資源簡介

(共82張PPT)
3.1 函數的概念與性質
3.1.2 函數的單調性
第2課時 函數的平均變化率
探究點一 直線的斜率公式及應用
探究點二 求函數的平均變化率
探究點三 函數平均變化率的應用
探究點四 判斷（證明）函數的單調性
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.了解直線的斜率及意義；
2.了解函數的平均變化率，理解函數單調性與平均變化率的關系；
3.會用函數單調性的充要條件證明簡單函數的單調性.
知識點一 直線的斜率
1.定義：一般地，給定平面直角坐標系中的任意兩點 ,
，當時，稱______為直線的斜率；當 時，
稱直線 的斜率________.
不存在
2.幾何意義：直線 的斜率反映了直線相對于_____的傾斜程度.
3.表示方法：若記，相應的，則當
時，斜率可記為_ __.
4.證明點共線：若平面直角坐標系中的三個點共線，當且僅當其中任
意兩點確定的直線的斜率都______或__________.
軸
相等
都不存在
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）任意的直線都有斜率.( )
×
[解析] 當直線與軸垂直時，，斜率 沒有意義，所以此
項錯誤.
（2）“點,,共線”是“直線的斜率等于直線 的斜率”的必要不
充分條件.( )
√
[解析] 當直線的斜率等于直線 的斜率時，兩條直線重合，即
三點共線；反之，當,,三點所在的直線與 軸垂直時，直線斜率
不存在，故此項正確.
（3）直線 的斜率為0.( )
[解析] 直線 上的任意兩點的縱坐標相等，故由斜率公式可知斜
率為0.
（4）若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線的傾斜程度相同.( )
[解析] 根據斜率的概念知說法正確.
√
√
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
知識點二 函數的平均變化率、函數遞增遞減的充要條件
1.平均變化率
一般地，當時，稱為函數 在區間
時或時 上的平均變化率.
2.判斷函數單調性
一般地，若區間是函數的定義域的子集，對任意,
且，記, ，
，則：
（1）在區間上是增函數的充要條件是在區間 上恒
成立；
（2）在區間上是減函數的充要條件是在區間 上恒
成立.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數在上是減函數，當 每增大1個單位
時，增大 個單位.( )
√
[解析] 由線性函數定義可知 ，所以函數為減
函數，且當每增大1個單位時，增大 個單位.
（2）函數 在定義域上的平均變化率都等于2.( )
√
[解析] 因為線性函數的平均變化率為 ，所以此項正確.
（3）函數在區間 上的平均變化率為2.( )
√
[解析] 因為 ，所以此項正確.
（4）當一個函數給定，定義域內的一個區間給定時，該函數在這個
區間上的平均變化率為常數.( )
√
[解析] 由平均變化率的定義可知此項正確.
（5）函數在和 上的平均變化率互為相反數.( )
√
[解析] 函數在上的平均變化率為 ，
在上的平均變化率為 ，故此項正確.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
探究點一 直線的斜率公式及應用
［探索］ 能否說直線越陡峭，斜率越大？
解：不能.當斜率大于0時，直線越陡峭斜率越大；當斜率小于0時，
直線越陡峭斜率越小.
例1（1）［2024·北京昌平區高一期中］已知 和
在區間上的平均變化率分別為和 ，則( )
A.
B.
C.
D.和的大小隨著， 的改變而改變
[解析] 依題意， ，
，所以 .故選B.
√
（2）已知經過，兩點的直線的斜率大于1，則實數
的取值范圍是_______.
[解析] 由題知,即,解得 ，所
以實數的取值范圍是 .
變式（1）［2025·安徽亳州高一期末］已知二次函數
的最大值為 ，則( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為二次函數的最大值為 ，
所以的圖象關于直線對稱，
所以 ，且在上是減函數，
因為 ，所以 .故選A.
√
（2）已知三點，， 在同一條直線上，則實數
的值為_____.
2或
[解析] 因為，，三點在同一條直線上，且 ，
所以直線，的斜率都存在，且.
因為 ，，所以，
解得或.故實數 的值為2或 .
［素養小結］
利用斜率公式求直線的斜率應注意的事項：
（1）運用公式的前提條件是“”，即直線不與軸垂直，因為
當直線與軸垂直時，斜率是不存在的；
（2）斜率公式與兩點，的先后順序無關，也就是說公式中的
與，與可以同時交換位置.
探究點二 求函數的平均變化率
［探索］ 函數的平均變化率 是否一定存在？若存在，對
于同一函數的平均變化率都相等嗎？
解：不一定.因為，所以當 時，函數的平均變
化率不存在.若存在，同一函數在不同的區間內的平均變化率可以不同.
例2 已知函數 .
（1）求 從0.1到0.2的平均變化率；
解： ,
，所以 .
（2）求在區間 上的平均變化率.
解：函數在區間 上的平均變化率為
.
變式（1）若函數，，在 上的平均
變化率分別為,, ，則下面結論正確的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 函數在上的平均變化率 ，
函數在上的平均變化率，
函數 在上的平均變化率，
則 .故選A.
√
（2）已知函數，計算在和 上的平均變化
率,并判斷在哪個區間上函數值變化較快.
解：， ,
，
,.,
在 上函數值變化較快．
［素養小結］
求函數的平均變化率可根據定義代入公式直接求解，解題的關鍵是
弄清自變量的增量與函數值的增量.
求函數在區間上的平均變化率的主要步驟是：
（1）計算函數值的改變量;
（2）計算自變量的改變量;
（3）計算函數的平均變化率.
探究點三 函數平均變化率的應用
例3（1）已知某物體運動的速度與時間之間的關系是
，則該物體在時間間隔 內的平均加速度
是_______.
[解析] 由平均變化率的定義可知，該物體在 內的平均加速
度為 .
（2）某人服藥后，吸收藥物的情況可以用血液中藥物的質量濃度
單位：來表示，它是時間單位： 的函數，表示為
.下表給出了 的一些函數值：
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.8 4 0.8 9 0.9 4 0.9 8 1.0 0 1.0 0 0.9 7 0.9 0 0.7 9 0.6 3 0.4
1
①求服藥后內，到，到 這3段時間
內，血液中藥物質量濃度的平均變化率；
解：服藥后 內血液中藥物質量濃度的平均變化率為
，
服藥后到 內血液中藥物質量濃度的平均變化率為
，
服藥后到 內血液中藥物質量濃度的平均變化率為
.
②討論刻畫血液中的藥物質量濃度變化快慢的方法，并說明上述3段
時間中，藥物質量濃度變化最快的時間段.
解：用平均變化率的絕對值 的大小刻畫藥物質量濃度變化的快
慢，當時，血液中的藥物質量濃度增加，當 時，血液中
的藥物質量濃度減小，因為 ，所以
到 這段時間內血液中的藥物質量濃度變化最快.
變式（1）如圖所示，半徑為1的圓中弧的長為 ，
表示弧與弦 所圍成的弓形面積的2倍，則函
數 的大致圖象是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 不妨設固定，從 點出發繞圓周旋轉一周，剛開始時很小，
即弧的長度很小，這時給 一個改變量，那么弧與弦 所圍成
的弓形面積的改變量非常小，即弓形面積的變化較慢;
當弦 接近于圓的直徑時，同樣給一個改變量，
那么弧 與弦 所圍成的弓形面積的改變量將較大，
即弓形面積的變化較快;從直徑的位置開始，
隨著 點的旋轉，
弓形面積的變化又由變化較快變為越來越慢．
由上可知函數 的圖象應該是首先比較平緩，
然后變得比較陡峭，最后又變得比較平緩，對比各選項知D正確.故選D.
（2）甲、乙兩個學校開展節能活動，活動開始后
甲、乙學校的用電量，與時間 （天）
的關系如圖所示，則下列說法正確的是( )
A.甲學校比乙學校節能效果好
B.甲學校的用電量在 上的平均變化率比乙學
校的用電量在 上的平均變化率大
C.兩學校的節能效果一樣好
D.甲學校與乙學校自節能以來用電量總是一樣大
√
[解析] 由題圖可知，在 上，
，所以甲學校
比乙學校節能效果好，故A正確，C錯誤；
由題圖可知， ，
所以甲學校的用電量在上的平均變化率比乙學校的用電量在
上的平均變化率要小，故B錯誤；
的圖象和 的圖象不重合，故D錯誤.故選A.
［素養小結］
應用平均變化率判斷函數圖象問題，關鍵是滿足“一定、一觀察”，
即滿足一定的條件下，觀察圖象的變化情況，從而得到平均變化
率的變化情況，如果較大，則對應的平均變化率較大，則對應的
兩點確定的直線的斜率就大.
探究點四 判斷（證明）函數的單調性
例4（1）已知函數的圖象關于直線對稱，對任意 ，
，且，滿足， ，則不等式
的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由對任意，，且，滿足 ，
可得函數在上單調遞減，
又函數 的圖象關于直線對稱，
所以在上單調遞增.
因為 ，所以，
所以不等式的解集是 .故選B.
（2）已知函數是定義在 上的函數，用平均變化率
的方法證明：函數在 上是增函數.
證明：設,，且 ，
則，
因為, ，所以，,，
，此時 ，所以函數在 上是增函數.
變式 已知函數, ，用平均變化率的方法判斷函數
的單調性.
解：設，，且 ，則
，
因為,，所以 ,，即，
所以函數在 上是增函數.
［素養小結］
應用平均變化率的方法判斷函數的單調性，首先要在的條件
下得到，其次是根據所給的的取值范圍確定與0的大小關系，
若，則對應的函數為增函數，反之為減函數.注意，
要保證分子、分母的下角標順序一致.
拓展 已知函數 對任意兩個不相等的實數
,，都有不等式成立，則實數 的取值
范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為對任意兩個不相等的實數, ，都有不等式
成立，所以在 上為減函數.
令，則該函數在上為減函數且 在
上恒成立.
當時， ，不滿足該函數在上為減函數，
不符合題意；
當 時，可得解得 .故選B.
1.函數在區間 上的平均變化率是( )
A.2 B. C. D.
[解析] ，
.故選C.
√
2.以固定的速度向如圖所示的瓶子中注水，水深
是時間 的函數，則該函數的圖象可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為圖中瓶子下粗上細，所以以固定的速度向瓶子中注水時，
隨著時間的增加，水深 增高得越來越快，易知B符合題意.
√
3.如圖所示， 是邊長為2的正三角形，記
位于直線 左側的圖形
（陰影部分）的面積為，則函數 的圖象
可能為( )
A. B. C. D.
[解析] 由圖可知，隨著 的增加，陰影部分面積一直增大，排除C；
在 一定的條件下，平均變化率先增大后減小，只有A符合題意.
√
4.定義在上的函數滿足，且 ，
則不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為定義在上的函數滿足 ，
所以在上單調遞減.因為，所以 .
因為，所以，所以，所以 ，
即，所以 .故選B.
√
復合函數單調性的判斷
1.復合函數的單調性
復合函數在區間上具有單調性的規律見下表：
以上規律還可總結為“同性為增，異性為減”.
2.常用結論
在函數， 的公共定義域內：
（1）增函數增函數 是增函數；
（2）減函數減函數 是減函數；
（3）增函數減函數 是增函數；
（4）減函數增函數 是減函數.
例1 判斷下列函數的單調性.
（1） ；
解：函數的定義域為 .
設函數，可知函數在, 上是減
函數，在，上是增函數，
又因為函數在， 上是減函數，
所以函數在, 上是增函數，在， 上是
減函數.
（2） ；
解：因為函數在上是增函數，
函數 在，上是減函數，
所以函數在 ， 上是增函數.
例1 判斷下列函數的單調性.
（3） ；
解：函數的定義域為.設函數 ，
可知函數在上是增函數，在 上是減函數，
又函數在上是增函數，
所以函數在 上是減函數，在 上是增函數.
例1 判斷下列函數的單調性.
（4） .
解：函數的定義域為.
設函數 ，可知函數在上是減函數，
又函數在 上是增函數，
所以函數在 上是減函數.
例1 判斷下列函數的單調性.
例2 閱讀材料：
差分和差商
古希臘的著名哲學家芝諾，曾經提出“飛矢不動”的怪論.他說箭在每
一個時刻都有一個確定的位置，因而在每一時刻都沒有動.既然每個
時刻都沒有動，他怎么能夠動呢？為了駁倒這個怪論，就要抓住概
念，尋根究底.討論有沒有動的問題，就要說清楚什么叫動，什么叫
沒有動.如果一個物體的位置在時刻和后來的一個時刻 不同，我們
就說他在時刻和之間動了，反過來，如果他在任意時刻
有相同的位置，就說它在到 這段時間沒有動.這樣，芝諾怪論的漏
洞就暴露出來了.原來，動或不動都是涉及兩個時刻的概念.芝諾所說
“在每一個時刻都沒有動”的論斷是沒有意義的!函數可以用來描述物
體的運動或變化.研究函數，就是研究函數值隨自變量變化而變化的
規律.變化的情形至少要看兩個自變量處的值，只看一點是看不出變
化的.設函數在實數集上有定義.為了研究 的變化規律，
需要考慮它在 中兩點處的函數值的差.定義（差分和差商）稱
為函數從到 的差分，這里若無特別說明，均假定
.通常記, 叫做差分的步長，可正可負.差分和它的步
長的比值叫做在和的差商.顯然，當和 位置交換時，
差分變號，差商不變.隨著 所描述的對象不同，差商可以是平均
速度，可以是割線的斜率，也可以是曲邊梯形的平均高度.一般而言，
當時，它是在區間 上的平均變化率.顯然，函數和它
的差商有下列關系：某區間 上，單調遞增函數的差商處處為正，反
之亦然；某區間 上，單調遞減函數的差商處處為負，反之亦然.可
見，差商是研究函數性質的一個有用的工具.回答問題：
（1）計算一次函數 的差商；
解：一次函數的定義域內任取,，且 ，
，
差商為 ，
一次函數的差商處處為 .
（2）請通過計算差商研究函數 的增減性.
解：由題得函數的定義域為 ，設
，
則在 上的差商為
，
當時， ，
則，故函數在 單調遞減；
當， ，
則，故函數在 單調遞減；
當時， ，
則，故函數在 單調遞增.
綜上所述，函數在和 上單調遞減，在
上單調遞增.
練習冊
1.定義在上的函數對任意兩個不相等的實數， ，總有
成立，則( )
A.在 上是增函數
B.在 上是減函數
C.在 上先單調遞增后單調遞減
D.在 上先單調遞減后單調遞增
[解析] 由題得對任意，，且，有 ，
所以在 上是增函數.故選A.
√
2.在函數的圖象上取一點及附近一點 ，
則 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得 ．故選C.
√
3.某物體沿水平方向運動，其前進距離（米）與時間 （秒）的
關系為 ，則該物體在前2秒運動的平均速度為( )
A.18米/秒 B.13米/秒 C.9米/秒 D. 米/秒
[解析] 根據題意，物體前進距離與時間 的關系為
，則， ，
則該物體在前2秒運動的平均速度為 （米/秒）.
故選C.
√
4.若一射線從處開始，繞 點勻速逆時針旋
轉（到處為止），所掃過的圖形內部的面積
是時間的函數， 的圖象如圖所示，則下列圖
形中，符合要求的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 選項A中， 掃過的圓內面積在開始時段
增加緩慢，中間增速最快，后面時段增速越來越
慢，不符合題意；
選項B中，掃過的 圓內面積是勻速變化的，
不符合題意；
選項C中， 掃過的正方形內面積在開始時段增加緩慢，中間增
速最快，后面時段增速越來越慢，不符合題意；
選項D中， 掃過的三角形內面積在開始時段的增速和最后時段的
增速比中間時段的增速快，選項D符合題意.故選D.
5.大面積綠化可以增加地表的綠植覆蓋，可以調節小環境的氣溫，好
的綠化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）.
甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖如圖所示.假設除綠化外，其他可能
影響甲、乙兩地溫度的因素均一致，則下列結論中錯誤的是( )
A.由圖推測，甲地的綠化比乙地好
B.當日6時到12時，甲地氣溫的平均變化率小于
乙地氣溫的平均變化率
C.當日12時到18時，甲地氣溫的平均變化率小
于乙地氣溫的平均變化率
D.當日乙地的平均氣溫比甲地的平均氣溫高
√
[解析] 對于A，由圖可知，甲地的氣溫日較差明
顯小于乙地氣溫日較差，所以甲地的綠化比乙地
好，故A中結論正確；
對于B，由圖可知，當日6時到12時甲、乙兩地的平均變化率為正數，
且乙地的變化趨勢更大，所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的
平均變化率，故B中結論正確；
對于C，由圖可知，當日12時到18時甲、乙兩地的平均變化率為負數，
且乙地的變化趨勢更大，所以甲地氣溫的平均變化率大于乙地氣溫的
平均變化率，故C中結論錯誤；
對于D，由圖可知，D中結論正確.故選C.
6.（多選題）［2025·陜西西安高一期中］ 如圖是物體甲、乙在時間
0到 范圍內位移的變化情況，下列說法正確的是( )
A.在0到 范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到 范圍內，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在到 范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在到 范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度
√
√
[解析] 在0到范圍內，甲、乙的平均速度都
為 ，故A錯誤,B正確；
在到 范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速
度為 ，因為，，
所以 ，故C正確，D錯誤.故選 .
7.（多選題）為滿足人們對美好生活的向往，環保部門要求相關企業
加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改．設企業的污水排放
量與時間的關系為，用的大小評價在 這
段時間內企業污水治理能力的強弱．已知整改期內，甲、乙兩企業
的污水排放量與時間的關系如圖所示，則下列結論中正確的有
( )
A.在 這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強
B.在 時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強
C.在 時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標
D.甲企業在，，這三段時間中，在 的污水治
理能力最強
√
√
√
[解析] 由題圖可知甲企業的污水排放
量在時刻高于乙企業，而在 時刻
甲、乙兩企業的污水排放量相同，故
在 這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強，故A正確；
由題圖知在 時刻，甲企業在該點的切線斜率的絕對值大于乙企業
的，故B正確；
在 時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都低于污水達標排放量，故都
已達標，故C正確；
由題意可知，甲企業在 ，，這三段時間中，在
時的污水治理能力明顯低于時的，故D錯誤.故選 .
8.已知曲線上兩點，，當
時，直線的斜率是___；當時，直線 的斜率是____．
5
4.1
[解析] 當時，直線 的斜率
.
當時，直線 的斜率 .
9.定義在上的函數對任意兩個不等實數， ，總有
成立，且，，則在 上
的最大值是___.
4
[解析] 由題意可知函數在上為增函數，則在 上的
最大值是 .
10.（13分）已知某病人服用某種藥物后血藥濃度 的一些對
應數據如下表所示.
0 0.5 1 1.5 2 3 5 8
0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3
（1）當和時， 都是增加的，哪個時間段的
增加得更快？
解：當時， 的平均變換率為，
當 時， 的平均變換率為 ，
因為，所以當時， 增加得更快.
（2）當時，平均每小時 的變化量為多少？這里的平均每
小時的變化量有什么實際意義？
解：當時，平均每小時 的變化量為 ，
實際意義為每小時血藥濃度平均減少 .
11.若函數由至 的平均變化率的取值范圍是
，則 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題得
，
函數由至的平均變化率 ，
， .故選C.
√
12.（多選題）下列函數中滿足“對任意, ，都有
”的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因為對任意,，都有，所以
在上單調遞增.
對于A，易知在 上單調遞增，故A正確；
對于B，在 上單調遞增，故B正確；
對于C，的圖象開口向上，對稱軸方程為 ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，故C錯誤；
對于D，因為在上單調遞增，在 上單調
遞增，所以在上單調遞增，故D正確.故選 .
13.已知函數在區間上的平均變化率是2，則 ___.
5
[解析] 因為函數在區間 上的平均變化率是2，所
以，即,解得
或 （舍去）.
14.（13分）已知函數， .
（1）判斷函數 的單調性，并利用平均變化率的方法證明；
解： 為增函數.
證明如下：任取，,且 ，
則 ，
,,， ，
， 函數 為增函數.
（2）求函數 的最大值和最小值.
解：由（1）知函數 為增函數，
， .
14.（13分）已知函數， .
15.（15分）在一次跳水運動中，運動員相對于水面的高度
（單位：）與起跳后的時間（單位： ）存在函數關系
，根據上述探究，你能求該運動員在
，， 內的平均速度嗎？有什么發現？
解：當時， ；
當時， ；
當時， .
雖然運動員在這段時間里的平均速度是 ，但實際情
況是該運動員仍在運動.
由此可以說明平均速度不能準確描述運動員的運動狀態.
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1. 不存在 2.軸 3. 4.相等 都不存在
【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）√
知識點二 【診斷分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）√ （5）√
課中探究 探究點一［探索］不能 例1 （1）B （2） 變式 （1）A （2）2或
探究點二 ［探索］不一定 例2 （1） （2） 變式 （1）A
（2）在上函數值變化較快
探究點三 例3 （1）（2）①略 ②到這段時間內血液中的藥物質量濃度變
化最快 變式 （1）D （2）A
探究點四 例4 （1）B （2）證明略 變式 函數在 上是增函數 拓展 B
課堂評價 1.C 2.B 3.A 4.B
備用習題 例1 略 例2 （1）
（2）函數在和上單調遞減，在上單調遞增
快速核答案（練習冊）
基礎鞏固
1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.BC 7.ABC 8.5 4.1 9.4
10.（1）當時， 增加得更快（2）實際意義為每小時血藥濃度平均減
少
綜合提升
11.C 12.ABD 13.5 14.（1）為增函數
證明略（2），
思維探索
15.略第2課時　函數的平均變化率
【課前預習】
知識點一
1.　不存在　2.x軸　3.　4.相等　都不存在
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　[解析] (1)當直線與x軸垂直時,x1=x2,斜率沒有意義,所以此項錯誤.
(2)當直線AB的斜率等于直線AC的斜率時,兩條直線重合,即三點共線;反之,當A,B,C三點所在的直線與x軸垂直時,直線斜率不存在,故此項正確.
(3)直線y=3上的任意兩點的縱坐標相等,故由斜率公式可知斜率為0.
(4)根據斜率的概念知說法正確.
知識點二
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　[解析] (1)由線性函數定義y=kx+y0可知k=-3<0,所以函數為減函數,且當x每增大1個單位時,y增大-3個單位.
(2)因為線性函數y=kx+y0的平均變化率為k,所以此項正確.
(3)因為==2,所以此項正確.
(4)由平均變化率的定義可知此項正確.
(5)函數y=x2在[-2,-1]上的平均變化率為=-3,在[1,2]上的平均變化率為=3,故此項正確.
【課中探究】
探索 解:不能.當斜率大于0時,直線越陡峭斜率越大;當斜率小于0時,直線越陡峭斜率越小.
例1　(1)B　(2)　[解析] (1)依題意,a===2,b===3,所以a(2)由題知>1,即(m-5)<0,解得5變式　(1)A　(2)2或　[解析] (1)因為二次函數f(x)=ax2+bx+c的最大值為f(4),所以f(x)=ax2+bx+c的圖象關于直線x=4對稱,所以f(2)=f(6),且f(x)在[4,+∞)上是減函數,因為5<6<8,所以f(5)>f(6)=f(2)>f(8).故選A.
(2)因為A,B,C三點在同一條直線上,且5≠-4,所以直線AB,BC的斜率都存在,且kAB=kBC.因為kAB==,kBC==,所以=,解得a=2或a=.故實數a的值為2或.
探索　解:不一定.因為=,所以當x1=x2時,函數的平均變化率不存在.若存在,同一函數在不同的區間內的平均變化率可以不同.
例2　解:(1)Δy=f(0.2)-f(0.1)=3×0.04+5-3×0.01-5=0.09,Δx=0.2-0.1=0.1,所以==0.9.
(2)函數f(x)在區間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為===6x0+3Δx.
變式　(1)A　[解析] 函數f(x)=x在[0,1]上的平均變化率m1==1,函數g(x)=x2在[0,1]上的平均變化率m2==1,函數h(x)=x3在[0,1]上的平均變化率m3==1,則m1=m2=m3.故選A.
(2)解:Δx1=2-1=1,Δy1=f(2)-f(1)=2+-(1+1)=,∴=.Δx2=5-3=2,Δy2=f(5)-f(3)=5+-=,∴=.∵>,∴f(x)在[3,5]上函數值變化較快.
例3　(1)Δt+4　[解析] 由平均變化率的定義可知,該物體在[1,1+Δt]內的平均加速度為==Δt+4.
(2)解:①服藥后30 min內血液中藥物質量濃度的平均變化率為≈0.004 67(μg/mL·min),
服藥后30 min到40 min內血液中藥物質量濃度的平均變化率為=0.002(μg/mL·min),
服藥后80 min到90 min內血液中藥物質量濃度的平均變化率為=-0.016(μg/mL·min).
②用平均變化率的絕對值的大小刻畫藥物質量濃度變化的快慢,當>0時,血液中的藥物質量濃度增加,當<0時,血液中的藥物質量濃度減小,因為|-0.016|>0.004 67>0.002,所以80 min到90 min這段時間內血液中的藥物質量濃度變化最快.
變式　(1)D　(2)A　[解析] (1)不妨設A固定,B從A點出發繞圓周旋轉一周,剛開始時x很小,即弧AB的長度很小,這時給x一個改變量Δx,那么弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的改變量非常小,即弓形面積的變化較慢;當弦AB接近于圓的直徑時,同樣給x一個改變量Δx,那么弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的改變量將較大,即弓形面積的變化較快;從直徑的位置開始,隨著B點的旋轉,弓形面積的變化又由變化較快變為越來越慢.由上可知函數y=f(x)的圖象應該是首先比較平緩,然后變得比較陡峭,最后又變得比較平緩,對比各選項知D正確.故選D.
(2)由題圖可知,在[0,t0]上,W1(0)-W1(t0)>W2(0)-W2(t0),所以甲學校比乙學校節能效果好,故A正確,C錯誤;由題圖可知,<,所以甲學校的用電量在[0,t0]上的平均變化率比乙學校的用電量在[0,t0]上的平均變化率要小,故B錯誤;W1(t)的圖象和W2(t)的圖象不重合,故D錯誤.故選A.
例4　(1)B　[解析] 由對任意x1,x2∈(-∞,2],且x1≠x2,滿足<0,可得函數f(x)在(-∞,2]上單調遞減,又函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱,所以f(x)在[2,+∞)上單調遞增.因為f(1)=0,所以f(3)=0,所以不等式f(x)<0的解集是(1,3).故選B.
(2)證明:設x1,x2∈(-1,1),且x1≠x2,則==,因為x1,x2∈(-1,1),所以-10,1+>0,1-x1x2>0,此時>0,所以函數f(x)在(-1,1)上是增函數.
變式　解:設x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,則==,因為x1,x2>0,所以x1+1>0,x2+1>0,即>0,所以函數f(x)在(0,+∞)上是增函數.
拓展　B　[解析] 因為對任意兩個不相等的實數x1,x2∈(-∞,-2],都有不等式<0成立,所以f(x)在(-∞,-2]上為減函數.令t=ax2+2x-5a+5,則該函數在(-∞,-2]上為減函數且t≥0在(-∞,-2]上恒成立.當a=0時,t=2x+5,不滿足該函數在(-∞,-2]上為減函數,不符合題意;當a≠0時,可得解得≤a≤1.故選B.
【課堂評價】
1.C　[解析] ∵(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴=2+Δx.故選C.
2.B　[解析] 因為圖中瓶子下粗上細,所以以固定的速度向瓶子中注水時,隨著時間t的增加,水深h增高得越來越快,易知B符合題意.
3.A　[解析] 由圖可知,隨著t的增加,陰影部分面積一直增大,排除C;在Δt一定的條件下,平均變化率先增大后減小,只有A符合題意.
4.B　[解析] 因為定義在(0,+∞)上的函數f(x)滿足<0,所以g(x)=xf(x)在(0,+∞)上單調遞減.因為f(2)=4,所以g(2)=8.因為f(x)->0,所以>0,所以xf(x)-8>0,所以xf(x)>8,即g(x)>g(2),所以01.A　[解析] 由題得對任意a,b∈R,且a≠b,有=>0,所以f(x)在R上是增函數.故選A.
2.C　[解析] 由已知得==2+Δx.故選C.
3.C　[解析] 根據題意,物體前進距離s(t)與時間t的關系為s(t)=5t+2t2,則s(0)=0,s(2)=10+8=18,則該物體在前2秒運動的平均速度為===9(米/秒).故選C.
4.D　[解析] 選項A中,OP掃過的圓內面積在開始時段增加緩慢,中間增速最快,后面時段增速越來越慢,不符合題意;選項B中,OP掃過的圓內面積是勻速變化的,不符合題意;選項C中,OP掃過的正方形內面積在開始時段增加緩慢,中間增速最快,后面時段增速越來越慢,不符合題意;選項D中, OP掃過的三角形內面積在開始時段的增速和最后時段的增速比中間時段的增速快,選項D符合題意.故選D.
5.C　[解析] 對于A,由圖可知,甲地的氣溫日較差明顯小于乙地氣溫日較差,所以甲地的綠化比乙地好,故A中結論正確;對于B,由圖可知,當日6時到12時甲、乙兩地的平均變化率為正數,且乙地的變化趨勢更大,所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率,故B中結論正確;對于C,由圖可知,當日12時到18時甲、乙兩地的平均變化率為負數,且乙地的變化趨勢更大,所以甲地氣溫的平均變化率大于乙地氣溫的平均變化率,故C中結論錯誤;對于D,由圖可知,D中結論正確.故選C.
6.BC　[解析] 在0到t0范圍內,甲、乙的平均速度都為=,故A錯誤,B正確;在t0到t1范圍內,甲的平均速度為,乙的平均速度為,因為s2-s0>s1-s0>0,t1-t0>0,所以>,故C正確,D錯誤.故選BC.
7.ABC　[解析] 由題圖可知甲企業的污水排放量在t1時刻高于乙企業,而在t2時刻甲、乙兩企業的污水排放量相同,故在[t1,t2]這段時間內,甲企業的污水治理能力比乙企業強,故A正確;由題圖知在t2時刻,甲企業在該點的切線斜率的絕對值大于乙企業的,故B正確;在t3時刻,甲、乙兩企業的污水排放量都低于污水達標排放量,故都已達標,故C正確;由題意可知,甲企業在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[0,t1]時的污水治理能力明顯低于[t1,t2]時的,故D錯誤.故選ABC.
8.5　4.1　[解析] 當Δx=1時,直線AB的斜率k1====5.當Δx=0.1時,直線AB的斜率k2===4.1.
9.4　[解析] 由題意可知函數f(x)在R上為增函數,則f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=4.
10.解:(1)當t∈[0.5,1]時,ω的平均變換率為=44,當t∈[1,1.5]時,ω的平均變換率為=21,
因為44>21,所以當t∈[0.5,1]時,ω增加得更快.
(2)當t∈[3,5]時,平均每小時ω的變化量為=-6.95,
實際意義為每小時血藥濃度平均減少6.95 μg/L.
11.C　[解析] 由題得Δy=f(1+Δx)-f(1)=(Δx+1)2-12=(Δx)2+2Δx,∴函數f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均變化率=Δx+2,∵=Δx+2∈(2,2.025),∴Δx∈(0,0.025).故選C.
12.ABD　[解析] 因為對任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.對于A,易知f(x)=-在(0,+∞)上單調遞增,故A正確;對于B,f(x)=3x-1在R上單調遞增,故B正確;對于C,f(x)=x2-4x-3的圖象開口向上,對稱軸方程為x=2,所以f(x)在(-∞,2]上單調遞減,在[2,+∞)上單調遞增,故C錯誤;對于D,因為y=x在(0,+∞)上單調遞增,y=-在(0,+∞)上單調遞增,所以f(x)=x-在(0,+∞)上單調遞增,故D正確.故選ABD.
13.5　[解析] 因為函數f(x)=x2-x在區間[-2,t]上的平均變化率是2,所以==2,即t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍去).
14.解:(1)f(x)為增函數.
證明如下:任取x1,x2∈[3,5],且x1≠x2,
則==,
∵x1,x2∈[3,5],∴x1x2>0,x1x2-1>0,
∴>0,∴函數f(x)為增函數.
(2)由(1)知函數f(x)為增函數,
∴f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=.
15.解:當0≤t≤0.5時,==4.05(m/s);
當1≤t≤2時,==-8.2(m/s);
當0≤t≤時,==0(m/s).
雖然運動員在0≤t≤這段時間里的平均速度是0 m/s,但實際情況是該運動員仍在運動.
由此可以說明平均速度不能準確描述運動員的運動狀態.第2課時　函數的平均變化率
【學習目標】
1.了解直線的斜率及意義;
2.了解函數的平均變化率,理解函數單調性與平均變化率的關系;
3.會用函數單調性的充要條件證明簡單函數的單調性.
◆ 知識點一　直線的斜率
1.定義:一般地,給定平面直角坐標系中的任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2),當x1≠x2時,稱　　　　　　為直線AB的斜率;當x1=x2時,稱直線AB的斜率　　　　　.
2.幾何意義:直線AB的斜率反映了直線相對于　　　　的傾斜程度.
3.表示方法:若記Δx=x2-x1,相應的Δy=y2-y1,則當Δx≠0時,斜率可記為　　　　.
4.證明點共線:若平面直角坐標系中的三個點共線,當且僅當其中任意兩點確定的直線的斜率都　　　或　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)任意的直線都有斜率. (　 )
(2)“點A,B,C共線”是“直線AB的斜率等于直線AC的斜率”的必要不充分條件. (　 )
(3)直線y=3的斜率為0. (　 )
(4)若兩條直線的斜率相等,則這兩條直線的傾斜程度相同. (　 )
◆ 知識點二　函數的平均變化率、函數遞增遞減的充要條件
1.平均變化率
一般地,當x1≠x2時,稱=為函數y=f(x)在區間[x1,x2](x1x2時)上的平均變化率.
2.判斷函數單調性
一般地,若區間I是函數y=f(x)的定義域的子集,對任意x1,x2∈I且x1≠x2,記y1=f(x1),y2=f(x2),=,則:
(1)y=f(x)在區間I上是增函數的充要條件是>0在區間I上恒成立;
(2)y=f(x)在區間I上是減函數的充要條件是<0在區間I上恒成立.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=-3x+2在(-∞,+∞)上是減函數,當x每增大1個單位時,y增大-3個單位.(　 )
(2)函數y=2x+3在定義域上的平均變化率都等于2. (　 )
(3)函數y=x2-4x-5在區間[2,4]上的平均變化率為2. (　 )
(4)當一個函數給定,定義域內的一個區間給定時,該函數在這個區間上的平均變化率為常數. (　 )
(5)函數y=x2在[-2,-1]和[1,2]上的平均變化率互為相反數. (　 )
◆ 探究點一　直線的斜率公式及應用
[探索] 能否說直線越陡峭,斜率越大
例1 (1)[2024·北京昌平區高一期中] 已知f(x)=2x+1和g(x)=3x+2在區間[m,n]上的平均變化率分別為a和b,則 (　 )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a和b的大小隨著m,n的改變而改變
(2)已知經過A(5,m),B(m,8)兩點的直線的斜率大于1,則實數m的取值范圍是　　　　.
變式 (1)[2025·安徽亳州高一期末] 已知二次函數f(x)=ax2+bx+c的最大值為f(4),則(　 )
A.f(5)>f(2)>f(8)
B.f(8)>f(5)>f(2)
C.f(8)>f(2)>f(5)
D.f(2)>f(8)>f(5)
(2)已知三點A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一條直線上,則實數a的值為　　　　.
[素養小結]
利用斜率公式求直線的斜率應注意的事項:
(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”,即直線不與x軸垂直,因為當直線與x軸垂直時,斜率是不存在的;
(2)斜率公式與兩點P1,P2的先后順序無關,也就是說公式中的x1與x2,y1與y2可以同時交換位置.
◆ 探究點二　求函數的平均變化率
[探索] 函數y=f(x)的平均變化率是否一定存在 若存在,對于同一函數的平均變化率都相等嗎
例2 已知函數f(x)=3x2+5.
(1)求f(x)從0.1到0.2的平均變化率;
(2)求f(x)在區間[x0,x0+Δx]上的平均變化率.
變式 (1)若函數f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均變化率分別為m1,m2,m3,則下面結論正確的是 (　 )
A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3 D.m1(2)已知函數f(x)=x+,計算f(x)在[1,2]和[3,5]上的平均變化率,并判斷在哪個區間上函數值變化較快.
[素養小結]
求函數的平均變化率可根據定義代入公式直接求解,解題的關鍵是弄清自變量的增量Δx與函數值的增量Δy.
求函數y=f(x)在區間[x1,x2]上的平均變化率的主要步驟是:
(1)計算函數值的改變量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)計算自變量的改變量Δx=x2-x1;
(3)計算函數的平均變化率=.
◆ 探究點三　函數平均變化率的應用
例3 (1)已知某物體運動的速度與時間之間的關系是v(t)=t2+2t+2,則該物體在時間間隔[1,1+Δt]內的平均加速度是　　　　.
(2)某人服藥后,吸收藥物的情況可以用血液中藥物的質量濃度c(單位:μg/mL)來表示,它是時間t(單位:min)的函數,表示為c=c(t).下表給出了c(t)的一些函數值:
t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
c(t)/ (μg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 0.41
①求服藥后30 min內,30 min到40 min,80 min到90 min這3段時間內,血液中藥物質量濃度的平均變化率;
②討論刻畫血液中的藥物質量濃度變化快慢的方法,并說明上述3段時間中,藥物質量濃度變化最快的時間段.
變式 (1)如圖所示,半徑為1的圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,則函數y=f(x)的大致圖象是(　 )
A B C D
(2)甲、乙兩個學校開展節能活動,活動開始后甲、乙學校的用電量W1(t),W2(t)與時間t(天)的關系如圖所示,則下列說法正確的是 (　 )
A.甲學校比乙學校節能效果好
B.甲學校的用電量在[0,t0]上的平均變化率比乙學校的用電量在[0,t0]上的平均變化率大
C.兩學校的節能效果一樣好
D.甲學校與乙學校自節能以來用電量總是一樣大
[素養小結]
應用平均變化率判斷函數圖象問題,關鍵是滿足“一定、一觀察”,即滿足Δx一定的條件下,觀察圖象的變化情況,從而得到平均變化率的變化情況,如果Δy較大,則對應的平均變化率較大,則對應的兩點確定的直線的斜率就大.
◆ 探究點四　判斷(證明)函數的單調性
例4 (1)已知函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱,對任意x1,x2∈(-∞,2],且x1≠x2,滿足<0,f(1)=0,則不等式f(x)<0的解集是 (　 )
A.(-∞,1)∪(3,+∞)
B.(1,3)
C.(-∞,1)
D.(3,+∞)
(2)已知函數f(x)=是定義在(-1,1)上的函數,用平均變化率的方法證明:函數f(x)在(-1,1)上是增函數.
變式 已知函數f(x)=2-,x>0,用平均變化率的方法判斷函數f(x)的單調性.
[素養小結]
應用平均變化率的方法判斷函數的單調性,首先要在x1≠x2的條件下得到,其次是根據所給的x的取值范圍確定與0的大小關系,若>0,則對應的函數為增函數,反之為減函數.注意=,要保證分子、分母的下角標順序一致.
拓展 已知函數f(x)=對任意兩個不相等的實數x1,x2∈(-∞,-2],都有不等式<0成立,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.[0,1] B.
C. D.
1.函數y=x2+1在區間[1,1+Δx]上的平均變化率是 (　 )
A.2 B.2x
C.2+Δx D.2+(Δx)2
2.以固定的速度向如圖所示的瓶子中注水,水深h是時間t的函數,則該函數的圖象可能是 (　 )
A B C D
3.如圖所示,△OAB是邊長為2的正三角形,記△OAB位于直線x=t(0≤t≤2)左側的圖形(陰影部分)的面積為f(t),則函數y=f(t)的圖象可能為(　 )
A　　　 　B　　　 　C　　 　　D
4.定義在(0,+∞)上的函數f(x)滿足<0,且f(2)=4,則不等式f(x)->0的解集為 (　 )
A.(2,+∞) B.(0,2)
C.(0,4) D.(4,+∞)第2課時　函數的平均變化率
1.定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a,b,總有>0成立,則 (　 )
A.f(x)在R上是增函數
B.f(x)在R上是減函數
C.f(x)在R上先單調遞增后單調遞減
D.f(x)在R上先單調遞減后單調遞增
2.在函數y=x2+2的圖象上取一點(1,3)及附近一點(1+Δx,3+Δy),則等于 (　 )
A.Δx++2 B.Δx--2
C.Δx+2 D.2+Δx-
3.某物體沿水平方向運動,其前進距離s(t)(米)與時間t(秒)的關系為s(t)=5t+2t2,則該物體在前2秒運動的平均速度為 (　 )
A.18米/秒 B.13米/秒
C.9米/秒 D. 米/秒
4.若一射線OP從OA處開始,繞O點勻速逆時針旋轉(到OB處為止),所掃過的圖形內部的面積S是時間t的函數,S(t)的圖象如圖所示,則下列圖形中,符合要求的是 (　 )
A B C D
5.大面積綠化可以增加地表的綠植覆蓋,可以調節小環境的氣溫,好的綠化有助于降低氣溫日較差(一天氣溫的最高值與最低值之差).甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖如圖所示.假設除綠化外,其他可能影響甲、乙兩地溫度的因素均一致,則下列結論中錯誤的是 (　 )
A.由圖推測,甲地的綠化比乙地好
B.當日6時到12時,甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率
C.當日12時到18時,甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率
D.當日乙地的平均氣溫比甲地的平均氣溫高
6.(多選題)[2025·陜西西安高一期中] 如圖是物體甲、乙在時間0到t1范圍內位移的變化情況,下列說法正確的是 (　 )
A.在0到t0范圍內,甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范圍內,甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范圍內,甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范圍內,甲的平均速度小于乙的平均速度
7.(多選題)為滿足人們對美好生活的向往,環保部門要求相關企業加強污水治理,排放未達標的企業要限期整改.設企業的污水排放量W與時間t的關系為W=f(t),用-的大小評價在[a,b]這段時間內企業污水治理能力的強弱.已知整改期內,甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示,則下列結論中正確的有(　 )
A.在[t1,t2]這段時間內,甲企業的污水治理能力比乙企業強
B.在t2時刻,甲企業的污水治理能力比乙企業強
C.在t3時刻,甲、乙兩企業的污水排放都已達標
D.甲企業在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[0,t1]的污水治理能力最強
8.已知曲線y=x2-1上兩點A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),當Δx=1時,直線AB的斜率是　　　　;當Δx=0.1時,直線AB的斜率是　　　　.
9.定義在R上的函數f(x)對任意兩個不等實數a,b,總有>0成立,且f(-3)=2,f(-1)=4,則f(x)在[-3,-1]上的最大值是　　　　.
10.(13分)已知某病人服用某種藥物t h后血藥濃度ω μg/L的一些對應數據如下表所示.
t 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8
ω 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3
(1)當t∈[0.5,1]和t∈[1,1.5]時,ω都是增加的,哪個時間段的ω增加得更快
(2)當t∈[3,5]時,平均每小時ω的變化量為多少 這里的平均每小時的變化量有什么實際意義
11.若函數f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均變化率的取值范圍是(2,2.025),則Δx的取值范圍為 (　 )
A.(2,2.025) B.(0,2.025)
C.(0,0.025) D.(0.025,2)
12.(多選題)下列函數中滿足“對任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0”的是 (　 )
A.f(x)=- B.f(x)=3x-1
C.f(x)=x2-4x-3 D.f(x)=x-
13.已知函數f(x)=x2-x在區間[-2,t]上的平均變化率是2,則t=　　　　.
14.(13分)已知函數f(x)=+x,x∈[3,5].
(1)判斷函數f(x)的單調性,并利用平均變化率的方法證明;
(2)求函數f(x)的最大值和最小值.
15.(15分)在一次跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,根據上述探究,你能求該運動員在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤內的平均速度嗎 有什么發現

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