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單元素養測評卷(二)
1.D　[解析] ∵∴∴方程組的解集為{(1,2)}.故選D.
2.D　[解析] 對于A,由等式的性質知,若x=y,則x+5=y+5,故A中說法正確;對于B,由等式的性質知,若a=b,則ac=bc,故B中說法正確;對于C,由等式的性質知,若=,則a=b,故C中說法正確;對于D,由等式的性質知,若x=y,則=的前提條件為a≠0,故D中說法不正確.故選D.
3.A　[解析] 對于①,取a=1,b=-2,滿足a>b,但a2b2,但ab,但=2>1,故③錯誤;對于④,取a=1,b=-2,滿足a>b,但>,故④錯誤.故選A.
4.D　[解析] 當05.A　[解析] 設3x-y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,可得
解得所以3x-y=(x+y)+2(x-y),由題意得所以1≤3x-y≤7,即3x-y的取值范圍是[1,7].故選A.
6.D　[解析] 由題得關于x的方程x2-(m+1)x+2m-1=0的根為x1,x2,則x1+x2=m+1,x1x2=2m-1,由Δ=(m+1)2-4(2m-1)>0,得m>5或m<1.由+==<1,得<0,即(m-2)(2m-1)>0,解得m>2或m<,故實數m的取值范圍是∪(5,+∞).故選D.
7.C　[解析] 因為關于x的一元二次不等式ax2-bx+c>0的解集為{x|10,即(2x-1)(x-1)>0,解得x>1或x<,所以關于x的不等式cx2-bx+a<0的解集為∪(1,+∞).故選C.
8.C　[解析] 因為3x>y>0,所以3x-y>0,2x+3y>0,因為7x+5y=(3x-y)+2(2x+3y)=1,所以+=[(3x-y)+2(2x+3y)]=5++≥5+2=9,當且僅當即即時,等號成立,所以+的最小值為9.故選C.
9.CD　[解析] 當x=y=-1時,滿足+≥2,但不滿足x>0且y>0,故A錯誤;當a=4,b=3,m=-2時,滿足a>b>0,m<0,但>,故B錯誤;全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,故 p: x∈R,x≤0,故C正確;因為a>0,b>0,a+b=4,所以+=+=+=a-2+b-2++=+=4=[(a+2)+(b+2)]·=≥=2,當且僅當a=b=2時等號成立,所以+的最小值為2,故D正確.故選CD.
10.BC　[解析] 畫出函數y=x2+5x+m的圖象,關于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集為函數圖象在x軸下方的部分對應的點的橫坐標x的集合,因為函數y=x2+5x+m的圖象的對稱軸為直線x=-,不等式x2+5x+m<0的解集中有且僅有2個整數,所以解得4≤m<6.故選BC.
11.BC　[解析] 對于A,因為正實數x,y滿足x+y=1,所以x,y∈(0,1),因為≤=,當且僅當x=y=時取等號,所以的最大值是,故A錯誤;對于B,+=+=1++≥1+2=3,當且僅當x=y=時取等號,所以+的最小值是3,故B正確;對于C,由≤,得xy≤,所以x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy≥1-2×=,當且僅當x=y=時取等號,所以x2+y2的最小值是,故C正確;對于D,由≤,得xy≤,則x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=1×(x2-xy+y2)=(x+y)2-3xy=1-3xy≥1-=,當且僅當x=y=時等號成立,所以x3+y3的最小值是,故D錯誤.故選BC.
12.R　[解析] 當x<0時,|3x+1|≥0,2x<0,此時|3x+1|>2x恒成立,故x<0;當x≥0時,由|3x+1|>2x,得3x+1>2x,可得x≥0.綜上,原不等式的解集為R.
13.-1　[解析] 由|x-2|≥1,得x≤1或x≥3;由|x-2|≤1,得1≤x≤3.因為不等式(|x-2|-1)(x2+bx+c)≥0對x∈R恒成立,所以當x≤1或x≥3,即|x-2|-1≥0時,x2+bx+c≥0,當1≤x≤3,即|x-2|-1≤0時,x2+bx+c≤0,所以關于x的方程x2+bx+c=0的兩根分別為1,3,由根與系數的關系得1+3=-b,1×3=c,所以b=-4,c=3,所以b+c=-4+3=-1.
14.2　[解析] 因為+4x≥2=4,當且僅當x=時取等號,所以max≥2,因為+y≥2=4,當且僅當y=2時取等號,所以max≥2,所以max≥2,所以max的最小值為2.
15.解:(1)由①得2(2x+1)-3(3x+2)>6,解得x<-2.由②得2x-x<3,解得x<3.
所以原不等式組的解集為(-∞,-2).
(2)由①-②得2y=-4,由③-①得8x-4y=16,
即2x-y=4.由解得代入③,得9+6+z=17,解得z=2.
所以原方程組的解集是{(1,-2,2)}.
(3)由第一個式子可得y=2x-1,代入第二個式子可得x2+2(2x-1)2=3,
即9x2-8x-1=0,解得x1=1,x2=-,代入y=2x-1,可得y1=1,y2=-.
故方程組的解集為.
16.解:(1)由+≥,得m≤(a+3b),
因為a>0,b>0,所以(a+3b)=6++≥6+2=12,當且僅當=,即a=3b時取等號,
所以m≤12,所以m的最大值為12.
(2)若a+2b+2ab=8,a>0,b>0,則8-(a+2b)=a·2b≤,
當且僅當a=2b,即b=1,a=2時取等號,
則(a+2b)2+4(a+2b)-32≥0,
又a+2b>0,所以a+2b≥4,
所以a+2b的最小值為4.
17.解:(1)由題可知,±1為關于x的方程x2-2ax-(2a+b-1)(b-1)=0的根,
∴解得或
∵b>0,∴a=0,b=2.
(2)由題可知,Δ=(-2a)2-4×1×[-(2a+b-1)(b-1)]≤0,
∴a2+2a(b-1)+(b-1)2≤0,即(a+b-1)2≤0,∴a+b=1.
∵a>0,b>0,∴+=(a+b)=2++≥4,當且僅當a=b=時取等號,
∴+的最小值為4.
18.解:(1)由題圖知CD∥AE,所以=,即=,解得AE=,
所以y=×(x+12)=(x>0).
因為y==16,
且x+≥2=24,當且僅當x=12時,等號成立,
所以y=16≥768,所以當x=12時,y取得最小值768.
(2)因為矩形AEGF的面積大于1024 m2,
所以>1024,化簡得x2-40x+144>0,
即(x-4)(x-36)>0,可得036.
19.解:(1)設一個2元“完美集”為{x1,x2}(x1≠x2),則x1+x2=x1x2,
因為+3=×3=,
所以2元“完美集”可以為(答案不唯一).
(2)證明:設2元“完美集”為{x1,x2}(x1≠x2),則x1+x2=x1x2,
因為x1>0,x2>0,x1≠x2,所以x1+x2>2,
所以x1x2>2,又x1x2>0,所以x1x2>4,
所以對任意一個2元“完美集”,若其元素均為正數,則其元素之積一定大于4.
(3)設n元“完美集”為{x1,x2,…,xn},其中xi∈N*,i=1,2,…,n,
不妨設x1則x1x2…xn=x1+x2+…+xn假設|A|=n≥4,可知x1x2…xn-1≥1×2×…×(n-1)≥2(n-1)=n+n-2>n,
所以假設不成立,即|A|=n≤3,
又因為1+2+3=1×2×3,所以存在元素均為正整數的3元“完美集”{1,2,3},
所以|A|的最大值為3.單元素養測評卷(二)
第二章
(時間:120分鐘　分值:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.方程組的解集為 (　　)
A.{(2,1)} B.
C.{1,2} D.{(1,2)}
2.下列說法不正確的是 (　　)
A.若x=y,則x+5=y+5
B.若a=b,則ac=bc
C.若=,則a=b
D.若x=y,則=
3.給出以下結論:①a>b a2>b2;②a2>b2 a>b;③a>b <1;④a>b <.其中正確結論的個數是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
4.若0A. B.
C. D.
5.已知x,y滿足則3x-y的取值范圍是 (　　)
A.[1,7] B.[1,8]
C.[2,7] D.[-1,7]
6.已知關于x的一元二次不等式x2-(m+1)x+2m-1<0的解集為{x|x1A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.∪(2,+∞) D.∪(5,+∞)
7.[2025·江蘇南京高一期中] 已知關于x的一元二次不等式ax2-bx+c>0的解集為{x|1A.∪(1,+∞)
B.
C.∪(1,+∞)
D.
8.[2024·遼寧沈陽高一期末] 已知3x>y>0,且7x+5y=1,則+的最小值為 (　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是 (　　)
A.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要條件
B.若a>b>0,m<0,則<
C.若p: x∈R,x>0,則 p: x∈R,x≤0
D.若實數a,b滿足a>0,b>0,a+b=4,則+的最小值為2
10.已知關于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且僅有2個整數,則實數m的值可以是(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
11.[2025·黑龍江大慶高一期末] 設正實數x,y滿足x+y=1,則 (　　)
A.的最小值是
B.+的最小值是3
C.x2+y2的最小值是
D.x3+y3的最大值是
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.不等式|3x+1|>2x的解集是　　　　.
13.[2025·遼寧沈陽高一期末] 已知不等式(|x-2|-1)(x2+bx+c)≥0對x∈R恒成立,則b+c=　　　　.
14.[2025·貴州六盤水高一期末] 已知max{a,b,c,d}表示a,b,c,d中最大的數,例如max{1,2,1,3}=3.若x,y均為正數,則max的最小值為　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)解下列方程組或不等式組.
(1)(2)
(3)
16.(15分)已知a>0,b>0.
(1)若不等式+≥恒成立,求m的最大值;
(2)若a+2b+2ab=8,求a+2b的最小值.
17.(15分)[2025·安徽蕪湖高一期末] 已知關于x的不等式x2-2ax-(2a+b-1)(b-1)≥0(b>0).
(1)當不等式的解集為(-∞,-1]∪[1,+∞)時,求a,b的值;
(2)若a>0且不等式恒成立,求+的最小值.
18.(17分)[2025·云南曲靖高一期末] 某村原有一塊矩形場地ABCD建有健身器材,為了滿足村民對體育鍛煉的需求,計劃在原有矩形場地的基礎上擴建成一個更大的矩形場地AEGF.為了不影響原有的鍛煉環境,建造時要求點B在AE上,點D在AF上,且對角線EF經過點C,如圖所示.已知AB=16 m,AD=12 m,設DF=x m,矩形AEGF的面積為y m2.
(1)寫出y關于x的表達式,并求出x為多少時,y取得最小值.
(2)要使矩形AEGF的面積大于1024 m2,則DF的長應在什么范圍內
19.(17分)[2025·廣東廣州高一期末] 若一個集合含有n個元素(n≥2,n∈N),且這n個元素之和等于這n個元素之積,則稱該集合為n元“完美集”.
(1)寫出一個2元“完美集”(無需寫出求解過程);
(2)求證:對任意一個2元“完美集”,若其元素均為正數,則其元素之積大于4;
(3)記|A|為集合A中元素的個數,若集合A是元素均為正整數的“完美集”,求|A|的最大值.

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