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3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1.1 函數(shù)及其表示方法
第1課時(shí) 函數(shù)的概念
探究點(diǎn)一 函數(shù)概念的理解
探究點(diǎn)二 函數(shù)的定義域
探究點(diǎn)三 抽象函數(shù)的定義域
探究點(diǎn)四 函數(shù)求值問題和簡(jiǎn)單函數(shù)的值域
探究點(diǎn)五 同一個(gè)函數(shù)的判斷
◆
◆
◆
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課前預(yù)習(xí)
課中探究
課堂評(píng)價(jià)
備課素材
練習(xí)冊(cè)
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【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言
和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)
系在刻畫函數(shù)概念中的作用；
2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域.
知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)的有關(guān)概念
一般地，給定兩個(gè)____________與，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，如果對(duì)于
集合中的_____________，在集合中都有__________的實(shí)數(shù)與
對(duì)應(yīng)，則稱為定義在集合上的一個(gè)函數(shù)，記作, ,其
中稱為自變量，稱為因變量，自變量取值的范圍（即數(shù)集 ）稱
為這個(gè)函數(shù)的________.如果自變量取值，則由對(duì)應(yīng)關(guān)系 確定的值
稱為函數(shù)在處的函數(shù)值，記作或 ,所有函數(shù)值組成的
集合, 稱為函數(shù)的______.
非空實(shí)數(shù)集
每一個(gè)實(shí)數(shù)
唯一確定
定義域
值域
【診斷分析】
（1）怎樣理解函數(shù)概念中非空、任意性和唯一確定性？
解：①，必須為非空數(shù)集，②集合中元素具有任意性，③集合
中元素必須有唯一確定性．
（2）如果值域記作，上述定義中，集合， 有什么關(guān)系？
解： .
（3）已知函數(shù)，,,則與 有什么關(guān)系？
解：是值域中的一個(gè)值，即當(dāng) 時(shí)的函數(shù)值.
知識(shí)點(diǎn)二 同一個(gè)函數(shù)的概念
如果兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù)____________，________________，
則稱這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的就是同一個(gè)函數(shù).
定義域相同
對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同
【診斷分析】
定義域和值域分別相同的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)嗎？
解：不一定．因?yàn)槎x域和值域不能確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
如與兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域均為實(shí)數(shù)集 ，
但這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，原因是對(duì)應(yīng)關(guān)系不同．
知識(shí)點(diǎn)三 常見函數(shù)的定義域、值域
（1），定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?;
（2），定義域?yàn)?,值域?yàn)?br/>；
（3），定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?；
（4）,定義域?yàn)椋?，則值域?yàn)?br/>，若,則值域?yàn)?；
（5）對(duì)于函數(shù)，或,若 的定
義域?yàn)椋亩x域?yàn)?的定義域?yàn)椋瑒t .
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?br/>.( )
√
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?.( )
√
（3）函數(shù),的值域?yàn)?.( )
√
（4）函數(shù)的定義域?yàn)?.( )
×
[解析] 函數(shù)的定義域?yàn)?.
（5）函數(shù)的定義域?yàn)?.( )
√
（6）函數(shù)的定義域是，值域是 .( )
√
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
探究點(diǎn)一 函數(shù)概念的理解
［探索］ 是關(guān)于的函數(shù)，那么反之是關(guān)于 的函數(shù)嗎？
解：給定任意一個(gè)值都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，反之給定任意一個(gè)
值可能存在兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，故不是關(guān)于 的函數(shù).
例1（1）下列圖形中，可作為函數(shù)圖象的有( )
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
[解析] ②⑤中的圖形存在一個(gè)值有兩個(gè) 值與之對(duì)應(yīng)，所以不是函
數(shù)圖象，①③④中的圖形滿足函數(shù)定義，是函數(shù)圖象．故選B.
√
（2）已知集合,0,1,, ，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)
系，請(qǐng)由函數(shù)的定義判斷，其中能構(gòu)成從集合到集合 的函數(shù)的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 對(duì)于A，當(dāng)時(shí)， ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)， ，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)， ,故D錯(cuò)誤.故選C.
√
變式（1）［2025·山東聊城高一期末］已知集合, ，
則下列選項(xiàng)中是從集合到集合 的函數(shù)的為( )
A. B. C. D.
[解析] 對(duì)于A，定義域?yàn)?，不滿足函數(shù)的特性，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，值域?yàn)椋?dāng)取集合中的元素0時(shí)，集合 中沒有元
素與之對(duì)應(yīng)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，值域?yàn)椋?dāng)取集合 中的元素為負(fù)值時(shí)，集合 中沒有元素
與之對(duì)應(yīng)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，滿足函數(shù)的定義，故D正確.故選D.
√
（2）［2025·陜西西安高一期末］下列圖形中，可以表示函數(shù)的為
( )
A. B. C. D.
[解析] 選項(xiàng)A，C，D的圖形中存在 對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的函數(shù)值，不可
以表示函數(shù)，故B正確.故選B.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）根據(jù)圖象判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法：
①作一條垂直于軸的直線；
②在的取值范圍內(nèi)平移直線；
③若直線在平移的過程中與圖象始終有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)，
若沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù).
（2）判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的兩個(gè)條件：
①，必須是非空實(shí)數(shù)集；
②中任意一個(gè)元素在中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)關(guān)系是
“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系.
探究點(diǎn)二 函數(shù)的定義域
例2 求下列函數(shù)的定義域：
（1） ；
解：由解得 ，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?.
（2） ；
解：由解得且 ，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?.
例2 求下列函數(shù)的定義域：
（3） .
解：由解得且 ，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?.
例2 求下列函數(shù)的定義域：
變式 求下列函數(shù)的定義域：
（1） ；
解：由題知，因?yàn)?，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?.
變式 求下列函數(shù)的定義域：
（2） ；
解：由解得且 ，所以函數(shù)
的定義域?yàn)?.
（3） .
解：由題知，即，所以 ，所以函數(shù)
的定義域?yàn)?.
變式 求下列函數(shù)的定義域：
［素養(yǎng)小結(jié)］
求函數(shù)定義域的常用依據(jù)：
（1）若是分式，則分母不為零；
（2）若是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零；
（3）若是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域要使各個(gè)式子都
有意義；
（4）若是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題
有意義；
（5）定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不
同區(qū)間應(yīng)該用“ ”連接.
探究點(diǎn)三 抽象函數(shù)的定義域
［探索］ 函數(shù)的定義域是指“”和“ ”誰的取值范圍？
解：定義域都是指表達(dá)式中“”的取值范圍，所以函數(shù) 的定
義域是指“ ”的取值范圍.
例3（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù) 的定義
域?yàn)? )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋睿?br/>則 的定義域?yàn)椋矗獾?，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?.故選A.
√
（2）已知的定義域?yàn)椋瑒t 的定義域
為( )
A. B. C. D.
[解析] 由的定義域?yàn)椋?，
所以，所以，即的定義域?yàn)?.
令，得，所以的定義域?yàn)?.
故選B.
√
變式（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t 的定義域
為( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br/>所以 解得 .故選B.
√
（2）［2025· 陜西咸陽高一期中］已知函數(shù) 的定義域
為，則函數(shù) 的定義域?yàn)? )
A. B. C. D.
[解析] 由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，
所以，所以的定義域?yàn)椋?br/>又 ，所以，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?.故選A.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
求抽象函數(shù)定義域的方法：
（1）當(dāng)對(duì)應(yīng)關(guān)系所施加的對(duì)象與解析式中表述的對(duì)象不一致時(shí)，
應(yīng)將左、右兩端統(tǒng)一，也可以用“換元法”，將較難配湊的式子化簡(jiǎn).
（2）若已知函數(shù)的定義域?yàn)?m>，則函數(shù)的定義域由
不等式解出即得.若已知函數(shù)的定義域?yàn)?m>，
則函數(shù)在時(shí)的取值范圍即為所求函數(shù)的定義域.
探究點(diǎn)四 函數(shù)求值問題和簡(jiǎn)單函數(shù)的值域
例4（1）已知且， ，
.
①求，, 的值；
解：， .
， .
令，則 .
②求 的值.
解：， .
（2）求下列函數(shù)的值域：
① ;
解： ，
所以函數(shù)的值域?yàn)?.
（2）求下列函數(shù)的值域：
② ;
解： 令，則 ，
則,
因?yàn)?，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域?yàn)?.
③, .
解： ，
由 ，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的值域?yàn)?.
（2）求下列函數(shù)的值域：
變式（1）若，則 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 令，解得 ，
則 .故選C.
√
（2）已知 ，則
__.
[解析] 因?yàn)椋援?dāng) 時(shí)，
，又 ，
所以 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）求函數(shù)值域的原則：
①先確定相應(yīng)的定義域；
②再根據(jù)函數(shù)的具體形式通過運(yùn)算確定其值域.
（2）求函數(shù)值域的常用方法：
①觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到；
②配方法：求“二次函數(shù)”類值域的基本方法；
③換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從
而求得原函數(shù)的值域，對(duì)于（其中， ，
，為常數(shù)，且 ）型的函數(shù)常用換元法；
④分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為
“反比例函數(shù)”類的形式，便于求值域.
探究點(diǎn)五 同一個(gè)函數(shù)的判斷
例5 ［2025·天津南開區(qū)高一期末］下列函數(shù)中與 是同一個(gè)
函數(shù)的為( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 對(duì)于A，的定義域是， 的定義域是
，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，與的定義域都是 ，且對(duì)應(yīng)關(guān)系
相同，是同一個(gè)函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，與 的對(duì)應(yīng)關(guān)
系不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，的定義域是 ，的定義域是
，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一個(gè)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選B.
變式 下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)？為什么？
（1）， ；
解：與的定義域相同，，
與 的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，與 是同一個(gè)函數(shù)．
變式 下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)？為什么？
（2）， ；
解：的定義域?yàn)椋?br/>的定義域?yàn)?，即兩函數(shù)的定義域相同，
， 兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，
與 是同一個(gè)函數(shù)．
（3）， .
解：與 的定義域相同，
但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，與 不是同一個(gè)函數(shù).
變式 下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)？為什么？
［素養(yǎng)小結(jié)］
判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)的條件：
（1）判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)
關(guān)系分別相同,定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同
一個(gè)函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個(gè)函數(shù)；
（2）函數(shù)是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自
變量、因變量是沒有限制的,另外，在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.
1.若集合， ，則下列圖形給出的
對(duì)應(yīng)中能構(gòu)成從到 的函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
[解析] 結(jié)合選項(xiàng)可知D正確．
√
2.下列函數(shù)中，值域?yàn)?的是( )
A. B. C. D.
[解析] 的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?
的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?.
故選B.
√
3.已知，則 的值是( )
A.0 B. C. D.4
[解析] 令，解得 ，
所以 .故選B.
√
4.下列選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是( )
A.與
B.與
C.與
D.與
√
[解析] 對(duì)于A，的定義域?yàn)椋?的定義域?yàn)?br/>， 兩個(gè)函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，
兩個(gè)函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，兩函數(shù)的定義域都為 ，又 ，
所以兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，無意義，而 ,故D錯(cuò)誤.故選C.
5.［2025·江蘇蘇州高一期中］函數(shù) 的定
義域?yàn)開___________.
[解析] 由解得且 ，
所以函數(shù)的定義域是 .
從北斗七星形狀的變化到德國(guó)氣象學(xué)家魏格納 提
出的“大陸漂移說”，類似這種變化的故事很多，這個(gè)世界的一切的
量，都隨著時(shí)間的變化而變化.時(shí)間是最原始的自行變化的量，其他
量則是因變量.“函數(shù)”一詞是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨創(chuàng)造的.記號(hào) 則
是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于公元1734年引入的.德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼
給出的函數(shù)的定義是：假定 是一個(gè)變量，它可以逐
次取所有可能的實(shí)數(shù)值，如果對(duì)它的每一個(gè)值，都有唯一的一個(gè)
與之對(duì)應(yīng)，則稱為 的函數(shù).
1.求抽象函數(shù)的定義域
例1（1）若函數(shù)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù) 的定義域；
解：的定義域?yàn)?，
使有意義的條件是 ，
解得 ，
的定義域?yàn)?．
（2）若函數(shù)的定義域?yàn)椋?的定義域．
解：的定義域?yàn)椋?，
，的定義域?yàn)?．
2.實(shí)際問題求函數(shù)的自變量的取值范圍.
例2 ［2024·四川成都高一期中］一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過 落到地
面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為，且炮彈距地面的高度
（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系為 ，該函數(shù)
的定義域?yàn)? )
A. B. C. D.
[解析] 由題意可知，炮彈發(fā)射后共飛行了，所以 ，
即函數(shù)的定義域?yàn)?.故選C.
√
練習(xí)冊(cè)
1.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù) 的定義域?yàn)?br/>( )
A. B.
C. D.
[解析] 由題得解得或 ，
故函數(shù)的定義域?yàn)?.故選D.
√
2.［2025·湖北武漢高一期末］已知集合 ,
，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中不能作為從到 的函數(shù)的是
( )
A.為“乘二分之一” B. 為“乘三分之一”
C.為“乘三分之二” D. 為“求平方根”
√
[解析] 對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)每一個(gè) ，
有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)，故A能作為從到 的函數(shù)；
對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)每一個(gè) ，
有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)，故B能作為從到的函數(shù)；
對(duì)于C， ，當(dāng)時(shí)，，故C不能作為
從到 的函數(shù)；
對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)每一個(gè) ，有唯一
確定的與其對(duì)應(yīng)，故D能作為從到 的函數(shù).故選C.
3.［2025·山西太原高一期中］已知，則
( )
A. B. C.1 D.7
[解析] 由題意，得，則 ，
所以 .故選B.
√
4.中文“函數(shù)”一詞，最早是由清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯而得，之所以這
么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函
數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，下列選項(xiàng)中是
同一個(gè)函數(shù)的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 對(duì)于A，和的定義域均為， ，
，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以和 不是同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)
誤；
對(duì)于B，和的定義域均為， ，，
故和 的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以和是同
一個(gè)函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C， 的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)椋屎?br/>的定義域不相同，所以和不是同一個(gè)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D， 的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)椋屎?br/>的定義域不相同，所以和 不是同一個(gè)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選B.
5.［2025·四川遂寧高一期末］已知 ,
，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合 到集合
的函數(shù)關(guān)系的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，在 中無元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)
定義，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，集合中的每個(gè)值，在集合 中均有唯一值與之對(duì)應(yīng)，滿足函
數(shù)的定義，故B正確；
A. B.
對(duì)于C，當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)元素，不滿足函數(shù)的定義，故C錯(cuò)
誤；
對(duì)于D，當(dāng) 時(shí)，在 中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，
故D錯(cuò)誤.故選B.
C. D.
6.［2025·四川成都高一期中］定義在區(qū)間
上的函數(shù) 的圖象如圖所示.
若只有唯一的與對(duì)應(yīng)，則 的取值范圍為
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由圖象可知，若滿足唯一的與對(duì)應(yīng)，
則 的取值范圍為 .故選A.
√
7.（多選題）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合，2，到集合 ，2，
4， 的函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
[解析] 對(duì)于A，當(dāng)時(shí)， ，不符合函數(shù)的定義，故
A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，
，不符合函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，
符合函數(shù)的定義，故C正確；
√
√
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)，，符合函數(shù)的定義，故D正確.故選 .
8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)
的定義域?yàn)開______.
[解析] 由題意得解得 ，
所以的定義域?yàn)?.
9.［2025·安徽滁州高一期中］設(shè)，函數(shù)表示不超過 的
最大整數(shù)，例如， .若函數(shù)
，則函數(shù) 的值域是__________.
,0,1,
[解析] 因?yàn)椋裕?.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，；
當(dāng)時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)，.
綜上，函數(shù) 的值域是,0,1, .
10.（13分）已知 .
（1）求，， 的值；
解：由已知可得， ，
.
（2）求函數(shù) 的值域；
解： ，
所以函數(shù)的值域?yàn)?.
（3）若，求 的值.
解：因?yàn)椋?.
11.［2024·福建福州高一期中］已知函數(shù) 的定義域?yàn)?br/>，值域?yàn)椋瑒t 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函數(shù) 的圖
象的對(duì)稱軸方程為 ，且開口向上，如圖.
， ，由圖可知,要
使函數(shù)的定義域?yàn)?，值
域?yàn)椋瑒t的取值范圍是 .故選B.
12.已知函數(shù)滿足 ,
,則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令,,則,得 .
令,,則,得.
令, , 則,得.
令, ,則,得.
令, ,則,得 .故選B.
13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?,且對(duì)
任意的,恒有 ,則滿足條件的不同函數(shù)共有____個(gè).
10
[解析] 如圖,可知滿足條件的不同函數(shù)共有10個(gè).
14.（15分）［2024·江蘇鹽城高一期中］ 為了增
強(qiáng)生物實(shí)驗(yàn)課的趣味性，豐富生物實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容，
某校計(jì)劃沿著圍墻（足夠長(zhǎng)）劃出一塊面積為
100平方米的矩形區(qū)域 修建一個(gè)羊駝養(yǎng)殖場(chǎng)，
規(guī)定的每條邊長(zhǎng)均不超過20米.如圖所示，矩形 為羊駝養(yǎng)殖
區(qū)，且點(diǎn)，，， 四點(diǎn)共線，陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設(shè)
（單位：米），養(yǎng)殖區(qū)域的面積為 （單位：平方米）.
（1）將表示為的函數(shù)，并寫出 的取值范圍.
解：因?yàn)椋裕?，
所以 ，
因?yàn)椋?.
（2）當(dāng)為多長(zhǎng)時(shí)， 取得最大值？并求出最
大值.
解： ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)為 米
時(shí)，取得最大值，最大值為 平方米.
15.規(guī)定符號(hào)*表示一種運(yùn)算，且（， 為正實(shí)
數(shù)），，則正整數(shù)的值為___，函數(shù) 的值域?yàn)?br/>_________．
1
[解析] 由已知得， ，可得
，令 ，
則，所以 ，所以函數(shù)
的值域?yàn)?.
16.（15分）函數(shù)為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)， 表示不超
過的最大整數(shù)，如， .已知函數(shù)
，求函數(shù) 的值域.
解：因?yàn)椋?.
若，則 .
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
所以，所以，
此時(shí)函數(shù) 的取值范圍為， ；
當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
所以 ，此時(shí)函數(shù)的取值范圍為, .
綜上所述，函數(shù)的值域是,0, .
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一 非空實(shí)數(shù)集 每一個(gè)實(shí)數(shù) 唯一確定 定義域 值域 【診斷分析】
（1）略（2） （3）略 知識(shí)點(diǎn)二 定義域相同 對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同 【診斷分析】
不一定 知識(shí)點(diǎn)三 【診斷分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）√ （6）√
課中探究 探究點(diǎn)一 ［探索］不是關(guān)于的函數(shù) 例1（1）B（2）C 變式（1）D （2）B
探究點(diǎn)二 例2 （1）（2）（3） 變式 （1）
（2） （3） 探究點(diǎn)三［探索］ “” 例3 （1）A （2）B 變式
（1）B （2）A 探究點(diǎn)四 例4（1）①，， ②<
（2）① ② ③ 變式 （1）C （2）
探究點(diǎn)五 例5 B 變式 （1）是 （2）是 （3）不
課堂評(píng)價(jià) 1.D 2.B 3.B 4.C 5.
備用習(xí)題 例1 （1）（2） 例2 C
快速核答案（練習(xí)冊(cè)）
基礎(chǔ)鞏固
1.D 2.C 3.B 4.B 5.B 6.A 7.CD 8. 9.,0,1,
10.（1），，<
（2）（3）2
綜合提升
11.B 12.B 13.10 14.（1），.
（2）當(dāng)為米時(shí)，取得最大值，最大值為平方米.
思維探索
15.1 16.,0,.第三章　函數(shù)
3.1　函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1.1　函數(shù)及其表示方法
第1課時(shí)　函數(shù)的概念
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
非空實(shí)數(shù)集　每一個(gè)實(shí)數(shù)x　唯一確定　定義域　值域
診斷分析
解:(1)①A,B必須為非空數(shù)集,②集合A中元素具有任意性,③集合B中元素必須有唯一確定性.
(2)C B.
(3)f(a)是f(x)值域中的一個(gè)值,即當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值.
知識(shí)點(diǎn)二
定義域相同　對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同
診斷分析
解:不一定.因?yàn)槎x域和值域不能確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.如y=x+1與y=x-1兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域均為實(shí)數(shù)集R,但這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù),原因是對(duì)應(yīng)關(guān)系不同.
知識(shí)點(diǎn)三
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√
[解析] (4)函數(shù)y=的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞).
【課中探究】
探索 解:給定任意一個(gè)x值都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng),反之給定任意一個(gè)y值可能存在兩個(gè)x值與之對(duì)應(yīng),故x不是關(guān)于y的函數(shù).
例1　(1)B　(2)C　[解析] (1)②⑤中的圖形存在一個(gè)x值有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng),所以不是函數(shù)圖象,①③④中的圖形滿足函數(shù)定義,是函數(shù)圖象.故選B.
(2)對(duì)于A,當(dāng)x=-1時(shí),y=-1 N,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)x=0時(shí),y=0 N,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)x=±1時(shí),y=2∈N,當(dāng)x=0時(shí),y=1∈N,當(dāng)x=2時(shí),y=4∈N,故C正確;對(duì)于D,當(dāng)x=-1時(shí),y=0 N,故D錯(cuò)誤.故選C.
變式　(1)D　(2)B　[解析] (1)對(duì)于A,定義域?yàn)閇0,+∞),不滿足函數(shù)的特性,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,值域?yàn)閇0,+∞),當(dāng)取集合A中的元素0時(shí),集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,值域?yàn)镽,當(dāng)取集合A中的元素為負(fù)值時(shí),集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,滿足函數(shù)的定義,故D正確.故選D.
(2)選項(xiàng)A,C,D的圖形中存在x對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的函數(shù)值,不可以表示函數(shù),故B正確.故選B.
例2　解:(1)由解得0≤x≤,
所以函數(shù)y=2-的定義域?yàn)?
(2)由解得x>-2且x≠-1,
所以函數(shù)y=的定義域?yàn)?-2,-1)∪(-1,+∞).
(3)由解得-2≤x≤2且x≠0,
所以函數(shù)y=+的定義域?yàn)閇-2,0)∪(0,2].
變式　解:(1)由題知x2-2x+2≠0,因?yàn)閤2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽.
(2)由解得x>2且x≠3,所以函數(shù)f(x)=+(x-3)0的定義域?yàn)?2,3)∪(3,+∞).
(3)由題知x+|x|≠0,即|x|≠-x,所以x>0,所以函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?0,+∞).
探索 解:定義域都是指表達(dá)式中“x”的取值范圍,所以函數(shù)f(3x+1)的定義域是指“x”的取值范圍.
例3　(1)A　(2)B　[解析] (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?-2,1),令t=2x-1,則f(t)的定義域?yàn)?-2,1),即-2<2x-1<1,解得-(2)由y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇1,3],得x∈[1,3],所以x2∈[1,9],所以x2-1∈[0,8],即f(x)的定義域?yàn)閇0,8].令2x-1∈[0,8],得x∈,所以y=f(2x-1)的定義域?yàn)?故選B.
變式　(1)B　(2)A　[解析] (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,+∞),所以解得2≤x≤4.故選B.
(2)由函數(shù)y=f(3x+2)的定義域?yàn)?得-≤x≤1,所以-3≤3x+2≤5,所以y=f(x)的定義域?yàn)閇-3,5],又x-1>0,所以x>1,所以函數(shù)y=的定義域?yàn)?1,5].故選A.
例4　解:(1)①∵f(x)=,∴f(2)==.
∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.
令x=1,則h(2)=2×12-2×1=0.
②∵g(3)=32+2=11,∴f[g(3)]=f(11)==.
(2)①y===1-≠1,所以函數(shù)的值域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞).
②令=t(t≥0),則x=t2+1,則y=t2+t+1=+,因?yàn)閠≥0,所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞).
③y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),結(jié)合函數(shù)的圖象,可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6).
變式　(1)C　(2)　[解析] (1)令=,解得x=-2,則f=f=+=-=.故選C.
(2)因?yàn)閒(x)=,所以當(dāng)x≠0時(shí),f(x)+f=+=+=1,又f(1)==,所以f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=f(1)+++=+1+1+1=.
例5　B　[解析] 對(duì)于A,f(x)=x2的定義域是R,g(x)=()4的定義域是{x|x≥0},兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同,不是同一個(gè)函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,f(x)=x2與g(x)==x2的定義域都是R,且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,是同一個(gè)函數(shù),故B正確;對(duì)于C,f(x)==|x|=-x與g(x)=x的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,不是同一個(gè)函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,f(x)=x-1的定義域是R,g(x)=-1的定義域是{x|x≠0},兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同,不是同一個(gè)函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選B.
變式　解:(1)f(x)與φ(t)的定義域相同,∵φ(t)==|t|,∴f(x)與φ(t)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同,∴f(x)與φ(t)是同一個(gè)函數(shù).
(2)y=·的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1},y=的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1},即兩函數(shù)的定義域相同,∵y=·=,∴兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同,∴y=·與y=是同一個(gè)函數(shù).
(3)∵y==|x-3|與y=x-3的定義域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,∴y=與y=x-3不是同一個(gè)函數(shù).
【課堂評(píng)價(jià)】
1.D　[解析] 結(jié)合選項(xiàng)可知D正確.
2.B　[解析] y=的值域?yàn)閇0,+∞),y=的值域?yàn)?0,+∞),y=的值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域?yàn)閇1,+∞).故選B.
3.B　[解析] 令2x+1=2,解得x=,所以f(2)=f=4×+4×-5=-2.故選B.
4.C　[解析] 對(duì)于A,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)=()2的定義域?yàn)閇0,+∞),兩個(gè)函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,f(x)=2|x|的定義域?yàn)镽,g(x)=的定義域?yàn)閧x|x≠0},兩個(gè)函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,兩函數(shù)的定義域都為R,又f(x)==|x-1|,所以兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù),故C正確;對(duì)于D,當(dāng)x=0時(shí),f(x)無意義,而g(0)=1,故D錯(cuò)誤.故選C.
5.[1,3)∪(3,5]　[解析] 由解得1≤x≤5且x≠3,所以函數(shù)y=+-的定義域是[1,3)∪(3,5].第三章　函數(shù)
3.1　函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1.1　函數(shù)及其表示方法
第1課時(shí)　函數(shù)的概念
1.D　[解析] 由題得解得12.C　[解析] 對(duì)于A,y=x,當(dāng)0≤x≤4時(shí),0≤y≤2,且對(duì)每一個(gè)x,有唯一確定的y與其對(duì)應(yīng),故A能作為從A到B的函數(shù);對(duì)于B,y=x,當(dāng)0≤x≤4時(shí),y∈ [0,2],且對(duì)每一個(gè)x,有唯一確定的y與其對(duì)應(yīng),故B能作為從A到B的函數(shù);對(duì)于C,y=x,當(dāng)0≤x≤4時(shí),y∈ [0,2],故C不能作為從A到B的函數(shù);對(duì)于D,y=,當(dāng)0≤x≤4時(shí),y∈[0,2],且對(duì)每一個(gè)x,有唯一確定的y與其對(duì)應(yīng),故D能作為從A到B的函數(shù).故選C.
3.B　[解析] 由題意,得f(3x+1)=(3x+1)+,則f(t)=t+,所以f(-2)=×(-2)+=-1.故選B.
4.B　[解析] 對(duì)于A,f(x)和g(x)的定義域均為R, f(x)==|x|,g(x)=x,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,所以f(x)和g(x)不是同一個(gè)函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,f(x)和g(x)的定義域均為R,f(x)=x,g(x)==x,故f(x)和g(x)的定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同,所以f(x)和g(x)是同一個(gè)函數(shù),故B正確;對(duì)于C,f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-2},g(x)的定義域?yàn)镽,故f(x)和g(x)的定義域不相同,所以 f(x)和g(x)不是同一個(gè)函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},故f(x)和g(x)的定義域不相同, 所以f(x)和g(x)不是同一個(gè)函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選B.
5.B　[解析] 對(duì)于A,當(dāng)16.A　[解析] 由圖象可知,若滿足唯一的p與r對(duì)應(yīng),則r的取值范圍為[0,2)∪(5,+∞).故選A.
7.CD　[解析] 對(duì)于A,當(dāng)x=-2時(shí),y=-4 N,不符合函數(shù)的定義,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)x=-2時(shí),y=0,當(dāng)x=2時(shí),y=4,當(dāng)x=4時(shí),y=6 N,不符合函數(shù)的定義,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)x=-2時(shí),y=4,當(dāng)x=2時(shí),y=4,當(dāng)x=4時(shí),y=16,符合函數(shù)的定義,故C正確;對(duì)于D,當(dāng)x=-2時(shí),y=2,當(dāng)x=2時(shí),y=2,當(dāng)x=4時(shí),y=4,符合函數(shù)的定義,故D正確.故選CD.
8.(-2,3]　[解析] 由題意得解得-29.{-1,0,1,2}　[解析] 因?yàn)閤2+1≥1,所以0<≤3,所以-110.解:(1)由已知可得f(2)=22-4×2+2=-2,f(a)=a2-4a+2,f(a+1)=(a+1)2-4(a+1)+2=a2-2a-1.
(2)f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2≥-2,
所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,+∞).
(3)因?yàn)間(3)=3+1=4,所以f[g(3)]=f(4)=42-4×4+2=2.
11.B　[解析] 函數(shù)y=x2-3x-4=-的圖象的對(duì)稱軸方程為x=,且開口向上,如圖.f=-,f(-1)=f(4)=0,由圖可知,要使函數(shù)y=x2-3x-4的定義域?yàn)閇-1,m],值域?yàn)?則m的取值范圍是.故選B.
12.B　[解析] 令x=1,y=0,則4f(1)f(0)=f(1)+f(1),得f(0)=.令x=1,y=1,則4f(1)f(1)=f(2)+f(0),得f(2)=-.令x=2,y=1,則4f(2)f(1)=f(3)+f(1),得f(3)=-.令x=2,y=2,則4f(2)f(2)=f(4)+f(0),得f(4)=-.令x=4,y=3,則4f(4)f(3)=f(7)+f(1),得f(7)=.故選B.
13.10　[解析] 如圖,可知滿足條件的不同函數(shù)共有10個(gè).
14.解:(1)因?yàn)锳B=x,所以AD=,FG=-1,EF=x-2,所以S=(x-2)=102-x-,
因?yàn)?(2)S=(x-2)=102-x-≤102-2=102-20,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=10時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)AB為10米時(shí),S取得最大值,最大值為(102-20)平方米.
15.1　(1,+∞)　[解析] 由已知得,1*k=+1+k=3,可得k=1.y=k*x=+1+x=+(x>0),令t=,則y=+(t>0),所以y>+=1,所以函數(shù)y=k*x的值域?yàn)?1,+∞).
16.解:因?yàn)閒(0)=,所以[f(0)]=0.
若x≠0,則f(x)=+=+.
當(dāng)x>0時(shí),x++3≥2+3=7,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,所以0<≤,所以當(dāng)x<0時(shí),-+3≤-2+3=-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)等號(hào)成立,所以-1≤<0,所以-≤f(x)<,此時(shí)函數(shù)y=[f(x)]的取值范圍為{-1,0}.
綜上所述,函數(shù)y=[f(x)]的值域是{-1,0,1}.第三章　函數(shù)
3.1　函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1.1　函數(shù)及其表示方法
第1課時(shí)　函數(shù)的概念
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念,體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;
2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)的有關(guān)概念
一般地,給定兩個(gè)　　　　　　A與B,以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f,如果對(duì)于集合A中的　　　　　　　,在集合B中都有　　　　　的實(shí)數(shù)y與x對(duì)應(yīng),則稱f為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),x∈A,其中x稱為自變量,y稱為因變量,自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個(gè)函數(shù)的　　　　　.如果自變量取值a,則由對(duì)應(yīng)關(guān)系f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值,記作y=f(a)或y|x=a,所有函數(shù)值組成的集合{y|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的　　　　.
【診斷分析】 (1)怎樣理解函數(shù)概念中非空、任意性和唯一確定性
(2)如果值域記作C,上述定義中,集合B,C有什么關(guān)系
(3)已知函數(shù)y=f(x),x∈A,a∈A,則f(x)與f(a)有什么關(guān)系
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　同一個(gè)函數(shù)的概念
如果兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù)　　　　　　　,　　　　　　　,則稱這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的就是同一個(gè)函數(shù).
【診斷分析】 定義域和值域分別相同的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)嗎
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　常見函數(shù)的定義域、值域
(1)y=kx+b(k≠0),定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽;
(2)y=+m(k≠0),定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),值域?yàn)?-∞,m)∪(m,+∞);
(3)y=,定義域?yàn)閇0,+∞),值域?yàn)閇0,+∞);
(4)y=ax2+bx+c(a≠0),定義域?yàn)镽,若a>0,則值域?yàn)?若a<0,則值域?yàn)?
(5)對(duì)于函數(shù)F(x)=f(x)g(x),或F(x)=f(x)±g(x),若F(x)的定義域?yàn)镈,f(x)的定義域?yàn)镈1,g(x)的定義域?yàn)镈2,則D=D1∩D2.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞),值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞). (　 )
(2)函數(shù)y=的定義域?yàn)?0,+∞),值域?yàn)?0,+∞). (　 )
(3)函數(shù)y=-x+1,x∈[-1,2]的值域?yàn)閇-1,2].(　 )
(4)函數(shù)y=的定義域?yàn)?-∞,+∞).(　 )
(5)函數(shù)f(x)=+的定義域?yàn)?-∞,5)∪(5,10]. (　 )
(6)函數(shù)f(x)=的定義域是R,值域是[,+∞). (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　函數(shù)概念的理解
[探索] y=x2是關(guān)于x的函數(shù),那么反之x是關(guān)于y的函數(shù)嗎
例1 (1)下列圖形中,可作為函數(shù)圖象的有 (　 )
A.2個(gè) B.3個(gè)
C.4個(gè) D.5個(gè)
(2)已知集合M={-1,0,1,2},N={1,2,3,4},給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,請(qǐng)由函數(shù)的定義判斷,其中能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)的是 (　 )
A.y=x B.y=x2
C.y=2|x| D.y=x3+1
變式 (1)[2025·山東聊城高一期末] 已知集合A=R,B=(0,+∞),則下列選項(xiàng)中是從集合A到集合B的函數(shù)的為 (　 )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=x3 D.f(x)=1
(2)[2025·陜西西安高一期末] 下列圖形中,可以表示函數(shù)的為 (　 )
A B C D
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)根據(jù)圖象判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法:
①作一條垂直于x軸的直線l;
②在x的取值范圍內(nèi)平移直線l;
③若直線l在平移的過程中與圖象始終有且只有一個(gè)交點(diǎn),則是函數(shù),若沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn),則不是函數(shù).
(2)判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的兩個(gè)條件:
①A,B必須是非空實(shí)數(shù)集;
②A中任意一個(gè)元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系,“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系.
◆ 探究點(diǎn)二　函數(shù)的定義域
例2 求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=2-;
(2)y=;
(3)y=+.
變式 求下列函數(shù)的定義域:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+(x-3)0;
(3)f(x)=.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求函數(shù)定義域的常用依據(jù):
(1)若f(x)是分式,則分母不為零;
(2)若f(x)是偶次根式,則被開方數(shù)大于或等于零;
(3)若f(x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的,則函數(shù)的定義域要使各個(gè)式子都有意義;
(4)若f(x)是實(shí)際問題的解析式,則應(yīng)符合實(shí)際問題,使實(shí)際問題有意義;
(5)定義域是一個(gè)集合,要用集合或區(qū)間表示,若用區(qū)間表示,不同區(qū)間應(yīng)該用“∪”連接.
◆ 探究點(diǎn)三　抽象函數(shù)的定義域
[探索] 函數(shù)f(3x+1)的定義域是指“x”和“3x+1”誰的取值范圍
例3 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-2,1),則函數(shù)f(2x-1)的定義域?yàn)?(　 )
A. B.(-5,1)
C. D.(-2,1)
(2)已知y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇1,3],則y=f(2x-1)的定義域?yàn)?(　 )
A. B.
C. D.
變式 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,+∞),則f+f的定義域?yàn)?(　 )
A. B.[2,4]
C.[1,+∞) D.
(2)[2025·陜西咸陽高一期中] 已知函數(shù)y=f(3x+2)的定義域?yàn)?則函數(shù)y=的定義域?yàn)?(　 )
A.(1,5] B.[1,5]
C. D.(2,5]
[素養(yǎng)小結(jié)]
求抽象函數(shù)定義域的方法:
(1)當(dāng)對(duì)應(yīng)關(guān)系f所施加的對(duì)象與解析式中表述的對(duì)象不一致時(shí),應(yīng)將左、右兩端統(tǒng)一,也可以用“換元法”,將較難配湊的式子化簡(jiǎn).
(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即得.若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],則函數(shù)g(x)在x∈[a,b]時(shí)的取值范圍即為所求函數(shù)f(x)的定義域.
◆ 探究點(diǎn)四　函數(shù)求值問題和簡(jiǎn)單函數(shù)的值域
例4 (1)已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R),h(x+1)=2x2-2x(x∈R).
①求f(2),g(2),h(2)的值;
②求f[g(3)]的值.
(2)求下列函數(shù)的值域:
①y=;②y=x+;
③y=x2-2x+3,x∈[0,3).
變式 (1)若f=+(x≠0),則f= (　 )
A.1 B. C. D.
(2)已知f(x)=,則f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)求函數(shù)值域的原則:
①先確定相應(yīng)的定義域;
②再根據(jù)函數(shù)的具體形式通過運(yùn)算確定其值域.
(2)求函數(shù)值域的常用方法:
①觀察法:對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù),其值域可通過觀察法得到;
②配方法:求“二次函數(shù)”類值域的基本方法;
③換元法:運(yùn)用新元代換,將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域,對(duì)于f(x)=ax+b+(其中a,b,c,d為常數(shù),且ac≠0)型的函數(shù)常用換元法;
④分離常數(shù)法:此方法主要是針對(duì)有理分式,即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”類的形式,便于求值域.
◆ 探究點(diǎn)五　同一個(gè)函數(shù)的判斷
例5 [2025·天津南開區(qū)高一期末] 下列函數(shù)中f(x)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)的為 (　 )
A.f(x)=x2,g(x)=()4
B.f(x)=x2,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=x-1,g(x)=-1
變式 下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù) 為什么
(1)f(x)=|x|,φ(t)=;
(2)y=·,y=;
(3)y=,y=x-3.
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)的條件:
(1)判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同,定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一個(gè)函數(shù),即使定義域與值域都相同,也不一定是同一個(gè)函數(shù);
(2)函數(shù)是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的,另外,在化簡(jiǎn)解析式時(shí),必須是等價(jià)變形.
1.若集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},則下列圖形給出的對(duì)應(yīng)中能構(gòu)成從A到B的函數(shù)的是 (　 )
A B C D
2.下列函數(shù)中,值域?yàn)?0,+∞)的是 (　 )
A.y= B.y=
C.y= D.y=x2+1
3.已知f(2x+1)=4x2+4x-5,則f(2)的值是 (　 )
A.0 B.-2
C. D.4
4.下列選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是 (　 )
A.f(x)=x與g(x)=()2
B.f(x)=2|x|與g(x)=
C.f(x)=與g(x)=|x-1|
D.f(x)=x0與g(x)=1
5.[2025·江蘇蘇州高一期中] 函數(shù)y=+-的定義域?yàn)椤　　　　　? 第三章　函數(shù)
3.1　函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1.1　函數(shù)及其表示方法
第1課時(shí)　函數(shù)的概念
1.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,3],則函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)?(　 )
A.(-1,1)∪(1,8]
B.[-1,1)∪(1,8]
C.[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2]
D.[-2,-1)∪(1,2]
2.[2025·湖北武漢高一期末] 已知集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中不能作為從A到B的函數(shù)的是 (　 )
A.f為“乘二分之一”
B.f為“乘三分之一”
C.f為“乘三分之二”
D.f為“求平方根”
3.[2025·山西太原高一期中] 已知f(3x+1)=4x+3,則f(-2)= (　 )
A.-5 B.-1 C.1 D.7
4.中文“函數(shù)”一詞,最早是由清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯而得,之所以這么翻譯,他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者,則此為彼之函數(shù)”,也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化,下列選項(xiàng)中是同一個(gè)函數(shù)的是 (　 )
A.f(x)=,g(x)=x
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=x-2
D.f(x)=x,g(x)=
5.[2025·四川遂寧高一期末] 已知M={x|0≤x≤2},N={0≤y≤2},給出下列四個(gè)圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是(　 )
A B C D
6.[2025·四川成都高一期中] 定義在區(qū)間[-5,0]∪[2,6)上的函數(shù)r=f(p)的圖象如圖所示.若只有唯一的p與r對(duì)應(yīng),則r的取值范圍為 (　 )
A.[0,2)∪(5,+∞)
B.[-5,0]∪[2,6)
C.[2,5]
D.(2,5)
7.(多選題)下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合M={-2,2,4}到集合N={0,2,4,16}的函數(shù)的是 (　 )
A.y=2x B.y=x+2
C.y=x2 D.y=|x|
8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),則函數(shù)F(x)=f(x+2)+的定義域?yàn)椤　　　?
9.[2025·安徽滁州高一期中] 設(shè)x∈R,函數(shù)INT(x)表示不超過x的最大整數(shù),例如INT(-0.1)=-1,INT(2.8)=2.若函數(shù)f(x)=-1,則函數(shù)y=INT[f(x)]的值域是　　　　.
10.(13分)已知f(x)=x2-4x+2.
(1)求f(2),f(a),f(a+1)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的值域;
(3)若g(x)=x+1,求f[g(3)]的值.
11.[2024·福建福州高一期中] 已知函數(shù)y=x2-3x-4的定義域?yàn)閇-1,m],值域?yàn)?則m的取值范圍是 (　 )
A.(0,4] B.
C. D.
12.已知函數(shù)f(x)滿足f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),則f(7)= (　 )
A.- B.
C.- D.
13.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳={1,2,3,4,5,6},值域?yàn)锽={7,8,9},且對(duì)任意的x14.(15分)[2024·江蘇鹽城高一期中] 為了增強(qiáng)生物實(shí)驗(yàn)課的趣味性,豐富生物實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容,某校計(jì)劃沿著圍墻(足夠長(zhǎng))劃出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域ABCD修建一個(gè)羊駝養(yǎng)殖場(chǎng),規(guī)定ABCD的每條邊長(zhǎng)均不超過20米.如圖所示,矩形EFGH為羊駝養(yǎng)殖區(qū),且點(diǎn)A,B,E,F四點(diǎn)共線,陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設(shè)AB=x(單位:米),養(yǎng)殖區(qū)域EFGH的面積為S(單位:平方米).
(1)將S表示為x的函數(shù),并寫出x的取值范圍.
(2)當(dāng)AB為多長(zhǎng)時(shí),S取得最大值 并求出最大值.
15.規(guī)定符號(hào)*表示一種運(yùn)算,且a*b=+a+b(a,b為正實(shí)數(shù)),1*k=3,則正整數(shù)k的值為　　　　,函數(shù)y=k*x的值域?yàn)椤　　　?
16.(15分)函數(shù)y=[x]為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[-3.1]=-4,[2.1]=2.已知函數(shù)f(x)=+,求函數(shù)y=[f(x)]的值域.

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