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(共91張PPT)
3.1 函數的概念與性質
3.1.2 函數的單調性
第1課時 單調性的定義與證明、函數的最值
探究點一 由函數圖象判斷函數的單調性
或單調區間
探究點二 函數單調性的判斷及證明
探究點三 函數單調性的應用
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.理解函數單調性的定義，會運用函數的圖象理解和研究函數的
單調性；
2.會用函數單調性的定義判斷（或證明）一些函數的單調性，會
求具體函數的單調區間；
3.理解函數的最大值和最小值的概念，能借助函數的圖象和單調
性求簡單函數的最值.
知識點一 增函數與減函數
1.定義
增函數 減函數
條 件
結 論
增函數 減函數
圖 示 _________________________________________________ _________________________________________________
兩種情況下，都稱函數在區間上具有單調性（區間 稱為函數的
__________，也可分別稱為單調遞增區間或單調遞減區間）.
單調區間
續表
2.特殊函數單調性的判斷
（1）函數當時，函數在 上是增函數；當
時，函數在 上是________.
（2）函數當時，函數在區間, 上
單調______；當時，函數在區間, 上單調遞增.
（3）函數當時， 在
上單調遞減，在上單調遞增；當時，
在上單調遞增，在 上單調遞減.
減函數
遞減
【診斷分析】
（1）在增函數和減函數的定義中，能否把“，”改為“ ，
”？
解：不能.如函數，雖然，但在 上
不是單調函數.
（2）如果函數在其定義域內的兩個子區間， 上都是增函數，
那么在 上也是增函數嗎？
解：不一定．如函數在區間和 上都是增函數，
但在區間 上不是增函數.
（3）所有的函數在定義域上都具有單調性嗎？
解：不是，如 在定義域上就沒有單調性.
知識點二 函數的最大（?。┲导皫缀我饬x
最大值 最小值
條件
結論
統稱 最大值和最小值統稱為______ 最大值點和最小值點統稱為________
最值
最值點
【診斷分析】
（1）函數總成立，的最小值是 嗎？
解：不是.總成立，但不存在使 ，所
以的最小值不是 .
（2）有位同學說：“因為，所以 的最大值是
.”這個說法對嗎？
解：不對.因為對于任意， 并不總成立，所以
的最大值不是 .
知識點三 求函數最值的常用方法
（1）圖象法：作出 的圖象，觀察最高點與最低點，最高
（低）點的縱坐標即為函數的最大（小）值.
（2）運用已學函數的值域.
（3）運用函數的單調性：
①若函數在區間上是增函數，則 的最大值為_____，
最小值為_____.
②若函數在區間上是減函數，則 的最大值為_____，
最小值為_____.
③若函數是定義在區間或 上的連續函數，則函數
的最大（?。┲狄鶕唧w函數而定.
（4）分段函數的最大（?。┲凳侵父鞫紊系淖畲螅ㄐ。┲抵械淖畲?br/>（小）的那個.
【診斷分析】
（1）二次函數 的最值是什么？常用哪些
方法求二次函數的最值.
解：當時，函數的最小值為，無最大值；當 時，
函數的最大值為 ，無最小值.
可利用函數的單調性求最值，也可以用公式法、配方法或圖象法求
函數的最值.
（2）要確定在 上的最值，需要先確定什么？
解：需先確定該函數在 上的單調性或畫出函數圖象，從而確
定函數的最值.
（3）函數 在定義域內的一個區間上具有單調性，那么這個函數
在這個區間上一定有最大（或最?。┲祮幔?br/>解：不一定，如在 上單調遞減，但沒有最值，又如
在 上單調遞增，但沒有最值.
探究點一 由函數圖象判斷函數的單調性或單調區間
例1（1）已知函數在區間上的圖象如圖所示，
則函數 的單調遞減區間是____________，
單調遞增區間是_____________.
,
,
[解析] 由題圖可知,函數 的單
調遞減區間是, ,單調遞
增區間是, .
（2）作出函數 的圖象，并根據圖象寫出函數
的單調區間.
解：
根據解析式可作出函數的圖象如圖所示，
由圖可知，
函數 的單調遞增區間為， ，
單調遞減區間為， .
變式（1）用表示,的較小者，記為 ,
，若,，則 的單調遞減區
間為_______.
[解析] 根據函數解析式可作出函數
， 的圖象如圖所示，
的圖象為實線部分，由圖知，
的單調遞減區間為 .
（2）已知函數 的圖象如圖所示.
①根據函數圖象，寫出 的單調區間；
解：①由圖象知，函數的單調遞減區間
為，
單調遞增區間為 ， .
解：②若在 上單調遞增，
則或，解得 或，
故實數 的取值范圍是 .
②若在上單調遞增，求實數 的取值范圍.
（2）已知函數 的圖象如圖所示.
［素養小結］
求函數的單調區間時，若所給函數是常見的一次函數、二次函數、
反比例函數等，可根據其單調性寫出函數的單調區間，若函數不是
上述函數且函數圖象容易作出，可作出其圖象，根據圖象寫出其單
調區間.
探究點二 函數單調性的判斷及證明
例2 討論在 上的單調性.
解：任取,，且 ,則
.
，，，， ．
①若，則， ，
即，在 上單調遞增．
②若，則當時， ，
，即，在 上單調遞減；
當時，， ，即
，在 上單調遞增．
綜上可知，當時，在上單調遞增；當
時，在上單調遞減，在 上單調遞增.
變式（1）求證：函數在區間 上單調遞增.
證明：任取，，且 ，
則 ，
因為，且，，所以， ，
所以，即 ，
故函數在區間 上單調遞增.
（2）討論函數在 上的單調性．
解：當時，，則在 上不具有單調性.當
時，任取,，且 ，
則 ，
因為，，且，所以， ，
，所以.
當時， ，
即，所以在上單調遞減；
當 時，，即 ，
所以在上單調遞增．
綜上，當時，在 上不具有單調性；
當時，在上單調遞減；
當 時，在 上單調遞增．
［素養小結］
證明函數在區間上的單調性應遵循以下步驟：
（1）任?。喝稳?m>，，且;
（2）作差：將函數值，作差;
（3）變形：將上述差式變形（因式分解、配方等）;
（4）判號：對上述變形結果的正負加以判定;
（5）定論：根據定義得出的單調性.
拓展 ［2025·陜西西安高一期中］ 已知函數對任意的, ，
都有，且當時， .判斷
函數 的單調性并證明.
解：函數在
上單調遞增，證明如下：
由，可得 ，
當時，, ，
令,，則有，所以 ，
所以函數在 上單調遞增.
探究點三 函數單調性的應用
角度1 應用單調性比較大小
例3 已知函數在區間上是減函數，試比較
與 的大小.
解：，
與 都在區間上.
又在區間 上是減函數， .
變式（1）［2025·貴州貴陽高一期中］已知函數 滿足對任意的
,， 恒成立，則( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為函數滿足對任意的， ，
恒成立，所以函數是定義在 上
的增函數，所以 .故選A.
√
（2）定義在上的函數滿足 ，且
，則使成立的 的取值范圍是______．
[解析] 因為，且, ，
所以.
令， ，則原不等式為，
所以函數在上單調遞減.由 ，得，
又，所以，可得 ，
所以使成立的的取值范圍是 .
［素養小結］
利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在比較函數值的
大小時，要注意將對應的自變量轉化到同一個單調區間上.
角度2 應用單調性求解不等式
例4 已知函數為定義在上的增函數，則滿足
的實數 的取值范圍為_______．
[解析] 由題知解得 .
變式 ［2025·湖南邵陽高一期中］ 已知函數對任意, ，
總有.若存在 使得不等式
成立，則實數 的取值范圍是______________
_________.
[解析] 因為函數對任意, ，
總有，所以在 上單調遞增.
若存在使得不等式成立，
則存在 使得成立，
即存在使得 ，則，
解得或，故實數 的取值范圍是 .
［素養小結］
利用函數的單調性解不等式的方法：
若在上是增函數，且,則若
在上是減函數，且，則
注意：①不等式兩邊化為同名函數的不同函數值；②自變量必須化
到同一個單調區間上，若轉化不了，就進行討論.
角度3 應用單調性求解參數范圍
例5（1）［2025·湖南株洲高一期中］若函數 在區間
上單調遞減，則實數 的取值范圍是__________.
[解析] 函數的單調遞減區間為 ，
因為函數在區間上單調遞減，
所以 ，所以，解得，
所以實數的取值范圍是 .
（2）已知函數 且滿足對任意的實數
都有，則實數 的取值范圍是______.
[解析] 因為對任意的實數都有 ，
即，所以在 上單調遞減，
所以解得，故實數的取值范圍是 .
變式 已知函數
若對任意，，都有，則實數 的取值
范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為對任意,，都有 ，
所以是上的減函數，所以
解得 .故選D.
√
［素養小結］
（1）已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法：視參數為已知數，
依據函數的圖象或單調性的定義，確定函數的單調區間，與已知單
調區間比較求參數.
（2）求分段函數單調性問題要保證兩點：一是各段單調，二是“節
點”單調.
角度4 應用單調性求最值
例6 已知函數 .
（1）求證：在 上是增函數；
證明：任取 ，
則 ，
因為，所以， ，
所以，即 ，
所以在 上是增函數．
（2）求在 上的最大值及最小值．
解：由（1）可知在上是增函數，
所以當時， 取得最小值，最小值為，
當時， 取得最大值，最大值為.
所以在上的最大值是 ，最小值是2.
變式 若，則 的( )
A.最大值為6 B.最小值為 C.最大值為 D.最小值為2
[解析] 任取 ，則
，因為，所以 ，
，所以，所以 ，即
，所以在上單調遞增；同理可證 在
上單調遞減，所以的最大值為 .故選C.
√
［素養小結］
（1）利用單調性求最值的一般步驟：
①判斷函數的單調性；②利用單調性寫出最值.
（2）求最值時一定要注意所給區間的開閉，若是開區間，則不一定
有最大（?。┲?
1.［2025·陜西西安高一期中］函數在 上的最小值
為( )
A.2 B. C. D.3
[解析] 因為在上單調遞減，
所以函數在 上的最小值為 .故選B.
√
2.若函數在上是增函數,則實數 的取值
范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為在 上是增函數，
所以解得 .故選D.
√
3.（多選題）下列函數中，在區間 上是增函數的是( )
A. B. C. D.
[解析] 借助函數圖象可知，，， 在
上都是增函數，在上為減函數．故選 .
√
√
√
4.已知函數有最小值，則實數 的取值
范圍是________.
[解析] 當時， ，則在 上的最
小值為.
當時，，當 時，，
此時在上有最小值;當時，要滿足在
上有最小值，需 解得 .
綜上，實數的取值范圍是 .
5.［2025·重慶巴南區高一期中］已知函數
（1）畫出函數 的圖象；
解：函數 的圖象如圖所示.
（2）寫出函數 的單調區間.
解：由圖可知，的單調遞減區間為和 ，
單調遞增區間為和 .
1.利用圖象判斷函數的單調區間與最值
單調性反映在圖象上，圖象在區間 上的部分從左到右是上升
（下降）的，說明函數在區間 上單調遞增（單調遞減），若單調
增（或減）區間不唯一，則各個區間之間不能用“ ”.
函數最大值的幾何意義是函數圖象最高點的縱坐標，函數最小值的
幾何意義是函數圖象最低點的縱坐標．
例1 如圖所示的是定義在區間
上的函數 的圖象，該函數的
單調遞增區間為_____________．
，
[解析] 函數在區間和
上的圖象呈上升趨勢，故函數在這兩
個區間上單調遞增，故函數的單調遞增區間是， ．
2.利用函數單調性的定義求參數的取值范圍
可利用函數單調性的定義，建立關于參數的不等式（組）或方程，
同時注意利用數形結合的思想，運用逆向思維思考問題．
解：設，則 .因為函數在 上是增函數，
所以 ，因為，所以，即 .
因為， ，所以，所以 .
故實數的取值范圍是 ．
例2 已知函數在上是增函數，求實數 的取
值范圍．
3.利用函數的單調性解不等式
利用函數單調性的定義解決某些不等式問題.
例3（1）［2025· 江蘇鎮江高一期末］已知函數
是增函數，則實數 的取值范圍為
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為函數 是增函數，所以
解得 .故選C.
√
（2）若函數在定義域 上單調遞增，且
，則實數 的取值范圍是________．
[解析] 函數在定義域 上單調遞增，且
，解得.故實數
的取值范圍是 .
4.利用單調性求函數最值
利用單調性求函數的最值的步驟為：
第一步，利用函數單調性的定義判斷函數在所給定義域內的單調性．
第二步，根據單調性確定函數的最大值、最小值．
例4（1）設函數，若存在實數, ，使
在上的值域為，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得，由復合函數的單調性可知函數 為
減函數，故， .
由得 ，即
，則 .
由得 .
√
記，，則， ，
，則
，
又因為, ，且,均為非負數，所以，
故當時，取到最大值 ，但取不到最小值，
所以實數的取值范圍是 .故選A.
（2）［2025·四川成都高一期末］函數 在
上既沒有最大值也沒有最小值，則實數 的取值范圍是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 函數的圖象的對稱軸為直線 ，
由題得函數在區間上單調，則或 ，
解得或，又，即，所以 或
，所以實數的取值范圍是 .故選C.
練習冊
1.［2025·浙江紹興高一期中］“函數在區間 上不是增函數”
的一個充要條件是( )
A.存在，，使得且
B.存在，，使得且
C.存在，使得
D.存在，使得
√
[解析] 若函數在區間上是增函數，則任意, ，
使得且，則若函數在區間 上不是增函數，
即存在,，使得且 .故選B.
2.已知四個函數的圖象如圖所示，其中在定義域內具有單調性的函數
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題圖可知，選項B對應的函數是定義域上的增函數，選項A，
C，D對應的函數在定義域上不具有單調性．故選B.
√
3.函數在區間 上( )
A.單調遞減 B.單調遞增 C.先減后增 D.先增后減
[解析] 作出的圖象，如圖所示，易知函數 在
上單調遞減，在 上單調遞增．故選C.
√
4.［2025·江西九江高一期末］函數 的單調遞減區
間為( )
A. B. C. D.
[解析] 令，解得，
故函數 的定義域為.
因為函數 的圖象開口向下，對稱軸方程為，
所以在內的單調遞減區間為 ，
故函數的單調遞減區間為 .故選B.
√
★5.已知函數是上的增函數，則實數
的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為函數是 上的增函數，所以
解得.故實數的取值范圍是 ，故
選B.
［易錯點］ 此類問題為分段函數單調性，易忽略兩段接頭函數值的
大小比較.
6.設函數,,，其中,,表示 ，
，中的最小者，則 的最大值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 令即解得 ，
故當時，；令 即
解得或，故當 時，
；
√
令 即解得 ，故
當時， .
綜上，
其大致圖象如圖所示，
由圖知 的最大值為3.故選B.
7.［2025·江蘇南通高一期中］設函數 在區間
上具有單調性，則 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
[解析] 函數 的圖象的對稱軸方程為
.
因為函數在區間上具有單調性，所以 不在區間內.
當，即時，函數在區間 上單調遞增；
當，即時，函數在區間 上單調遞減.
所以的取值范圍是 .故選D.
√
8.（多選題）設，是區間 上的減函數，則下列結論中
正確的是( )
A.在上的最小值為
B.在上的最小值為
C.在上的最小值為
D.在上的最小值為
√
√
[解析] 對于A，因為是區間上的減函數，所以在
上的最小值為，故A錯誤；
對于B，函數在 上的單調性無法確定，其最小值也無法確定，
故B錯誤；
對于C，因為 是區間上的減函數，所以在 上也
是減函數，所以在上的最小值為 ，故C正確；
對于D，因為是區間上的減函數，且，所以在
上是增函數，所以在上的最小值為，故D正確.
故選 .
9.已知函數是定義在 上的減函數，且
，則 的取值范圍為________．
[解析] 由題意可知解得，所以 的取值范圍
為 .
10.（13分）給定函數，， .
，用表示， 中的較小者，記為
, .
（1）請分別用圖象法及解析法表示函數 ；
解：令 ，
則，解得或 ，
令，則 ，
解得 ，
所以
其圖象如圖所示.
（2）根據圖象判斷函數 的單調性
（不證明），并求 成立
時實數 的取值范圍.
解：根據（1）中的圖象可得函數 在
上單調遞減.
因為，所以 ，
解得 ，
所以實數的取值范圍是 .
11.［2025·遼寧撫順高一期中］已知函數在 上為增函數，則下
列結論正確的是( )
A.在上為增函數 B.在 上為減函數
C.在上為增函數 D.在 上為減函數
√
[解析] 對于A，當時，在 上不是單調函數，
故A錯誤；
對于B，當時， 為常數函數且定義域不是，
故B錯誤;
對于C，當時，在 上不是單調函數，且定義
域不為，故C錯誤;
若函數在 上為增函數，則在 上為減函數，故D正確.
故選D.
12.（多選題）已知函數 的最小值為
，則 的可能取值是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
√
√
[解析] 函數在上單調遞減，在 上單調遞
增.當時，函數的最小值為 .
函數的圖象的對稱軸方程為 .
若，函數在 上單調遞減，
，因為函數的最小值為，所以 ，
即，解得，所以;
若，當 時，函數的最小值為 ，不滿足題意.
綜上所述，選項A，B滿足題意，C,D不滿足題意.故選 .
13.用,表示,兩個數中的較小者.設 ，
，則 的單調遞增區間是______，最大值為___.
6
[解析] 在同一平面直角坐標系內畫出函數
和 的圖象，如圖所示.
由題知，
所以函數 的圖象為圖中的實線部分.
由圖知函數 的單調遞增區間是 ，最大值為6.
14.（15分）已知函數, .
（1）解關于的不等式 ；
解：不等式，即 ，
當時，，解得 ；
當時， ，
若，則，解得或 ；
若，則，解得 ；
若，則，解得 ；
若，則，解得 .
綜上，當時，不等式的解集為；當 時，
不等式的解集為 ；
當時，不等式的解集為 ；
當時，不等式的解集為 ；
當時，不等式的解集為 .
（2）若，當時，的最小值為1，求 的值.
解：的圖象的對稱軸方程為 ，且開口向上.
當，即時，在 上單調遞增，
此時的最小值為，解得 ；
當，即時，在 上單調遞減，在
上單調遞增，
14.（15分）已知函數, .
此時的最小值為，
解得 （舍去）.
綜上所述， .
15.［2025·貴州貴陽高一期中］已知函數 ,
.若,，使得 成立，則實
數 的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ,，使得成立，
在上的最大值小于等于在上的最大值.
在上單調遞增，在上的最大值為 ,
對恒成立，對
恒成立，即對 恒成立.
在上單調遞增，在
上單調遞減， .故選B.
16.（15分）已知函數的定義域為，對任意， 都滿足
，且.當時， ，且
.
（1）求， 的值；
解：由，得 ，
又當時，，所以 ，
所以 .
（2）用函數單調性的定義證明在 上單調遞增.
證明：令，則，則 ，
當時，， ，
因為，所以 ，
所以在 上恒成立.
由，可知 ，
令，，且，即 ，
則 ，
所以，所以在 上單調遞增.
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1.單調區間 2.減函數 遞減 【診斷分析】 （1）不能（2）不一定（3）不是
知識點二 最值 最值點 【診斷分析】 （1）不是（2）不對
知識點三 【診斷分析】 （1）略（2）略（3）不一定
課中探究 探究點一 例1 （1）, ,（2）略 . .
變式 （1）（2）①函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為， ②
探究點二 例2 當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，
在上單調遞增 變式（1）略 （2）當時，在上不具有單調性；當時，在上單
調遞減；當時，在上單調遞增 拓展 函數在上單調遞增
探究點三 例3 變式 （1）A （2） 例4 變式
例5 （1） （2） 變式 D 例6 （1）略 （2）最大值是，最小值是2 變式 C
課堂評價 1.B 2.D 3.ABD 4. 5.（1）略.
（2）單調遞減區間為 和單調遞增區間為和.
備用習題 例1 ， 例2 例3 （1）C （2） 例4 （1）A （2）C
快速核答案（練習冊）
基礎鞏固
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B 7.D 8.CD 9.
10.（1）圖略（2）
綜合提升
11.D 12.AB 13. 6
14.（1）當時，不等式的解集為；當時，不等式的
解集為；當時，不等式的解集為；當時，
不等式的解集為；當時，不等式的解集為 （2） （）.
思維探索
15.B 16.（1）（2）證明略3.1.2　函數的單調性
第1課時　單調性的定義與證明、函數的最值
【學習目標】
1.理解函數單調性的定義,會運用函數的圖象理解和研究函數的單調性;
2.會用函數單調性的定義判斷(或證明)一些函數的單調性,會求具體函數的單調區間;
3.理解函數的最大值和最小值的概念,能借助函數的圖象和單調性求簡單函數的最值.
◆ 知識點一　增函數與減函數
1.定義
增函數 減函數
條件 一般地,設函數y=f(x)的定義域為D,且區間I D:如果對任意x1,x2∈I,當x1都有f(x1)f(x2)
結論 y=f(x)在區間I上是增函數(也稱在區間I上單調遞增) y=f(x)在區間I上是減函數(也稱在區間I上單調遞減)
圖示
兩種情況下,都稱函數在區間I上具有單調性(區間I稱為函數的　　　　　　,也可分別稱為單調遞增區間或單調遞減區間).
2.特殊函數單調性的判斷
(1)函數y=kx+b(k≠0):當k>0時,函數在R上是增函數;當k<0時,函數在R上是　　　　　.
(2)函數y=(k≠0):當k>0時,函數在區間(-∞,0),(0,+∞)上單調　　　　;當k<0時,函數在區間(-∞,0),(0,+∞)上單調遞增.
(3)函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0):當a>0時,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增;當a<0時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減.
【診斷分析】 (1)在增函數和減函數的定義中,能否把“ x1,x2∈I”改為“ x1,x2∈I”
(2)如果函數f(x)在其定義域內的兩個子區間D1,D2上都是增函數,那么f(x)在D1∪D2上也是增函數嗎
(3)所有的函數在定義域上都具有單調性嗎
◆ 知識點二　函數的最大(小)值及幾何意義
最大值 最小值
條件 一般地,設函數f(x)的定義域為D,且x0∈D:如果對任意x∈D
都有f(x)　　f(x0) 都有f(x)　　f(x0)
結論 f(x)的最大值為f(x0),而x0稱為f(x)的最大值點 f(x)的最小值為f(x0),而x0稱為f(x)的最小值點
統稱 最大值和最小值統稱為　　　　
最大值點和最小值點統稱為　　　
【診斷分析】 (1)函數f(x)=x2+1≥-1總成立,f(x)的最小值是-1嗎
(2)有位同學說:“因為f(x)=-x2≤-1,所以f(x)的最大值是-1.”這個說法對嗎
◆ 知識點三　求函數最值的常用方法
(1)圖象法:作出y=f(x)的圖象,觀察最高點與最低點,最高(低)點的縱坐標即為函數的最大(小)值.
(2)運用已學函數的值域.
(3)運用函數的單調性:
①若函數y=f(x)在區間[a,b]上是增函數,則f(x)的最大值為　　　　,最小值為　　　　.
②若函數y=f(x)在區間[a,b]上是減函數,則f(x)的最大值為　　　　,最小值為　　　　.
③若函數y=f(x)是定義在區間(a,b)或R上的連續函數,則函數y=f(x)的最大(小)值要根據具體函數而定.
(4)分段函數的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那個.
【診斷分析】 (1)二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值是什么 常用哪些方法求二次函數的最值.
(2)要確定f(x)=ax+2(a≠0)在[-1,3]上的最值,需要先確定什么
(3)函數f(x)在定義域內的一個區間上具有單調性,那么這個函數在這個區間上一定有最大(或最小)值嗎
◆ 探究點一　由函數圖象判斷函數的單調性或單調區間
例1 (1)已知函數f(x)在區間[-5,5]上的圖象如圖所示,則函數f(x)的單調遞減區間是　　　　　　,單調遞增區間是　　　　　　　.
(2)作出函數f(x)=-x2+2|x|+3的圖象,并根據圖象寫出函數f(x)的單調區間.
變式 (1)用M(x)表示f(x),g(x)的較小者,記為M(x)=min{f(x),g(x)},若f(x)=x+1,g(x)=x2-2x-3,則M(x)的單調遞減區間為　　　　.
(2)已知函數y=f(x)的圖象如圖所示.
①根據函數圖象,寫出f(x)的單調區間;
②若f(x)在[a-1,a+1]上單調遞增,求實數a的取值范圍.
[素養小結]
求函數的單調區間時,若所給函數是常見的一次函數、二次函數、反比例函數等,可根據其單調性寫出函數的單調區間,若函數不是上述函數且函數圖象容易作出,可作出其圖象,根據圖象寫出其單調區間.
◆ 探究點二　函數單調性的判斷及證明
例2 討論f(x)=x+(a≠0)在(0,+∞)上的單調性.
變式 (1)求證:函數f(x)=--1在區間(-∞,0)上單調遞增.
(2)討論函數f(x)=在(-1,1)上的單調性.
[素養小結]
證明函數f(x)在區間D上的單調性應遵循以下步驟:
(1)任取:任取x1,x2∈D,且x1(2)作差:將函數值f(x1),f(x2)作差;
(3)變形:將上述差式變形(因式分解、配方等);
(4)判號:對上述變形結果的正負加以判定;
(5)定論:根據定義得出f(x)的單調性.
拓展 [2025·陜西西安高一期中] 已知函數f(x)對任意的x,y∈R,都有f(x+y)-1=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)+1>0.判斷函數f(x)的單調性并證明.
◆ 探究點三　函數單調性的應用
角度1　應用單調性比較大小
例3 已知函數f(x)在區間(0,+∞)上是減函數,試比較f(a2-a+1)與f的大小.
變式 (1)[2025·貴州貴陽高一期中] 已知函數f(x)滿足對任意的x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,則 (　 )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)(2)定義在(0,+∞)上的函數f(x)滿足<0,且f(3)=9,則使f(x)>3x成立的x的取值范圍是　　　　.
[素養小結]
利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在比較函數值的大小時,要注意將對應的自變量轉化到同一個單調區間上.
角度2　應用單調性求解不等式
例4 已知函數f(x)為定義在[-1,1]上的增函數,則滿足f(x)變式 [2025·湖南邵陽高一期中] 已知函數f(x)對任意x1,x2∈R,總有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.若存在x∈(0,1)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立,則實數a的取值范圍是　　　　　　.
[素養小結]
利用函數的單調性解不等式的方法:
若f(x)在(a,b)上是增函數,且f(x1)注意:①不等式兩邊化為同名函數的不同函數值;②自變量必須化到同一個單調區間上,若轉化不了,就進行討論.
角度3　應用單調性求解參數范圍
例5 (1)[2025·湖南株洲高一期中] 若函數y=x2+2mx在區間(-∞,3]上單調遞減,則實數m的取值范圍是　　　　.
(2)已知函數f(x)=且滿足對任意的實數x1≠x2都有>0,則實數a的取值范圍是　　　　.
變式 已知函數f(x)=
若對任意x1,x2∈R(x1≠x2),都有<0,則實數a的取值范圍為 (　 )
A.(-∞,1] B.(1,5)
C.[1,5) D.[1,4]
[素養小結]
(1)已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法:視參數為已知數,依據函數的圖象或單調性的定義,確定函數的單調區間,與已知單調區間比較求參數.
(2)求分段函數單調性問題要保證兩點:一是各段單調,二是“節點”單調.
角度4　應用單調性求最值
例6 已知函數f(x)=x+.
(1)求證:f(x)在[1,+∞)上是增函數;
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.
變式 若x>0,則f(x)=2-x-的 (　 )
A.最大值為6 B.最小值為-6
C.最大值為-2 D.最小值為2
[素養小結]
(1)利用單調性求最值的一般步驟:
①判斷函數的單調性;②利用單調性寫出最值.
(2)求最值時一定要注意所給區間的開閉,若是開區間,則不一定有最大(小)值.
1.[2025·陜西西安高一期中] 函數f(x)=+2在[0,1]上的最小值為 (　 )
A.2 B. C.2 D.3
2.若函數f(x)=在R上是增函數,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(1,2] B. C. D.
3.(多選題)下列函數中,在區間(0,+∞)上是增函數的是 (　 )
A.y=2x+1 B.y=3x2+1
C.y= D.y=|x|
4.已知函數f(x)=有最小值,則實數a的取值范圍是　　　　.
5.[2025·重慶巴南區高一期中] 已知函數f(x)=
(1)畫出函數f(x)的圖象;
(2)寫出函數f(x)的單調區間.3.1.2　函數的單調性
第1課時　單調性的定義與證明、函數的最值
1.[2025·浙江紹興高一期中] “函數f(x)在區間[1,2]上不是增函數”的一個充要條件是 (　 )
A.存在a,b∈[1,2],使得aB.存在a,b∈[1,2],使得aC.存在a∈(1,2],使得f(a)≤f(1)
D.存在a∈[1,2),使得f(a)≥f(2)
2.已知四個函數的圖象如圖所示,其中在定義域內具有單調性的函數是 (　 )
A B C D
3.函數y=|x+2|在區間[-3,0]上 (　 )
A.單調遞減 B.單調遞增
C.先減后增 D.先增后減
4.[2025·江西九江高一期末] 函數f(x)=的單調遞減區間為 (　 )
A. B.
C. D.
★5.已知函數f(x)=是R上的增函數,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.[-3,0) B.[-3,-2]
C.(-∞,-2] D.(-∞,0)
6.設函數f(x)=min{x2-1,x+1,-x+5},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,則y=f(x)的最大值為 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
7.[2025·江蘇南通高一期中] 設函數f(x)=x2-4kx-8在區間[2,4]上具有單調性,則k的取值范圍是 (　 )
A.[1,2]
B.(-∞,1]
C.[2,+∞)
D.(-∞,1]∪[2,+∞)
8.(多選題)設c<0,f(x)是區間[a,b]上的減函數,則下列結論中正確的是 (　 )
A.f(x)在[a,b]上的最小值為f(a)
B.在[a,b]上的最小值為f(a)
C.f(x)-c在[a,b]上的最小值為f(b)-c
D.cf(x)在[a,b]上的最小值為cf(a)
9.已知函數f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數,且f(2x-3)>f(5x-6),則x的取值范圍為　　　　.
10.(13分)給定函數f(x)=-x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R. x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的較小者,記為m(x)=min{f(x),g(x)}.
(1)請分別用圖象法及解析法表示函數m(x);
(2)根據圖象判斷函數m(x)的單調性(不證明),并求m(t)11.[2025·遼寧撫順高一期中] 已知函數f(x)在R上為增函數,則下列結論正確的是 (　 )
A.y=xf(x)在R上為增函數
B.y=在R上為減函數
C.y=-在R上為增函數
D.y=-f(x)在R上為減函數
12.(多選題)已知函數f(x)=的最小值為f(1),則a的可能取值是 (　 )
A.1 B.3
C.5 D.7
13.用min{a,b}表示a,b兩個數中的較小者.設f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的單調遞增區間是　　　　,最大值為　　　　.
14.(15分)已知函數f(x)=mx2-(2m+1)x+3,m∈R.
(1)解關于x的不等式f(x)≤mx;
(2)若m>0,當x∈[3,+∞)時,f(x)的最小值為1,求m的值.
15.[2025·貴州貴陽高一期中] 已知函數f(x)=ax2+2ax-1,g(x)=x.若 x1∈[1,2], x2∈[2,4],使得f(x1)≤g(x2)成立,則實數a的取值范圍為 (　 )
A.
B.
C.(-∞,1]
D.∪[1,+∞)
16.(15分)已知函數f(x)的定義域為R,對任意x,y都滿足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)≠0.當x>0時,f(x)>1,且f(2)=9.
(1)求f(1),f(3)的值;
(2)用函數單調性的定義證明f(x)在R上單調遞增.3.1.2　函數的單調性
第1課時　單調性的定義與證明、函數的最值
【課前預習】
知識點一
1.單調區間　2.(1)減函數　(2)遞減
診斷分析
解:(1)不能.如函數f(x)=x2,雖然f(-1)(2)不一定.如函數y=-在區間(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函數,但在區間(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函數.
(3)不是,如f(x)=x2-1在定義域上就沒有單調性.
知識點二
≤　≥　最值　最值點
診斷分析
解:(1)不是.f(x)=x2+1≥-1總成立,但不存在x使f(x)=-1,所以f(x)的最小值不是-1.
(2)不對.因為對于任意x∈R,f(x)=-x2≤-1并不總成立,所以f(x)的最大值不是-1.
知識點三
(3)①f(b)　f(a)　②f(a)　f(b)
診斷分析
解:(1)當a>0時,函數f(x)的最小值為,無最大值;當a<0時,函數f(x)的最大值為,無最小值.
可利用函數的單調性求最值,也可以用公式法、配方法或圖象法求函數的最值.
(2)需先確定該函數在[-1,3]上的單調性或畫出函數圖象,從而確定函數的最值.
(3)不一定,如y=在(0,+∞)上單調遞減,但沒有最值,又如y=x2+1在(2,6)上單調遞增,但沒有最值.
【課中探究】
例1　(1)[-2,1],[3,5]　[-5,-2],[1,3]　[解析] 由題圖可知,函數f(x)的單調遞減區間是[-2,1],[3,5],單調遞增區間是[-5,-2],[1,3].
(2)解:f(x)=-x2+2|x|+3=根據解析式可作出函數f(x)的圖象如圖所示,由圖可知,函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1],[0,1),單調遞減區間為(-1,0),[1,+∞).
變式　(1)[-1,1]　[解析] 根據函數解析式可作出函數f(x),g(x)的圖象如圖所示,M(x)的圖象為實線部分,由圖知,M(x)的單調遞減區間為[-1,1].
(2)解:①由圖象知,函數的單調遞減區間為[-1,2],單調遞增區間為(-∞,-1],[2,+∞).
②若f(x)在[a-1,a+1]上單調遞增,則a+1≤-1或a-1≥2,解得a≤-2或a≥3,故實數a的取值范圍是(-∞,-2]∪[3,+∞).
例2　解:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∵x1,x2∈(0,+∞),∴x1x2>0,∵x10.
①若a<0,則x1x2-a>0,∴f(x2)-f(x1)>0,
即f(x1)②若a>0,則當0f(x2),∴f(x)在(0,]上單調遞減;當x2>x1≥時,x1x2-a>0,∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)綜上可知,當a<0時,f(x)=x+在(0,+∞)上單調遞增;當a>0時,f(x)=x+在(0,]上單調遞減,在[,+∞)上單調遞增.
變式　解:(1)證明:任取x1,x2∈(-∞,0),且x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函數f(x)=--1在區間(-∞,0)上單調遞增.
(2)當a=0時,f(x)=0,則f(x)在(-1,1)上不具有單調性.當a≠0時,任取x1,x2∈(-1,1),且x1則f(x1)-f(x2)=-==,
因為x1,x2∈(-1,1),且x10,x1-1<0,x2-1<0,所以>0.當a>0時,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-1,1)上單調遞減;當a<0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(-1,1)上單調遞增.綜上,當a=0時,f(x)在(-1,1)上不具有單調性;當a>0時,f(x)在(-1,1)上單調遞減;當a<0時,f(x)在(-1,1)上單調遞增.
拓展　解:函數f(x)在R上單調遞增,證明如下:
由f(x+y)-1=f(x)+f(y),可得f(x+y)-f(x)=f(y)+1,當y>0時,x+y>x,f(y)+1>0,
令x+y=x1,x=x2,則有f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),所以函數f(x)在R上單調遞增.
例3　解:∵a2-a+1=+≥,∴與a2-a+1都在區間(0,+∞)上.又f(x)在區間(0,+∞)上是減函數,∴f≥f(a2-a+1).
變式　(1)A　(2)(0,3)　[解析] (1)因為函數f(x)滿足對任意的x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,所以函數f(x)是定義在R上的增函數,所以f(-2)(2)因為<0,且x1,x2∈(0,+∞),所以<0.令g(x)=,x∈(0,+∞),則原不等式為<0,所以函數g(x)在(0,+∞)上單調遞減.由f(x)>3x,得>3,又g(3)==3,所以g(x)>g(3),可得03x成立的x的取值范圍是(0,3).
例4　　[解析] 由題知解得-1≤x<.
變式　(-∞,1]∪[2,+∞)　[解析] 因為函數f(x)對任意x1,x2∈R,總有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以f(x)在R上單調遞增.若存在x∈(0,1)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立,則存在x∈(0,1)使得3a-x≤x+a2成立,即存在x∈(0,1)使得2x≥-a2+3a,則2≥-a2+3a,解得a≥2或a≤1,故實數a的取值范圍是(-∞,1]∪[2,+∞).
例5　(1)(-∞,-3]　(2)　[解析] (1)函數y=x2+2mx的單調遞減區間為(-∞,-m],因為函數y=x2+2mx在區間(-∞,3]上單調遞減,所以(-∞,3] (-∞,-m],所以-m≥3,解得m≤-3,所以實數m的取值范圍是(-∞,-3].
(2)因為對任意的實數x1≠x2都有>0,即<0,所以f(x)在R上單調遞減,所以解得變式　D　[解析] 因為對任意x1,x2∈R(x1≠x2),都有<0,所以f(x)是R上的減函數,所以解得1≤a≤4.故選D.
例6　解:(1)證明:任取1≤x1因為1≤x10,所以<0,即f(x1)所以f(x)在[1,+∞)上是增函數.
(2)由(1)可知f(x)在[1,4]上是增函數,所以當x=1時,f(x)取得最小值,最小值為f(1)=2,當x=4時,f(x)取得最大值,最大值為f(4)=.所以f(x)在[1,4]上的最大值是,最小值是2.
變式　C　[解析] 任取00,0【課堂評價】
1.B　[解析] 因為f(x)=+2在[0,1]上單調遞減,所以函數f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)=+2=.故選B.
2.D　[解析] 因為f(x)=在R上是增函數,所以解得13.ABD　[解析] 借助函數圖象可知,y=2x+1,y=3x2+1,y=|x|在(0,+∞)上都是增函數,y=在(0,+∞)上為減函數.故選ABD.
4.　[解析] 當x≥0時,f(x)=(x-1)2-1 ,則f(x)在[0,+∞)上的最小值為f(1)=-1.當x<0時,f(x)=(a-1)x+2a,當a=1時,f(x)=2,此時f(x)在R上有最小值-1;當a≠1時,要滿足f(x)在R上有最小值,需 解得-≤a<1.綜上,實數a的取值范圍是.
5.解:(1)函數f(x)的圖象如圖所示.
(2)由圖可知,f(x)的單調遞減區間為(-∞,-1]和[0,1),
單調遞增區間為(-1,0)和[1,+∞).3.1.2　函數的單調性
第1課時　單調性的定義與證明、函數的最值
1.B　[解析] 若函數f(x)在區間[1,2]上是增函數,則任意a,b∈[1,2],使得a2.B　[解析] 由題圖可知,選項B對應的函數是定義域上的增函數,選項A,C,D對應的函數在定義域上不具有單調性.故選B.
3.C　[解析] 作出y=|x+2|的圖象,如圖所示,易知函數y=|x+2|在[-3,-2]上單調遞減,在[-2,0]上單調遞增.故選C.
4.B　[解析] 令t=2-x-x2≥0,解得-2≤x≤1,故函數f(x)的定義域為[-2,1].因為函數t=2-x-x2的圖象開口向下,對稱軸方程為x=-,所以t=2-x-x2在[-2,1]內的單調遞減區間為,故函數f(x)=的單調遞減區間為.故選B.
5.B　[解析] 因為函數f(x)=是R上的增函數,所以解得-3≤a≤-2.故實數a的取值范圍是[-3,-2],故選B.
[易錯點] 此類問題為分段函數單調性,易忽略兩段接頭函數值的大小比較.
6.B　[解析] 令即解得x≥2,故當x≥2時,f(x)=-x+5;令即
解得x≤-1或x=2,故當x≤-1時,f(x)=x+1;令即解得-1≤x≤2,故當-1≤x≤2時,f(x)=x2-1.綜上,f(x)=其大致圖象如圖所示,由圖知y=f(x)的最大值為3.故選B.
7.D　[解析] 函數f(x)=x2-4kx-8的圖象的對稱軸方程為x=-=2k.因為函數f(x)在區間[2,4]上具有單調性,所以2k不在區間(2,4)內.當2k≤2,即k≤1時,函數f(x)在區間[2,4]上單調遞增;當2k≥4,即k≥2時,函數f(x)在區間[2,4]上單調遞減.所以k的取值范圍是(-∞,1]∪[2,+∞).故選D.
8.CD　[解析] 對于A,因為f(x)是區間[a,b]上的減函數,所以f(x)在[a,b]上的最小值為f(b),故A錯誤;對于B,函數在[a,b]上的單調性無法確定,其最小值也無法確定,故B錯誤;對于C,因為f(x)是區間[a,b]上的減函數,所以f(x)-c在[a,b]上也是減函數,所以f(x)-c在[a,b]上的最小值為f(b)-c,故C正確;對于D,因為f(x)是區間[a,b]上的減函數,且c<0,所以cf(x)在[a,b]上是增函數,所以cf(x)在[a,b]上的最小值為cf(a),故D正確.故選CD.
9.　[解析] 由題意可知解得x>,所以x的取值范圍為.
10.解:(1)令f(x)1,令g(x)≤f(x),則(x-1)2≤-x+1,解得0≤x≤1,所以m(x)=其圖象如圖所示.
(2)根據(1)中的圖象可得函數m(x)在R上單調遞減.
因為m(t)3t-4,解得t<2,
所以實數t的取值范圍是(-∞,2).
11.D　[解析] 對于A,當f(x)=x時,y=xf(x)=x2在R上不是單調函數,故A錯誤;對于B,當f(x)=x時,y==1為常數函數且定義域不是R,故B錯誤;對于C,當f(x)=x時,y=-=-在R上不是單調函數,且定義域不為R,故C錯誤;若函數f(x)在R上為增函數,則y=-f(x)在R上為減函數,故D正確.故選D.
12.AB　[解析] 函數y=x+-3a在(1,3)上單調遞減,在(3,+∞)上單調遞增.當x>1時,函數f(x)的最小值為f(3)=6-3a.函數y=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的圖象的對稱軸方程為x=a.若a≥1,函數y=x2-2ax+2在(-∞,1]上單調遞減,f(1)=3-2a,因為函數f(x)的最小值為f(1),所以f(3)≥f(1),即6-3a≥3-2a,解得a≤3,所以1≤a≤3;若a<1,當x≤1時,函數f(x)的最小值為f(a)=2-a2,不滿足題意.綜上所述,選項A,B滿足題意,C,D不滿足題意.故選AB.
13.[0,4]　6　[解析] 在同一平面直角坐標系內畫出函數y=x+2和y=10-x的圖象,如圖所示.由題知,f(x)=所以函數f(x)的圖象為圖中的實線部分.由圖知函數f(x)的單調遞增區間是[0,4],最大值為6.
14.解:(1)不等式f(x)≤mx,即mx2-(3m+1)x+3≤0,
當m=0時,-x+3≤0,解得x≥3;
當m≠0時,(mx-1)(x-3)≤0,
若m<0,則<3,解得x≥3或x≤;
若03,解得3≤x≤;
若m=,則=3,解得x=3;
若m>,則<3,解得≤x≤3.
綜上,當m<0時,不等式的解集為;當m=0時,不等式的解集為{x|x≥3};
當0當m=時,不等式的解集為{x|x=3};
當m>時,不等式的解集為.
(2)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=,且開口向上.
當≤3,即m≥時,f(x)在[3,+∞)上單調遞增,
此時f(x)的最小值為f(3)=3m=1,解得m=;
當>3,即0此時f(x)的最小值為f=-+3=1,解得m=(舍去).
綜上所述,m=.
15.B　[解析] ∵ x1∈[1,2], x2∈[2,4],使得f(x1)≤g(x2)成立,∴f(x)在[1,2]上的最大值小于等于g(x)在[2,4]上的最大值.∵g(x)=x在[2,4]上單調遞增,∴g(x)在[2,4]上的最大值為g(4)=2,∴ax2+2ax-1≤2對x∈[1,2]恒成立,∴ax2+2ax≤3對x∈[1,2]恒成立,即a≤對x∈[1,2]恒成立.∵y=x2+2x=(x+1)2-1在[1,2]上單調遞增,∴y=在[1,2]上單調遞減,∴a≤=.故選B.
16.解:(1)由f(x+y)=f(x)f(y),得f(2)=f(1+1)=[f(1)]2=9,
又當x>0時,f(x)>1,所以f(1)=3,
所以f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=3×9=27.
(2)證明:令y=0,則f(x+0)=f(x)f(0),則f(0)=1,
當x<0時,-x>0,f(-x)>1,
因為f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1,所以f(x)=>0,
所以f(x)>0在R上恒成立.
由f(x+y)=f(x)f(y),可知=f(y),
令x1=x+y,x2=x,且x1>x2,即x1-x2>0,
則=f(x1-x2)>1,
所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上單調遞增.

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