資源簡介

2025年雅禮集團新苗杯初三數學競賽初賽試題
考試時間：120 分鐘；滿分150分
第Ⅰ卷(選擇題)
一、選擇題(每小題5分，共40分)
1.已知一元二次方程. 的兩根都是質數，則c為( )
A. 94 B. 79 C. 14 D. 28
2.一位顧客到店里購買黃金，商店使用一架右臂有磨損的不等臂的天平稱黃金。售貨員先將10克的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將10克的砝碼放在天平右盤中，取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客，顧客實際購買的黃金 ( )
A. 大于20克 B. 小于 20 克 C. 等于20 克 D..不能判斷
3.一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是 1，2，3，4，5，6.擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數字之和除以4 的余數是3的概率為p，則p的值 ( )
A. B. C.
4.設有邊長為2025的正方形。若將正方形的四個角各剪去一個等腰直角三角形后成為一個正八邊形，則此正八邊形的邊長為 ( )
A. D. 1013
5.如下圖, 在 Rt△ABC 中,已知O是斜邊AB的中點, CD⊥AB ,垂足為D, 垂足為E ，若AC=15, BC=20, 則DE的長為( )
6.設非零的實數a、b、c滿足 則 的值 ( )
C、0
7.多項式 )有因式 ( ）
A.a-b+c B.a-b-c C.a+b+c D.ab+bc-ac
8.如下圖，在等腰 中， 則 的度數為 ( )
A.15 B.16 C. 18 D. 20
二、填空題(每小題5分，共30分)
9.季節變化，某班感冒的同學很多，某星期當中，周一有9人請病假，周二有7人請病假，周三有11人請病假，周四有8人請病假，若這四天中共有20人請過病假，則這四天中，每天都缺席的學生最多有 人。
10.某商場經銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了 6.25%，使得利潤率增加了8個百分點，那么經銷這種商品原來的利潤率是 。
11.如下圖,正方形ABCD,點P 是射線CA上一點,連接BP ,過點 P作. PQ交CD于點Q,若AB=4,且點C、D、Q中一點為其余兩點的中點，則AP的長等于
12.如圖, P是 內任意一點，過P作 且 則 。
13.已知二次函數 自變量x和實數u、v滿足 并且y的最小值為-4,，則m的值為 。
實數x, y, z滿足. 且xyz=1,xy+yz+zx=0.則不等式 恒成立時實數k的最大值為 。
三、解答題(每題20分, 17、18題每題80分)
15.已知正整數a、b、c滿足 求 abc的值
16.如圖，點A為⊙O上任意一點，點B、C是直徑DE上的三等分點，連接AC，AB，圓的直徑為1，求證：
17.如圖，在等邊三角形 中， 是頂角為 的等腰三角形,點 M 、N分別在AB 、AC 上，且 求證：
18.記 則在 中有幾個是2025的倍數，求出對應n的值。2025年雅禮集團新苗杯初三數學競賽初賽試題
答案解析
一、單選題(每小題5分，共40分)
1.已知一元二次方程 的兩根都是質數，則c為 ( )
A. 94 B. 79 C. 14 D. 28
答案：答案A
解：由 兩根是質數，. ，其中一個為2，另一個為47，所以(c=2×47=94
2.一位顧客到店里購買黃金，商店使用一架右臂有磨損的不等臂的天平稱黃金.售貨員先將 10克的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡：再將10克的砝碼放在天平右盤中，取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡：最后將兩次稱得的黃金交給顧客.顧客實際購買的黃金 ( )
A. 大于20克 B. 小于 20 克 C. 等于20 克 D..不能判斷
答案：A
解：由于天平兩臂不等長，可設天平左臂長為a，右臂長為b，則a≠b
設先稱得黃金為x克，則
設后稱得黃金為y克，則
因此，顧客購得的黃金大于20g 選A因此，顧客購得的黃金大于20g 選A
3.一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1，2，3，4，5，6.擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數字之和除以4的余數是3的概率為p，則p的值 ( )
答案：答案D
解：
(1, 1) (1, 2) (1,3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2,1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3,1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5,1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6,1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
滿足兩個數字之和除以4的余數是3: (1, 2) (1, 6) (2, 1) (2, 5) (3, 4) (4, 3)(5, 2) (5, 6) (6, 1) (6, 5) 共計10個,
4.設有邊長為2025的正方形。若將正方形的四個角各剪去一個等腰直角三角形后成為一個正八邊形，則此正八邊形的邊長為 ( )
D.1013
答案：答案B
5.如圖，在 中，已知O是斜邊 AB 的中點， 垂足為D， 垂足為 E ，若AC=15,BC=20,則ED的長為 ( )
答案：B
因為Rt△ABC中,AC=15, BC=20 可得AB=25
由 可得CD=12;
因為Rt△ABC 中, 可得
由 可得
6.設非零的實數a、b、c滿足 則 的值 ( )
C、0
答案：B
解：由已知得(a-b-c=2025a+2025b+2024c-(2024a+2026b+2025c)=0
所以 所以
7.多項式 )有因式( )
A. a-b+c B. a-b-c C. a+b+c D. ab+ bc-ac
答案答案C
因式分解：
8.如圖, 在等腰△ABC中, AB=AC,AD=BC, ∠A=2∠ACD,則∠A的度數為 ( )
A.15 B. 16 C. 18 D. 20
答案 D
解題思路: 如圖, 作∠ECA=DAC且AD=EC,AC=AC,
∴△CAE≌△ACD,∠EAC=ACD,
∵∠BAC=2∠ACD,∠EAC=2∠ACD,AB=AC,AE=AE,△ABE≌△ACE,
∴BE=BC
∴ AD=BC=EC,等邊△BEC。
設∠BAC=α=∠ECA ∴則 ∠BAC=20°,選D
二、填空題(每小題5分，共30分)
9、季節變化，某班感冒的同學很多，某星期當中，周一有9人請病假，周二有7人請病假，周三有11人請病假，周四有8人請病假，若這四天中共有20人請過病假，則這四天中，每天都缺席的學生 最多有 人
答案：答案5
10、某商場經銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了6.25%，使得利潤率增加了8個百分點，那么經銷這種商品原來的利潤率是 。
答: 20%。
解設原進價為 100元，設原利潤率x%，
解得：
11、如圖,正方形 ABCD,點 P 是射線 CA 上一點,連接BP,過P 作 ,PQ交CD于Q,若.AB=4,且點 C、D、Q中一點為其余兩點的中點，則AP 的長等于
答案： 或者
解：第一種情況：如圖1，點P 在線段CA 上，點Q 是CD 的中點，DQ=CQ=2,,過P 分別作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD, 垂足分別為E、F、G. 易證I 所以FQ=FD=EP
第二種情況：如圖2，點P 在CA 延長線上，點D是CQ的中點，DQ=CD=4,, 過P 分別作 PE、PF垂直于 BC、CD, 垂足分別為E、F. 易證 ，所以
12.如圖 , P 為 內任 意 一 點 ,過點 P 作 I ，且 則
答案： 答案：
解·.
設
則 即
相加得： 即
13、已知二次函數 自變量x和實數u、v滿足 并且y的最小值為-4,則m的值為 。
答案：m=4或-2
解：由已 得
即，
即，u、v為關于t的方程. 的兩實數根所以， Δ=4-2x-4(1-x)=2x≥0
所以, x≥0; 又因為, 4-2x≥0, 所以0≤x≤2
二次函數的頂點坐標為
(1) 若m≤0, 當x=0時y最小, 即2m=-4, 得m=-2;
(2)若0(3)若m≥2,當x=2時y最小, 即4-2m=-4,得m=4.
綜上, m=4或-2.
14、實數x, y, z, 滿足x≤y≤z, 且xyz=1,xy+yz+zx=0..則不等式|x+y|≥k|z|恒成立時實數 k的最大值為 .
答案：4
解：當 時，實數x，y，z滿足題設條件，此時k≤4。
三、解答題(每題20分，共80分)
15、已知正整數a、b、c滿足 求 abc的值
答案：abc=2025或9975
解 消去c，并整理得 由a為正整數及
可得
若a=1,則 無正整數解；
若a=2,則 無正整數解；
若a=3, 則 無正整數解：
若a=4, 則 無正整數解；
若a=5,則 或者b=7;
情況1：若a=5,b=9代入 則c=45,從而得到
情況2：若a=5,b=7代入 則c=285,從而得到abc=9975
16、如圖，點 A 為圓O上任意一點，點 B、C 是直徑DE上的三等分點，連接AB，AC，圓的直徑為1 求證：
答案證明：延長AO交圓O點D，連結BD、CD(如圖所示)，又易證O為BC中點，所以四邊形 ABFC為平行四邊形，從而
（）2=
又
所以：
17、如圖，在等邊三角形ABC中， 是頂角為 的等腰三角形,點 M、N 分別在 BC、AC 上,且 求證：
如圖，連接MN，作(CE=BM,
由“半角模型”，∠
得到： BM+CN=MN
作
在 中， 如圖，連接MN，作(CE=BM,
由“半角模型”，
得到：BM+CN=MN
作 在 中，
化簡得：
又
又因為等邊三角形：
BM+MA=CN+NA
MA-NA=CN-BM
將式子平方： )
①—②: AM·AN =4BM·CN
18、記 則在 中有幾個是2025 的倍數，求出對應n的值.
解：設 (p為正整數)，則
因為n與n+1I互質，所以n與n+1只能去如下三種情況：
情況l: 或者2025
情況
情況3:
綜上所述: 有四個是2025 的倍數, n的值為324, 1700, 2024, 2025.

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