資源簡介

(共71張PPT)
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用
第2課時(shí) 均值不等式的應(yīng)用
探究點(diǎn)一 均值不等式的特殊應(yīng)用
探究點(diǎn)二 證明不等式
探究點(diǎn)三 均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
◆
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
課堂評價(jià)
備課素材
練習(xí)冊
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.熟練掌握均值不等式及其變形的應(yīng)用；
2.能用均值不等式解決簡單的最大值或最小值問題,進(jìn)一步加深
對均值不等式成立的條件的理解；
3.能夠運(yùn)用均值不等式解決實(shí)際生活中的應(yīng)用問題.
知識點(diǎn)一 利用均值不等式證明不等式或求最值
利用均值不等式證明不等式或求最值時(shí)，要先觀察題中不等式的結(jié)
構(gòu)特征，若不能直接使用均值不等式，則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆、并、
配等變形，使之達(dá)到能使用均值不等式的形式.
知識點(diǎn)二 利用均值不等式解決實(shí)際問題的一般步驟
（1）讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；
（2）把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；
（3）在題目要求的范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；
（4）寫出符合實(shí)際情況的答案.
探究點(diǎn)一 均值不等式的特殊應(yīng)用
角度1 “常值代換法”求最值
例1（1）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則 的最小值為__，
此時(shí)， 滿足的等量關(guān)系是________．
[解析] 因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足 ，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),等號成立.
故 的最小值為，此時(shí)，滿足的等量關(guān)系是 ．
（2）已知，，，則 的最小值為_____
____.
[解析] 由 ，可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)，等號成立.
故的最小值為 .
變式（1）［2025·湖南邵陽高一期中］已知實(shí)數(shù)滿足 ，則
的最小值為( )
A.9 B.18 C.27 D.36
[解析] 因?yàn)椋?，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)取等號.故選C.
√
（2）若正數(shù)，滿足，則 的最小值是___.
5
[解析] 方法一:由，可得 ，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，
故 的最小值是5.
方法二:由，得.
，， ， ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故 的最小值是5.
［素養(yǎng)小結(jié)］
常值代換法求最值的一般步驟：
（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常值）；
（2）把確定的定值（常值）變形為1；
（3）把“1”的表達(dá)式與要求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和
或積的形式；
（4）利用基本不等式求解最值.
角度2 消元法求最值
例2（1）已知，，，則 的最小值為
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因?yàn)椋裕郑?，
所以，則 ，
因?yàn)椋?，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以 的最小值為 .故選C.
（2）已知，，，則 的最小值為___.
6
[解析] 方法一（換元消元法）:由已知得，
因?yàn)椋?，所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 ，時(shí)取等號，
所以 ，令，
則且，可得，故 的最小值為6.
方法二（代入消元法）:由，得 ，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，
所以 的最小值為6.
變式 設(shè)正實(shí)數(shù),,滿足，則 的最大值為
( )
A.4 B.2 C.3 D.1
[解析] 因?yàn)檎龑?shí)數(shù),,滿足 ，
所以，所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故 的最大值為1.故選D.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
在解含有兩個(gè)變量的式子的最值問題時(shí)，通過代換的方法減少變量，
把問題化為兩個(gè)或一個(gè)變量的問題，再使用均值不等式求解.
探究點(diǎn)二 證明不等式
例3 已知，，均為正數(shù)，求證： .
證明：因?yàn)椋?均為正數(shù)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立.
同理，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立， ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立.將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，
并除以2，得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立.
變式 已知，， 都是實(shí)數(shù)，求證：
.
證明：因?yàn)椋裕?，
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號同時(shí)成立，
三式相加，得 ，
則，
在①式兩邊同時(shí)加上 ,得 ，
則 .
在②式兩邊同時(shí)加上,得 ，
則 .
由③④可得 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）利用均值不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”
式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，
從而達(dá)到放縮的效果.
（2）注意多次運(yùn)用均值不等式時(shí)等號能否取到.
探究點(diǎn)三 均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例4 某工廠一年需要購買某種原材料100噸，計(jì)劃每次購買 噸.若每次
的運(yùn)費(fèi)為5000元，一年的儲存費(fèi)用為 元，則每次購買____噸原
材料總費(fèi)用（運(yùn)費(fèi)和儲存費(fèi)之和）最低，最低的總費(fèi)用為____萬元.
10
10
[解析] 由題意可得總費(fèi)用，
，易知 （元），
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)，等號成立，
即每次購買10噸原材料，總費(fèi)用最低，最低的總費(fèi)用為10萬元.
變式 如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌內(nèi)
有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部
分），這兩欄目的面積之和為 ，四周空白的
寬度為 ，兩欄目之間的中縫空白的寬度為
，設(shè)廣告牌的高為 .
（1）用含的表達(dá)式表示廣告牌的面積 ；
解：設(shè)廣告牌的寬為，則 ，
所以，且 ,
所以廣告牌的面積 .
（2）求廣告牌的面積的最小值.
變式 如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌內(nèi)
有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部
分），這兩欄目的面積之和為 ，四周空白的
寬度為 ，兩欄目之間的中縫空白的寬度為
，設(shè)廣告牌的高為 .
解：由（1）知，
,當(dāng)且僅當(dāng)，
即 時(shí)等號成立，所以廣告牌的面積的最小值為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意如下的思路和方法：
（1）理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；
（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小
值問題；
（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；
（4）根據(jù)實(shí)際背景寫出答案.
拓展 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法
研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重
要依據(jù)．通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都
能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示的圖形，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上，為圓心，點(diǎn)在半徑 上
（不與點(diǎn)重合），且.設(shè),，則 ____
（用,表示），由可以得出的關(guān)于, 的不等式為
_ ____________________________________．
[解析] ， ,
.
, ，
由可得，即
1.若，則 的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因?yàn)?，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號,
所以 的最小值為4. 故選D.
√
2.已知，則 的最小值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] ， ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)，等號成立．故選B.
√
3.［2025·北京西城區(qū)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中］已知直角三角形的
面積為1,則( )
A.該三角形的斜邊長的最小值為2
B.該三角形的斜邊長的最大值為2
C.該三角形的斜邊長的最小值為
D.該三角形的斜邊長的最大值為
[解析] 設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為,,則,即 ,
所以,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立.
故選A.
√
4.已知,,均為正實(shí)數(shù)，則“”是“ ”的
( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
[解析] 若 ，
則 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，，
時(shí)等號成立，所以充分性成立；
當(dāng)時(shí)，可取 ，
但此時(shí) ，所以必要性不成立，
故“”是“ ”的充分不必要條件.故選A.
5.若，，，則 的最大值為__.
[解析] 因?yàn)椋裕郑?，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最大值為 .
1.用均值不等式證明不等式，要分析不等式的左右結(jié)構(gòu)特征，通過拆
（添）項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)滿足均值不等式的條件：一是創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用均值
不等式的條件（如正數(shù)、定值等）；二是創(chuàng)設(shè)一個(gè)使等號成立的條件.
證明：因?yàn)椋?均大于0，
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立，
則，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立，所以 .
例1 已知，，，求證： .
2.解決實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于弄清問題的各種數(shù)量關(guān)系，抽象出數(shù)
學(xué)模型，利用均值不等式解應(yīng)用題，既要注意條件是否具備，還要
注意有關(guān)量的實(shí)際含義．
例2 將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為 、形狀為直角三角形
的框架，選用最合理（夠用且浪費(fèi)最少）的鐵絲的長為_________ .
[解析] 設(shè)兩直角邊長分別為，，直角三角形的框架的周長為 ，
則，即 ，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
故選用最合理的鐵絲的長為 .
練習(xí)冊
1.已知正數(shù)，滿足，則 的最小值為( )
A.4 B.6 C.8 D.10
√
[解析] 因?yàn)檎龜?shù)，滿足 ，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，
所以 的最小值為10.故選D.
2.已知，，且，則 的最小值為( )
A.4 B.8 C.16 D.32
[解析] 因?yàn)?,且 ，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，故 的最小值為16.故選C.
√
3.如果兩個(gè)正方形的邊長之和為1，那么它們的面積之和的最小值是
( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] 設(shè)兩個(gè)正方形的邊長分別為，，
則， 且，所以兩個(gè)正方形的面積之和為 .
由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立，
所以，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立，
所以這兩個(gè)正方形的面積之和的最小值為 .故選B.
4.若正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式 有解，
則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，得 ，
則 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以 的最小值為2.
若不等式有解,則,解得或 ,
故實(shí)數(shù)的取值范圍是 .故選D.
5.已知,，且，若 恒成立，
則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)?，且 ，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號.
因?yàn)楹愠闪ⅲ?，
解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 .故選D.
√
6.［2025·貴州貴陽高一期中］如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是 上的
一點(diǎn)，,.過點(diǎn)作垂直于的弦，連接, .可證
，所以.由于 小于或等于圓的半徑，利
用該圖作為一個(gè)說法的幾何解釋，這個(gè)說法正確的是( )
A.如果，那么
B.如果，那么
C.對,，都有 ，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號成立
D.對,，都有 ，當(dāng)且
僅當(dāng) 時(shí)等號成立
√
[解析] 由題意，小于或等于圓的半徑， 是圓的直徑，
且,，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立.故選C.
★7.（多選題）下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)時(shí)，
B.當(dāng)時(shí)， 的最小值是2
C.當(dāng)時(shí)，的最小值是
D.若，，且，則的最小值是
√
√
[解析] 對于A，當(dāng)時(shí),,可得 ,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,故A正確;
對于B，當(dāng)時(shí), , ,可得
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，但 ,
所以等號取不到,所以沒有最小值,故B錯(cuò)誤;
對于C,因?yàn)?所以 ，則
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
又 ，所以等號取不到，所以沒有最小值，故C錯(cuò)誤;
對于D,因?yàn)? ,且 ,所以
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立，故D正確.故選 .
［易錯(cuò)點(diǎn)］ 在用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相
等”必須同時(shí)滿足，缺一不可，如本題B，C中的等號取不到，則易
出現(xiàn)錯(cuò)誤判斷.
8.已知，若，則 的最小值為___.
8
[解析] 因?yàn)椋?，
則 ,
當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)，等號成立，所以 的最小值為8.
9.若正數(shù)，滿足，則 的最小值為_ ___.
[解析] 由，可得.
又 ，所以，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立，所以的最小值為 .
10.（13分）［2024·江蘇南京高一期中］ 某健身器材廠研制了一種
足浴氣血養(yǎng)生機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心
厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對雙腳起保健作用．根據(jù)檢測
發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會對泡腳的舒適程度起到干擾作用．已
知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對左腳的干擾度與 成正比，比例系數(shù)為9；
對右腳的干擾度與成正比，比例系數(shù)為，且當(dāng) 時(shí)，
對左腳和右腳的干擾度之和為0.07.
（1）求臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對左腳和右腳的干擾度之和關(guān)于 的表達(dá)式；
解：由題意，得，將 代入，
得，解得，所以 .
10.（13分）［2024·江蘇南京高一期中］ 某健身器材廠研制了一種
足浴氣血養(yǎng)生機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心
厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對雙腳起保健作用．根據(jù)檢測
發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會對泡腳的舒適程度起到干擾作用．已
知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對左腳的干擾度與 成正比，比例系數(shù)為9；
對右腳的干擾度與成正比，比例系數(shù)為，且當(dāng) 時(shí)，
對左腳和右腳的干擾度之和為0.07.
（2）求臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和 的最小值．
解：因?yàn)椋?，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí),等號成立,
所以臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和的最小值為 .
11.［2025·遼寧大連高一期末］已知, ，則
的最小值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] ,， ,
，即.
,，即， ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即,時(shí)等號成立.
故的最小值為 .故選D.
12.（多選題）下列說法中正確的是( )
A. 的最小值為2
B.已知，則的最小值為
C.若正實(shí)數(shù)，滿足，則 的最小值為3
D.設(shè),為正實(shí)數(shù)，若，則的最大值為
√
√
√
[解析] 當(dāng)時(shí)， ，故A錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)取等號，故B正確；
由，得 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，
即 時(shí)取等號，故C正確；
由 ，得 ，即，則，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號，故D正確.故選 .
13.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)
有一個(gè)三角形,其邊長分別為,,，則該三角形的面積 可由公式
求得,其中 為三角形周長的一半.現(xiàn)有一
個(gè)三角形的邊長滿足, ，則此三角形的面積的最大值
為_____.
[解析] 由,,可得 ,
則 ,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以此三角形的面積的最大值為 .
14.（15分）已知，，且 ，證明：
.
證明：因?yàn)?br/>，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號，所以 .
15.若，，且，則 的最小值為______
___.
[解析] 因?yàn)椋?，
因?yàn)椋裕?.
，
因?yàn)椋?，
所以，所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，
所以 的最小值為 .
16.（15分）
（1）若，，，都是正數(shù)，求證： ；
證明：因?yàn)椋际钦龜?shù)，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立.
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立.
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)，等號成立.
（2）若，， 都是正數(shù)，求證：
.
證明： 因?yàn)椋际钦龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立.
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立.
快速核答案(導(dǎo)學(xué)案)
課中探究 探究點(diǎn)一 角度1 例1 （1） （2）
變式 （1）C （2）5 角度2 例2 （1）C （2）6 變式 D
探究點(diǎn)二 例3 略 變式 略
探究點(diǎn)三 例4 10 10 變式 （1）（2）
拓展
課堂評價(jià) 1.D 2.B 3.A 4.A 5.
備用習(xí)題 1.略 2.
快速核答案(練習(xí)冊)
基礎(chǔ)鞏固
1.D 2.C 3.B 4.D 5.D 6.C 7.AD 8.8 9.
10.（1） （2）
綜合提升
11.D 12.BCD 13. 14.略
思維探索
15. 16.（1）略 （2）略第2課時(shí)　均值不等式的應(yīng)用
【課中探究】
例1　(1)　b=2a　(2)8+4　[解析] (1)因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b滿足a+b=1,所以+=×(1+a+2+b)=≥=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a=時(shí),等號成立.故+的最小值為,此時(shí)a,b滿足的等量關(guān)系是b=2a.
(2)由x+2y=1,可得===
=++8≥2+8=8+4,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即x2=3y2時(shí),等號成立.
故的最小值為8+4.
變式　(1)C　(2)5　[解析] (1)因?yàn)?0,所以+=[3x+(1-3x)]=15++≥2+15=27,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=時(shí)取等號.故選C.
(2)方法一:由x+3y=5xy,可得+=1,∴3x+4y=(3x+4y)=+++≥+=5,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1,y=時(shí),等號成立,故3x+4y的最小值是5.
方法二:由x+3y=5xy,得x=.∵x>0,y>0,∴y>,∴3x+4y=+4y=+4y=+×+4≥+2=5,
當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)等號成立,故3x+4y的最小值是5.
例2　(1)C　(2)6　[解析] (1)因?yàn)閤+y=2,所以y=2-x,又x>0,y>0,所以0(2)方法一(換元消元法):
由已知得x+3y=9-xy,因?yàn)閤>0,y>0,所以x+3y≥2,所以3xy≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=1時(shí)取等號,所以(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,則t>0且t2+12t-108≥0,可得t≥6,故x+3y的最小值為6.
方法二(代入消元法):
由x+3y+xy=9,得x=,所以x+3y=+3y===3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6,當(dāng)且僅當(dāng)3(1+y)=,即y=1,x=3時(shí)取等號,所以x+3y的最小值為6.
變式　D　[解析] 因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y,z滿足x2-xy+y2-z=0,所以z=x2+y2-xy,所以==≤=1,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=y時(shí),等號成立,故的最大值為1.故選D.
例3　證明:因?yàn)閤,y,z均為正數(shù),所以+=≥·2=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立.
同理,+≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=z時(shí)等號成立,+≥,當(dāng)且僅當(dāng)y=z時(shí)等號成立.將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,得++≥++,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號成立.
變式　證明:因?yàn)閍,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號同時(shí)成立,三式相加,得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)①,則a2+b2+c2≥ab+bc+ca②,在①式兩邊同時(shí)加上a2+b2+c2,得3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,則a2+b2+c2≥(a+b+c)2③.在②式兩邊同時(shí)加上2(ab+bc+ca),得(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),則(a+b+c)2≥ab+bc+ca④.由③④可得a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
例4　10　10　[解析] 由題意可得總費(fèi)用y=×5000+5000x=+5000x,x>0,易知y=+5000x≥2=100 000(元),
當(dāng)且僅當(dāng)=5000x,即x=10時(shí),等號成立,即每次購買10噸原材料,總費(fèi)用最低,最低的總費(fèi)用為10萬元.
變式　解:(1)設(shè)廣告牌的寬為t m,則(x-1)(t-1.25)=45,
所以t=1.25+,且x>1,
所以廣告牌的面積S=tx=x(x>1).
(2)由(1)知,S=x=1.25(x-1)++46.25≥2+46.25=61.25,當(dāng)且僅當(dāng)1.25(x-1)=,即x=7時(shí)等號成立,
所以廣告牌的面積的最小值為61.25 m2.
拓展　　>　[解析] AB=AC+BC=a+b,OB=AB=,OC=OB-BC=-b=.OF=AB=,FC===,由FC>OF可得>,即>.
【課堂評價(jià)】
1.D　[解析] 因?yàn)閙+n=1(mn>0),所以+=+=++2≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=且m+n=1,即m=n=時(shí)取等號,所以+的最小值為4.故選D.
2.B　[解析] ∵a>0,∴a+=a+-1≥2-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=2時(shí),等號成立.故選B.
3.A　[解析] 設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,則ab=1,即ab=2,所以≥==2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號成立.故選A.
4.A　[解析] 若3x+4y+z=12,則++=(3x+4y+z)=≥=4,當(dāng)且僅當(dāng)=,=,=,即x=1,y=,z=3時(shí)等號成立,所以充分性成立;當(dāng)++≥4時(shí),可取x=y=z=1,但此時(shí)3x+4y+z=8≠12,所以必要性不成立,故“3x+4y+z=12”是“++≥4”的充分不必要條件.故選A.
5.　[解析] 因?yàn)閤y≠0,所以=,又x>0,y>0,x+2y=1,所以+=(x+2y)=++5≥2+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號,故的最大值為.第2課時(shí)　均值不等式的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.熟練掌握均值不等式及其變形的應(yīng)用;
2.能用均值不等式解決簡單的最大值或最小值問題,進(jìn)一步加深對均值不等式成立的條件的理解;
3.能夠運(yùn)用均值不等式解決實(shí)際生活中的應(yīng)用問題.
◆ 知識點(diǎn)一　利用均值不等式證明不等式或求最值
利用均值不等式證明不等式或求最值時(shí),要先觀察題中不等式的結(jié)構(gòu)特征,若不能直接使用均值不等式,則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆、并、配等變形,使之達(dá)到能使用均值不等式的形式.
◆ 知識點(diǎn)二　利用均值不等式解決實(shí)際問題的一般步驟
(1)讀懂題意,設(shè)出變量,列出函數(shù)關(guān)系式;
(2)把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;
(3)在題目要求的范圍內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;
(4)寫出符合實(shí)際情況的答案.
◆ 探究點(diǎn)一　均值不等式的特殊應(yīng)用
角度1　“常值代換法”求最值
例1 (1)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=1,則+的最小值為　　　　,此時(shí)a,b滿足的等量關(guān)系是　　　　.
(2)已知x>0,y>0,x+2y=1,則的最小值為　　　　.
變式 (1)[2025·湖南邵陽高一期中] 已知實(shí)數(shù)x滿足0A.9 B.18
C.27 D.36
(2)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
常值代換法求最值的一般步驟:
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常值);
(2)把確定的定值(常值)變形為1;
(3)把“1”的表達(dá)式與要求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式;
(4)利用基本不等式求解最值.
角度2　消元法求最值
例2 (1)已知x>0,y>0,x+y=2,則+的最小值為 (　 )
A.+ B.+
C.+ D.
(2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為　　　　.
變式 設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-xy+y2-z=0,則的最大值為 (　 )
A.4 B.2
C.3 D.1
[素養(yǎng)小結(jié)]
在解含有兩個(gè)變量的式子的最值問題時(shí),通過代換的方法減少變量,把問題化為兩個(gè)或一個(gè)變量的問題,再使用均值不等式求解.
◆ 探究點(diǎn)二　證明不等式
例3 已知x,y,z均為正數(shù),求證:++≥++.
變式 已知a,b,c都是實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)利用均值不等式證明不等式,關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式,通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式,從而達(dá)到放縮的效果.
(2)注意多次運(yùn)用均值不等式時(shí)等號能否取到.
◆ 探究點(diǎn)三　均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例4 某工廠一年需要購買某種原材料100噸,計(jì)劃每次購買x噸.若每次的運(yùn)費(fèi)為5000元,一年的儲存費(fèi)用為5000x元,則每次購買　　　　噸原材料總費(fèi)用(運(yùn)費(fèi)和儲存費(fèi)之和)最低,最低的總費(fèi)用為　　　　萬元.
變式 如圖,要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌,該廣告牌內(nèi)有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分),這兩欄目的面積之和為45 m2,四周空白的寬度為0.5 m,兩欄目之間的中縫空白的寬度為0.25 m,設(shè)廣告牌的高為x m.
(1)用含x的表達(dá)式表示廣告牌的面積S;
(2)求廣告牌的面積的最小值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題時(shí),應(yīng)注意如下的思路和方法:
(1)理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù);
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;
(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;
(4)根據(jù)實(shí)際背景寫出答案.
拓展 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理,很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明,也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形,點(diǎn)F在以AB為直徑的半圓上,O為圓心,點(diǎn)C在半徑OB上(不與O點(diǎn)重合),且OF⊥AB.設(shè)AC=a,BC=b,則OC=　　　　(用a,b表示),由FC>OF可以得出的關(guān)于a,b的不等式為　　　　　　　.
1.若m+n=1(mn>0),則+的最小值為(　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知a>0,則a+的最小值為 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.[2025·北京西城區(qū)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中] 已知直角三角形的面積為1,則 (　 )
A.該三角形的斜邊長的最小值為2
B.該三角形的斜邊長的最大值為2
C.該三角形的斜邊長的最小值為
D.該三角形的斜邊長的最大值為
4.已知x,y,z均為正實(shí)數(shù),則“3x+4y+z=12”是“++≥4”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.若x>0,y>0,x+2y=1,則的最大值為　　　　. 第2課時(shí)　均值不等式的應(yīng)用
1.已知正數(shù)m,n滿足m+n=1,則+的最小值為 (　 )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.已知x≥0,y>2,且+=,則x+y的最小值為 (　 )
A.4 B.8 C.16 D.32
3.如果兩個(gè)正方形的邊長之和為1,那么它們的面積之和的最小值是 (　 )
A. B. C.1 D.2
4.若正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+y=2xy,且不等式x+A.(-1,2)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-2,1)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
5.已知x>0,y>0,且+=,若x+2+y>m2+5m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　 )
A.(-4,7) B.(-2,7)
C.(-4,2) D.(-7,2)
6.[2025·貴州貴陽高一期中] 如圖,AB是圓的直徑,點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn),AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.可證△ACD∽△DCB,所以CD=.由于CD小于或等于圓的半徑,利用該圖作為一個(gè)說法的幾何解釋,這個(gè)說法正確的是 (　 )
A.如果a>b>0,那么>
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.對 a>0,b>0,都有≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立
D.對 a>0,b>0,都有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立
★7.(多選題)下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.當(dāng)x>0時(shí),+≥2
B.當(dāng)x>0時(shí),的最小值是2
C.當(dāng)x<0時(shí),2x-1+的最小值是
D.若x>0,y>0,且x+y=2,則+的最小值是
8.已知xy>0,若x+=2,則+y的最小值為　　　　.
9.若正數(shù)x,y滿足x2+3xy-1=0,則x+y的最小值為　　　　.
10.(13分)[2024·江蘇南京高一期中] 某健身器材廠研制了一種足浴氣血養(yǎng)生機(jī),具體原理是:在足浴盆右側(cè)離中心x(0(1)求臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對左腳和右腳的干擾度之和y關(guān)于x的表達(dá)式;
(2)求臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和y的最小值.
11.[2025·遼寧大連高一期末] 已知1A. B.
C. D.
12.(多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.的最小值為2
B.已知x>1,則2x+-1的最小值為4+1
C.若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=3xy,則2x+y的最小值為3
D.設(shè)x,y為正實(shí)數(shù),若9x2+y2+xy=1,則3x+y的最大值為
13.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”,即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形,其邊長分別為a,b,c,則該三角形的面積S可由公式S=求得,其中p為三角形周長的一半.現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足a+b=12,c=8,則此三角形的面積的最大值為　　　　.
14.(15分)已知a>0,b>0,且a+b=1,證明:+≤2.
15.若x>0,y>0,且xy=2x+y,則+的最小值為　　　　.
16.(15分)(1)若a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd;
(2)若a,b,c都是正數(shù),求證:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc.第2課時(shí)　均值不等式的應(yīng)用
1.D　[解析] 因?yàn)檎龜?shù)m,n滿足m+n=1,所以+=++1=(m+n)+1=++1+4+1≥2+6=10,當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=,n=時(shí),等號成立,所以+的最小值為10.故選D.
2.C　[解析] 因?yàn)閤≥0,y>2,且+=,所以x+y=4[(x+2)+(y-2)]=4≥4×(2+2)=16,當(dāng)且僅當(dāng)x=6,y=10時(shí)取等號,故x+y的最小值為16.故選C.
3.B　[解析] 設(shè)兩個(gè)正方形的邊長分別為x,y,則x>0,y>0且x+y=1,所以兩個(gè)正方形的面積之和為x2+y2.由均值不等式可得x2+y2≥2xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),等號成立,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí),等號成立,所以這兩個(gè)正方形的面積之和的最小值為.故選B.
4.D　[解析] 由4x+y=2xy,得+=1,則x+==1++≥1+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)4x=y=4時(shí)等號成立,所以x+的最小值為2.若不等式x+2,解得m<-1或m>2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞).故選D.
5.D　[解析] 因?yàn)閤>0,y>0,且+=,所以x+2+y=×(x+2+y)=×≥×=14,當(dāng)且僅當(dāng)y=x+2=7時(shí)取等號.因?yàn)閤+2+y>m2+5m恒成立,所以14>m2+5m,解得-76.C　[解析] 由題意,CD小于或等于圓的半徑,AB是圓的直徑,且AC=a,BC=b,CD=,所以≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立.故選C.
7.AD　[解析] 對于A,當(dāng)x>0時(shí),>0,可得+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號,故A正確;對于B,當(dāng)x>0時(shí),x2+4>0,>0,可得=+=+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取得等號,但>2,所以等號取不到,所以沒有最小值,故B錯(cuò)誤;對于C,因?yàn)閤<0,所以5-4x>0,則2x-1+=-≤-2=-,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號,又x<0,所以等號取不到,所以2x-1+沒有最小值,故C錯(cuò)誤;對于D,因?yàn)閤>0,y>0,且x+y=2,所以+=(x+y)=+≥+×2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即y=2x=時(shí),等號成立,故D正確.故選AD.
[易錯(cuò)點(diǎn)] 在用均值不等式求最值時(shí),一定要注意“一正二定三相等”必須同時(shí)滿足,缺一不可,如本題B,C中的等號取不到,則易出現(xiàn)錯(cuò)誤判斷.
8.8　[解析] 因?yàn)閤+=2,所以+=1,則+y==4++≥4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=4時(shí),等號成立,所以+y的最小值為8.
9.　[解析] 由x2+3xy-1=0,可得y=.又x>0,所以x+y=+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號成立,所以x+y的最小值為.
10.解:(1)由題意,得y=+,將x=10代入,得+=0.07,解得k=4,所以y=+(0(2)因?yàn)?所以y=+=[x2+(400-x2)]=≥==,當(dāng)且僅當(dāng)=(011.D　[解析] ∵112.BCD　[解析] 當(dāng)x=-1時(shí),=0<2,故A錯(cuò)誤;2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,當(dāng)且僅當(dāng)2(x-1)=,即x=+1時(shí)取等號,故B正確;由x+2y=3xy,得+=1,所以2x+y=(2x+y)=++≥2+=3,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=y=1時(shí)取等號,故C正確;由9x2+y2+xy=1,得(3x+y)2=1+5xy=1+×4×3x×y≤1+(3x+y)2,即(3x+y)2≤1,則3x+y≤=,當(dāng)且僅當(dāng)3x=y=時(shí)取等號,故D正確.故選BCD.
13.8　[解析] 由a+b=12,c=8,可得p=(a+b+c)=10,則S==≤·=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)取等號,所以此三角形的面積的最大值為8.
14.證明:因?yàn)?+)2=2(a+b)+4+2≤6+2(a+b)+4=12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號,
所以+≤2.
15.3+2　[解析] 因?yàn)閤y=2x+y,所以(x-1)(y-2)=2,因?yàn)閤=>0,y=>0,所以x-1>0,y-2>0.+=+=3+2,因?yàn)?x-1)(y-2)=2,x-1>0,y-2>0,所以+≥2=,所以+≥3+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1+,y=2+時(shí)等號成立,所以+的最小值為3+2.
16.證明:(1)因?yàn)閍,b,c,d都是正數(shù),所以ab+cd≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)ab=cd時(shí),等號成立.
ac+bd≥2,當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí),等號成立.
所以(ab+cd)(ac+bd)≥2·2=4abcd,
當(dāng)且僅當(dāng)a=d,b=c時(shí),等號成立.
(2)因?yàn)閍,b,c都是正數(shù),所以b2+c2≥2bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號成立,c2+a2≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號成立,
a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.
所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號成立.

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