號成立的條件是a=b.
◆ 探究點二　利用均值不等式求最值
角度1　直接應用均值不等式求解最值
例2 (1)當x>0時,求+4x的最小值;
(2)當x<0時,求+4x的最大值;
(3)已知4x+(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,求a的值.
變式 已知點P(x,y)在曲線y=+1上,求的取值范圍.
[素養小結]
在利用均值不等式求最值時要注意三點:
一是各項均為正;二是尋求定值,求和式最小值時應使積為定值,求積式最大值時應使和為定值;三是考慮等號成立的條件是否具備.
角度2　拼湊法求最值
例3 (1)當0(2)當x>1時,求2x+的最小值.
變式 (1)已知0(2)已知x<,則4x-2+的最大值為　　　　.
(3)(x>1)的最小值為　　　　.
[素養小結]
通過拼湊法利用均值不等式求最值的策略:
(1)拼湊時注意利用系數的變化以及等式中常數的調整,做到等價變形.
(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標.
(3)拆項、添項應注意檢驗利用均值不等式的前提.
1.下列不等式中恒成立的個數是 (　 )
(1)a+≥2;(2)(-a)+≤-2;
(3)a2+≥2;(4)(-a)2+≤-2.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2025·云南昆明高一期中] 已知x<0,則函數y=有 (　 )
A.最大值-6 B.最大值-4
C.最小值6 D.最小值8
3.下列式子的最小值為4的是 (　 )
A.t+ B.2t+
C.4t+(t>0) D.t+
4.(多選題)若a>0,b>0,且a+b=4,則下列不等式恒成立的是 (　 )
A.+≥1 B.≤2
C.≤ D.0<≤
5.已知a>0,b>0,且ab=2,則2a+b的最小值為　　　　,此時a+b=　　　　. 2.2.4　均值不等式及其應用
第1課時　均值不等式
1.在不等式≥中,a,b需滿足 (　 )
A.a>0,b>0 B.a≥0,b≥0
C.ab≥0 D.ab>0
2.已知x,y均為正數,且滿足x+2y=4,則xy的最大值為 (　 )
A. B.2 C.2 D.
3.若x>1,則y=的最小值為 (　 )
A.3 B.-3 C.4 D.-4
4.[2025·江蘇南通高一期中] 當x>-1時,4x+的最小值為 (　 )
A.6 B.8
C.10 D.12
5.已知x>1,則的最大值為 (　 )
A. B. C. D.1
6.下列函數中,最小值是2的是 (　 )
A.y=x+ B.y=x3+
C.y=x2+ D.y=+
7.(多選題)以下結論中正確的是 (　 )
A.y=x+的最小值為2
B.當a>0,b>0時,++2≥4
C.y=x(1-2x),0D.當且僅當a,b均為正數時,+≥2恒成立
8.已知正數x,y滿足x+=2,則的最小值為　　　　.
9.若對任意x∈(0,+∞),不等式≥恒成立,則a的最小值是　　　　.
10.(13分)已知a>0,b>0,且a+b+ab=3.
(1)求ab的取值范圍;
(2)求a+b的取值范圍.
11.已知x>0,y>0,且x+2y=4,則(1+x)(1+2y)的最大值為 (　 )
A.36 B.4
C.16 D.9
12.(多選題)[2025·廣東廣州高一期中] 若實數x,y滿足(x+y)2=+3xy,則 (　 )
A.xy≤ B.xy≥1
C.|x+y|≤ D.|x+y|≥2
13.若x>0,y>1,則+的最小值為　　　　.
14.(15分)(1)若x<3,求y=2x+1+的最大值.
(2)已知x>0,求y=的最大值.
15.規定a☉b=+a+b(a,b為正實數).若1☉k=3,則k的值為　　　　,此時y=的最小值為　　　　.
16.(15分)[2025·遼寧沈陽高一期中] 若不等式x2+2xy≤t(3x2+y2)對一切正數x,y恒成立,求實數t的取值范圍.

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